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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERIAS EN CIENCIAS
APLICADAS
INGENIERÍA TEXTIL
CÁLCULO DE UNA VARIABLE
INTEGRALES IMPROPIAS
NOMBRE: Cristian Estévez
DOCENTE: MSc. Luis Chamorro
FECHA: 27 de Enero del 2018
TEMA: Integrales Impropias
Ibarra, 2017 – 2018
En los ejercicios 15 a 32, determinar si la integral impropia es divergente o convergente.
Evaluar la integral si es convergente.
15. ∫
𝟏
𝒙 𝟐
∞
𝟏
𝒅𝒙 𝑦 =
1
𝑥2
lim
𝑏→∞
∫
𝑑𝑥
1
𝑏
1
x y
lim
𝑏→∞
[−
1
𝑥
]b
1 1 1
lim
𝑏→∞
[−
1
𝑏
− (−
1
1
)] 2 0.25
𝐴 = [−
1
∞
+ 1] 3 0.11
𝐴 = 1 𝑢2
Convergente 4 0.06
16. ∫
𝟓
𝒙 𝟑
∞
𝟏
𝒅𝒙 𝑦 =
𝟓
𝒙 𝟑
lim
𝑏→∞
5∫
𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝒃
𝟏
x y
lim
𝑏→∞
[−
5
2𝑥2
]b
1 1 5
lim
𝑏→∞
[−
5
2𝑏2 − (−
5
2(12)
)] 2 0,625
A = [−
5
2∞2 + 2,5] 3 0,185
A = 2,5 𝑢2
Converge 4 0,078
17. ∫
𝟑
√ 𝒙𝟑
∞
𝟏
𝒅𝒙 𝑦 =
3
√ 𝑥3
lim
𝑏→∞
∫
3
√ 𝑥3
𝑏
1
𝑑𝑥 x y
lim
𝑏→∞
3 ∫ 𝑥
−
1
3
𝑏
1
𝑑𝑥 1 9
lim
𝑏→∞
[
9
2 √𝑥23 ]b
1 2 2,38
lim
𝑏→∞
[
9 √𝑥23
2
−
9 √𝑥23
2
]b
1 3 2,08
lim
𝑏→∞
[
9 √𝑏23
2
−
9 √123
2
] 4 1,88
𝐴 = [
9√∞23
2
− 4,5]
𝐴 =[ 𝐼𝑁𝐷 − 4,5]
lim
𝑏→∞
[
9 √𝑏23
2
−
9 √123
2
]
lim
𝑏→∞
[
18
6 √ 𝑏3 −
9 √123
2
]
lim
𝑏→∞
[
18
6 √∞3 −
9 √123
2
]
|𝐴| = 4,5𝑢2
Converge
18. ∫
𝟒
√ 𝒙𝟒
∞
𝟏
𝒅𝒙 𝒚 =
𝟒
√ 𝒙𝟒
lim
𝑏→∞
4 ∫ 𝑥
−
1
4
𝑏
1
𝑑𝑥 x y
lim
𝑏→∞
[
4𝑥
3
4
3
]b
1 1 4
lim
𝑏→∞
[
4𝑏
3
4
3
−
4(1)
3
4
3
] 2 3,36
lim
𝑏→∞
[
4(∞)
3
4
3
−
4(1)
3
4
3
] 3 3,30
lim
𝑏→∞
[ 𝐼𝑁𝐷 −
4(1)
3
4
3
] 4 2,82
lim
𝑏→∞
[
4𝑏
3
4
3
−
4(1)
3
4
3
]
lim
𝑏→∞
[
12
12𝑏
1
4
−
4(1)
3
4
3
]
𝐴 = [
12
12(∞)
1
4
−
4 √134
3
]
𝐴 = 1.33𝑢2
Converge
19. ∫ 𝒙𝒆−𝟐𝒙
𝒅𝒙
𝟎
−∞
lim
𝑎→−∞
∫ 𝑥𝑒−2𝑥
𝑑𝑥
0
𝑎
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒−2𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = −
𝑒−2𝑥
2
lim
𝑎→−∞
−
𝑥𝑒−2𝑥
2
− ∫ −
0
𝑎
𝑒−2𝑥
2
𝑑𝑥
lim
𝑎→−∞
[−
𝑥𝑒−2𝑥
2
−
𝑒−2𝑥
4
]0
a
lim
𝑎→−∞
[−
𝑒−2𝑎2
2
−
𝑒−2𝑎
4
] − [−
(0)𝑒0
2
−
𝑒0
4
]
𝐴 =[∞ +
1
4
]
𝐴 = ∞
20. ∫ 𝑥𝑒
−
𝑥
2
∞
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
∫ 𝑥𝑒
−
𝑥
2
𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[−2𝑒
−
𝑥
2( 𝑥 + 2)]b
0
lim
𝑏→∞
[−
2( 𝑏 + 2)
𝑒
𝑏
2
+
2(0 + 2)
𝑒
0
2
]
𝐴 = [
∞
∞
+ 4]
lim
𝑏→∞
[−
2( 𝑏 + 2)
𝑒
𝑏
2
+ 4]
lim
𝑏→∞
[−
4
𝑒
𝑏
2
+ 4]
