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1-)a-)
𝐿{ 𝑐𝑜𝑠ℎ2}
= 𝐿{
𝑒2𝑡+𝑒−2𝑡
2
}
=
1
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( 𝐿{ 𝑒2𝑡} + 𝐿{ 𝑒−2𝑡})
=
1
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(lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒2𝑡 𝑑𝑡
𝑏
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+ lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒−2𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
)
=
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(lim
𝑏→∞
∫ 𝑒(−𝑠+2) 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
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𝑏→∞
∫ 𝑒(−𝑠−2) 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
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)
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( lim
𝑏→∞
𝑒(−𝑠+2) 𝑡
−𝑠 + 2
| 𝑏
0
+ lim
𝑏→∞
𝑒(−𝑠−2) 𝑡
−𝑠 − 2
| 𝑏
0
)
=
1
2
(
𝑒(−𝑠+2) 𝑏
−𝑠 + 2
−
𝑒(−𝑠+2)0
−𝑠 + 2
+
𝑒(−𝑠−2) 𝑏
−𝑠 − 2
−
𝑒(−𝑠−2)0
−𝑠 − 2
)
𝑠𝑖 − 𝑠 + 2 < 0 𝑦 − 𝑠 − 2 < 0
𝑠 > 2 𝑠 > −2
=
1
2
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1
−𝑠 + 2
+ 0 −
1
−𝑠 − 2
)
=
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𝑠 − 2
+
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𝑠 + 2
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1
2
(
𝑠 + 2 + 𝑠 − 2
𝑠2 − 22
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1
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(
2𝑠
𝑠2 − 22
) =
𝑠
𝑠2 − 22
1-)b-)
𝐿{ 𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡}
𝐿 { 𝑡
𝑒3𝑡+𝑒−3𝑡
2
}
1
2
( 𝐿{ 𝑡𝑒3𝑡} + 𝐿{ 𝑡 𝑒−3𝑡})
1
2
(lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡𝑒3𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
+ lim
𝑏→∞
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𝑏
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1
2
(lim
𝑏→∞
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𝑏→∞
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1
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𝑏→∞
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−𝑠 + 3
−
𝑒(−𝑠+3) 𝑡
(−𝑠 + 3)2
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𝑏→∞
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𝑡𝑒(−𝑠−72) 𝑡
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𝑒(−𝑠−72) 𝑡
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1
2
( lim
𝑏→∞
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−𝑠 + 3
