SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 / 18
BÀI TẬP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.
( )
2
2 2
4
1 1
arctan
4 2 4 2 2
d x
xdx x
C
x x
+
= = +
+ +
 
2.
( )( ) ( ) ( )
2 4 2 2
1 1 1 1 1 1
ln
1 1 2 1 2 1 2 1
dx dx x
dx C
x x x x x x x x x x
  +
= = − + = − + +
 
− + − + − −
 
  
3.
4
4 3
3
4ln3
x
x
dx C
= +

4.
2
sin
4 cos
x
dx
x
+

Đặt cos sin
t x dt xdx
=  = −
2 2
2 2
sin
ln 4 ln cos 4 cos
4 cos 4
x dt
dx t t C x x C
x t
= − = − + + + = − + + +
+ +
 
5. 2
2
1 1 2
arctan
7
4 7 4 2 7 7
4
dx dx x
C
x x
= = +
+ +
 
6.
2
2
1
arcsin
1
1 1
x
x
x
x
e dx dx
C
e
e
e
= =  +
− −
 
7. arccos xdx

Đặt 2
arccos
1
dx
du
u x
x
dv dx
v x

=
=
 
 −
 
=
  =

( )
2
2
2 2
1
1
arccos arccos arccos arccos 1
2
1 1
d x
xdx
xdx x x x x x x x C
x x
−
= + = − = − − +
− −
  
8. arctan
x xdx

Đặt
2
2
arctan 1
2
dx
du
u x x
dv xdx x
v

=

=
  +

 
=
  =


( )
( )
2 2 2
2 2
2
2
arctan 1 arctan 1 1
arctan 1
2 2 1 2 2 1
1 arctan
arctan 1
arctan
2 2 2
x x x dx x x
x xdx dx
x x
x x x
x x
x x C C
 
= − = − −
 
+ +
 
+ −
= − − + = +
  
2 / 18
9.
( )
2
1
x
xe dx
x +

Đặt
( )
( ) ( )
2
1
1
1 1
x x x x
u xe du e xe dx x e dx
dx
dv v
x x
 =  = + = +
 

  −
= =
 
+ +


( )
2
1 1 1
1
x x x x
x x
xe dx xe xe e
e dx e C C
x x x
x
= − + = − + + = +
+ + +
+
 
10.
arcsin
1
x
dx
x
−

Đặt
arcsin
2 1
2 1
1
dx
u x du
x x
dx
dv
v x
x
 
= =
 
−

 
=
  = − −
−
 
arcsin
2 1 arcsin 2 1 arcsin 2
1
x dx
dx x x x x x C
x x
= − − + = − − + +
−
 
11.
( )
2
2
2 2 2 2
1
1
1 1 2 1 3 1 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 3
2 4
d x
d x x
x x dx
dx dx
x x x x x x x x
x
 
+
 
+ +
− +  
= − = −
+ + + + + + + +  
+ +
 
 
    
( )
2 2
1
1 3 2 1 2 1
2
ln 1 . arctan ln 1 3arctan
2 2 2
3 3 3
2
x
x
x x C x x C
 
+
  +
 
 
= + + − + = + + − +
 
   
 
 
12.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 3 1
2 1 2 2 1
2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 1 2
d x x d x
x x dx
dx dx dx
x x x x x x x x x
+ + +
+ +
= + = +
 
+ + + + + + + + + +
 
    
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
1 1 1
4 2 3
2 2 3 1 2
1 1 1 1
arctan
4 2 3 2 2
d x
x
C
x x
x x x
x x
C
x x
 
+
+
= − + + +
 
+ +
+ + + +
 
 
 
− +
 
= + +
 
 
+ +  
 

13.
( )( )
2
1 1 1 1 1
ln
4 5 1 5 6 1 5 6 5
−
 
= = − = +
 
+ − − + − + +
 
  
dx dx x
dx C
x x x x x x x
14.
( )( )
2
1 1 1 1 4
ln
1 4 3 4 1 3 1
5 4
dx dx x
dx C
x x x x x
x x
−
 
= = − = +
 
− − − − −
− +  
  
3 / 18
15. 4 2
6 13
xdx
x x
+ +

Đặt 2
1 2
t x dt xdx
= +  =
( )
( )
( )
2
2 2
4 2
2
1 1 1 2 1 3
arctan arctan
6 13 2 2 4 2 4 2
2 4 2 4
d t
xdx dt t x
C C
x x t t
+ + +
= = = + = +
+ + + + + +
  
16.
( )( ) ( ) ( )
2 2
3 2
2 1 2 1 1 7 17
5 6 2 3 6 2 2 3 3
x x
dx dx dx
x x x x x x x x x
 
− −
= = − − +
 
− + − − − −
 
  
ln 7ln 2 17ln 3
6 2 3
x x x
C
− −
= − − + +
17.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
7ln 2 20ln 1
3 2 1 7 20 4 4
9 2 9 1 9 9 3 3
1 2 3 1
x x
x x
dx dx C
x x x
x x x
  + −
+ −
= + + = + − +
 
+ − −
− + −
 
 
 
18.
2 2 2
2 2
4
2 2 2
2 2 2
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 2 2
1 1
2 2
d x d x
dx x x
x x x
dx dx dx
x x x x x x
x x x x x
   
− +
+ −    
   
= = − = −
+    
+ + + − + + −
   
   
     
2 2
2
1 1
2
1 1
arctan ln
1
2 2 2 4 2 2
1 1 1 2 1
arctan ln
2 2 2 4 2 2 1
x x
x x C
x
x
x x x
C
x x x
 
− + −
 
= − +
 
  + +
 
 
− − +
= − +
 
+ +
 
19.
( )( ) ( ) ( )
3 2
3 2
1 6 1 1 9 28
1 1
5 6 2 3 6 2 2 3 3
x x x
dx dx dx
x x x x x x x x x
   
+ − +
= + = + − +
   
− + − − − −
   
  
ln 9ln 2 28ln 3
6 2 3
x x x
x C
− −
= + − + +
20.
( )( ) ( ) ( )
2 2
4 2 2 2 2 2
5 4 5 4 16 1 1
arctan arctan
5 4 3 2
1 4 3 4 3 1
x x x
dx dx dx x C
x x x x x x
 
+ +  
 
= = − = − +
 
+ + + + + +  
 
 
  
21.
( )( ) ( ) ( )
3 2
2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 3
1 3 1 1 3 1
1 1 2 1 2 1
dx dx x x
dx dx
x x x x x
x x x x x x x
 
− −
 
 
= = − = − +
 
+ + − + +
+ − + − + − +
   
 
   
( )
( )
2
2
2 2 2
2
1
1
1 1 2 1 1 1 1 1 2
3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3
2 4
ln 1
ln 1 2 1
2 3arctan
3 6 3
d x
d x x
dx x dx dx
dx
x x x x x x x x
x
x x
x x
C
 
−
 
− +
−  
= − + = − +
+ − + − + + − +  
− +
 
 
− +
+ −
= − + +
     
4 / 18
22.
2
1
dx
x x
+

Đặt 2 2 2
1 1
tdt
t x x t dx
x
= +  = −  =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
1 1 1 1 1
ln 1 ln ln ln 1
2 1 2 1 2 2
1
1
dx dt
dt t t C x x C
t t t
t t
x x
 
= = + − = − − + = − + +
 
+ −
−
+  
  
23.
1 1
dx
x x
+ + +

Đặt
( )
2
2 4
2 3
1
1 1 1
1 1 2
4 2
t t
t x x x x t x x dx dt
t t t t
− −
= + +  = + −  − =  =  =
( )
( )
( )
( )
4 3 2
3 3 2 3
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1
2 1 2 2
1 1
1 1 1
ln
2 2
1 1 1
1 ln 1
2 1 2 1
ln 1 1
2 2 2 4
dx t t t t
dt dt dt
t t t t t t
x x
t t C
t t
x x x x C
x x x x
x x x x x
x C
− − + −  
= = = − + −
 
+
+ + +  
 
= − − + +
 
 
 
 
= + + − + + − + +
 
+ + + +
 
 
+ + +
= − + − + +
   
24. 3
1 x
dx
x
−

25.
( )
3
4
dx
x x
+

Đặt 6 5
6
6
t x t x t dt dx
=  =  =
( ) ( )
5 2 6
6
2 2
2 3
3
6 4
6 6 1 6 12arctan 6 12arctan
4 4 2 2
4
4
dx t dt t dt t x
dt t C x C
t t
t t
x x
 
= = = − = − + = − +
 
+ +
+  
+
   
26.
2
1
x
dx
x
−

Đặt 2
1
t x tdt xdx
= −  =
2 2
2 2
2 2
1 1
1 arctan 1 arctan 1
1 1
x t dt
dx dt t t C x x C
x t t
−  
= = − = − + = − − − +
 
+ +
 
  
27.
( )
( )
2 2
4
arcsin 1
4
8 16 4
d x
dx x
C
x x x
−  
= = − +
 
 
− − −
 
28. ( ) ( )
( ) 2
2
2 1 1 2 1
1 2 2 1 1 arcsin
2 2
x x x x
x x dx x d x C
+ − − +
− − = − + + = + +
 
