Das Dokument enthält eine Reihe von 28 Übungen zur Berechnung unbestimmter Integrale. Jede Übung beschreibt eine spezifische Integrationsaufgabe, die mit verschiedenen mathematischen Techniken angegangen wird. Die Aufgaben variieren in ihrer Komplexität und behandeln unterschiedliche Funktionen und Konzepte der Analysis.

1. 1 / 18
BÀI TẬP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.
( )
2
2 2
4
1 1
arctan
4 2 4 2 2
d x
xdx x
C
x x
+
= = +
+ +
 
2.
( )( ) ( ) ( )
2 4 2 2
1 1 1 1 1 1
ln
1 1 2 1 2 1 2 1
dx dx x
dx C
x x x x x x x x x x
  +
= = − + = − + +
 
− + − + − −
 
  
3.
4
4 3
3
4ln3
x
x
dx C
= +

4.
2
sin
4 cos
x
dx
x
+

Đặt cos sin
t x dt xdx
=  = −
2 2
2 2
sin
ln 4 ln cos 4 cos
4 cos 4
x dt
dx t t C x x C
x t
= − = − + + + = − + + +
+ +
 
5. 2
2
1 1 2
arctan
7
4 7 4 2 7 7
4
dx dx x
C
x x
= = +
+ +
 
6.
2
2
1
arcsin
1
1 1
x
x
x
x
e dx dx
C
e
e
e
= =  +
− −
 
7. arccos xdx

Đặt 2
arccos
1
dx
du
u x
x
dv dx
v x

=
=
 
 −
 
=
  =

( )
2
2
2 2
1
1
arccos arccos arccos arccos 1
2
1 1
d x
xdx
xdx x x x x x x x C
x x
−
= + = − = − − +
− −
  
8. arctan
x xdx

Đặt
2
2
arctan 1
2
dx
du
u x x
dv xdx x
v

=

=
  +

 
=
  =


( )
( )
2 2 2
2 2
2
2
arctan 1 arctan 1 1
arctan 1
2 2 1 2 2 1
1 arctan
arctan 1
arctan
2 2 2
x x x dx x x
x xdx dx
x x
x x x
x x
x x C C
 
= − = − −
 
+ +
 
+ −
= − − + = +
  

2. 2 / 18
9.
( )
2
1
x
xe dx
x +

Đặt
( )
( ) ( )
2
1
1
1 1
x x x x
u xe du e xe dx x e dx
dx
dv v
x x
 =  = + = +
 

  −
= =
 
+ +


( )
2
1 1 1
1
x x x x
x x
xe dx xe xe e
e dx e C C
x x x
x
= − + = − + + = +
+ + +
+
 
10.
arcsin
1
x
dx
x
−

Đặt
arcsin
2 1
2 1
1
dx
u x du
x x
dx
dv
v x
x
 
= =
 
−

 
=
  = − −
−
 
arcsin
2 1 arcsin 2 1 arcsin 2
1
x dx
dx x x x x x C
x x
= − − + = − − + +
−
 
11.
( )
2
2
2 2 2 2
1
1
1 1 2 1 3 1 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 3
2 4
d x
d x x
x x dx
dx dx
x x x x x x x x
x
 
+
 
+ +
− +  
= − = −
+ + + + + + + +  
+ +
 
 
    
( )
2 2
1
1 3 2 1 2 1
2
ln 1 . arctan ln 1 3arctan
2 2 2
3 3 3
2
x
x
x x C x x C
 
+
  +
 
 
= + + − + = + + − +
 
   
 
 
12.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 3 1
2 1 2 2 1
2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 1 2
d x x d x
x x dx
dx dx dx
x x x x x x x x x
+ + +
+ +
= + = +
 
+ + + + + + + + + +
 
    
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
1 1 1
4 2 3
2 2 3 1 2
1 1 1 1
arctan
4 2 3 2 2
d x
x
C
x x
x x x
x x
C
x x
 
+
+
= − + + +
 
+ +
+ + + +
 
 
 
− +
 
= + +
 
 
+ +  
 

13.
( )( )
2
1 1 1 1 1
ln
4 5 1 5 6 1 5 6 5
−
 
= = − = +
 
+ − − + − + +
 
  
dx dx x
dx C
x x x x x x x
14.
( )( )
2
1 1 1 1 4
ln
1 4 3 4 1 3 1
5 4
dx dx x
dx C
x x x x x
x x
−
 