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𝑒(−𝑠+3)0
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𝑏𝑒(−𝑠−3) 𝑏
−𝑠 − 3
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𝑒(−𝑠−3) 𝑏
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−
𝑒(−𝑠−3)0
(−𝑠 − 3)2
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Ahora
lim
𝑏→∞
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𝑏𝑒(−𝑠+3) 𝑏
−𝑠 + 3
−
𝑒(−𝑠+3) 𝑏
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𝑏
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(
∞
∞
) 𝐿`𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim
𝑏→∞
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1
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Ahora
lim
𝑏→∞
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𝑒(−𝑠−3) 𝑏
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𝑏→∞
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∞
∞
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lim
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1
𝑒—𝑠−3 𝑏((−𝑠 − 3)2)
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3
1
2
(
1
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1
( 𝑠 + 3)2
)
2-)a-)
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𝜕2 (
𝑠
𝑠2 − 22)
𝜕𝑠2
𝜕 (
𝑠
𝑠2 − 22)
𝜕𝑠
=
1.( 𝑠2 − 22) − 𝑠(2𝑠)
( 𝑠2 − 22)2
𝑠2 − 22 − 2𝑠2
( 𝑠2 − 22)2 =
−𝑠2 − 22
( 𝑠2 − 22)2
𝜕2 (
𝑠
𝑠2 − 22)
𝜕𝑠2 =
𝜕 (
−𝑠2 − 22
( 𝑠2 − 22)2)
𝜕𝑠
−2𝑠( 𝑠2 − 22)2 − (−𝑠2 − 22)2( 𝑠2 − 22)2𝑠
( 𝑠2 − 22)4
−2𝑠( 𝑠2
− 22)(( 𝑠2
− 22) + 2(− 𝑠2
− 22))
( 𝑠2 − 22)4
−2𝑠
( 𝑠2 − 22 − 2𝑠2 − 2.22)
( 𝑠2 − 22)3
2-)b-)
𝐿{ 𝑒4𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡}
= 𝐿{ 𝑠𝑒𝑛5𝑡}| 𝑠→𝑠−4
=
5
( 𝑠 − 4)2 + 52
2-)c-)
𝐿{ 𝑡2 𝑐𝑜𝑠22𝑡}
𝜕2( 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠22𝑡})
𝜕𝑠2 =
𝜕2 (𝐿{
1 + cos4𝑡
2
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𝜕𝑠2 =
1
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=
1
2
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𝑠
𝑠2 + 42)
𝜕𝑠2
𝜕 (
1
𝑠
+
𝑠
𝑠2 + 42)
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1
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1. ( 𝑠2 + 42) − 𝑠. 2𝑠
( 𝑠2 + 42)2
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1
𝑠2 +
𝑠2 + 42 − 2𝑠2
( 𝑠2 + 42)2
= −
1
𝑠2 +
42 − 𝑠2
( 𝑠2 + 42)2
1
2
𝜕2 (
1
𝑠
+
𝑠
𝑠2 + 42 )
𝜕𝑠2 =
1
2
𝜕 (−
1
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42 − 𝑠2