5 / 18
29. ( )
3
2
1
x dx
−

30. 2
1
1 4 5
x x dx
x
 
+ − + +
 
 

Đặt ( )
( )
2
2
2
2
2 2
2
2
12
1
5
6
1
1 4 5 4 5
1
5
1 6
1 1
5
tdt
dx
t
t
x
t
t
t x x x x x
t
x
t
x
x t
−

=

+
 
−
=
 
+
 
+ = − + +   − + + =
 
+
−
 
=
 
+
 + =
 −


( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 3
2 2 2 2 2
2 3
2 2 2 2
1 6 6 12 432
1 4 5 . .
5 1 1 1 5
10 10 60 72
5 1 1 1
t tdt tdt
x x dx
x t t t t t
dt dt dt dt
t t t t
− −
 
+ − + + = =
 
− +
  + + −
= − − − +
− + + +
  
   
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2
3 5
5 arctan 3arctan
5ln 10arctan 60 72
2 1 8
5 1
5 3 18
5ln 13arctan
1
5 1
5
5
1
5 1 5 5
1
5ln 13arctan
1 2 1 2 1
5
5
1
5 5 5
5ln 13a
5 5 5
t t
t t t t
t C
t
t t
t t t
t C
t
t t
x
x
x x x x
x C
x x x
x
x
x x
x x

 
+
+    
= − − − + + + +
   
+
−   +
 
−
= − − + +
+
+ +
−
−
+
− + − −
+
= − − + +
+ + +
−
+
+
+ − −
= −
+ + −
2
5 4 5
rctan
1 2
x x x x
C
x
− − + +
+ +
+
31.
2
1
dx
x x x
+ + +

Đặt
( )
( )
2
2
2
2 1
1
1
2 1 2 1
t t
t
t x x x x dx dt
t t

+ +
−
− = + +  =  =
+ +
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
1 3 3
2 2 3 3 2ln ln 2 1
2 1 2 2 2 1
2 1 2 1
1
3ln 2 2 1 1 3
2ln 1
2 2 2 2 1 1
dx t t dt dt dt
dt t t C
t t t
t t t
x x x
x x x
x x x C
x x x



+ +
= = − − = − + + +
+ +
+ +
+ + +
+ + + +
= + + + − + +
+ + + +
    
6 / 18
32.
( )
2
4 1
1 1
x dx
x x
−
+ + +

Đặt
2 2
2
1 1
1
2 2
t t
t x x x dx dt
t t
 − +
− = +  =  =
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
4 3
2 3 2 3
2
2
2 2 2
2
2 2
1
4 1 1
4 1 2 3 2 1 4 1 1 1
1
2 1 1 1
1 1
1 1
4ln 1 ln
2
1 1
1 4ln 1 1 ln 1
1 1
t
t
x dx t t t t
dt dt dt
t t t t t t t t
x x
t t t C
t t
x x x x x x C
x x x x
 
−
− +
 
− − − −  
 
= = = − + − −
 
+ + +
 
+ + +
= − + + + + +
= + + − + + + + + + + + +
+ + + +
   
33. 3
sin xdx

Đặt cos sin
t x dt xdx
=  =
( )
3 3
3 2 cos
sin 1 cos
3 3
t x
xdx t dt t C x C
= − = − + = − +
 
34.
3
8
sin
cos
x
dx
x

Đặt cos sin
t x dt xdx
=  =
( )
2
3
8 8 7 5 7 5
1
sin 1 1 1 1
cos 7 5 7cos 5cos
t dt
x
dx C C
x t t t x x
−
= = − + + = − + +
 
35. ( )
2 2 2
1 1 1 sin 4
sin cos sin 2 1 cos4
4 8 8 4
x
x xdx xdx x dx x C
 
= = − = − +
 
 
  
36. 3 5
sin cos
dx
x x

Đặt
2
2
2
cos
tan
1
1
cos
dx
dt
x
t x
t
x

=


=  
 + =


( )
3
3 5 2
6
3
3
2 2 4
3
3 3 2
2 4
2
1
.
sin
sin cos cos
cos
cos
1 1 3 1 3
3 3ln
2 2 4
1 3tan tan
3ln tan
2tan 2 4
dx dx
x
x x x
x
x
t t t
dt t t dt t C
t t t t
x
x C
x
=
+  
= = + + + = − + + + +
 
 
= − + + + +
 
 
7 / 18
37. 4 2
sin cos
dx
x x

Đặt
2
2
2
cos
tan
1
1
cos
dx
dt
x
t x
t
x

=


=  
 + =


( )
4
4 2 2
4
4
2
4 2 4 3
3
1
.
sin
sin cos cos
cos
cos
1 2 1 2 1
1
3
2 1
tan
tan 3tan
dx dx
x
x x x
x
x
t dt
dt t C
t t t t t
x C
x x
=
+  
= = + + = − − +
 
 
= − − +
 
 
38.
3cos 2
dx
x +

Đặt
( )
2
2
2
1
1
2
tan
2 1
cos
1
dt t dx
x
t
t
x
t

= +


=  
−
 =
 +

( )
2
2
2
2
tan 5
1 5 1 2
2 2 ln ln
3cos 2 5 5 5 5
1 tan 5
1 3 2 2
1
x
dx dt dt t
C C
x
x t t
t
t
t
+
+
= = = + = +
+ −
  −
 
− −
+ +
 
 
+
 
 
  
39. 1
x
e dx
−

Đặt 2
2
1 2
1
x x tdt
t e tdt e dx dx
t
= −  =  =
+
2
2 2
2 2
1 2 2 2arctan 2 1 2arctan 1
1 1
x x x
t
e dx dt dt t t C e e C
t t
 
− = = − = − + = − − − +
 
+ +
 
  
40. ( )
2
ln 4
x x dx
+

Đặt
( )
2 2
2
2
ln 4 4
2
xdx
du
u x x
x
dv xdx v

=

 = +
  +

 
=
 
 =


( )
( )
( )
2 2 3
2
2
2 2
2
ln 4
ln 4
2 4
ln 4 4
2 4
x x x
x x dx dx
x
x x x
x dx
x
+
+ = −
+
+  
= − −
 
+
 
 

8 / 18
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
2
ln 4 4
2
2 4
ln 4
2ln 4
2 2
x x d x
xdx
x
x x x
x C
+ +
= − +
+
+
= − + + +
 
41. ( )
1 ln
x
x x dx
+

( ) ( ) ( )
( )
ln ln
1 ln 1 ln
1 ln
x x x x x x x
x x
x e x x e x x
x x dx x C

=  = + = +
 + = +

9 / 18
BÀI TẬP KHAI TRIỂN TAYLOR – MACLAURIN
11. ( ) ( )
1
1
2
1 1 1 1
1 1
1 2 2 2
3 2
x
f x x
x x
x x
−
−  
= = − = + − +
 
+ +  
+ +
( )
( )
2 3 4 4
2 3 4 4
2 3 4
4
1 1
2 2 2 2 2
1 3 7 15 31
2 4 8 16 32
x x x x x
x x x x O x O
x x x x
O x
 
 
       
   
 
= + + + + + − + + + + +
       
   
   
       
 
 
= − + − + +
12. ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 3
2 2
3
2 3
2 2
1 2 2
2! 3!
x x
x x x x
f x e x x O x x
 −
− −  
= = + − + + + −
 
 
( )
( )
2 3 4 3 4 5 6
3
2 3
3
2 3
4 4 8 12 6
1 2 2
2 6
2
1 2
3
x x x x x x x
x x O x x
x
x x O x
− + − + −  
= + − + + + −
 
 
= + + − +
13. ( ) tan
f x x
=
2 4 6 3 5 7
sin
tan cos tan sin 1 ... tan ... (*)
cos 2! 4! 6! 3! 5! 7!
x x x x x x x
x x x x x x
x
 
=  =  − + − + = − + − +
 
 
 
Do hàm lẻ nên đặt ( )
3 5 7
tan ... , , , , ...
x ax bx cx dx a b c d
= + + + 
( )
2 4 6 3 5 7
3 5 7
3 5 7
3 5 7
(*) 1 ... ... ...
2! 4! 6! 3! 5! 7!
... ...
2! 2! 4! 2! 4! 6! 3! 5! 7!
x x x x x x
ax bx cx dx x
a b a c b a x x x
ax b x c x d x x
 
 − + − + + + + + = − + − +
 
 
 
     
 + − + − + + − + − + = − + − +
     
     
Đồng nhất thức
1 1
1 1
2! 3! 3
1 2
2! 4! 5! 15
1 17
2! 4! 6! 7! 315
... ...
a a
a
b b
b a
c c
c b a
d d
= =
 
 
− = − =
 
 
 
− + =  =
 
 
 
− + − = =
 
 
 
Vậy ( ) ( )
2 5
5
2
tan
3 15
x x
f x x x O x
= = + + +
10 / 18
14. ( ) 2
arcsin
1
x
f x
x
=
−
( )
( ) ( ) ( )
2 3
2 2 2
1
2 2
2 4 6
1 1 3 1 3 5
2 2 2 2 2 2
(arcsin ) 1 1 ...
1! 2! 3!
3 5
1 ...
2 8 16
x x x
y x x
x x x
−
        
