Das Dokument scheint eine komplexe mathematische Abhandlung zu sein, die sich mit Themen wie Analysis, Differenzialgleichungen und der Rationalität von Zahlen befasst. Es enthält viele mathematische Symbole und Formeln, die spezifische Konzepte und Theorien in diesen Bereichen darstellen. Zudem werden in verschiedenen Abschnitten Berechnungen und Integrationen behandelt.

1. NBHM Ph.D. 2016
( )( ) ( )( )
. /
( )
( )
( )
( ) * +
( )
( )
, -
( )
, -
( )
( ) ( )
̂ ( )
( ) ̂
( ) ̂
( ) ( ) 2
( )
( ) ( ) * +
( )
( )

2. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 1
* + | ( ) |
, - , , ∫ ( )
( ) * ( )+ ( ) ( )
( ) ∑ ( )
( ) ( ) | |
∫ ( ) ∫ . / ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) , - ( ) {
( )
( ) , -
( ) ( ) ∫
* +
( )
( )

3. ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
( )
( )
( )
( )
* +
* +
( ) ( )
( )
( ) ( ) | |
| ( )| | |
* +
( ) ( ) {
, -
, -
, -
{ | ∫ | ( )| }
( ) ( ) , -
( ) ( ) , -
( ) {
, -
( ) * + ( ) * +

4. ( ) * +
( )
( )
( ) , -
( ) ⋃ ( )
( ) ( ) ( )
( ) * ( )| + ( )
( )
( ) {( ) | } *( )+
( ) *( ) | + *( ) | +
( ) *( ) | + *( ) | +
( ) ⋃*( ) | +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) * ( )| ( ) +
( ) , - ( )
{ , -| ∫ ( ) ( ) , -}
(- -)
( )
( )

5. ( ) *( ) | ( )+
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
*( ) | +
( ) *( ) | + ( ) *( ) | +
( ) *( ) | +
Section 4: Calculus and Differential Equations
∫
0 1
, - , - ∬ ( )
∫ ∫ ( )
( ) ( )
∫ ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1
( )
( )

6. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Section 5: Miscellaneous
( )
. / ∑ . /
( )
( ) ( )
( ) { ∫ ( )
Which of the following numbers are rational?
( ) ( ) ( )