= = − = +
 
− − − − −
− +  
  

3. 3 / 18
15. 4 2
6 13
xdx
x x
+ +

Đặt 2
1 2
t x dt xdx
= +  =
( )
( )
( )
2
2 2
4 2
2
1 1 1 2 1 3
arctan arctan
6 13 2 2 4 2 4 2
2 4 2 4
d t
xdx dt t x
C C
x x t t
+ + +
= = = + = +
+ + + + + +
  
16.
( )( ) ( ) ( )
2 2
3 2
2 1 2 1 1 7 17
5 6 2 3 6 2 2 3 3
x x
dx dx dx
x x x x x x x x x
 
− −
= = − − +
 
− + − − − −
 
  
ln 7ln 2 17ln 3
6 2 3
x x x
C
− −
= − − + +
17.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
7ln 2 20ln 1
3 2 1 7 20 4 4
9 2 9 1 9 9 3 3
1 2 3 1
x x
x x
dx dx C
x x x
x x x
  + −
+ −
= + + = + − +
 
+ − −
− + −
 
 
 
18.
2 2 2
2 2
4
2 2 2
2 2 2
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 2 2
1 1
2 2
d x d x
dx x x
x x x
dx dx dx
x x x x x x
x x x x x
   
− +
+ −    
   
= = − = −
+    
+ + + − + + −
   
   
     
2 2
2
1 1
2
1 1
arctan ln
1
2 2 2 4 2 2
1 1 1 2 1
arctan ln
2 2 2 4 2 2 1
x x
x x C
x
x
x x x
C
x x x
 
− + −
 
= − +
 
  + +
 
 
− − +
= − +
 
+ +
 
19.
( )( ) ( ) ( )
3 2
3 2
1 6 1 1 9 28
1 1
5 6 2 3 6 2 2 3 3
x x x
dx dx dx
x x x x x x x x x
   
+ − +
= + = + − +
   
− + − − − −
   
  
ln 9ln 2 28ln 3
6 2 3
x x x
x C
− −
= + − + +
20.
( )( ) ( ) ( )
2 2
4 2 2 2 2 2
5 4 5 4 16 1 1
arctan arctan
5 4 3 2
1 4 3 4 3 1
x x x
dx dx dx x C
x x x x x x
 
+ +  
 
= = − = − +
 
+ + + + + +  
 
 
  
21.
( )( ) ( ) ( )
3 2
2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 3
1 3 1 1 3 1
1 1 2 1 2 1
dx dx x x
dx dx
x x x x x
x x x x x x x
 
− −
 
 
= = − = − +
 
+ + − + +
+ − + − + − +
   
 
   
( )
( )
2
2
2 2 2
2
1
1
1 1 2 1 1 1 1 1 2
3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3
2 4
ln 1
ln 1 2 1
2 3arctan
3 6 3
d x
d x x
dx x dx dx
dx
x x x x x x x x
x
x x
x x
C
 
−
 
− +
−  
= − + = − +
+ − + − + + − +  
− +
 
 
− +
+ −
= − + +
     

4. 4 / 18
22.
2
1
dx
x x
+

Đặt 2 2 2
1 1
tdt
t x x t dx
x
= +  = −  =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
1 1 1 1 1
ln 1 ln ln ln 1
2 1 2 1 2 2
1
1
dx dt
dt t t C x x C
t t t
t t
x x
 
= = + − = − − + = − + +
 
+ −
−
+  
  
23.
1 1
dx
x x
+ + +

Đặt
( )
2
2 4
2 3
1
1 1 1
1 1 2
4 2
t t
t x x x x t x x dx dt
t t t t
− −
= + +  = + −  − =  =  =
( )
( )
( )
( )
4 3 2
3 3 2 3
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1
2 1 2 2
1 1
1 1 1
ln
2 2
1 1 1
1 ln 1
2 1 2 1
ln 1 1
2 2 2 4
dx t t t t
dt dt dt
t t t t t t
x x
t t C
t t
x x x x C
x x x x
x x x x x
x C
− − + −  
= = = − + −
 
+
+ + +  
 
= − − + +
 
 
 
 
= + + − + + − + +
 
+ + + +
 
 
+ + +
= − + − + +
   
24. 3
1 x
dx
x
−

25.
( )
3
4
dx
x x
+

Đặt 6 5
6
6
t x t x t dt dx
=  =  =
( ) ( )
5 2 6
6
2 2
2 3
3
6 4
6 6 1 6 12arctan 6 12arctan
4 4 2 2
4
4
dx t dt t dt t x
dt t C x C
t t
t t
x x
 
= = = − = − + = − +
 
+ +
+  
+
   
26.
2
1
x
dx
x
−

Đặt 2
1
t x tdt xdx
= −  =
2 2
2 2
2 2
1 1
1 arctan 1 arctan 1
1 1
x t dt
dx dt t t C x x C
x t t
−  
= = − = − + = − − − +
 