− − − − − − − − −
        
        
 
= = − = + + + +
= + + + +
Vậy ( )
2 4 6 3 5
0 0
3 5 3
arcsin 1 ... arcsin ...
2 8 16 6 40
x x x x x x x
t dt dt x x
 
 = + + + +  = + + +
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 2
2
3 5
2 2
5 2 2 2
3 5 2 4
5 4
3 5
5
arcsin
arcsin 1
1
1 3
3 1 2 2
1
6 40 2 2
3 3
1
6 40 2 8
2 8
3 15
x
f x x x
x
x x
x O x x x O x
x x x x
x O x O x
x x
x O x
−
 
= = + −
 
 
−
 
  
− −
 
  
     
  
 
= + + + + − − + − + −
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
= + + + + + +
   
   
   
= + + +
15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3 5 4 6
2 5 5 2 6
3 3 8
arcsin
6 40 6 40 3 45
x x x x x x
f x x x O x x O x x O x
   
= = + + + + + + = + + +
   
   
   
16. ( ) ( )
3 5 3 5 4 6
2 2 2
sin ... ... ...
6 120 6 120 3 45
x x x x x x
f x x x x x
   
= = − + − − + − = − + −
   
   
   
17. ( ) ( )
2 3
2 2
2 2 2 4 8
2
4 4
ln 4 ln4 ln 1 ln4 ... ln4 ...
4 4 2 3 4 32 192
x x
x x x x x
f x x
 
   
 
   
   
 
     
 
= + = + + = + − + − = + − + −
 
   
 
 
 
 
18. ( )
1
2
2 2 2 2 4
3
2
3
1 2
1 3 3
8 2 1 2 1 ... 2 ...
8 3 8 2 8 12 288
x x x x x
f x x
 
 
−
 
 
     
 
 
= + = + = + + + = + − +
     
     
 
     
 
 
11 / 18
2.1. tan
=
y x
( ) ( )
2
2 4
2 4
cos 1
2! 4!
t t
t O t
−
−  
= − + +
 
 
 
( )
2
2 4
4
1
2 24
t t
O t
−
 
 
 
= + − + +
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 4 2 4
4 4 4
2
2 4 4
4
2 4
2.3
1 2
2 24 2 2 24
2 2.3 1
1
24 2 2
2
1
3
t t t t
O t O t O t
t t O t
t
t O t
   
= − − + + + − + + +
   
   
   
 
 
= + + − + − +
 
 
 
 
 
= + + +
Vậy ( ) ( )
4 2 5
2 4 5
2
0 0
2 2
1 tan
3 3 15
cos
 
= + + +  = + + +
 
 
 
 
x x
dt t x x
t O t dt x x O x
t
2.2. ( )
3 5
5
3
arcsin
6 40
x x
y x x O x
= = + + +
2.3. ( )
3 5
5
3
arccos arcsin
2 2 6 40
x x
y x x x O x
 
= = − = − − − +
2.4. ( )
3 5
5
arctan
3 5
x x
y x x O x
= = − + +
2.5.
( )( )
( )
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 2 3 2 1 3 2 2
x
y x
x x x x
−
−
 
   
= = − = − − − +
 
   
+ − − +
   
 
 
( ) ( )
( )
( )
2 3 4 5
5 2 3 4 5 5
2 3 4 5 5
1 1
1
3 2 4 8 16 32 64
1 3 5 9 17 33 65
3 2 4 8 16 32 64
x x x x x
O x x x x x x O x
x x x x x O x
 
 
 
= − + − + − + + − − + − + − +
 
 
 
 
 
 
= − + − + − + +
 
 
2.6. ( ) ( )
1 2 3 4 5 5
2 3 5
2 2 5 1 2 5 1
1 1
x
y x x x x x x O x
x x
−
−  
= = − = − + = − − + − + − +
 
 
+ +
( )
2 3 4 5 5
3 5 5 5 5 5
x x x x x O x
= − + − + − + +
2.7. ( ) ( )
2 2
1 2 1 2
x x
y x e x e
−
= + − −
12 / 18
2.8. ( ) ( )
1
ln ln 1 ln 1
1
x
y x x
x
−
 
= = − − +
 
+
 
( ) ( )
( )
2 3 4 5 2 3 4 5
5 5
3 5
5
2 3 4 5 2 3 4 5
2 2
2
3 5
x x x x x x x x
x O x x O x
x x
x O x
   
= − − − − − + − − + − + +
   
   
   
= − − − +
2.9. ( ) ( ) ( )
3 5 3 5 5
5 5 5
3
arcsin sin 2
6 40 6 120 12
x x x x x
y x x x O x x O x x O x
   
= + = + + + + − + + = + +
   
   
   
2.10. ( ) ( ) ( )
3 5 2 4 6 3 4 5
5 6 5
sin cos 1 1
3! 5! 2! 4! 6! 6 24 120
   
= + = − + + + − + − + = + − + + +
   
   
   
x x x x x x x x
y x x x O x O x x O x
2.11. ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3 5
5 5
1 1 32 128 4
cos 3 .sin sin 4 sin 2 4 2
2 2 3 15 3 15
x x x x
y x x x x x O x x O x
 
   

 
= = − = − + + − − + +
   
   
 
   
 
( )
3 5
5
14 62
3 5
x x
x O x
= − + +
2.12. ( ) ( )
2 3 4 3 5
4 5
sin 1
2 6 24 6 120
x x x x x x
y e x x O x x O x
   
= = + + + + + − + +
   
   
   
( )
( )
3 4 5 5
3 5
2 5
1 1 1 1 1 1 1 1
.
2 6 6 6 120 2 6 24
3 30
x x x x x O x
x x
x x O x
 − −
     
= + + − + + + + + +
     
     
= + + − +
13 / 18
3.1. ( )
2 3 4 5
sin 5
sin sin sin sin
1 sin sin
2 6 24 120
x x x x x
e x O x
= + + + + + +
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 3
3 3
4 3 4
2 5
3 5
5 5
6 6
1
6 120 2 6 24 120
x x
x O x x O x
x O x x O x
x x
x O x O x
   
− + − +
   
+
   
  +
   
= + − + + + + + + +
 
 
 
( )
( )
4 5
2 3
3 5 4 5
5
2 4 5
5
3 2
1
6 120 2 6 24 120
1
2 8 15
x x
x x
x x x x
x O x
x x x
x O x
− −
= + − + + + + + +
= + + − − +
3.2.
tan x
e
3.3. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 3
3
cos 1 cos 1
ln cos ln 1 cos 1 cos 1 cos 1
2 3
x x
x x x O x
− −
 
= + − = − − + + −
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 3
2 4 2
4 2
2 4 6
6 6
2 4 6 4 6 6
6
2 4 6
6
2 24 2
2 24 720 2 3
2 24 720 8 48 48
2 12 45
x x x
O x O x
x x x
O x O x
x x x x x x
O x
x x x
O x
   
− + + − +
   
   
     
= − + − + − + +
 
 
 
 
= − + − − − + +
 
 
 
= − − − +
3.4.
2
ln 1
x x
 
+ +
 
 
( ) ( ) ( )
1 2 2 4
2
2 4 2 4
2
2
1 3
1 3
2 2
1 1 1
2 2 2 8
1
x x x
x x O x O x
x
−
  
− −
  
 
  
= + = − + + = − + +
 
 
+
Vậy ( ) ( )
2 4 2 5
4 2 5
2
0 0
3 3
1 ln 1
2 8 6 40
1
x x
dt t t x x
O t dt x x x O x
t
   
= − + +  + + = − + +
   
 
 
+  
 
3.5.
sin
ln
x
x
 
 
 
14 / 18
3.6. ( ) ( )
1 2 3 4 5 5
1
1 sin 1 sin sin sin sin sin sin
1 sin
x x x x x x O x
x
−
= + = − + − + − +
+
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 5 3 3 4 5
5 4 3 2 5
1
6 120 6 6
x x x x
x O x x O x x O x x O x x O x O x
     
     
= − − + + + − + − − + + + − + +
     
     
( )
( )
3 5 4 5
2 3 4 5 5
3 4 5
2 5
1
6 120 3 2
5 2 61
1
6 3 120
x x x x
x x x x x O x
x x x
x x O x
   
= − + − + − − − + − +
   
   
   
= − + − + − +
3.7. ( ) ( )
2 4 6
6
sin sin sin
cos sin 1 sin
2 24 720
x x x
x O x
= − + − +
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 4
3 5 3
5 3
6
6
2 4 6 4 6 6
6
2 4 6
6
6 120 6
1
2 24 720
1
2 6 45 24 36 720
5 37
1
2 24 720
x x x
x O x x O x
x O x
O x
x x x x x x
O x
x x x
O x
   
− + + − +
   
    +
   
= − + − +
   
= − − + + − − +
   
   
   
