Das Dokument behandelt verschiedene mathematische Techniken zur Analyse von Funktionen, insbesondere zur Berechnung von Laplace-Transformationen und der inversen Transformation. Es beinhaltet Schritte zur Ableitung und Integration von Hyperbelfunktionen und die Nutzung von partiellen Brüchen. Die Formeln und Verfahren sind detailliert beschrieben, um komplexe mathematische Probleme zu lösen.

1. 1-)a-)
𝐿{ 𝑐𝑜𝑠ℎ2}
= 𝐿{
𝑒2𝑡+𝑒−2𝑡
2
}
=
1
2
( 𝐿{ 𝑒2𝑡} + 𝐿{ 𝑒−2𝑡})
=
1
2
(lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒2𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
+ lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒−2𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
)
=
1
2
(lim
𝑏→∞
∫ 𝑒(−𝑠+2) 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
+ lim
𝑏→∞
∫ 𝑒(−𝑠−2) 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
)
=
1
2
( lim
𝑏→∞
𝑒(−𝑠+2) 𝑡
−𝑠 + 2
| 𝑏
0
+ lim
𝑏→∞
𝑒(−𝑠−2) 𝑡
−𝑠 − 2
| 𝑏
0
)
=
1
2
(
𝑒(−𝑠+2) 𝑏
−𝑠 + 2
−
𝑒(−𝑠+2)0
−𝑠 + 2
+
𝑒(−𝑠−2) 𝑏
−𝑠 − 2
−
𝑒(−𝑠−2)0
−𝑠 − 2
)
𝑠𝑖 − 𝑠 + 2 < 0 𝑦 − 𝑠 − 2 < 0
𝑠 > 2 𝑠 > −2
=
1
2
(0 −
1
−𝑠 + 2
+ 0 −
1
−𝑠 − 2
)
=
1
2
(
1
𝑠 − 2
+
1
𝑠 + 2
)
=
1
2
(
𝑠 + 2 + 𝑠 − 2
𝑠2 − 22
) =
1
2
(
2𝑠
𝑠2 − 22
) =
𝑠
𝑠2 − 22
1-)b-)
𝐿{ 𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡}
𝐿 { 𝑡
𝑒3𝑡+𝑒−3𝑡
2
}
1
2
( 𝐿{ 𝑡𝑒3𝑡} + 𝐿{ 𝑡 𝑒−3𝑡})
1
2
(lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡𝑒3𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
+ lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡 𝑒−3𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
)
1
2
(lim
𝑏→∞
∫ 𝑡𝑒(−𝑠+3) 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
+ lim
𝑏→∞
∫ 𝑡𝑒(−𝑠−3) 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
)
1
2
( lim
𝑏→∞
(
𝑡𝑒(−𝑠+3) 𝑡
−𝑠 + 3
−
𝑒(−𝑠+3) 𝑡
(−𝑠 + 3)2
)| 𝑏
0
+ lim
𝑏→∞
(
𝑡𝑒(−𝑠−72) 𝑡
−𝑠 − 72
−
𝑒(−𝑠−72) 𝑡
(−𝑠 − 72)2
)| 𝑏
0
)