( 𝑠2 + 42)2)
𝜕𝑠
1
2
(
2
𝑠3 +
−2𝑠( 𝑠2 + 42) − (42 − 𝑠2)2( 𝑠2 + 42).2𝑠
( 𝑠2 + 42)4
)
3)
𝐿−1 {
𝑠2 − 2𝑠 + 2
( 𝑠 − 1)2( 𝑠+ 1)( 𝑠 − 2)
}
𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑠2 − 2𝑠 + 2
( 𝑠 − 1)2( 𝑠+ 1)( 𝑠 − 2)
=
𝐴
( 𝑠 − 1)
+
𝐵
( 𝑠 − 1)2 +
𝐶
( 𝑠 + 1)
+
𝐷
( 𝑠 − 2)
𝑠2 − 2𝑠 + 2 = 𝐴( 𝑠− 1)( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 2) + 𝐵( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 2) + 𝐶( 𝑠 − 1)2( 𝑠 − 2) + 𝐷( 𝑠 − 1)2(𝑠+ 1)
𝑠 = 1
12 − 2.1 + 2 = 𝐵(1 + 1)(1 − 2)
1 = −2𝐵
𝐵 = −
1
2
𝑠 = −1
(−1)2 − 2.(−1) + 2 = 𝐶(−1 − 1)2(−1 − 2)
5 = −12𝐶
𝐶 = −
5
12
𝑠 = 2
22 − 2.2 + 2 = 𝐷(2 − 1)2(2+ 1)
4 = 3𝐶
𝐷 = 4/3
𝑠 = 0
02 − 2.0 + 2 = 𝐴(0 − 1)(0 + 1)(0 − 2) −
1
2
(0 + 1)(0 − 2) −
5
12
(0 − 1)2(0 − 2) +
4
3
(0 − 1)2(0+ 1)
2 = 2𝐴 + 1 +
5
6
+
4
3
2 −
19
6
= 2𝐴
−
7
6
= 𝐴
𝐿−1 {
−
7
6
( 𝑠 − 1)
}+ 𝐿−1 {
−
1
2
( 𝑠 − 1)2}+ 𝐿−1 {
−
1
2
( 𝑠 + 1)
} + 𝐿−1 {
4
3
( 𝑠− 2)
}
= −
7
6
𝑒 𝑡 −
1
2
𝑡𝑒 𝑡 −
1
2
𝑒−𝑡 +
4
3
𝑒2𝑡
4-)
𝐿−1 {
1
𝑠3( 𝑠+ 1)2
}
𝐺( 𝑠) =
1
𝑠3 𝐹( 𝑠) =
1
( 𝑠 + 1)2
𝑔( 𝑡) =
1
2
𝐿−1 {
1.2
𝑠3
} =
1
2
𝑡2
𝑓( 𝑡) = 𝐿−1 {
1.2
( 𝑠 + 1)2
} = 𝑡𝑒−𝑡
𝑓( 𝜏) = 𝜏𝑒−𝜏
𝑔( 𝜏 − 𝑡) =
1
2
( 𝜏 − 𝑡)2 =
1
2
( 𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2)
𝐿−1 {
1
𝑠3( 𝑠 + 1)2
} =
1
2
∫( 𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2)
𝑡
0
𝜏𝑒−𝜏 𝜕𝜏
=
1
2
∫( 𝜏3 𝑒−𝜏 − 2𝜏2 𝑡𝑒−𝜏 + 𝜏𝑡2 𝑒−𝜏)
𝑡
0
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=
1
2
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𝑡
=
1
2
(−𝑡3 𝑒−𝑡 − 3𝑡2 𝑒−𝑡 − 6𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 2𝑡𝑡2 𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑡𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡
− (−03 𝑒−0 − 3.02 𝑒−0 − 6.0𝑒−0 − 6𝑒−0 + 2𝑡. 02 𝑒−0 + 4𝑡0𝑒−0 + 4𝑡𝑒−0 − 𝑡20𝑒−0
− 𝑡2 𝑒−𝑜))
=
1
2
(−𝑡3 𝑒−𝑡 − 3𝑡2 𝑒−𝑡 − 6𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 2𝑡3 𝑒−𝑡 + 4𝑡2 𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡3 𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡 + 6 − 4𝑡 + 𝑡2)
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  • 1. 