= − + − +
3.8. ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 3 4
2 2 2 5
2 5
2 2 2 2
1 2
2 6 24 120
x x
x x x x x x x
e x x O x
 −
− − −
= + − + + + + +
( )
( )
2 3 4 3 4 5 4 5 5
2 5
3 4 5
2 5
4 6 8 12 6 16 32 32
1 2
2 6 24 120
2 5
1 2
3 6 15
x x x x x x x x x
x x O x
x x x
x x O x
− + − + −
= + − + + + + +
= + + − − − +
3.9. ( )
tan sin x
3.10. ( )
sin tan x
3.11.
3 2
3
1 2 1 3
x x x x
− + − − +
15 / 18
BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN
21.
( ) ( )
( )
3
3
4 4
3 4 3 4 3 4
0 0 0 0
2
3 3
tan sin 2 2
3
lim lim lim lim
3 1 3
x x x x
x x x
x O x x O x
x x
x x x x x x x

→ → → →
   
+ + − − +
   
−    
= = = =
− − − −
22.
( ) ( )
( )
2
3
3 2
2 3
2
0 0 0 0
1
6 2
1 1 sin cos 1
3
lim cot lim lim lim
sin 3
x x x x
x x x
x O x x O x
x x x
x
x x x x x
x x O x

→ → → →
   
− + − − +
   
−
     
− = = = =
 
+
 
   
23.
( )
sin
3
0
1 cos
lim
x
x
x
x
→
−
24.
( )
1
0
1
lim
x
x
e x
x
→
− +
25.
( ) ( )
( )
2 3 2 3
3
3 3
3
3
0 0 0
3
1 1 2 2
2 6 2 6
2 3
lim lim lim 2
sin
6
6
x x
x x x
x x x x x
x O x x O x x x
e e x
x
x x x
x x O x
−
→ → →
   
+ + + + − − + − + −
    +
− −    
= = =
−  
− − +
 
 
26.
0
lncos2
lim
sin
x
x
x
→
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2
lncos2 ln 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 1 1 2
2
x
x x x O x O x O x x O x
 
= + − = − + − = − + − + = − +
   
 
 
 
Vậy
( ) ( )
2 2
0 0 0 0
2
lncos2 lncos2
lim lim lim lim2 0
sin
VCB
x x x x
x O x
x x
x
x x x
→ → → →
− +
= = = − =
27.
2arctan
lim
1
ln 1
x
x
x
→+
−
 
+
 
 
Taylor bậc 1:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
arctan 1
1
4
arctan 1
1
1 4 2
1
1
2
f x x f
x x O x
f x
f
x


=
 =
 
 
  = + − +
 
 =
   =
+
 

Taylor bậc 1:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
ln 1 1 ln 2
1 1
ln 1 ln 2 1
1
2
1 1
2
g x g
x
x O x
x
g
g x
x x
  
= + =

 

   
    + = − − +
   

−  
= −
 
 = 
 +

Vậy
( )
( )
1 2
2 2
2arctan 2 2
4 2
lim lim lim lim 2
1 2ln2 1
1 2ln2 1
ln2 1
ln 1
2
→+ →+ →+ →+
 −
   +
 − + + −
 
 −  + −
 
= = = =
− +
+ −
  − + −
+
 
 
x x x x
x
O x
x x x
x x
O x
x
x
16 / 18
28.
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
2
tan 1 1 1
2
lim lim lim lim
ln 1 1 cos sin
2cos
2
L L
x x x x
x x x
x
x x x
− − − −
→ → → →

− − − −
= = = =− 

− +  
29.
( ) 2
2
0 0 0 0
2 3
1
ln
lim ln lim lim lim 0
1 2 2
L
x x x x
x x
x
x x
x x
+ + + +
→ → → →
−
= = = =
−
30. ( )
lim 2arctan ln
x
x x
→+
 −
31.
( )
1 1 1 1
1 1 1
lim lim lim lim 1
1
ln ln ln
L
x x x x
x x
x
x x x
x
+ + + +
→ → → →
−
 
− = = = =
 
 
32. ( )
( ) ( ) ( )
ln 0
0
0 0
lim ln lim 1
lim 1 1
VCB
x
x
x x
x x x x
x e e e
+
 
 
 
→
+ +
→ →
−
+ = = = =
33.
2
1
0
tan
lim
x
x
x
x
→
 
 
 
Xét:
( ) ( )
3
3
2 2
0 0 0 0 0
2 1
tan 1 1 2 1 4
ln 2
1 1
sin cos sin2 3
lim lim lim lim lim
2 2 2 3 2 3
L
x x x x x
x x x
x O x
x x x x x x
x x x x x
→ → → → →
−
 
− − − +
 
  = = = = =
−
2
1
1
3
3
0
2
0
tan
ln
lim
tan
lim
x
x
x
x
x
x
x
e e e
x
 
 
 
 
→
→
 
= = =
 
 
34.
1
lim tan
2 1
x
x
x
x
→+

 
 
+
 
35. ( )
tan
0
lim arcsin
x
x
x
+
→
17 / 18
5.1.
( ) ( )
( )
2
3
3 2
2 3
2
0 0 0 0
1
6 2
1 1 sin cos 1
3
lim cot lim lim lim
sin 3
x x x x
x x x
x O x x O x
x x x
x
x x x x x
x x O x

→ → → →
   
− + − − +
   
−
     
− = = = =
 
+
 
   
5.2.
( )
( )
2
2
2
2 2 2
0 0 0
ln 1 2 1
2
lim lim lim
2
x x x
x x
x O x x
x x
x x x
→ → →
 
− + −
  −
+ −  
= = = −
5.3.
( )
2 4 2
2 4
4
4 4 4
0 0 0
1 1
cos 1 2 24 2 1
2 24
lim lim lim
24
x x x
x x x
x x
O x
x
x x x
→ → →
 
− + + − +
 
− +
 
= = =
5.4.
( ) ( )
3
3
3 3
3 3 3
0 0 0
2
3 3
tan sin 2
3
lim lim lim
3
x x x
x x x
x O x x O x
x x
x x x

→ → →
   
+ + − − +
   
−    
= = =
5.5.
( ) ( )
3
3
3 3
3 3 3
0 0 0
3 6
arctan arcsin 1
2
lim lim lim
2
x x x
x x x
x O x x O x
x x
x x x

→ → →
   
− + − + +
    −
−    
= = = −
5.6.
( )
( )
3 5
3
3 3 5 3
0 0
3
2
tan 3 15 3
3
lim lim 16
sin
6 6 120 6
x x
x x x
x x O x x
x x
x x x x
x x x O x x


→ →
 
+ + + − −
− −  
 
= =
 
− + − + + − +
 
 
5.7.
( )
2
2 2
0
ln 1 sin
lim
1 x
x
x x
e−
→
+ −
−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
ln 1 ln 1
sin sin
1 1
1
x
x x O x x x O x
x x O x x x O x
x
e O x x O x
−

 + = +  + = +


= +  = +


−
 = + + − = − +


Vậy
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
0 0 0
ln 1 sin 0
lim lim lim 0
1 1 1
x
x x x
x O x x O x
x x
x
e x O x
−
→ → →
   
+ − +
+ −    
= = =
 
− − − +
 
5.8.
( )
( )
2 3 2
2 3
2
3
3
3
0 0 0 0
3
1
1 1
1 4 6 2 2 6 2 6
2
lim lim lim lim 1
1
sin
6
6
6
x
x x x x
x x x x x x
x x O x x
e x
x
x x x
x x O x
→ → → →
 
+ + + + − − −
  − + − +
− − −
 
= = = =
−  
− − +
 
 
5.9.
( )
( ) ( )
3 5 3 5
5
5 5 3
3
5 5 5
0 0 0
2
2 2
2 tan sin 3 15 6 120 1
4
lim lim lim
4
x x x
x x x x x
x O x x O x x
x x x
x x x
→ → →
   
+ + + − − + + −
   
− −    
= = =
5.10. 2 1
lim ln 1
x
x x
x
→+
 
 
− +
 
 
 
 
18 / 18
5.11.
( )
2 2
2
2 2 2 2
0 0 0
1 sin cos 2cos2
lim cot lim lim
sin 1 cos2
x x x
x x x
x
x x x x x
→ → →
− −
 
− = =
 
−
 
( )
( )
4
4
2 4
2
4 4 2
2 2 2
0 0 0
2 2
2 1 2 1 2
3 1 2 2 2
3
lim lim lim
3 3
2
x x x
x x
x O x x
x x x
x x O x
→ → →
 
− − + +
  − + +
 
 
= = = − + + =
 
   
+
 
5.12. 6 6
6 5 6 5
lim
x
x x x x
→+
 
+ − −
 

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Jackson Linh
 
03 matrannghichdao
03 matrannghichdao03 matrannghichdao
03 matrannghichdao
Lê Công Tuấn Anh
 
Potencias resueltas
Potencias resueltas Potencias resueltas
Potencias resueltas
Rodrigo Huanca Torrez
 
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng GiácÔn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Linh Nguyễn
 
Pembahasan soal uas bersama mtk teknik kelas xii des. 14 by Pak Sukani
Pembahasan soal uas bersama mtk teknik kelas xii des. 14 by Pak SukaniPembahasan soal uas bersama mtk teknik kelas xii des. 14 by Pak Sukani
Pembahasan soal uas bersama mtk teknik kelas xii des. 14 by Pak Sukani
sukani
 
Identidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulo simpleIdentidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulo simple
TAFURH
 
