Das Dokument ist eine Prüfungsaufgabe der Escuela Politécnica Nacional, in der verschiedene mathematische Probleme zu linearen Abbildungen und Eigenwerten behandelt werden. Es werden spezifische Aufgaben formuliert, wie die Berechnung von Basis und Dimensionen in Bezug auf eine gegebene lineare Abbildung. Die Aufgaben sind in formalisierter mathematischer Notation verfasst.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
EXAMEN DEL SEGUNDO BIMESTRE
1.- Dado ( )
( )
*( )+ base del núcleo de f
Hallar la aplicación lineal
Por definición
*( ) ( ) ( )+
( ) ( ) ( ) ( )
⟹ ( | + ≈
( | + ≈ ( | + ≈
( | + ≈ ( | + ∴
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
∴ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
19

2. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
2.- Sea
, - = A = ( + *( ) ( )( )+
a) Hallar f
b) Calcular una base de la imagen de f
Base canónica de * +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ∴ ∴
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
∴ ( )
( ) ( ) ( )
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+

3. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( | | + ≈ ( | | + ≈
( || ||( ), ≈
(
|
|
|
| ( )
( )
)
( )
∴
{( ) }
{( * }
{( * ( ) }
{ ( * ( ) }
{( * ( )}
∴ 1) B genera a Imgf
2) Dim(Imgf) = 2 = # de elementos de B
Por 1 y 2 ∴ B es base de Imgf

4. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
3.- Sea Tal que
( ( )) [ ( ) ( )] ( ( ) ( ) ( ) ( ))
* + *( )( )+ *( ) ( )( )+
Hallar , -
( )
( )
( ( )) , - ( )
, - , - , -
, - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( | + ≈ ( | + ≈ ( | +
, - ( +
, - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. | / ≈ . | / ≈
. | / ≈ . | /
, - . /

5. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
, - ( + . / ( +
4.- Sea A tal que los valores propios de A son -3 y 3 y los vectores propios (1,1) y
(1,-5) respectivamente
a) Hallar A
b) Hallar , -
Para Para
( ) . / ( ) ( ) . / ( )
( ) ( ) ( ) ( )
{
. /
, ( )- , - , -
, - , - , -
, - , - , -
, - . /