+ +
 
  
27.
( )
( )
2 2
4
arcsin 1
4
8 16 4
d x
dx x
C
x x x
−  
= = − +
 
 
− − −
 
28. ( ) ( )
( ) 2
2
2 1 1 2 1
1 2 2 1 1 arcsin
2 2
x x x x
x x dx x d x C
+ − − +
− − = − + + = + +
 

5. 5 / 18
29. ( )
3
2
1
x dx
−

30. 2
1
1 4 5
x x dx
x
 
+ − + +
 
 

Đặt ( )
( )
2
2
2
2
2 2
2
2
12
1
5
6
1
1 4 5 4 5
1
5
1 6
1 1
5
tdt
dx
t
t
x
t
t
t x x x x x
t
x
t
x
x t
−

=

+
 
−
=
 
+
 
+ = − + +   − + + =
 
+
−
 
=
 
+
 + =
 −


( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 3
2 2 2 2 2
2 3
2 2 2 2
1 6 6 12 432
1 4 5 . .
5 1 1 1 5
10 10 60 72
5 1 1 1
t tdt tdt
x x dx
x t t t t t
dt dt dt dt
t t t t
− −
 
+ − + + = =
 
− +
  + + −
= − − − +
− + + +
  
   
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2
3 5
5 arctan 3arctan
5ln 10arctan 60 72
2 1 8
5 1
5 3 18
5ln 13arctan
1
5 1
5
5
1
5 1 5 5
1
5ln 13arctan
1 2 1 2 1
5
5
1
5 5 5
5ln 13a
5 5 5
t t
t t t t
t C
t
t t
t t t
t C
t
t t
x
x
x x x x
x C
x x x
x
x
x x
x x

 
+
+    
= − − − + + + +
   
+
−   +
 
−
= − − + +
+
+ +
−
−
+
− + − −
+
= − − + +
+ + +
−
+
+
+ − −
= −
+ + −
2
5 4 5
rctan
1 2
x x x x
C
x
− − + +
+ +
+
31.
2
1
dx
x x x
+ + +

Đặt
( )
( )
2
2
2
2 1
1
1
2 1 2 1
t t
t
t x x x x dx dt
t t

+ +
−
− = + +  =  =
+ +
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
1 3 3
2 2 3 3 2ln ln 2 1
2 1 2 2 2 1
2 1 2 1
1
3ln 2 2 1 1 3
2ln 1
2 2 2 2 1 1
dx t t dt dt dt
dt t t C
t t t
t t t
x x x
x x x
x x x C
x x x



+ +
= = − − = − + + +
+ +
+ +
+ + +
+ + + +
= + + + − + +
+ + + +
    

6. 6 / 18
32.
( )
2
4 1
1 1
x dx
x x
−
+ + +

Đặt
2 2
2
1 1
1
2 2
t t
t x x x dx dt
t t
 − +
− = +  =  =
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
4 3
2 3 2 3
2
2
2 2 2
2
2 2
1
4 1 1
4 1 2 3 2 1 4 1 1 1
1
2 1 1 1
1 1
1 1
4ln 1 ln
2
1 1
1 4ln 1 1 ln 1
1 1
t
t
x dx t t t t
dt dt dt
t t t t t t t t
x x
t t t C
t t
x x x x x x C
x x x x
 
−
− +
 
− − − −  
 
= = = − + − −
 
+ + +
 
+ + +
= − + + + + +
= + + − + + + + + + + + +
+ + + +
   
33. 3
sin xdx

Đặt cos sin
t x dt xdx
=  =
( )
3 3
3 2 cos
sin 1 cos
3 3
t x
xdx t dt t C x C
= − = − + = − +
 
34.
3
8
sin
cos
x
dx
x

Đặt cos sin
t x dt xdx
=  =
( )
2
3
8 8 7 5 7 5
1
sin 1 1 1 1
cos 7 5 7cos 5cos
t dt
x
dx C C
x t t t x x
−
= = − + + = − + +
 
35. ( )
2 2 2
1 1 1 sin 4
sin cos sin 2 1 cos4
4 8 8 4
x
x xdx xdx x dx x C
 
= = − = − +
 
 
  
36. 3 5
sin cos
dx
x x

Đặt
2
2
2
cos
tan
1
1
cos
dx
dt
x
t x
t
x

=


=  
 + =


( )
3
3 5 2
6
3
3
2 2 4
3
3 3 2
2 4
2
1
.
sin
sin cos cos
cos
cos
1 1 3 1 3
3 3ln
2 2 4
1 3tan tan
3ln tan
2tan 2 4
dx dx
x
x x x
x
x
t t t
dt t t dt t C
t t t t
x
x C
x
=
+  
= = + + + = − + + + +
 