20 deluyentapgiaitich1
20 deluyentapgiaitich120 deluyentapgiaitich1
20 deluyentapgiaitich1
Tran Anh
 
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltosEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos
Dalia Portocarrero
 
Capitulo 5 Soluciones Purcell 9na Edicion
Capitulo 5 Soluciones Purcell 9na EdicionCapitulo 5 Soluciones Purcell 9na Edicion
Capitulo 5 Soluciones Purcell 9na Edicion
FranciscoAlfonso TorresVeliz
 
Chương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuongChương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuong
vpmity
 
Solution manual for a survey of mathematics with applications 8th edition by ...
Solution manual for a survey of mathematics with applications 8th edition by ...Solution manual for a survey of mathematics with applications 8th edition by ...
Solution manual for a survey of mathematics with applications 8th edition by ...
AliDan123
 
Operaciones combinadas con números enteros
Operaciones combinadas con números enterosOperaciones combinadas con números enteros
Operaciones combinadas con números enteros
Educación
 
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giácChuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
phamchidac
 
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 - CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 - CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈBỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 - CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 - CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
BOIDUONGTOAN.COM
 
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer gradoEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado
25164381
 
tổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giai
tổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giaitổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giai
tổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giai
Hoàng Thái Việt
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
Jackson Linh
 
Semana 4
Semana 4Semana 4
Nhị thức newton và công thức tổ hợp
Nhị thức newton và công thức tổ hợpNhị thức newton và công thức tổ hợp
Nhị thức newton và công thức tổ hợp
Thế Giới Tinh Hoa
 

Was ist angesagt? (20)

Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
 
03 matrannghichdao
03 matrannghichdao03 matrannghichdao
03 matrannghichdao
 
Potencias resueltas
Potencias resueltas Potencias resueltas
Potencias resueltas
 
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng GiácÔn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
 
Pembahasan soal uas bersama mtk teknik kelas xii des. 14 by Pak Sukani
Pembahasan soal uas bersama mtk teknik kelas xii des. 14 by Pak SukaniPembahasan soal uas bersama mtk teknik kelas xii des. 14 by Pak Sukani
Pembahasan soal uas bersama mtk teknik kelas xii des. 14 by Pak Sukani
 
Identidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulo simpleIdentidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulo simple
 
20 deluyentapgiaitich1
20 deluyentapgiaitich120 deluyentapgiaitich1
20 deluyentapgiaitich1
 
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltosEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos
 
Capitulo 5 Soluciones Purcell 9na Edicion
Capitulo 5 Soluciones Purcell 9na EdicionCapitulo 5 Soluciones Purcell 9na Edicion
Capitulo 5 Soluciones Purcell 9na Edicion
 
Chương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuongChương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuong
 
Solution manual for a survey of mathematics with applications 8th edition by ...
Solution manual for a survey of mathematics with applications 8th edition by ...Solution manual for a survey of mathematics with applications 8th edition by ...
Solution manual for a survey of mathematics with applications 8th edition by ...
 
Operaciones combinadas con números enteros
Operaciones combinadas con números enterosOperaciones combinadas con números enteros
Operaciones combinadas con números enteros
 
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giácChuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
 
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 - CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 - CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈBỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 - CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 - CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
 
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer gradoEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado
 
tổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giai
tổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giaitổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giai
tổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giai
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
 
01 ma tran
01 ma tran01 ma tran
01 ma tran
 
Semana 4
Semana 4Semana 4
Semana 4
 
Nhị thức newton và công thức tổ hợp
Nhị thức newton và công thức tổ hợpNhị thức newton và công thức tổ hợp
Nhị thức newton và công thức tổ hợp
 

Ähnlich wie Ôn tập.pdf

Regla derivadas
Regla derivadasRegla derivadas
Regla derivadas
flor2505castillo
 
Samuel quero laplace
Samuel quero laplaceSamuel quero laplace
Samuel quero laplace
samuelquero
 
TAREA 1.1.pdf
TAREA 1.1.pdfTAREA 1.1.pdf
TAREA 1.1.pdf
EsnaidertZuiga
 
Analysis u bs loesungen
Analysis u bs loesungenAnalysis u bs loesungen
Analysis u bs loesungen
PaulFestl
 
05 abiturvorbereitung analysis ableitungsregeln
05 abiturvorbereitung analysis ableitungsregeln05 abiturvorbereitung analysis ableitungsregeln
05 abiturvorbereitung analysis ableitungsregeln
PaulFestl
 
Solucion a la primera asignacion de algebra lineal
Solucion a la primera asignacion de algebra linealSolucion a la primera asignacion de algebra lineal
Solucion a la primera asignacion de algebra lineal
Luis Alberto Serrano Loyo
 
Deber+De+Integrales[1]
Deber+De+Integrales[1]Deber+De+Integrales[1]
Deber+De+Integrales[1]
Niveck
 
Mm 201 limites_en_el_infinito
Mm 201 limites_en_el_infinitoMm 201 limites_en_el_infinito
Mm 201 limites_en_el_infinito
cruzcarlosmath
 
Taller 4 Integral definida - Ejercicios resueltos - Calculo Integral
Taller 4 Integral definida - Ejercicios resueltos - Calculo IntegralTaller 4 Integral definida - Ejercicios resueltos - Calculo Integral
Taller 4 Integral definida - Ejercicios resueltos - Calculo Integral
WILLIAMBARRIOS16
 
Test κλασματικές εξισώσεις Β Γυμνασίου
Test κλασματικές εξισώσεις Β ΓυμνασίουTest κλασματικές εξισώσεις Β Γυμνασίου
Test κλασματικές εξισώσεις Β Γυμνασίου
peinirtzis
 
Mathelösungen
MathelösungenMathelösungen
Mathelösungen
Schoenberg
 
01clase 8 once inecuaciones valor absoluto
01clase 8 once inecuaciones valor absoluto01clase 8 once inecuaciones valor absoluto
01clase 8 once inecuaciones valor absoluto
Mateslide
 

Ähnlich wie Ôn tập.pdf (20)

Baldor
BaldorBaldor
Baldor
 
Baldor
BaldorBaldor
Baldor
 
Regla derivadas
Regla derivadasRegla derivadas
Regla derivadas
 
Samuel quero laplace
Samuel quero laplaceSamuel quero laplace
Samuel quero laplace
 
Ficha Productos Notables
Ficha Productos NotablesFicha Productos Notables
Ficha Productos Notables
 
Ficha Productos Notables
Ficha Productos NotablesFicha Productos Notables
Ficha Productos Notables
 
TAREA 1.1.pdf
TAREA 1.1.pdfTAREA 1.1.pdf
TAREA 1.1.pdf
 
7
77
7
 
Analysis u bs loesungen
Analysis u bs loesungenAnalysis u bs loesungen
Analysis u bs loesungen
 
05 abiturvorbereitung analysis ableitungsregeln
05 abiturvorbereitung analysis ableitungsregeln05 abiturvorbereitung analysis ableitungsregeln
05 abiturvorbereitung analysis ableitungsregeln
 
Matemática u
Matemática uMatemática u
Matemática u
 
Solucion a la primera asignacion de algebra lineal
Solucion a la primera asignacion de algebra linealSolucion a la primera asignacion de algebra lineal
Solucion a la primera asignacion de algebra lineal
 
PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLESPRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES
 
Deber+De+Integrales[1]
Deber+De+Integrales[1]Deber+De+Integrales[1]
Deber+De+Integrales[1]
 
Mm 201 limites_en_el_infinito
Mm 201 limites_en_el_infinitoMm 201 limites_en_el_infinito
Mm 201 limites_en_el_infinito
 
Taller 4 Integral definida - Ejercicios resueltos - Calculo Integral
Taller 4 Integral definida - Ejercicios resueltos - Calculo IntegralTaller 4 Integral definida - Ejercicios resueltos - Calculo Integral
Taller 4 Integral definida - Ejercicios resueltos - Calculo Integral
 
Test κλασματικές εξισώσεις Β Γυμνασίου
Test κλασματικές εξισώσεις Β ΓυμνασίουTest κλασματικές εξισώσεις Β Γυμνασίου
Test κλασματικές εξισώσεις Β Γυμνασίου
 
Mathelösungen
MathelösungenMathelösungen
Mathelösungen
 
A
AA
A
 
01clase 8 once inecuaciones valor absoluto
01clase 8 once inecuaciones valor absoluto01clase 8 once inecuaciones valor absoluto
01clase 8 once inecuaciones valor absoluto
 