1-)a-) 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠ℎ2} = 𝐿{ 𝑒2𝑡+𝑒−2𝑡 2 } = 1 2 ( 𝐿{ 𝑒2𝑡} + 𝐿{ 𝑒−2𝑡}) = 1 2 (lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒2𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒−2𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 ) = 1 2 (lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒(−𝑠+2) 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒(−𝑠−2) 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 ) = 1 2 ( lim 𝑏→∞ 𝑒(−𝑠+2) 𝑡 −𝑠 + 2 | 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ 𝑒(−𝑠−2) 𝑡 −𝑠 − 2 | 𝑏 0 ) = 1 2 ( 𝑒(−𝑠+2) 𝑏 −𝑠 + 2 − 𝑒(−𝑠+2)0 −𝑠 + 2 + 𝑒(−𝑠−2) 𝑏 −𝑠 − 2 − 𝑒(−𝑠−2)0 −𝑠 − 2 ) 𝑠𝑖 − 𝑠 + 2 < 0 𝑦 − 𝑠 − 2 < 0 𝑠 > 2 𝑠 > −2 = 1 2 (0 − 1 −𝑠 + 2 + 0 − 1 −𝑠 − 2 ) = 1 2 ( 1 𝑠 − 2 + 1 𝑠 + 2 ) = 1 2 ( 𝑠 + 2 + 𝑠 − 2 𝑠2 − 22 ) = 1 2 ( 2𝑠 𝑠2 − 22 ) = 𝑠 𝑠2 − 22 1-)b-) 𝐿{ 𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡} 𝐿 { 𝑡 𝑒3𝑡+𝑒−3𝑡 2 } 1 2 ( 𝐿{ 𝑡𝑒3𝑡} + 𝐿{ 𝑡 𝑒−3𝑡}) 1 2 (lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡𝑒3𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡 𝑒−3𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 ) 1 2 (lim 𝑏→∞ ∫ 𝑡𝑒(−𝑠+3) 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ∫ 𝑡𝑒(−𝑠−3) 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 ) 1 2 ( lim 𝑏→∞ ( 𝑡𝑒(−𝑠+3) 𝑡 −𝑠 + 3 − 𝑒(−𝑠+3) 𝑡 (−𝑠 + 3)2 )| 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ( 𝑡𝑒(−𝑠−72) 𝑡 −𝑠 − 72 − 𝑒(−𝑠−72) 𝑡 (−𝑠 − 72)2 )| 𝑏 0 )
  • 2. 1 2 ( lim 𝑏→∞ ( 𝑏𝑒(−𝑠+3) 𝑏 −𝑠 + 3 − 𝑒(−𝑠+3) 𝑏 (−𝑠 + 3)2 ) − ( 0𝑒(−𝑠+3)0 −𝑠 + 3 − 𝑒(−𝑠+3)0 (−𝑠 + 3)2 ) + lim 𝑏→∞ ( 𝑏𝑒(−𝑠−3) 𝑏 −𝑠 − 3 − 𝑒(−𝑠−3) 𝑏 (−𝑠 − 3)2 ) − ( 0𝑒(−𝑠−3)0 −𝑠 − 3 − 𝑒(−𝑠−3)0 (−𝑠 − 3)2 )) Ahora lim 𝑏→∞ ( 𝑏𝑒(−𝑠+3) 𝑏 −𝑠 + 3 − 𝑒(−𝑠+3) 𝑏 (−𝑠 + 3)2 ) 𝑠𝑖 − 𝑠 + 3 < 0 𝑠 > 3 (0.∞) lim 𝑏→∞ 𝑏 𝑒—𝑠+3 𝑏(−𝑠 + 3) ( ∞ ∞ ) 𝐿`𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 lim 𝑏→∞ ( 1 𝑒−(−𝑠+3) 𝑏(−(−𝑠+ 3)2) ) = 0 Ahora lim 𝑏→∞ ( 𝑏𝑒(−𝑠−3) 𝑏 −𝑠 − 3 − 𝑒(−𝑠−3) 𝑏 (−𝑠 − 3)2 ) 𝑠𝑖 − 𝑠 − 3 < 0 𝑠 > −3 (0.∞) lim 𝑏→∞ 𝑏 𝑒—(−𝑠−3) 𝑏(−𝑠− 3) ( ∞ ∞ ) 𝐿`𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 lim 𝑏→∞ 1 𝑒—𝑠−3 𝑏((−𝑠 − 3)2) = 0 3 1 2 ( 1 ( 𝑠 − 3)2 + 1 ( 𝑠 + 3)2 ) 2-)a-) 𝐿{ 𝑡2 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} 𝜕2 ( 𝑠 𝑠2 − 22) 𝜕𝑠2 𝜕 ( 𝑠 𝑠2 − 22) 𝜕𝑠 = 1.( 𝑠2 − 22) − 𝑠(2𝑠) ( 𝑠2 − 22)2 𝑠2 − 22 − 2𝑠2 ( 𝑠2 − 22)2 = −𝑠2 − 22 ( 𝑠2 − 22)2 𝜕2 ( 𝑠 𝑠2 − 22) 𝜕𝑠2 = 𝜕 ( −𝑠2 − 22 ( 𝑠2 − 22)2) 𝜕𝑠 −2𝑠( 𝑠2 − 22)2 − (−𝑠2 − 22)2( 𝑠2 − 22)2𝑠 ( 𝑠2 − 22)4