𝐴 = [
4
∞
+ 4]
𝐴 = 4 Converge
21. ∫ 𝑥2∞
0
𝑒−𝑥
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
∫ 𝑥2
𝑏
0
𝑒−𝑥 𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[− 𝑒−𝑥 ( 𝑥2 +2𝑥+2)]b
0
lim
𝑏→∞
[− 𝑒−𝑏 ( 𝑏
2
+2𝑏 +2) + 𝑒−0 (0
2
+2(0)+2)]
lim
𝑏→∞
[−
∞2 +2∞+2
𝑒∞ +2]
lim
𝑏→∞
[−
∞
∞+2]
lim
𝑏→∞
[𝐼𝑁𝐷 +2]
lim
𝑏→∞
[ 𝑒−𝑏 (2𝑏
2
+2𝑏+2) +2]
lim
𝑏→∞
[ 𝑒−𝑏 𝑏
2
+2]
lim
𝑏→∞
[𝐼𝑁𝐷 +2]
lim
𝑏→∞
[ 𝑒−𝑏 𝑏
2
+2]
lim
𝑏→∞
[− 𝑒−𝑏(𝑏−2)+2]
𝐴 = 2 Converge
22. ∫ ( 𝒙 − 𝟏) 𝒆−𝒙∞
𝟎
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫ ( 𝑥 − 1) 𝑒−𝑥𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑏
0
𝑑𝑥 − ∫ 𝑒−𝑥𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[
𝑒𝑥2
2
−
𝑥2
2
− 𝑒𝑥]b
0
lim
𝑏→∞
[
𝑒𝑏2
2
−
𝑏2
2
− 𝑒𝑥 −
𝑒(0)2
2
+
02
2
+ 𝑒0]
𝐴 = [
∞
2
−
∞
2
− ∞]
𝐴 = ∞
23. ∫ 𝒆−𝒙∞
𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑥𝑏
0 cos 𝑥 𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑒−𝑥(sin 𝑥 − cos 𝑥)]b
0
lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑒−𝑏(sin 𝑏 − cos 𝑏) − 1
2
𝑒0(sin 0 − cos0)]
lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑒−∞(sin∞ − cos∞) + 1
2
]
𝐴 = [
sin ∞−cos∞
𝑒∞ + 1
2
]
𝐴 =
1
2
Converge
24. ∫ 𝒆−𝒂𝒙∞
𝟎
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒅𝒙, 𝒂 > 𝟎
lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑎𝑥
𝑏
0
sin 𝑥 𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑎𝑥(𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑎2+1
]b
0
lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑎𝑏( 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏+𝑐𝑜𝑠𝑏)
𝑎2+1
+
𝑒−𝑎0(𝑎𝑠𝑖𝑛0+𝑐𝑜𝑠0)
𝑎2+1
]
lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑎𝑏( 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏+𝑐𝑜𝑠𝑏)
𝑎2+1
+
1
𝑎2+1
]
𝐴 = [−
( 𝑎𝑠𝑖𝑛∞+𝑐𝑜𝑠∞)
(𝑎2+1)(𝑒 𝑎∞)
+
1
𝑎2+1
]
𝐴 =
1
𝑎2+1
25. ∫
𝟏
𝒙(𝑰𝒏𝒙) 𝟑
∞
𝟒
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫
1
𝑥(𝐼𝑛𝑥)3
𝑏
4
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[−
1
2 𝑙𝑛2 𝑥
]b
4
lim
𝑏→∞
[−
1
2 𝑙𝑛2 𝑏
+
1
2 𝑙𝑛2(4)
]
𝐴 = [−
1
2 𝑙𝑛2∞
+
1
2 𝑙𝑛2(4)
]
𝐴 =
1
2 𝑙𝑛2(4)
𝐴 =
1
2 𝑙𝑛2(4)
𝐴 = 7,68 𝑢2
Converge
26. ∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙
∞
𝟏
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙
𝒃
𝟏
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
[
𝑙𝑛2 𝑥
2
]b
1
lim
𝑏→∞
[
𝑙𝑛2
𝑏
2
−
𝑙𝑛2
1
2
]
𝐴 = [
∞
2
]
𝐴 = ∞ Divergente
27.∫
𝟐
𝟒+𝒙 𝟐
∞
−∞
𝒅𝒙
lim
𝑎→−∞
2∫
𝒅𝒙
𝟒+𝒙 𝟐
𝟎
𝒂 + lim
𝑏→∞
2∫
𝒅𝒙
𝟒+𝒙 𝟐
𝒃
𝟎
lim
𝑎→−∞
2∫
𝒅𝒗
𝒂 𝟐+𝒗 𝟐
𝟎
𝒂 + lim
𝑏→∞
2∫
𝒅𝒗
𝒂 𝟐+𝒗 𝟐
𝒃
𝟎
lim
𝑎→−∞
[
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑣
𝑎
]0
a +lim
𝑏→∞
[
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑣
𝑎
]b
0
lim
𝑎→−∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑥
𝑎
]0
a + lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑥
𝑎
]b
0
lim
𝑎→−∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
0
𝑎
−
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑎
𝑎
] +lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑏
𝑎
−
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
0
𝑎
]
𝐴 = [−
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
−∞
𝑎
+
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔∞]
𝐴 =
𝜋
4
𝐴 =
𝜋
8
Converge
28. ∫
𝒙 𝟑
(𝒙 𝟐+𝟏) 𝟐
∞
𝟎
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫
𝑥3
(𝑥2 + 1)2
𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[
1
2
(
1
𝑥2+1
+ ln(𝑥2
+ 1))]b
0
lim
𝑏→∞
[
1
2
(
1
𝑏2 + 1
+ ln( 𝑏2
+ 1) −
1
2
(
1
02 + 1
+ ln(02
+ 1)))]
𝐴 = [
1
2∞2 + 1
+ ln(∞2
+ 1) −
1
2
]
𝐴 = ln ∞ −
1
2
𝐴 =
𝜋
2
−
1
2
𝐴 =
𝜋 − 1
2
𝐴 = 1.07𝑢2
Converge
29. ∫
𝟏
𝒆 𝒙+𝒆−𝒙
∞
𝟎
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫
1
𝑒 𝑥+𝑒−𝑥
𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒 𝑥
)]b
0
lim
𝑏→∞
[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒 𝑏
) − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒0
)]
𝐴 = [ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 ( 𝑒∞) − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒0
)]
𝐴 = ∞ − 1
𝐴 =
𝜋
2
− 1
𝐴 = 0,57 𝑢2
Converge
30. ∫
𝒆 𝒙
𝟏+𝒆 𝒙 𝒅𝒙
∞
𝟎
lim
𝑏→∞
∫
𝑒 𝑥
1+𝑒 𝑥 𝑑𝑥∞
0
lim
𝑏→∞
[ln ( 𝑒 𝑥 +1)]b
0
lim
𝑏→∞
[ln ( 𝑒 𝑏 +1) − ln ( 𝑒0 +1)]
lim
𝑏→∞
[ln ( 𝑒∞
+1) − ln(2)]
𝐴 = ∞ −
𝜋
5
𝐴 =
𝜋
2
−
𝜋
5
𝐴 =
3𝜋
10
𝐴 = 0,94 𝑢2
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
31. ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝝅𝒙 𝒅𝒙
∞
𝟎
∫
𝑒 𝑥
1 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