Ôn tập.pdf

  • 1. 1 / 18 BÀI TẬP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. ( ) 2 2 2 4 1 1 arctan 4 2 4 2 2 d x xdx x C x x + = = + + +   2. ( )( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 2 1 2 1 2 1 dx dx x dx C x x x x x x x x x x   + = = − + = − + +   − + − + − −      3. 4 4 3 3 4ln3 x x dx C = +  4. 2 sin 4 cos x dx x +  Đặt cos sin t x dt xdx =  = − 2 2 2 2 sin ln 4 ln cos 4 cos 4 cos 4 x dt dx t t C x x C x t = − = − + + + = − + + + + +   5. 2 2 1 1 2 arctan 7 4 7 4 2 7 7 4 dx dx x C x x = = + + +   6. 2 2 1 arcsin 1 1 1 x x x x e dx dx C e e e = =  + − −   7. arccos xdx  Đặt 2 arccos 1 dx du u x x dv dx v x  = =    −   =   =  ( ) 2 2 2 2 1 1 arccos arccos arccos arccos 1 2 1 1 d x xdx xdx x x x x x x x C x x − = + = − = − − + − −    8. arctan x xdx  Đặt 2 2 arctan 1 2 dx du u x x dv xdx x v  =  =   +    =   =   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 arctan 1 arctan 1 1 arctan 1 2 2 1 2 2 1 1 arctan arctan 1 arctan 2 2 2 x x x dx x x x xdx dx x x x x x x x x x C C   = − = − −   + +   + − = − − + = +   
  • 2. 2 / 18 9. ( ) 2 1 x xe dx x +  Đặt ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 x x x x u xe du e xe dx x e dx dx dv v x x  =  = + = +      − = =   + +   ( ) 2 1 1 1 1 x x x x x x xe dx xe xe e e dx e C C x x x x = − + = − + + = + + + + +   10. arcsin 1 x dx x −  Đặt arcsin 2 1 2 1 1 dx u x du x x dx dv v x x   = =   −    =   = − − −   arcsin 2 1 arcsin 2 1 arcsin 2 1 x dx dx x x x x x C x x = − − + = − − + + −   11. ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 4 d x d x x x x dx dx dx x x x x x x x x x   +   + + − +   = − = − + + + + + + + +   + +          ( ) 2 2 1 1 3 2 1 2 1 2 ln 1 . arctan ln 1 3arctan 2 2 2 3 3 3 2 x x x x C x x C   +   +     = + + − + = + + − +           12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2 d x x d x x x dx dx dx dx x x x x x x x x x + + + + + = + = +   + + + + + + + + + +        ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 3 2 2 3 1 2 1 1 1 1 arctan 4 2 3 2 2 d x x C x x x x x x x C x x   + + = − + + +   + + + + + +       − +   = + +     + +      13. ( )( ) 2 1 1 1 1 1 ln 4 5 1 5 6 1 5 6 5 −   = = − = +   + − − + − + +      dx dx x dx C x x x x x x x 14. ( )( ) 2 1 1 1 1 4 ln 1 4 3 4 1 3 1 5 4 dx dx x dx C x x x x x x x −   = = − = +   − − − − − − +     
  • 3. 3 / 18 15. 4 2 6 13 xdx x x + +  Đặt 2 1 2 t x dt xdx = +  = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 3 arctan arctan 6 13 2 2 4 2 4 2 2 4 2 4 d t xdx dt t x C C x x t t + + + = = = + = + + + + + + +    16. ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 1 2 1 1 7 17 5 6 2 3 6 2 2 3 3 x x dx dx dx x x x x x x x x x   − − = = − − +   − + − − − −      ln 7ln 2 17ln 3 6 2 3 x x x C − − = − − + + 17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 7ln 2 20ln 1 3 2 1 7 20 4 4 9 2 9 1 9 9 3 3 1 2 3 1 x x x x dx dx C x x x x x x   + − + − = + + = + − +   + − − − + −       18. 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 d x d x dx x x x x x dx dx dx x x x x x x x x x x x     − + + −         = = − = − +     + + + − + + −               2 2 2 1 1 2 1 1 arctan ln 1 2 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 arctan ln 2 2 2 4 2 2 1 x x x x C x x x x x C x x x   − + −   = − +     + +     − − + = − +   + +   19. ( )( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 6 1 1 9 28 1 1 5 6 2 3 6 2 2 3 3 x x x dx dx dx x x x x x x x x x     + − + = + = + − +     − + − − − −        ln 9ln 2 28ln 3 6 2 3 x x x x C − − = + − + + 20. ( )( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2 5 4 5 4 16 1 1 arctan arctan 5 4 3 2 1 4 3 4 3 1 x x x dx dx dx x C x x x x x x   + +     = = − = − +   + + + + + +          21. ( )( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 dx dx x x dx dx x x x x x x x x x x x x   − −     = = − = − +   + + − + + + − + − + − +           ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 2 4 ln 1 ln 1 2 1 2 3arctan 3 6 3 d x d x x dx x dx dx dx x x x x x x x x x x x x x C   −   − + −   = − + = − + + − + − + + − +   − +     − + + − = − + +      
  • 4. 4 / 18 22. 2 1 dx x x +  Đặt 2 2 2 1 1 tdt t x x t dx x = +  = −  = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln 1 ln ln ln 1 2 1 2 1 2 2 1 1 dx dt dt t t C x x C t t t t t x x   = = + − = − − + = − + +   + − − +      23. 1 1 dx x x + + +  Đặt ( ) 2 2 4 2 3 1 1 1 1 1 1 2 4 2 t t t x x x x t x x dx dt t t t t − − = + +  = + −  − =  =  = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 3 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ln 2 2 1 1 1 1 ln 1 2 1 2 1 ln 1 1 2 2 2 4 dx t t t t dt dt dt t t t t t t x x t t C t t x x x x C x x x x x x x x x x C − − + −   = = = − + −   + + + +     = − − + +         = + + − + + − + +   + + + +     + + + = − + − + +     24. 3 1 x dx x −  25. ( ) 3 4 dx x x +  Đặt 6 5 6 6 t x t x t dt dx =  =  = ( ) ( ) 5 2 6 6 2 2 2 3 3 6 4 6 6 1 6 12arctan 6 12arctan 4 4 2 2 4 4 dx t dt t dt t x dt t C x C t t t t x x   = = = − = − + = − +   + + +   +     26. 2 1 x dx x −  Đặt 2 1 t x tdt xdx = −  = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 arctan 1 arctan 1 1 1 x t dt dx dt t t C x x C x t t −   = = − = − + = − − − +   + +      27. ( ) ( ) 2 2 4 arcsin 1 4 8 16 4 d x dx x C x x x −   = = − +     − − −   28. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 arcsin 2 2 x x x x x x dx x d x C + − − + − − = − + + = + +  
  • 5. 5 / 18 29. ( ) 3 2 1 x dx −  30. 2 1 1 4 5 x x dx x   + − + +      Đặt ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 12 1 5 6 1 1 4 5 4 5 1 5 1 6 1 1 5 tdt dx t t x t t t x x x x x t x t x x t −  =  +   − =   +   + = − + +   − + + =   + −   =   +  + =  −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 6 6 12 432 1 4 5 . . 5 1 1 1 5 10 10 60 72 5 1 1 1 t tdt tdt x x dx x t t t t t dt dt dt dt t t t t − −   + − + + = =   − +   + + − = − − − + − + + +        ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 5 5 arctan 3arctan 5ln 10arctan 60 72 2 1 8 5 1 5 3 18 5ln 13arctan 1 5 1 5 5 1 5 1 5 5 1 5ln 13arctan 1 2 1 2 1 5 5 1 5 5 5 5ln 13a 5 5 5 t t t t t t t C t t t t t t t C t t t x x x x x x x C x x x x x x x x x    + +     = − − − + + + +     + −   +   − = − − + + + + + − − + − + − − + = − − + + + + + − + + + − − = − + + − 2 5 4 5 rctan 1 2 x x x x C x − − + + + + + 31. 2 1 dx x x x + + +  Đặt ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 t t t t x x x x dx dt t t  + + − − = + +  =  = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 3 2 2 3 3 2ln ln 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 3ln 2 2 1 1 3 2ln 1 2 2 2 2 1 1 dx t t dt dt dt dt t t C t t t t t t x x x x x x x x x C x x x    + + = = − − = − + + + + + + + + + + + + + + = + + + − + + + + + +     