 
= − + + + +
 
 

7. 7 / 18
37. 4 2
sin cos
dx
x x

Đặt
2
2
2
cos
tan
1
1
cos
dx
dt
x
t x
t
x

=


=  
 + =


( )
4
4 2 2
4
4
2
4 2 4 3
3
1
.
sin
sin cos cos
cos
cos
1 2 1 2 1
1
3
2 1
tan
tan 3tan
dx dx
x
x x x
x
x
t dt
dt t C
t t t t t
x C
x x
=
+  
= = + + = − − +
 
 
= − − +
 
 
38.
3cos 2
dx
x +

Đặt
( )
2
2
2
1
1
2
tan
2 1
cos
1
dt t dx
x
t
t
x
t

= +


=  
−
 =
 +

( )
2
2
2
2
tan 5
1 5 1 2
2 2 ln ln
3cos 2 5 5 5 5
1 tan 5
1 3 2 2
1
x
dx dt dt t
C C
x
x t t
t
t
t
+
+
= = = + = +
+ −
  −
 
− −
+ +
 
 
+
 
 
  
39. 1
x
e dx
−

Đặt 2
2
1 2
1
x x tdt
t e tdt e dx dx
t
= −  =  =
+
2
2 2
2 2
1 2 2 2arctan 2 1 2arctan 1
1 1
x x x
t
e dx dt dt t t C e e C
t t
 
− = = − = − + = − − − +
 
+ +
 
  
40. ( )
2
ln 4
x x dx
+

Đặt
( )
2 2
2
2
ln 4 4
2
xdx
du
u x x
x
dv xdx v

=

 = +
  +

 
=
 
 =


( )
( )
( )
2 2 3
2
2
2 2
2
ln 4
ln 4
2 4
ln 4 4
2 4
x x x
x x dx dx
x
x x x
x dx
x
+
+ = −
+
+  
= − −
 
+
 
 


8. 8 / 18
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
2
ln 4 4
2
2 4
ln 4
2ln 4
2 2
x x d x
xdx
x
x x x
x C
+ +
= − +
+
+
= − + + +
 
41. ( )
1 ln
x
x x dx
+

( ) ( ) ( )
( )
ln ln
1 ln 1 ln
1 ln
x x x x x x x
x x
x e x x e x x
x x dx x C

=  = + = +
 + = +


9. 9 / 18
BÀI TẬP KHAI TRIỂN TAYLOR – MACLAURIN
11. ( ) ( )
1
1
2
1 1 1 1
1 1
1 2 2 2
3 2
x
f x x
x x
x x
−
−  
= = − = + − +
 
+ +  
+ +
( )
( )
2 3 4 4
2 3 4 4
2 3 4
4
1 1
2 2 2 2 2
1 3 7 15 31
2 4 8 16 32
x x x x x
x x x x O x O
x x x x
O x
 
 
       
   
 
= + + + + + − + + + + +
       
   
   
       
 
 
= − + − + +
12. ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 3
2 2
3
2 3
2 2
1 2 2
2! 3!
x x
x x x x
f x e x x O x x
 −
− −  
= = + − + + + −
 
 
( )
( )
2 3 4 3 4 5 6
3
2 3
3
2 3
4 4 8 12 6
1 2 2
2 6
2
1 2
3
x x x x x x x
x x O x x
x
x x O x
− + − + −  
= + − + + + −
 
 
= + + − +
13. ( ) tan
f x x
=
2 4 6 3 5 7
sin
tan cos tan sin 1 ... tan ... (*)
cos 2! 4! 6! 3! 5! 7!
x x x x x x x
x x x x x x
x
 
=  =  − + − + = − + − +
 
 
 
Do hàm lẻ nên đặt ( )
3 5 7
tan ... , , , , ...
x ax bx cx dx a b c d
= + + + 
( )
2 4 6 3 5 7
3 5 7
3 5 7
3 5 7
(*) 1 ... ... ...
2! 4! 6! 3! 5! 7!
... ...
2! 2! 4! 2! 4! 6! 3! 5! 7!
x x x x x x
ax bx cx dx x
a b a c b a x x x
ax b x c x d x x
 
 − + − + + + + + = − + − +
 
 
 
     
 + − + − + + − + − + = − + − +
     
     
Đồng nhất thức
1 1
1 1
2! 3! 3
1 2
2! 4! 5! 15
1 17
2! 4! 6! 7! 315
... ...
a a
a
b b
b a
c c
c b a
d d
= =
 