∞
0
lim
𝑏→∞
∫ cos 𝜋𝑥 𝑑𝑥
𝑏
0
lim
𝑏→∞
[
1
𝑒 𝑥
]b
0
lim
𝑏→∞
[
1
𝑒 𝑏
−
1
𝑒 𝑜
]
𝐴 = [−
1
∞
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𝐴 =1

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  • 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERIAS EN CIENCIAS APLICADAS INGENIERÍA TEXTIL CÁLCULO DE UNA VARIABLE INTEGRALES IMPROPIAS NOMBRE: Cristian Estévez DOCENTE: MSc. Luis Chamorro FECHA: 27 de Enero del 2018 TEMA: Integrales Impropias Ibarra, 2017 – 2018
  • 2. En los ejercicios 15 a 32, determinar si la integral impropia es divergente o convergente. Evaluar la integral si es convergente. 15. ∫ 𝟏 𝒙 𝟐 ∞ 𝟏 𝒅𝒙 𝑦 = 1 𝑥2 lim 𝑏→∞ ∫ 𝑑𝑥 1 𝑏 1 x y lim 𝑏→∞ [− 1 𝑥 ]b 1 1 1 lim 𝑏→∞ [− 1 𝑏 − (− 1 1 )] 2 0.25 𝐴 = [− 1 ∞ + 1] 3 0.11 𝐴 = 1 𝑢2 Convergente 4 0.06
  • 3. 16. ∫ 𝟓 𝒙 𝟑 ∞ 𝟏 𝒅𝒙 𝑦 = 𝟓 𝒙 𝟑 lim 𝑏→∞ 5∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝒃 𝟏 x y lim 𝑏→∞ [− 5 2𝑥2 ]b 1 1 5 lim 𝑏→∞ [− 5 2𝑏2 − (− 5 2(12) )] 2 0,625 A = [− 5 2∞2 + 2,5] 3 0,185 A = 2,5 𝑢2 Converge 4 0,078
  • 4. 17. ∫ 𝟑 √ 𝒙𝟑 ∞ 𝟏 𝒅𝒙 𝑦 = 3 √ 𝑥3 lim 𝑏→∞ ∫ 3 √ 𝑥3 𝑏 1 𝑑𝑥 x y lim 𝑏→∞ 3 ∫ 𝑥 − 1 3 𝑏 1 𝑑𝑥 1 9 lim 𝑏→∞ [ 9 2 √𝑥23 ]b 1 2 2,38 lim 𝑏→∞ [ 9 √𝑥23 2 − 9 √𝑥23 2 ]b 1 3 2,08 lim 𝑏→∞ [ 9 √𝑏23 2 − 9 √123 2 ] 4 1,88 𝐴 = [ 9√∞23 2 − 4,5] 𝐴 =[ 𝐼𝑁𝐷 − 4,5] lim 𝑏→∞ [ 9 √𝑏23 2 − 9 √123 2 ] lim 𝑏→∞ [ 18 6 √ 𝑏3 − 9 √123 2 ] lim 𝑏→∞ [ 18 6 √∞3 − 9 √123 2 ] |𝐴| = 4,5𝑢2 Converge
  • 5. 18. ∫ 𝟒 √ 𝒙𝟒 ∞ 𝟏 𝒅𝒙 𝒚 = 𝟒 √ 𝒙𝟒 lim 𝑏→∞ 4 ∫ 𝑥 − 1 4 𝑏 1 𝑑𝑥 x y lim 𝑏→∞ [ 4𝑥 3 4 3 ]b 1 1 4 lim 𝑏→∞ [ 4𝑏 3 4 3 − 4(1) 3 4 3 ] 2 3,36 lim 𝑏→∞ [ 4(∞) 3 4 3 − 4(1) 3 4 3 ] 3 3,30 lim 𝑏→∞ [ 𝐼𝑁𝐷 − 4(1) 3 4 3 ] 4 2,82 lim 𝑏→∞ [ 4𝑏 3 4 3 − 4(1) 3 4 3 ] lim 𝑏→∞ [ 12 12𝑏 1 4 − 4(1) 3 4 3 ] 𝐴 = [ 12 12(∞) 1 4 − 4 √134 3 ] 𝐴 = 1.33𝑢2 Converge
  • 6. 19. ∫ 𝒙𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟎 −∞ lim 𝑎→−∞ ∫ 𝑥𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 0 𝑎 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = − 𝑒−2𝑥 2 lim 𝑎→−∞ − 𝑥𝑒−2𝑥 2 − ∫ − 0 𝑎 𝑒−2𝑥 2 𝑑𝑥 lim 𝑎→−∞ [− 𝑥𝑒−2𝑥 2 − 𝑒−2𝑥 4 ]0 a lim 𝑎→−∞ [− 𝑒−2𝑎2 2 − 𝑒−2𝑎 4 ] − [− (0)𝑒0 2 − 𝑒0 4 ] 𝐴 =[∞ + 1 4 ] 𝐴 = ∞