  • 6. 6 / 18 32. ( ) 2 4 1 1 1 x dx x x − + + +  Đặt 2 2 2 1 1 1 2 2 t t t x x x dx dt t t  − + − = +  =  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 1 4 1 2 3 2 1 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 4ln 1 ln 2 1 1 1 4ln 1 1 ln 1 1 1 t t x dx t t t t dt dt dt t t t t t t t t x x t t t C t t x x x x x x C x x x x   − − +   − − − −     = = = − + − −   + + +   + + + = − + + + + + = + + − + + + + + + + + + + + + +     33. 3 sin xdx  Đặt cos sin t x dt xdx =  = ( ) 3 3 3 2 cos sin 1 cos 3 3 t x xdx t dt t C x C = − = − + = − +   34. 3 8 sin cos x dx x  Đặt cos sin t x dt xdx =  = ( ) 2 3 8 8 7 5 7 5 1 sin 1 1 1 1 cos 7 5 7cos 5cos t dt x dx C C x t t t x x − = = − + + = − + +   35. ( ) 2 2 2 1 1 1 sin 4 sin cos sin 2 1 cos4 4 8 8 4 x x xdx xdx x dx x C   = = − = − +        36. 3 5 sin cos dx x x  Đặt 2 2 2 cos tan 1 1 cos dx dt x t x t x  =   =    + =   ( ) 3 3 5 2 6 3 3 2 2 4 3 3 3 2 2 4 2 1 . sin sin cos cos cos cos 1 1 3 1 3 3 3ln 2 2 4 1 3tan tan 3ln tan 2tan 2 4 dx dx x x x x x x t t t dt t t dt t C t t t t x x C x = +   = = + + + = − + + + +     = − + + + +    
  • 7. 7 / 18 37. 4 2 sin cos dx x x  Đặt 2 2 2 cos tan 1 1 cos dx dt x t x t x  =   =    + =   ( ) 4 4 2 2 4 4 2 4 2 4 3 3 1 . sin sin cos cos cos cos 1 2 1 2 1 1 3 2 1 tan tan 3tan dx dx x x x x x x t dt dt t C t t t t t x C x x = +   = = + + = − − +     = − − +     38. 3cos 2 dx x +  Đặt ( ) 2 2 2 1 1 2 tan 2 1 cos 1 dt t dx x t t x t  = +   =   −  =  +  ( ) 2 2 2 2 tan 5 1 5 1 2 2 2 ln ln 3cos 2 5 5 5 5 1 tan 5 1 3 2 2 1 x dx dt dt t C C x x t t t t t + + = = = + = + + −   −   − − + +     +        39. 1 x e dx −  Đặt 2 2 1 2 1 x x tdt t e tdt e dx dx t = −  =  = + 2 2 2 2 2 1 2 2 2arctan 2 1 2arctan 1 1 1 x x x t e dx dt dt t t C e e C t t   − = = − = − + = − − − +   + +      40. ( ) 2 ln 4 x x dx +  Đặt ( ) 2 2 2 2 ln 4 4 2 xdx du u x x x dv xdx v  =   = +   +    =    =   ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 ln 4 ln 4 2 4 ln 4 4 2 4 x x x x x dx dx x x x x x dx x + + = − + +   = − −   +     
  • 8. 8 / 18 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 4 4 2 2 4 ln 4 2ln 4 2 2 x x d x xdx x x x x x C + + = − + + + = − + + +   41. ( ) 1 ln x x x dx +  ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln 1 ln 1 ln 1 ln x x x x x x x x x x e x x e x x x x dx x C  =  = + = +  + = + 
  • 9. 9 / 18 BÀI TẬP KHAI TRIỂN TAYLOR – MACLAURIN 11. ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 x f x x x x x x − −   = = − = + − +   + +   + + ( ) ( ) 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 1 1 2 2 2 2 2 1 3 7 15 31 2 4 8 16 32 x x x x x x x x x O x O x x x x O x                   = + + + + + − + + + + +                             = − + − + + 12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 1 2 2 2! 3! x x x x x x f x e x x O x x  − − −   = = + − + + + −     ( ) ( ) 2 3 4 3 4 5 6 3 2 3 3 2 3 4 4 8 12 6 1 2 2 2 6 2 1 2 3 x x x x x x x x x O x x x x x O x − + − + −   = + − + + + −     = + + − + 13. ( ) tan f x x = 2 4 6 3 5 7 sin tan cos tan sin 1 ... tan ... (*) cos 2! 4! 6! 3! 5! 7! x x x x x x x x x x x x x x   =  =  − + − + = − + − +       Do hàm lẻ nên đặt ( ) 3 5 7 tan ... , , , , ... x ax bx cx dx a b c d = + + +  ( ) 2 4 6 3 5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7 (*) 1 ... ... ... 2! 4! 6! 3! 5! 7! ... ... 2! 2! 4! 2! 4! 6! 3! 5! 7! x x x x x x ax bx cx dx x a b a c b a x x x ax b x c x d x x    − + − + + + + + = − + − +              + − + − + + − + − + = − + − +             Đồng nhất thức 1 1 1 1 2! 3! 3 1 2 2! 4! 5! 15 1 17 2! 4! 6! 7! 315 ... ... a a a b b b a c c c b a d d = =     − = − =       − + =  =       − + − = =       Vậy ( ) ( ) 2 5 5 2 tan 3 15 x x f x x x O x = = + + +
  • 10. 10 / 18 14. ( ) 2 arcsin 1 x f x x = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 1 2 2 2 4 6 1 1 3 1 3 5 2 2 2 2 2 2 (arcsin ) 1 1 ... 1! 2! 3! 3 5 1 ... 2 8 16 x x x y x x x x x −          − − − − − − − − −                     = = − = + + + + = + + + + Vậy ( ) 2 4 6 3 5 0 0 3 5 3 arcsin 1 ... arcsin ... 2 8 16 6 40 x x x x x x x t dt dt x x    = + + + +  = + + +         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 3 5 2 2 5 2 2 2 3 5 2 4 5 4 3 5 5 arcsin arcsin 1 1 1 3 3 1 2 2 1 6 40 2 2 3 3 1 6 40 2 8 2 8 3 15 x f x x x x x x x O x x x O x x x x x x O x O x x x x O x −   = = + −     −      − −                 = + + + + − − + − + −                         = + + + + + +             = + + + 15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 5 4 6 2 5 5 2 6 3 3 8 arcsin 6 40 6 40 3 45 x x x x x x f x x x O x x O x x O x     = = + + + + + + = + + +             16. ( ) ( ) 3 5 3 5 4 6 2 2 2 sin ... ... ... 6 120 6 120 3 45 x x x x x x f x x x x x     = = − + − − + − = − + −             17. ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 4 8 2 4 4 ln 4 ln4 ln 1 ln4 ... ln4 ... 4 4 2 3 4 32 192 x x x x x x x f x x                           = + = + + = + − + − = + − + −               18. ( ) 1 2 2 2 2 2 4 3 2 3 1 2 1 3 3 8 2 1 2 1 ... 2 ... 8 3 8 2 8 12 288 x x x x x f x x     −               = + = + = + + + = + − +                        
  • 11. 11 / 18 2.1. tan = y x ( ) ( ) 2 2 4 2 4 cos 1 2! 4! t t t O t − −   = − + +       ( ) 2 2 4 4 1 2 24 t t O t −       = + − + +           ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 4 4 4 4 2 2 4 4 4 2 4 2.3 1 2 2 24 2 2 24 2 2.3 1 1 24 2 2 2 1 3 t t t t O t O t O t t t O t t t O t     = − − + + + − + + +                 = + + − + − +           = + + + Vậy ( ) ( ) 4 2 5 2 4 5 2 0 0 2 2 1 tan 3 3 15 cos   = + + +  = + + +         x x dt t x x t O t dt x x O x t 2.2. ( ) 3 5 5 3 arcsin 6 40 x x y x x O x = = + + + 2.3. ( ) 3 5 5 3 arccos arcsin 2 2 6 40 x x y x x x O x   = = − = − − − + 2.4. ( ) 3 5 5 arctan 3 5 x x y x x O x = = − + + 2.5. ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 3 2 2 x y x x x x x − −       = = − = − − − +       + − − +         ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 5 2 3 4 5 5 2 3 4 5 5 1 1 1 3 2 4 8 16 32 64 1 3 5 9 17 33 65 3 2 4 8 16 32 64 x x x x x O x x x x x x O x x x x x x O x       = − + − + − + + − − + − + − +             = − + − + − + +     2.6. ( ) ( ) 1 2 3 4 5 5 2 3 5 2 2 5 1 2 5 1 1 1 x y x x x x x x O x x x − −   = = − = − + = − − + − + − +     + + ( ) 2 3 4 5 5 3 5 5 5 5 5 x x x x x O x = − + − + − + + 2.7. ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 x x y x e x e − = + − −
  • 12. 12 / 18 2.8. ( ) ( ) 1 ln ln 1 ln 1 1 x y x x x −   = = − − +   +   ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 2 3 4 5 5 5 3 5 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 2 2 3 5 x x x x x x x x x O x x O x x x x O x     = − − − − − + − − + − + +             = − − − + 2.9. ( ) ( ) ( ) 3 5 3 5 5 5 5 5 3 arcsin sin 2 6 40 6 120 12 x x x x x y x x x O x x O x x O x     = + = + + + + − + + = + +             2.10. ( ) ( ) ( ) 3 5 2 4 6 3 4 5 5 6 5 sin cos 1 1 3! 5! 2! 4! 6! 6 24 120     = + = − + + + − + − + = + − + + +             x x x x x x x x y x x x O x O x x O x 2.11. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 5 5 5 1 1 32 128 4 cos 3 .sin sin 4 sin 2 4 2 2 2 3 15 3 15 x x x x y x x x x x O x x O x          = = − = − + + − − + +                 ( ) 3 5 5 14 62 3 5 x x x O x = − + + 2.12. ( ) ( ) 2 3 4 3 5 4 5 sin 1 2 6 24 6 120 x x x x x x y e x x O x x O x     = = + + + + + − + +             ( ) ( ) 3 4 5 5 3 5 2 5 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 6 6 6 120 2 6 24 3 30 x x x x x O x x x x x O x  − −       = + + − + + + + + +             = + + − +