 
− = − =
 
 
 
− + =  =
 
 
 
− + − = =
 
 
 
Vậy ( ) ( )
2 5
5
2
tan
3 15
x x
f x x x O x
= = + + +

10. 10 / 18
14. ( ) 2
arcsin
1
x
f x
x
=
−
( )
( ) ( ) ( )
2 3
2 2 2
1
2 2
2 4 6
1 1 3 1 3 5
2 2 2 2 2 2
(arcsin ) 1 1 ...
1! 2! 3!
3 5
1 ...
2 8 16
x x x
y x x
x x x
−
        
− − − − − − − − −
        
        
 
= = − = + + + +
= + + + +
Vậy ( )
2 4 6 3 5
0 0
3 5 3
arcsin 1 ... arcsin ...
2 8 16 6 40
x x x x x x x
t dt dt x x
 
 = + + + +  = + + +
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 2
2
3 5
2 2
5 2 2 2
3 5 2 4
5 4
3 5
5
arcsin
arcsin 1
1
1 3
3 1 2 2
1
6 40 2 2
3 3
1
6 40 2 8
2 8
3 15
x
f x x x
x
x x
x O x x x O x
x x x x
x O x O x
x x
x O x
−
 
= = + −
 
 
−
 
  
− −
 
  
     
  
 
= + + + + − − + − + −
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
= + + + + + +
   
   
   
= + + +
15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3 5 4 6
2 5 5 2 6
3 3 8
arcsin
6 40 6 40 3 45
x x x x x x
f x x x O x x O x x O x
   
= = + + + + + + = + + +
   
   
   
16. ( ) ( )
3 5 3 5 4 6
2 2 2
sin ... ... ...
6 120 6 120 3 45
x x x x x x
f x x x x x
   
= = − + − − + − = − + −
   
   
   
17. ( ) ( )
2 3
2 2
2 2 2 4 8
2
4 4
ln 4 ln4 ln 1 ln4 ... ln4 ...
4 4 2 3 4 32 192
x x
x x x x x
f x x
 
   
 
   
   
 
     
 
= + = + + = + − + − = + − + −
 
   
 
 
 
 
18. ( )
1
2
2 2 2 2 4
3
2
3
1 2
1 3 3
8 2 1 2 1 ... 2 ...
8 3 8 2 8 12 288
x x x x x
f x x
 
 
−
 
 
     
 
 
= + = + = + + + = + − +
     
     
 
     
 
 

11. 11 / 18
2.1. tan
=
y x
( ) ( )
2
2 4
2 4
cos 1
2! 4!
t t
t O t
−
−  
= − + +
 
 
 
( )
2
2 4
4
1
2 24
t t
O t
−
 
 
 
= + − + +
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 4 2 4
4 4 4
2
2 4 4
4
2 4
2.3
1 2
2 24 2 2 24
2 2.3 1
1
24 2 2
2
1
3
t t t t
O t O t O t
t t O t
t
t O t
   
= − − + + + − + + +
   
   
   
 
 
= + + − + − +
 
 
 
 
 
= + + +
Vậy ( ) ( )
4 2 5
2 4 5
2
0 0
2 2
1 tan
3 3 15
cos
 
= + + +  = + + +
 
 
 
 
x x
dt t x x
t O t dt x x O x
t
2.2. ( )
3 5
5
3
arcsin
6 40
x x
y x x O x
= = + + +
2.3. ( )
3 5
5
3
arccos arcsin
2 2 6 40
x x
y x x x O x
 
= = − = − − − +
2.4. ( )
3 5
5
arctan
3 5
x x
y x x O x
= = − + +
2.5.
( )( )
( )
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 2 3 2 1 3 2 2
x
y x
x x x x
−
−
 
   
= = − = − − − +
 
   
+ − − +
   
 
 
( ) ( )
( )
( )
2 3 4 5
5 2 3 4 5 5
2 3 4 5 5
1 1
1
3 2 4 8 16 32 64
1 3 5 9 17 33 65
3 2 4 8 16 32 64
x x x x x
O x x x x x x O x
x x x x x O x
 
 
 
= − + − + − + + − − + − + − +
 
 
 
 
 
 
= − + − + − + +
 
 
2.6. ( ) ( )
1 2 3 4 5 5
2 3 5
2 2 5 1 2 5 1
1 1
x
y x x x x x x O x
x x
−
−  
= = − = − + = − − + − + − +
 
 
+ +
( )
2 3 4 5 5
3 5 5 5 5 5
x x x x x O x
= − + − + − + +
2.7. ( ) ( )
2 2
1 2 1 2
x x
y x e x e
−
= + − −