  • 7. 20. ∫ 𝑥𝑒 − 𝑥 2 ∞ 0 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ ∫ 𝑥𝑒 − 𝑥 2 𝑏 0 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ [−2𝑒 − 𝑥 2( 𝑥 + 2)]b 0 lim 𝑏→∞ [− 2( 𝑏 + 2) 𝑒 𝑏 2 + 2(0 + 2) 𝑒 0 2 ] 𝐴 = [ ∞ ∞ + 4] lim 𝑏→∞ [− 2( 𝑏 + 2) 𝑒 𝑏 2 + 4] lim 𝑏→∞ [− 4 𝑒 𝑏 2 + 4] 𝐴 = [ 4 ∞ + 4] 𝐴 = 4 Converge
  • 8. 21. ∫ 𝑥2∞ 0 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ ∫ 𝑥2 𝑏 0 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ [− 𝑒−𝑥 ( 𝑥2 +2𝑥+2)]b 0 lim 𝑏→∞ [− 𝑒−𝑏 ( 𝑏 2 +2𝑏 +2) + 𝑒−0 (0 2 +2(0)+2)] lim 𝑏→∞ [− ∞2 +2∞+2 𝑒∞ +2] lim 𝑏→∞ [− ∞ ∞+2] lim 𝑏→∞ [𝐼𝑁𝐷 +2] lim 𝑏→∞ [ 𝑒−𝑏 (2𝑏 2 +2𝑏+2) +2] lim 𝑏→∞ [ 𝑒−𝑏 𝑏 2 +2] lim 𝑏→∞ [𝐼𝑁𝐷 +2] lim 𝑏→∞ [ 𝑒−𝑏 𝑏 2 +2] lim 𝑏→∞ [− 𝑒−𝑏(𝑏−2)+2] 𝐴 = 2 Converge
  • 9. 22. ∫ ( 𝒙 − 𝟏) 𝒆−𝒙∞ 𝟎 𝒅𝒙 lim 𝑏→∞ ∫ ( 𝑥 − 1) 𝑒−𝑥𝑏 0 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑏 0 𝑑𝑥 − ∫ 𝑒−𝑥𝑏 0 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ [ 𝑒𝑥2 2 − 𝑥2 2 − 𝑒𝑥]b 0 lim 𝑏→∞ [ 𝑒𝑏2 2 − 𝑏2 2 − 𝑒𝑥 − 𝑒(0)2 2 + 02 2 + 𝑒0] 𝐴 = [ ∞ 2 − ∞ 2 − ∞] 𝐴 = ∞ 23. ∫ 𝒆−𝒙∞ 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑥𝑏 0 cos 𝑥 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ [ 1 2 𝑒−𝑥(sin 𝑥 − cos 𝑥)]b 0 lim 𝑏→∞ [ 1 2 𝑒−𝑏(sin 𝑏 − cos 𝑏) − 1 2 𝑒0(sin 0 − cos0)] lim 𝑏→∞ [ 1 2 𝑒−∞(sin∞ − cos∞) + 1 2 ] 𝐴 = [ sin ∞−cos∞ 𝑒∞ + 1 2 ] 𝐴 = 1 2 Converge
  • 10. 24. ∫ 𝒆−𝒂𝒙∞ 𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒅𝒙, 𝒂 > 𝟎 lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑎𝑥 𝑏 0 sin 𝑥 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ [− 𝑒−𝑎𝑥(𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑎2+1 ]b 0 lim 𝑏→∞ [− 𝑒−𝑎𝑏( 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏+𝑐𝑜𝑠𝑏) 𝑎2+1 + 𝑒−𝑎0(𝑎𝑠𝑖𝑛0+𝑐𝑜𝑠0) 𝑎2+1 ] lim 𝑏→∞ [− 𝑒−𝑎𝑏( 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏+𝑐𝑜𝑠𝑏) 𝑎2+1 + 1 𝑎2+1 ] 𝐴 = [− ( 𝑎𝑠𝑖𝑛∞+𝑐𝑜𝑠∞) (𝑎2+1)(𝑒 𝑎∞) + 1 𝑎2+1 ] 𝐴 = 1 𝑎2+1 25. ∫ 𝟏 𝒙(𝑰𝒏𝒙) 𝟑 ∞ 𝟒 𝒅𝒙 lim 𝑏→∞ ∫ 1 𝑥(𝐼𝑛𝑥)3 𝑏 4 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ [− 1 2 𝑙𝑛2 𝑥 ]b 4 lim 𝑏→∞ [− 1 2 𝑙𝑛2 𝑏 + 1 2 𝑙𝑛2(4) ] 𝐴 = [− 1 2 𝑙𝑛2∞ + 1 2 𝑙𝑛2(4) ] 𝐴 = 1 2 𝑙𝑛2(4)
  • 11. 𝐴 = 1 2 𝑙𝑛2(4) 𝐴 = 7,68 𝑢2 Converge 26. ∫ 𝒍𝒏𝒙 𝒙 ∞ 𝟏 𝒅𝒙 lim 𝑏→∞ ∫ 𝒍𝒏𝒙 𝒙 𝒃 𝟏 𝒅𝒙 lim 𝑏→∞ [ 𝑙𝑛2 𝑥 2 ]b 1