  • 13. 13 / 18 3.1. ( ) 2 3 4 5 sin 5 sin sin sin sin 1 sin sin 2 6 24 120 x x x x x e x O x = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 4 3 4 2 5 3 5 5 5 6 6 1 6 120 2 6 24 120 x x x O x x O x x O x x O x x x x O x O x     − + − +     +       +     = + − + + + + + + +       ( ) ( ) 4 5 2 3 3 5 4 5 5 2 4 5 5 3 2 1 6 120 2 6 24 120 1 2 8 15 x x x x x x x x x O x x x x x O x − − = + − + + + + + + = + + − − + 3.2. tan x e 3.3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 cos 1 cos 1 ln cos ln 1 cos 1 cos 1 cos 1 2 3 x x x x x O x − −   = + − = − − + + −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 4 2 4 2 2 4 6 6 6 2 4 6 4 6 6 6 2 4 6 6 2 24 2 2 24 720 2 3 2 24 720 8 48 48 2 12 45 x x x O x O x x x x O x O x x x x x x x O x x x x O x     − + + − +               = − + − + − + +         = − + − − − + +       = − − − + 3.4. 2 ln 1 x x   + +     ( ) ( ) ( ) 1 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 1 3 1 3 2 2 1 1 1 2 2 2 8 1 x x x x x O x O x x −    − −         = + = − + + = − + +     + Vậy ( ) ( ) 2 4 2 5 4 2 5 2 0 0 3 3 1 ln 1 2 8 6 40 1 x x dt t t x x O t dt x x x O x t     = − + +  + + = − + +         +     3.5. sin ln x x      
  • 14. 14 / 18 3.6. ( ) ( ) 1 2 3 4 5 5 1 1 sin 1 sin sin sin sin sin sin 1 sin x x x x x x O x x − = + = − + − + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 5 3 3 4 5 5 4 3 2 5 1 6 120 6 6 x x x x x O x x O x x O x x O x x O x O x             = − − + + + − + − − + + + − + +             ( ) ( ) 3 5 4 5 2 3 4 5 5 3 4 5 2 5 1 6 120 3 2 5 2 61 1 6 3 120 x x x x x x x x x O x x x x x x O x     = − + − + − − − + − +             = − + − + − + 3.7. ( ) ( ) 2 4 6 6 sin sin sin cos sin 1 sin 2 24 720 x x x x O x = − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 5 3 5 3 6 6 2 4 6 4 6 6 6 2 4 6 6 6 120 6 1 2 24 720 1 2 6 45 24 36 720 5 37 1 2 24 720 x x x x O x x O x x O x O x x x x x x x O x x x x O x     − + + − +         +     = − + − +     = − − + + − − +             = − + − + 3.8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 2 2 2 5 2 5 2 2 2 2 1 2 2 6 24 120 x x x x x x x x x e x x O x  − − − − = + − + + + + + ( ) ( ) 2 3 4 3 4 5 4 5 5 2 5 3 4 5 2 5 4 6 8 12 6 16 32 32 1 2 2 6 24 120 2 5 1 2 3 6 15 x x x x x x x x x x x O x x x x x x O x − + − + − = + − + + + + + = + + − − − + 3.9. ( ) tan sin x 3.10. ( ) sin tan x 3.11. 3 2 3 1 2 1 3 x x x x − + − − +
  • 15. 15 / 18 BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN 21. ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 3 4 3 4 3 4 0 0 0 0 2 3 3 tan sin 2 2 3 lim lim lim lim 3 1 3 x x x x x x x x O x x O x x x x x x x x x x  → → → →     + + − − +     −     = = = = − − − − 22. ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 2 0 0 0 0 1 6 2 1 1 sin cos 1 3 lim cot lim lim lim sin 3 x x x x x x x x O x x O x x x x x x x x x x x x O x  → → → →     − + − − +     −       − = = = =   +       23. ( ) sin 3 0 1 cos lim x x x x → − 24. ( ) 1 0 1 lim x x e x x → − + 25. ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 3 3 3 3 3 0 0 0 3 1 1 2 2 2 6 2 6 2 3 lim lim lim 2 sin 6 6 x x x x x x x x x x x O x x O x x x e e x x x x x x x O x − → → →     + + + + − − + − + −     + − −     = = = −   − − +     26. 0 lncos2 lim sin x x x → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 lncos2 ln 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 1 1 2 2 x x x x O x O x O x x O x   = + − = − + − = − + − + = − +           Vậy ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 2 lncos2 lncos2 lim lim lim lim2 0 sin VCB x x x x x O x x x x x x x → → → → − + = = = − = 27. 2arctan lim 1 ln 1 x x x →+ −   +     Taylor bậc 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 arctan 1 1 4 arctan 1 1 1 4 2 1 1 2 f x x f x x O x f x f x   =  =       = + − +    =    = +    Taylor bậc 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ln 1 1 ln 2 1 1 ln 1 ln 2 1 1 2 1 1 2 g x g x x O x x g g x x x    = + =             + = − − +      −   = −    =   +  Vậy ( ) ( ) 1 2 2 2 2arctan 2 2 4 2 lim lim lim lim 2 1 2ln2 1 1 2ln2 1 ln2 1 ln 1 2 →+ →+ →+ →+  −    +  − + + −    −  + −   = = = = − + + −   − + − +     x x x x x O x x x x x x O x x x
  • 16. 16 / 18 28. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 tan 1 1 1 2 lim lim lim lim ln 1 1 cos sin 2cos 2 L L x x x x x x x x x x x − − − − → → → →  − − − − = = = =−   − +   29. ( ) 2 2 0 0 0 0 2 3 1 ln lim ln lim lim lim 0 1 2 2 L x x x x x x x x x x x + + + + → → → → − = = = = − 30. ( ) lim 2arctan ln x x x →+  − 31. ( ) 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 ln ln ln L x x x x x x x x x x x + + + + → → → → −   − = = = =     32. ( ) ( ) ( ) ( ) ln 0 0 0 0 lim ln lim 1 lim 1 1 VCB x x x x x x x x x e e e +       → + + → → − + = = = = 33. 2 1 0 tan lim x x x x →       Xét: ( ) ( ) 3 3 2 2 0 0 0 0 0 2 1 tan 1 1 2 1 4 ln 2 1 1 sin cos sin2 3 lim lim lim lim lim 2 2 2 3 2 3 L x x x x x x x x x O x x x x x x x x x x x x → → → → → −   − − − +     = = = = = − 2 1 1 3 3 0 2 0 tan ln lim tan lim x x x x x x x e e e x         → →   = = =     34. 1 lim tan 2 1 x x x x →+      +   35. ( ) tan 0 lim arcsin x x x + →
  • 17. 17 / 18 5.1. ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 2 0 0 0 0 1 6 2 1 1 sin cos 1 3 lim cot lim lim lim sin 3 x x x x x x x x O x x O x x x x x x x x x x x x O x  → → → →     − + − − +     −       − = = = =   +       5.2. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ln 1 2 1 2 lim lim lim 2 x x x x x x O x x x x x x x → → →   − + −   − + −   = = = − 5.3. ( ) 2 4 2 2 4 4 4 4 4 0 0 0 1 1 cos 1 2 24 2 1 2 24 lim lim lim 24 x x x x x x x x O x x x x x → → →   − + + − +   − +   = = = 5.4. ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 2 3 3 tan sin 2 3 lim lim lim 3 x x x x x x x O x x O x x x x x x  → → →     + + − − +     −     = = = 5.5. ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 3 6 arctan arcsin 1 2 lim lim lim 2 x x x x x x x O x x O x x x x x x  → → →     − + − + +     − −     = = = − 5.6. ( ) ( ) 3 5 3 3 3 5 3 0 0 3 2 tan 3 15 3 3 lim lim 16 sin 6 6 120 6 x x x x x x x O x x x x x x x x x x x O x x   → →   + + + − − − −     = =   − + − + + − +     5.7. ( ) 2 2 2 0 ln 1 sin lim 1 x x x x e− → + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 1 ln 1 sin sin 1 1 1 x x x O x x x O x x x O x x x O x x e O x x O x −   + = +  + = +   = +  = +   −  = + + − = − +   Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ln 1 sin 0 lim lim lim 0 1 1 1 x x x x x O x x O x x x x e x O x − → → →     + − + + −     = = =   − − − +   5.8. ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 3 3 3 0 0 0 0 3 1 1 1 1 4 6 2 2 6 2 6 2 lim lim lim lim 1 1 sin 6 6 6 x x x x x x x x x x x x x O x x e x x x x x x x O x → → → →   + + + + − − −   − + − + − − −   = = = = −   − − +     5.9. ( ) ( ) ( ) 3 5 3 5 5 5 5 3 3 5 5 5 0 0 0 2 2 2 2 tan sin 3 15 6 120 1 4 lim lim lim 4 x x x x x x x x x O x x O x x x x x x x x → → →     + + + − − + + −     − −     = = = 5.10. 2 1 lim ln 1 x x x x →+     − +        
  • 18. 18 / 18 5.11. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 sin cos 2cos2 lim cot lim lim sin 1 cos2 x x x x x x x x x x x x → → → − −   − = =   −   ( ) ( ) 4 4 2 4 2 4 4 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 2 3 lim lim lim 3 3 2 x x x x x x O x x x x x x x O x → → →   − − + +   − + +     = = = − + + =       +   5.12. 6 6 6 5 6 5 lim x x x x x →+   + − −  