12. 12 / 18
2.8. ( ) ( )
1
ln ln 1 ln 1
1
x
y x x
x
−
 
= = − − +
 
+
 
( ) ( )
( )
2 3 4 5 2 3 4 5
5 5
3 5
5
2 3 4 5 2 3 4 5
2 2
2
3 5
x x x x x x x x
x O x x O x
x x
x O x
   
= − − − − − + − − + − + +
   
   
   
= − − − +
2.9. ( ) ( ) ( )
3 5 3 5 5
5 5 5
3
arcsin sin 2
6 40 6 120 12
x x x x x
y x x x O x x O x x O x
   
= + = + + + + − + + = + +
   
   
   
2.10. ( ) ( ) ( )
3 5 2 4 6 3 4 5
5 6 5
sin cos 1 1
3! 5! 2! 4! 6! 6 24 120
   
= + = − + + + − + − + = + − + + +
   
   
   
x x x x x x x x
y x x x O x O x x O x
2.11. ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3 5
5 5
1 1 32 128 4
cos 3 .sin sin 4 sin 2 4 2
2 2 3 15 3 15
x x x x
y x x x x x O x x O x
 
   

 
= = − = − + + − − + +
   
   
 
   
 
( )
3 5
5
14 62
3 5
x x
x O x
= − + +
2.12. ( ) ( )
2 3 4 3 5
4 5
sin 1
2 6 24 6 120
x x x x x x
y e x x O x x O x
   
= = + + + + + − + +
   
   
   
( )
( )
3 4 5 5
3 5
2 5
1 1 1 1 1 1 1 1
.
2 6 6 6 120 2 6 24
3 30
x x x x x O x
x x
x x O x
 − −
     
= + + − + + + + + +
     
     
= + + − +

13. 13 / 18
3.1. ( )
2 3 4 5
sin 5
sin sin sin sin
1 sin sin
2 6 24 120
x x x x x
e x O x
= + + + + + +
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 3
3 3
4 3 4
2 5
3 5
5 5
6 6
1
6 120 2 6 24 120
x x
x O x x O x
x O x x O x
x x
x O x O x
   
− + − +
   
+
   
  +
   
= + − + + + + + + +
 
 
 
( )
( )
4 5
2 3
3 5 4 5
5
2 4 5
5
3 2
1
6 120 2 6 24 120
1
2 8 15
x x
x x
x x x x
x O x
x x x
x O x
− −
= + − + + + + + +
= + + − − +
3.2.
tan x
e
3.3. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 3
3
cos 1 cos 1
ln cos ln 1 cos 1 cos 1 cos 1
2 3
x x
x x x O x
− −
 
= + − = − − + + −
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 3
2 4 2
4 2
2 4 6
6 6
2 4 6 4 6 6
6
2 4 6
6
2 24 2
2 24 720 2 3
2 24 720 8 48 48
2 12 45
x x x
O x O x
x x x
O x O x
x x x x x x
O x
x x x
O x
   
− + + − +
   
   
     
= − + − + − + +
 
 
 
 
= − + − − − + +
 
 
 
= − − − +
3.4.
2
ln 1
x x
 
+ +
 
 
( ) ( ) ( )
1 2 2 4
2
2 4 2 4
2
2
1 3
1 3
2 2
1 1 1
2 2 2 8
1
x x x
x x O x O x
x
−
  
− −
  
 
  
= + = − + + = − + +
 
 
+
Vậy ( ) ( )
2 4 2 5
4 2 5
2
0 0
3 3
1 ln 1
2 8 6 40
1
x x
dt t t x x
O t dt x x x O x
t
   
= − + +  + + = − + +
   
 
 
+  
 
3.5.
sin
ln
x
x
 
 
 

14. 14 / 18
3.6. ( ) ( )
1 2 3 4 5 5
1
1 sin 1 sin sin sin sin sin sin
1 sin
x x x x x x O x
x
−
= + = − + − + − +
+
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 5 3 3 4 5
5 4 3 2 5
1
6 120 6 6
x x x x
x O x x O x x O x x O x x O x O x
     
     
= − − + + + − + − − + + + − + +
     
     
( )
( )
3 5 4 5
2 3 4 5 5
3 4 5
2 5
1
6 120 3 2
5 2 61
1
6 3 120
x x x x
x x x x x O x
x x x
x x O x
   
= − + − + − − − + − +
   
   
   