  • 3. −2𝑠( 𝑠2 − 22)(( 𝑠2 − 22) + 2(− 𝑠2 − 22)) ( 𝑠2 − 22)4 −2𝑠 ( 𝑠2 − 22 − 2𝑠2 − 2.22) ( 𝑠2 − 22)3 2-)b-) 𝐿{ 𝑒4𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡} = 𝐿{ 𝑠𝑒𝑛5𝑡}| 𝑠→𝑠−4 = 5 ( 𝑠 − 4)2 + 52 2-)c-) 𝐿{ 𝑡2 𝑐𝑜𝑠22𝑡} 𝜕2( 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠22𝑡}) 𝜕𝑠2 = 𝜕2 (𝐿{ 1 + cos4𝑡 2 }) 𝜕𝑠2 = 1 2 𝜕2( 𝐿{1}+ 𝐿{ cos4𝑡}) 𝜕𝑠2 = 1 2 𝜕2 ( 1 𝑠 + 𝑠 𝑠2 + 42) 𝜕𝑠2 𝜕 ( 1 𝑠 + 𝑠 𝑠2 + 42) 𝜕𝑠 = − 1 𝑠2 + 1. ( 𝑠2 + 42) − 𝑠. 2𝑠 ( 𝑠2 + 42)2 = − 1 𝑠2 + 𝑠2 + 42 − 2𝑠2 ( 𝑠2 + 42)2 = − 1 𝑠2 + 42 − 𝑠2 ( 𝑠2 + 42)2 1 2 𝜕2 ( 1 𝑠 + 𝑠 𝑠2 + 42 ) 𝜕𝑠2 = 1 2 𝜕 (− 1 𝑠2 + 42 − 𝑠2 ( 𝑠2 + 42)2) 𝜕𝑠 1 2 ( 2 𝑠3 + −2𝑠( 𝑠2 + 42) − (42 − 𝑠2)2( 𝑠2 + 42).2𝑠 ( 𝑠2 + 42)4 ) 3) 𝐿−1 { 𝑠2 − 2𝑠 + 2 ( 𝑠 − 1)2( 𝑠+ 1)( 𝑠 − 2) } 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
  • 4. 𝑠2 − 2𝑠 + 2 ( 𝑠 − 1)2( 𝑠+ 1)( 𝑠 − 2) = 𝐴 ( 𝑠 − 1) + 𝐵 ( 𝑠 − 1)2 + 𝐶 ( 𝑠 + 1) + 𝐷 ( 𝑠 − 2) 𝑠2 − 2𝑠 + 2 = 𝐴( 𝑠− 1)( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 2) + 𝐵( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 2) + 𝐶( 𝑠 − 1)2( 𝑠 − 2) + 𝐷( 𝑠 − 1)2(𝑠+ 1) 𝑠 = 1 12 − 2.1 + 2 = 𝐵(1 + 1)(1 − 2) 1 = −2𝐵 𝐵 = − 1 2 𝑠 = −1 (−1)2 − 2.(−1) + 2 = 𝐶(−1 − 1)2(−1 − 2) 5 = −12𝐶 𝐶 = − 5 12 𝑠 = 2 22 − 2.2 + 2 = 𝐷(2 − 1)2(2+ 1) 4 = 3𝐶 𝐷 = 4/3 𝑠 = 0 02 − 2.0 + 2 = 𝐴(0 − 1)(0 + 1)(0 − 2) − 1 2 (0 + 1)(0 − 2) − 5 12 (0 − 1)2(0 − 2) + 4 3 (0 − 1)2(0+ 1) 2 = 2𝐴 + 1 + 5 6 + 4 3 2 − 19 6 = 2𝐴 − 7 6 = 𝐴 𝐿−1 { − 7 6 ( 𝑠 − 1) }+ 𝐿−1 { − 1 2 ( 𝑠 − 1)2}+ 𝐿−1 { − 1 2 ( 𝑠 + 1) } + 𝐿−1 { 4 3 ( 𝑠− 2) } = − 7 6 𝑒 𝑡 − 1 2 𝑡𝑒 𝑡 − 1 2 𝑒−𝑡 + 4 3 𝑒2𝑡 4-) 𝐿−1 { 1 𝑠3( 𝑠+ 1)2 } 𝐺( 𝑠) = 1 𝑠3 𝐹( 𝑠) = 1 ( 𝑠 + 1)2
  • 5. 𝑔( 𝑡) = 1 2 𝐿−1 { 1.2 𝑠3 } = 1 2 𝑡2 𝑓( 𝑡) = 𝐿−1 { 1.2 ( 𝑠 + 1)2 } = 𝑡𝑒−𝑡 𝑓( 𝜏) = 𝜏𝑒−𝜏 𝑔( 𝜏 − 𝑡) = 1 2 ( 𝜏 − 𝑡)2 = 1 2 ( 𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2) 𝐿−1 { 1 𝑠3( 𝑠 + 1)2 } = 1 2 ∫( 𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2) 𝑡 0 𝜏𝑒−𝜏 𝜕𝜏 = 1 2 ∫( 𝜏3 𝑒−𝜏 − 2𝜏2 𝑡𝑒−𝜏 + 𝜏𝑡2 𝑒−𝜏) 𝑡 0 𝜕𝜏 = 1 2 (−𝜏3 𝑒−𝜏 − 3𝜏2 𝑒−𝜏 − 6𝜏𝑒−𝜏 − 6𝑒−𝜏 − 2𝑡(−𝜏2 𝑒−𝜏 − 2𝜏𝑒−𝜏 − 2𝑒−𝜏)+ 𝑡2(−𝜏𝑒−𝜏 − 𝑒−𝜏))|0 𝑡 = 1 2 (−𝑡3 𝑒−𝑡 − 3𝑡2 𝑒−𝑡 − 6𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 2𝑡𝑡2 𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑡𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡 − (−03 𝑒−0 − 3.02 𝑒−0 − 6.0𝑒−0 − 6𝑒−0 + 2𝑡. 02 𝑒−0 + 4𝑡0𝑒−0 + 4𝑡𝑒−0 − 𝑡20𝑒−0 − 𝑡2 𝑒−𝑜)) = 1 2 (−𝑡3 𝑒−𝑡 − 3𝑡2 𝑒−𝑡 − 6𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 2𝑡3 𝑒−𝑡 + 4𝑡2 𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡3 𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡 + 6 − 4𝑡 + 𝑡2) = 1 2 (−2𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 𝑒−𝑡 + 6 − 4𝑡 + 𝑡2)