2. 1
2
( lim
𝑏→∞
(
𝑏𝑒(−𝑠+3) 𝑏
−𝑠 + 3
−
𝑒(−𝑠+3) 𝑏
(−𝑠 + 3)2
) − (
0𝑒(−𝑠+3)0
−𝑠 + 3
−
𝑒(−𝑠+3)0
(−𝑠 + 3)2
) + lim
𝑏→∞
(
𝑏𝑒(−𝑠−3) 𝑏
−𝑠 − 3
−
𝑒(−𝑠−3) 𝑏
(−𝑠 − 3)2
)
− (
0𝑒(−𝑠−3)0
−𝑠 − 3
−
𝑒(−𝑠−3)0
(−𝑠 − 3)2
))
Ahora
lim
𝑏→∞
(
𝑏𝑒(−𝑠+3) 𝑏
−𝑠 + 3
−
𝑒(−𝑠+3) 𝑏
(−𝑠 + 3)2
) 𝑠𝑖 − 𝑠 + 3 < 0 𝑠 > 3
(0.∞)
lim
𝑏→∞
𝑏
𝑒—𝑠+3 𝑏(−𝑠 + 3)
(
∞
∞
) 𝐿`𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim
𝑏→∞
(
1
𝑒−(−𝑠+3) 𝑏(−(−𝑠+ 3)2)
) = 0
Ahora
lim
𝑏→∞
(
𝑏𝑒(−𝑠−3) 𝑏
−𝑠 − 3
−
𝑒(−𝑠−3) 𝑏
(−𝑠 − 3)2
) 𝑠𝑖 − 𝑠 − 3 < 0 𝑠 > −3
(0.∞)
lim
𝑏→∞
𝑏
𝑒—(−𝑠−3)
𝑏(−𝑠− 3)
(
∞
∞
) 𝐿`𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim
𝑏→∞
1
𝑒—𝑠−3 𝑏((−𝑠 − 3)2)
= 0
3
1
2
(
1
( 𝑠 − 3)2 +
1
( 𝑠 + 3)2
)
2-)a-)
𝐿{ 𝑡2 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡}
𝜕2 (
𝑠
𝑠2 − 22)
𝜕𝑠2
𝜕 (
𝑠
𝑠2 − 22)
𝜕𝑠
=
1.( 𝑠2 − 22) − 𝑠(2𝑠)
( 𝑠2 − 22)2
𝑠2 − 22 − 2𝑠2
( 𝑠2 − 22)2 =
−𝑠2 − 22
( 𝑠2 − 22)2
𝜕2 (
𝑠
𝑠2 − 22)
𝜕𝑠2 =
𝜕 (
−𝑠2 − 22
( 𝑠2 − 22)2)
𝜕𝑠
−2𝑠( 𝑠2 − 22)2 − (−𝑠2 − 22)2( 𝑠2 − 22)2𝑠
( 𝑠2 − 22)4

3. −2𝑠( 𝑠2
− 22)(( 𝑠2
− 22) + 2(− 𝑠2
− 22))
( 𝑠2 − 22)4
−2𝑠
( 𝑠2 − 22 − 2𝑠2 − 2.22)
( 𝑠2 − 22)3
2-)b-)
𝐿{ 𝑒4𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡}
= 𝐿{ 𝑠𝑒𝑛5𝑡}| 𝑠→𝑠−4
=
5
( 𝑠 − 4)2 + 52
2-)c-)
𝐿{ 𝑡2 𝑐𝑜𝑠22𝑡}
𝜕2( 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠22𝑡})
𝜕𝑠2 =
𝜕2 (𝐿{
1 + cos4𝑡
2
})
𝜕𝑠2 =
1
2
𝜕2( 𝐿{1}+ 𝐿{ cos4𝑡})
𝜕𝑠2
=
1
2
𝜕2 (
1
𝑠
+
𝑠
𝑠2 + 42)
𝜕𝑠2
𝜕 (
1
𝑠
+
𝑠
𝑠2 + 42)
𝜕𝑠
= −
1
𝑠2 +
1. ( 𝑠2 + 42) − 𝑠. 2𝑠
( 𝑠2 + 42)2
= −
1
𝑠2 +
𝑠2 + 42 − 2𝑠2
( 𝑠2 + 42)2
= −
1
𝑠2 +
42 − 𝑠2
( 𝑠2 + 42)2
1
2
𝜕2 (
1
𝑠
+
𝑠
𝑠2 + 42 )
𝜕𝑠2 =
1
2
𝜕 (−
1
𝑠2 +
42 − 𝑠2
( 𝑠2 + 42)2)
𝜕𝑠
1
2
(
2
𝑠3 +
−2𝑠( 𝑠2 + 42) − (42 − 𝑠2)2( 𝑠2 + 42).2𝑠
( 𝑠2 + 42)4
)
3)
𝐿−1 {
𝑠2 − 2𝑠 + 2
( 𝑠 − 1)2( 𝑠+ 1)( 𝑠 − 2)
}
𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠

4. 𝑠2 − 2𝑠 + 2
( 𝑠 − 1)2( 𝑠+ 1)( 𝑠 − 2)
=
𝐴
( 𝑠 − 1)
+
𝐵
( 𝑠 − 1)2 +
𝐶
( 𝑠 + 1)
+
𝐷
( 𝑠 − 2)
𝑠2 − 2𝑠 + 2 = 𝐴( 𝑠− 1)( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 2) + 𝐵( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 2) + 𝐶( 𝑠 − 1)2( 𝑠 − 2) + 𝐷( 𝑠 − 1)2(𝑠+ 1)
𝑠 = 1
12 − 2.1 + 2 = 𝐵(1 + 1)(1 − 2)
1 = −2𝐵
𝐵 = −
1
2
𝑠 = −1
(−1)2 − 2.(−1) + 2 = 𝐶(−1 − 1)2(−1 − 2)
5 = −12𝐶
𝐶 = −
5
12
𝑠 = 2
22 − 2.2 + 2 = 𝐷(2 − 1)2(2+ 1)
4 = 3𝐶
𝐷 = 4/3
𝑠 = 0
02 − 2.0 + 2 = 𝐴(0 − 1)(0 + 1)(0 − 2) −
1
2
(0 + 1)(0 − 2) −
5
12
(0 − 1)2(0 − 2) +
4
3
(0 − 1)2(0+ 1)
2 = 2𝐴 + 1 +
5
6
+
4
3
2 −
19
6
= 2𝐴
−
7
6
= 𝐴
𝐿−1 {
−
7
6
( 𝑠 − 1)
}+ 𝐿−1 {
−
1
2
( 𝑠 − 1)2}+ 𝐿−1 {
−
1
2
( 𝑠 + 1)
} + 𝐿−1 {
4
3
( 𝑠− 2)
}
= −
7
6
𝑒 𝑡 −
1
2
𝑡𝑒 𝑡 −
1
2
𝑒−𝑡 +
4
3
𝑒2𝑡
4-)
𝐿−1 {
1
𝑠3( 𝑠+ 1)2
}
𝐺( 𝑠) =
1
𝑠3 𝐹( 𝑠) =
1
( 𝑠 + 1)2

5. 𝑔( 𝑡) =
1
2
𝐿−1 {
1.2
𝑠3
} =
1
2
𝑡2
𝑓( 𝑡) = 𝐿−1 {
1.2
( 𝑠 + 1)2
} = 𝑡𝑒−𝑡
𝑓( 𝜏) = 𝜏𝑒−𝜏
𝑔( 𝜏 − 𝑡) =
1
2
( 𝜏 − 𝑡)2 =
1
2
( 𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2)
𝐿−1 {
1
𝑠3( 𝑠 + 1)2
} =
1
2
∫( 𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2)
𝑡
0
𝜏𝑒−𝜏 𝜕𝜏
=
1
2
∫( 𝜏3 𝑒−𝜏 − 2𝜏2 𝑡𝑒−𝜏 + 𝜏𝑡2 𝑒−𝜏)
𝑡
0
𝜕𝜏
=
1
2
(−𝜏3 𝑒−𝜏 − 3𝜏2 𝑒−𝜏 − 6𝜏𝑒−𝜏 − 6𝑒−𝜏 − 2𝑡(−𝜏2 𝑒−𝜏 − 2𝜏𝑒−𝜏 − 2𝑒−𝜏)+ 𝑡2(−𝜏𝑒−𝜏 − 𝑒−𝜏))|0
𝑡
=
1
2
(−𝑡3 𝑒−𝑡 − 3𝑡2 𝑒−𝑡 − 6𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 2𝑡𝑡2 𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑡𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡
− (−03 𝑒−0 − 3.02 𝑒−0 − 6.0𝑒−0 − 6𝑒−0 + 2𝑡. 02 𝑒−0 + 4𝑡0𝑒−0 + 4𝑡𝑒−0 − 𝑡20𝑒−0
− 𝑡2 𝑒−𝑜))
=
1
2
(−𝑡3 𝑒−𝑡 − 3𝑡2 𝑒−𝑡 − 6𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 2𝑡3 𝑒−𝑡 + 4𝑡2 𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡3 𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡 + 6 − 4𝑡 + 𝑡2)
=
1
2
(−2𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 𝑒−𝑡 + 6 − 4𝑡 + 𝑡2)