Ejercicios del Profe Wonskiano, bueno así le decíamos :)

1. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
EJERCICCIOS DESARROLLADOS:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1. Determine la solución general de la ecuación diferencial dada.
(
Rpta:
(
(
∫ ∫
(
(
( )
(
Rpta:
(
∫
1 MATEMÁTICA APLICADA 1

2. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
(
Rpta:
( )
( )
∫( )
( )
∫( ) ∫
(
Rpta:
(
(
( (
Rpta:
( (
( (
∫ ( ∫ (
2 MATEMÁTICA APLICADA 1

3. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
∫ ∫
∫
( (
(
Evaluando a : (
(
(
( ( -1
Rpta:
(
∫
(
(
∫
Evaluando cuando: ( -1
C = -1
( (
Rpta:
( (
3 MATEMÁTICA APLICADA 1

4. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
∫(
(
(
( ( (
( (
( ∫
(
( ( (
Evaluando cuando : (
(
( (
C = 21
( ( (
2. Resuelva la ecuación diferencial homogénea
(
Rpta:
(( ) )
Derivamos:
Remplazando:
((
4 MATEMÁTICA APLICADA 1

5. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Integrando:
( √ )
Rpta:
Derivamos:
Reemplazando:
( √ )(
( √ ) ( √ )
√ ( √ )
( √ )
√
( √ )
∫
√
(
√
Remplazando el valor de u:
√
(
5 MATEMÁTICA APLICADA 1

6. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
√
Rpta:
√
Derivamos:
Reemplazando:
√
∫ ∫
√
( √ )
√
√
( ) (
Rpta:
Se divide entre x:
( )
Derivamos:
Reemplazando:
Derivamos:
( (
6 MATEMÁTICA APLICADA 1

7. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
∫ ∫ ∫
(
(
Dándole valor:
(
(
C=1
(
3. Resuelva la ecuación diferencial respectiva de Bernoulli
Rpta:
(
(
Se divida entre x
Reemplazando:
Multiplicado por 3:
7 MATEMÁTICA APLICADA 1

8. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
∫
Reemplazando:
∫
(
Rpta:
Reemplazando:
∫
Multiplicando el fi:
∫
∫
8 MATEMÁTICA APLICADA 1

9. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
( (
Rpta:
(
(
(
( (
Reemplazando:
( (
( (
∫
( (
( ( (
( (
(
( (
( ∫
(
(
(
Finalmente:
(
Rpta:
9 MATEMÁTICA APLICADA 1

10. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Multiplicando por
Reemplazando:
∫
∫
Reemplazando el valor de u:
(
Rpta:
Reemplazando:
10 MATEMÁTICA APLICADA 1

11. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
∫
∫
Reemplazando:
Reemplazando el valor de u:
4. Determine la solución general de cada ecuación diferencial
Rpta:
( =0 
Por lo tanto la solución es:
Rpta:
( = -1 
11 MATEMÁTICA APLICADA 1

12. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Por lo tanto la solución es:
Rpta:
1 -5 3 9
-1 -1 6 -9  (a+1)( = (a+1)(
1 -6 9 0
Luego:
Por lo tanto la solución es:
Rpta:
(
 ( )
√ √
Por lo tanto la solución es:
√ √
( ) ( )
(
Rpta:
 (
( (
( ( ( 
12 MATEMÁTICA APLICADA 1

13. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Por lo tanto la solución es:
( (
Rpta:
=0
5
1 5 -2 -10 1
( ( ( ( (
-1 -1 -4 6 4 -5
1 4 -6 -4 5 0
1 1 5 -1 -5
-5
1 5 -1 0
1 1 6 5
6 Por lo tanto la solución es:
1 5 0
-1 -1 -5
1 5 0
Rpta:
( (
√ √
Por lo tanto la solución es:
(√ (√
Si: y(0)= 0 
Si: y’(0) =-1  -1 = ( (√ ) (√ )
-1= ( (√ ) (√ )) ( (√ (√ ) √ (√ ))
-1= ( (√
13 MATEMÁTICA APLICADA 1

14. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
 √
Si: y”(0) =0 
( (√ ) (√ )) ( (√ (√ ) √ (√ ))
( √ (√ ) √ (√ )) ( (√ ) (√ ))
( √ √
(√ ) √
Luego:
√
(√ ) √
Por Cramer
1 2 0 √ ( √ ) ( √ √ )
2 -1 = √
√3
4 (√3-2)
(-√3)
Luego:
0 2 0
√
-1 -1
√3 √
0 (√3-2)
(-√3)
√
14 MATEMÁTICA APLICADA 1

15. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
√
1 0 0 =
√
2 -1
√3
4 0
(-√3)
√
√
1 0 0 √
2 -1 -1
(√3-
4 0
2)
√ √ √
( ) ( ) (√ ) ( (√
√ √ √
5. Resuelva la ecuación diferencial respectiva, por el método de los coeficientes
indeterminados
Rpta:

(
(
Entonces reemplazamos en:
( (
15 MATEMÁTICA APLICADA 1

16. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Por lo tanto la ecuación queda:
Rpta:
√
Usando la fórmula General
Entonces las raíces son:
Reemplazando en:
( (
(
Por lo tanto
3B=1  B=
3A= 0  A=0
Reemplazando:
Por lo tanto la ecuación queda:
Rpta:
16 MATEMÁTICA APLICADA 1

17. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
√
Usando la formula General
√ √
Entonces las raíces son:
√ √
( (
Reemplazando en:
( (
( ( ( (
Por lo tanto:
-A=1  A=-1
C=0
Reemplazando:
(
Por lo tanto la ecuación queda:
√ √
(
Rpta:
 (
Entonces las raíces son:
(
17 MATEMÁTICA APLICADA 1

18. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Reemplazándolo en:
( (
Por lo tanto
12A= 8  A =
24A+6B=0  B=
2C+6B=0  C=8
Reemplazando: (
Por lo tanto la ecuación queda:
( )
(
Rpta:
( ( ( (
Entonces las raíces son:
(
(
(
Reemplazando en:
(
( (
Por lo tanto
-48A =5  A= -
18 MATEMÁTICA APLICADA 1

19. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
16D=-1  D=-
24B=0  B=0
24A-8C=0  C=
Reemplazando: ( )
Por lo tanto la ecuación queda:
( )
(
Rpta:
(
(
Entonces las raíces son:
(
(
Reemplazamos en:
(
Por lo tanto:
-24A =1  A=-
24A-6B=0  B=-
C=1
19 MATEMÁTICA APLICADA 1

20. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Reemplazando queda: ( )
Por lo tanto la ecuación queda:
( )
Rpta:
Entonces las raíces son:
Reemplazamos en:
( (
( ( ( (
Por lo tanto:
8A = 1  A=
= 0  B=
C=
D=
Reemplazando queda:
Por lo tanto la ecuación queda:
Si: y(0)= 2 
Si: y’(0) = 4  4=
20 MATEMÁTICA APLICADA 1

21. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Finalmente obtenemos la única curva:
Rpta:
( )
Si: y(0)= 0 
Si: y’(0) = 0  0 =
Si: y’’(0) = 0  0 =
Si: y’’’(0) = 0 
Luego: c1=2, c2=2, c3=0, c4=-2
Finalmente obtenemos la curva:
( )
6. Resuelva la ecuación diferencial respectiva, por variación de parámetros
Rpta:
{ }
21 MATEMÁTICA APLICADA 1

22. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Rpta:
{ }
22 MATEMÁTICA APLICADA 1

23. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
( )
( )
( )
( )
(
Rpta:
{ }
23 MATEMÁTICA APLICADA 1

24. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
( )
(
( )
(
( )
( )
(
(
(
( (
( ( ( )
Rpta:
{ }
( (
( (
24 MATEMÁTICA APLICADA 1

25. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
(
( ) ( (
( ( ( )
( (
( )
( ( ( (
( (
( )
(
( )
( (
( (
( )
( ( ( (
( | ( ( | (
( (
( (
(
( ( | ( ( |
Rpta:
{ }
( (
( ( (
25 MATEMÁTICA APLICADA 1

26. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
( (
( ( ( )
( ( ( ( ( (
( ( ( (
( ( ( )
( (
(
(
( ( )
( (
( ( ( (
( ( ( )
( (
(
( ( )
( ( (
( ( ( (
( ( ( )
( (
(
| ( ( |
| ( |
( | ( ( |) ( ( ) ( | ( | ( )
26 MATEMÁTICA APLICADA 1

27. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
( ( ( | ( ( |) ( ( ) ( | ( | ( )
Rpta:

{ }
( (
( ( (
( (
( ( ( ) ( ( ( (
( ( ( ( )
(
( ( ( (
( ( ( )
( (
(
(
( ( )
( ( (
( ( ( (
( ( ( )
( (
(
(
( ( )
( ( ( (
( ( ( (
( ( ( )
( (
( (
27 MATEMÁTICA APLICADA 1

28. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
| ( |
(
( ( | ( ( |
| ( | ( ( ( ( | ( ( |
( ( | ( | ( | ( ( |
7. Resuelva la ecuación diferencial respectiva [Ecuación Cauchy-Euler]
Rpta:
{
(
( (
{ }
Rpta:
{
(
( (
{ }
( (
( (
28 MATEMÁTICA APLICADA 1

29. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
Rpta:
{ (
( (
( ( ( (
( ( { }
(
Rpta:
(
( (
(
{ ( ( (
( ( ( ( ( ( (
{ }
( ( ( (
( ( ( (
29 MATEMÁTICA APLICADA 1

30. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
8. Determine la solución general del sistema respectivo
{
Rpta:
( ) ( )( )
( )
{ }
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
30 MATEMÁTICA APLICADA 1

31. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
{
Rpta:
( ) ( )( )
( )
( ( (
{ }
( )( ) {
( ) ( )
( )( ) { ( ) ( )
( )( ) { ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
31 MATEMÁTICA APLICADA 1

32. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA
2011
{
Rpta:
( ) ( )( )
( )
( ( (
{ }
( )( ) { ( ) ( )
( )( ) { ( ) ( )
( )( ) { ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
32 MATEMÁTICA APLICADA 1