Das Dokument behandelt Themen der linearen Algebra, einschließlich der Bestimmung von Lösungen für lineare Gleichungssysteme in Abhängigkeit von den Parametern α und β. Es werden verschiedene Fälle untersucht: eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen und keine Lösung. Weiterhin wird die diagonale Matrixdarstellung und die Basisortogonalität diskutiert.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
EXAMEN DE ALGEBRA LINEAL
1) Determinar para que valores de 𝛼 y 𝛽
a) Ǝ única solución
b) Ǝ infinitas soluciones
c) No existe solución
Resolucion:
𝛼
( 𝛼 ) 𝛽 𝛽
} s.e
a) | 𝛼
𝛼 𝛽
| 𝛼𝛽 𝛼 𝛼 𝛼 𝛽
𝛼𝛽 𝛼 𝛽
𝛼( 𝛽 ) ( 𝛽)
( 𝛽 )( 𝛼 ) .: 𝛽
.: Ǝ! Sol ( ) * +
Si 𝛼 = -2
(
𝛽
|
𝛽
) (
𝛽
|
𝛽
) (
𝛽
|
𝛽
)
( |
𝛽
) ( | )
b) Ǝ infinitas soluciones si 𝛼 = -2 y 𝛽 = -2
c) No existe solución si 𝛼 = -2 y 𝛽 ϵ - {-2}
2) Sea A ϵ Mn, tal que .
Sea
a) Hallar
b) Hallar
18

2. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
Resolucion:
( )
( )
B
( )
.: {
3) * 𝛼 𝛽 (𝛼 𝛼) +
a) Para que valores de 𝛼 y 𝛽 S es L.D.
b) Para 𝛼= -2 hallar el s.e.v. Generado por S
Resolucion:
a) ( ) ( ) ( 𝛼 𝛽 ) (
( 𝛼 𝛼) )
| | | 𝛼
𝛽 ( 𝛼 𝛼)
| = 𝛼 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽 𝛼 𝛼
.: Ǝ infinitas soluciones para 𝛼 ϵ - {-2,1} 𝛽 ϵ
.: S es L.D.
b) Para 𝛼 = - 2
*( ) ( ) ( ) ( 𝛽 )
( )}

3. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
(
𝛽
| ) (
𝛽
| ) ( 𝛽 | )
*( ) +
4.- Sea ( ) un e.v con producto interno (/)
* + ( ) ( ) ( )
A partir de S calcule una base ortogonal de conociendo que:
/ = 0 ( / )=0 ( / )
Resolucion:
* +
⁄ ⁄
⁄ ⁄ √ ⁄ √ ⁄
⁄ ⁄ ⁄⁄
⁄ ( / )
( )
( )
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄

4. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
*( )( )( )+
5) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*( ) ( ) ( )+ * + Bases de y ( )
a) Hallar , - C1 y C2 son bases canónicas
b) Utilizando matrices cambio de base hallar , -
Resolucion:
a) ( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
𝛼
𝛽
𝛾
| | |} s.e
( | ) ⟹ , - ( )
b) , - , - , - , -
, - ( )
( ) ( ) 𝛼( ) 𝛽( ) 𝛾( )
( ) ( ) 𝛼( ) 𝛽( ) 𝛾( )
( ) ( ) 𝛼( ) 𝛽( ) 𝛾( )
𝛼
𝛼 𝛽
𝛽 𝛾
} s.e
( | ) ( | ) ( | )

5. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
, - ( )
, - ( ) ( ) ( )
, - ( )
6) , - ( ) C es la Base canónica de
a) Determinar
Resolucion:
Base canónica de *( ) ( ) ( )+
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 𝛼( ) 𝛽( ) ( )
( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
→

6. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( ) ( ) ( )
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
( | | |)
*( ) +
*( )+ ⟹ Dim. del Nf = 0 ⟹ INYECTIVA
Imgf = Todos los elementos del conjunto de llegada ⟹ Dim. de Imgf = 3
Dim. de Imgf + Dim. de Nf = Dim. de
3 + 0 = 3 ⟹ SOBREYECTIVA
→
( ) ( ) ( )
7) ( ) Matriz asociada a ( )
a) Diagonalizar ortogonalmente la matriz A
Resolucion:
| |
| | | | | |=
( ) | | ( ),( )( ) -
( ),( -

7. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( ), - ( ),( )( )-
⟹
Para λ = -1
( | ) ( | )
*( ) +
*( ) +
* ( ) ( ) +
*( ) ( )+
Para λ = 8
( | ) ( | ) ( | )
( | ) ( | ) ( | )
*( ) +
*( ) +
*( )+
*( ) ( ) ( )+
( ) ⟹ u1, u2 ORTOGONAL

8. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
{( ) ( ) ( )}
, - , - , - , -
( ) ( ) ( )
( )