= − + − + − +
3.7. ( ) ( )
2 4 6
6
sin sin sin
cos sin 1 sin
2 24 720
x x x
x O x
= − + − +
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 4
3 5 3
5 3
6
6
2 4 6 4 6 6
6
2 4 6
6
6 120 6
1
2 24 720
1
2 6 45 24 36 720
5 37
1
2 24 720
x x x
x O x x O x
x O x
O x
x x x x x x
O x
x x x
O x
   
− + + − +
   
    +
   
= − + − +
   
= − − + + − − +
   
   
   
= − + − +
3.8. ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 3 4
2 2 2 5
2 5
2 2 2 2
1 2
2 6 24 120
x x
x x x x x x x
e x x O x
 −
− − −
= + − + + + + +
( )
( )
2 3 4 3 4 5 4 5 5
2 5
3 4 5
2 5
4 6 8 12 6 16 32 32
1 2
2 6 24 120
2 5
1 2
3 6 15
x x x x x x x x x
x x O x
x x x
x x O x
− + − + −
= + − + + + + +
= + + − − − +
3.9. ( )
tan sin x
3.10. ( )
sin tan x
3.11.
3 2
3
1 2 1 3
x x x x
− + − − +

15. 15 / 18
BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN
21.
( ) ( )
( )
3
3
4 4
3 4 3 4 3 4
0 0 0 0
2
3 3
tan sin 2 2
3
lim lim lim lim
3 1 3
x x x x
x x x
x O x x O x
x x
x x x x x x x

→ → → →
   
+ + − − +
   
−    
= = = =
− − − −
22.
( ) ( )
( )
2
3
3 2
2 3
2
0 0 0 0
1
6 2
1 1 sin cos 1
3
lim cot lim lim lim
sin 3
x x x x
x x x
x O x x O x
x x x
x
x x x x x
x x O x

→ → → →
   
− + − − +
   
−
     
− = = = =
 
+
 
   
23.
( )
sin
3
0
1 cos
lim
x
x
x
x
→
−
24.
( )
1
0
1
lim
x
x
e x
x
→
− +
25.
( ) ( )
( )
2 3 2 3
3
3 3
3
3
0 0 0
3
1 1 2 2
2 6 2 6
2 3
lim lim lim 2
sin
6
6
x x
x x x
x x x x x
x O x x O x x x
e e x
x
x x x
x x O x
−
→ → →
   
+ + + + − − + − + −
    +
− −    
= = =
−  
− − +
 
 
26.
0
lncos2
lim
sin
x
x
x
→
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2
lncos2 ln 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 1 1 2
2
x
x x x O x O x O x x O x
 
= + − = − + − = − + − + = − +
   
 
 
 
Vậy
( ) ( )
2 2
0 0 0 0
2
lncos2 lncos2
lim lim lim lim2 0
sin
VCB
x x x x
x O x
x x
x
x x x
→ → → →
− +
= = = − =
27.
2arctan
lim
1
ln 1
x
x
x
→+
−
 
+
 
 
Taylor bậc 1:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
arctan 1
1
4
arctan 1
1
1 4 2
1
1
2
f x x f
x x O x
f x
f
x


=
 =
 
 
  = + − +
 
 =
   =
+
 

Taylor bậc 1:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
ln 1 1 ln 2
1 1
ln 1 ln 2 1
1
2
1 1
2
g x g
x
x O x
x
g
g x
x x
  
= + =

 

   
    + = − − +
   

−  
= −
 
 = 
 +

Vậy
( )
( )
1 2
2 2
2arctan 2 2
4 2
lim lim lim lim 2
1 2ln2 1
1 2ln2 1
ln2 1
ln 1
2
→+ →+ →+ →+
 −
   +
 − + + −
 
 −  + −
 
= = = =
− +
+ −
  − + −
+
 
 
x x x x
x
O x
x x x
x x
O x
x
x

16. 16 / 18
28.
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
2
tan 1 1 1
2
lim lim lim lim
ln 1 1 cos sin
2cos
2
L L
x x x x
x x x
x
x x x
− − − −
→ → → →

− − − −
= = = =− 

− +  
29.
( ) 2
2
0 0 0 0
2 3
1
ln
lim ln lim lim lim 0
1 2 2
L
x x x x
x x
x
x x
x x
+ + + +
→ → → →
−
= = = =
−
30. ( )
lim 2arctan ln
x
x x
→+
 −
31.
( )
1 1 1 1
1 1 1
lim lim lim lim 1
1
ln ln ln
L
x x x x
x x
x
x x x
x
+ + + +
→ → → →
−
 
− = = = =
 
 
32. ( )
( ) ( ) ( )
ln 0
0
0 0
lim ln lim 1
lim 1 1
VCB
x
x
x x
x x x x
x e e e
+
 
 
 
