Das Dokument ist ein Prüfungsbogen der Escuela Politécnica Nacional für das Fach Lineare Algebra 1. Es enthält verschiedene Aufgaben zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren, zur Berechnung von Basen aus Eigenvektoren sowie zur Demonstration von Bijektivität. Die Aufgaben erfordern das Bearbeiten von Matrizen und Vektoren in verschiedenen mathematischen Kontexten.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
EXAMEN DE ÁLGEBRA LINEAL
1. Dados:
{. / } {. / }
Hallar una base de .
{. / . / . /}
. / . /
( | ) ( | ) ( | )
{. / }
{. / . / . /}
. / . /
( | ) ( | ) ( | )
{. / }
5

2. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
. | / . | /
. | / . | /
{. / } {. / }
{. / . / } { . / . / }
{. / . /}
( ) ( )
( )

3. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
2. Dada ( )
a) Hallar valores y vectores propios.
b) Hallar , - donde es una base formada por vectores propios.
a)
| | |( ) ( )| | |
| | | |
( )( )( )
( )( )( )
( | ) ( | )
( | ) ( | )
( | )
*( ) +
*( ) + * ( ) +
( )

4. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( | ) ( | )
( | ) ( | )
( | ) ( | )
*( ) +
*( ) + * ( ) +
( )
( | ) ( | )
( | ) ( | )
( | ) ( | )
*( ) +
*( ) + * ( ) +
( )
( )
( )
( )

5. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
b)
* + *( )( )( )+
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
| | ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
, - , - , - , -
, - ( )

6. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
3.
( ) ( ) ( )
*( )( )( )+ y *( )( )( )+
a) Hallar , -
b) Si , ( )- ( ) , hallar .
a)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( | | | )
( | | | ) ( | | | )
, - ( )

7. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( | ) ( | )
( | ) ( | )
( | )
(
||
)
( )

8. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
4. ( )
( ) ( )
a) Demostrar que es biyectiva.
b) Hallar .
a)
( ) ( )
{ ( ) ( )}
* ( ) ( )+
| |
* + ( )
b)
. | / . | / ( | )
( )
( ) ( )
( ) ( )