  • 13. 27.∫ 𝟐 𝟒+𝒙 𝟐 ∞ −∞ 𝒅𝒙 lim 𝑎→−∞ 2∫ 𝒅𝒙 𝟒+𝒙 𝟐 𝟎 𝒂 + lim 𝑏→∞ 2∫ 𝒅𝒙 𝟒+𝒙 𝟐 𝒃 𝟎 lim 𝑎→−∞ 2∫ 𝒅𝒗 𝒂 𝟐+𝒗 𝟐 𝟎 𝒂 + lim 𝑏→∞ 2∫ 𝒅𝒗 𝒂 𝟐+𝒗 𝟐 𝒃 𝟎 lim 𝑎→−∞ [ 1 𝑎 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑣 𝑎 ]0 a +lim 𝑏→∞ [ 1 𝑎 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑣 𝑎 ]b 0 lim 𝑎→−∞ [ 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 𝑎 ]0 a + lim 𝑏→∞ [ 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 𝑎 ]b 0 lim 𝑎→−∞ [ 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 0 𝑎 − 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑎 𝑎 ] +lim 𝑏→∞ [ 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑏 𝑎 − 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 0 𝑎 ] 𝐴 = [− 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 −∞ 𝑎 + 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔∞] 𝐴 = 𝜋 4 𝐴 = 𝜋 8 Converge
  • 14. 28. ∫ 𝒙 𝟑 (𝒙 𝟐+𝟏) 𝟐 ∞ 𝟎 𝒅𝒙 lim 𝑏→∞ ∫ 𝑥3 (𝑥2 + 1)2 𝑏 0 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ [ 1 2 ( 1 𝑥2+1 + ln(𝑥2 + 1))]b 0 lim 𝑏→∞ [ 1 2 ( 1 𝑏2 + 1 + ln( 𝑏2 + 1) − 1 2 ( 1 02 + 1 + ln(02 + 1)))] 𝐴 = [ 1 2∞2 + 1 + ln(∞2 + 1) − 1 2 ] 𝐴 = ln ∞ − 1 2 𝐴 = 𝜋 2 − 1 2 𝐴 = 𝜋 − 1 2 𝐴 = 1.07𝑢2 Converge
  • 15. 29. ∫ 𝟏 𝒆 𝒙+𝒆−𝒙 ∞ 𝟎 𝒅𝒙 lim 𝑏→∞ ∫ 1 𝑒 𝑥+𝑒−𝑥 𝑏 0 𝑑𝑥 lim 𝑏→∞ [ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒 𝑥 )]b 0 lim 𝑏→∞ [𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒 𝑏 ) − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒0 )] 𝐴 = [ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 ( 𝑒∞) − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒0 )] 𝐴 = ∞ − 1 𝐴 = 𝜋 2 − 1 𝐴 = 0,57 𝑢2 Converge
  • 16. 30. ∫ 𝒆 𝒙 𝟏+𝒆 𝒙 𝒅𝒙 ∞ 𝟎 lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒 𝑥 1+𝑒 𝑥 𝑑𝑥∞ 0 lim 𝑏→∞ [ln ( 𝑒 𝑥 +1)]b 0 lim 𝑏→∞ [ln ( 𝑒 𝑏 +1) − ln ( 𝑒0 +1)] lim 𝑏→∞ [ln ( 𝑒∞ +1) − ln(2)] 𝐴 = ∞ − 𝜋 5 𝐴 = 𝜋 2 − 𝜋 5 𝐴 = 3𝜋 10 𝐴 = 0,94 𝑢2 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 31. ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝝅𝒙 𝒅𝒙 ∞ 𝟎 ∫ 𝑒 𝑥 1 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∞ 0 lim 𝑏→∞ ∫ cos 𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑏 0 lim 𝑏→∞ [ 1 𝑒 𝑥 ]b 0