→
+ +
→ →
−
+ = = = =
33.
2
1
0
tan
lim
x
x
x
x
→
 
 
 
Xét:
( ) ( )
3
3
2 2
0 0 0 0 0
2 1
tan 1 1 2 1 4
ln 2
1 1
sin cos sin2 3
lim lim lim lim lim
2 2 2 3 2 3
L
x x x x x
x x x
x O x
x x x x x x
x x x x x
→ → → → →
−
 
− − − +
 
  = = = = =
−
2
1
1
3
3
0
2
0
tan
ln
lim
tan
lim
x
x
x
x
x
x
x
e e e
x
 
 
 
 
→
→
 
= = =
 
 
34.
1
lim tan
2 1
x
x
x
x
→+

 
 
+
 
35. ( )
tan
0
lim arcsin
x
x
x
+
→

17. 17 / 18
5.1.
( ) ( )
( )
2
3
3 2
2 3
2
0 0 0 0
1
6 2
1 1 sin cos 1
3
lim cot lim lim lim
sin 3
x x x x
x x x
x O x x O x
x x x
x
x x x x x
x x O x

→ → → →
   
− + − − +
   
−
     
− = = = =
 
+
 
   
5.2.
( )
( )
2
2
2
2 2 2
0 0 0
ln 1 2 1
2
lim lim lim
2
x x x
x x
x O x x
x x
x x x
→ → →
 
− + −
  −
+ −  
= = = −
5.3.
( )
2 4 2
2 4
4
4 4 4
0 0 0
1 1
cos 1 2 24 2 1
2 24
lim lim lim
24
x x x
x x x
x x
O x
x
x x x
→ → →
 
− + + − +
 
− +
 
= = =
5.4.
( ) ( )
3
3
3 3
3 3 3
0 0 0
2
3 3
tan sin 2
3
lim lim lim
3
x x x
x x x
x O x x O x
x x
x x x

→ → →
   
+ + − − +
   
−    
= = =
5.5.
( ) ( )
3
3
3 3
3 3 3
0 0 0
3 6
arctan arcsin 1
2
lim lim lim
2
x x x
x x x
x O x x O x
x x
x x x

→ → →
   
− + − + +
    −
−    
= = = −
5.6.
( )
( )
3 5
3
3 3 5 3
0 0
3
2
tan 3 15 3
3
lim lim 16
sin
6 6 120 6
x x
x x x
x x O x x
x x
x x x x
x x x O x x


→ →
 
+ + + − −
− −  
 
= =
 
− + − + + − +
 
 
5.7.
( )
2
2 2
0
ln 1 sin
lim
1 x
x
x x
e−
→
+ −
−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
ln 1 ln 1
sin sin
1 1
1
x
x x O x x x O x
x x O x x x O x
x
e O x x O x
−

 + = +  + = +


= +  = +


−
 = + + − = − +


Vậy
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
0 0 0
ln 1 sin 0
lim lim lim 0
1 1 1
x
x x x
x O x x O x
x x
x
e x O x
−
→ → →
   
+ − +
+ −    
= = =
 
− − − +
 
5.8.
( )
( )
2 3 2
2 3
2
3
3
3
0 0 0 0
3
1
1 1
1 4 6 2 2 6 2 6
2
lim lim lim lim 1
1
sin
6
6
6
x
x x x x
x x x x x x
x x O x x
e x
x
x x x
x x O x
→ → → →
 
+ + + + − − −
  − + − +
− − −
 
= = = =
−  
− − +
 
 
5.9.
( )
( ) ( )
3 5 3 5
5
5 5 3
3
5 5 5
0 0 0
2
2 2
2 tan sin 3 15 6 120 1
4
lim lim lim
4
x x x
x x x x x
x O x x O x x
x x x
x x x
→ → →
   
+ + + − − + + −
   
− −    
= = =
5.10. 2 1
lim ln 1
x
x x
x
→+
 
 
− +
 
 
 
 

18. 18 / 18
5.11.
( )
2 2
2
2 2 2 2
0 0 0
1 sin cos 2cos2
lim cot lim lim
sin 1 cos2
x x x
x x x
x
x x x x x
→ → →
− −
 
− = =
 
−
 
( )
( )
4
4
2 4
2
4 4 2
2 2 2
0 0 0
2 2
2 1 2 1 2
3 1 2 2 2
3
lim lim lim
3 3
2
x x x
x x
x O x x
x x x
x x O x
→ → →
 
− − + +
  − + +
 
 
= = = − + + =
 
   
+
 
5.12. 6 6
6 5 6 5
lim
x
x x x x
→+
 
+ − −
 