Distribution of the number of times m m 2 n

International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
31
DISTRIBUTION OF THE NUMBER OF TIMES M/M/2/N
QUEUING SYSTEM WITH HETEROGENEOUS SERVERS REACHES
ITS CAPACITY IN TIME T SUBJECT TO CATASTROPHES AND
RESTORATIONS
Dhanesh Garg
Lecturer, School Of Mathematics and Computer Applications,
Thapar University, Patiala-147004, Punjab, India
ABSTRACT
In this paper, we study the distribution of the number of times that a limited capacity
two heterogeneous servers Markovian queue subject to catastrophes and restorations reaches
its capacity in time t. The occurrence of a catastrophe makes the system empty instantly but
the system takes its own time to be ready to accept new customers, this time is referred to as
‘restoration time’. The afore said distribution is obtained as a marginal distribution of the
joint distribution of the number of customers in the system at time t and the number of times
system reaches its capacity in time t under the conditions of catastrophes and restorations.
Some measures of effectiveness are obtained explicitly with catastrophic and restoration
effects.
Keywords: Catastrophes, Heterogeneous servers, Markovian queue, Restoration, Finite
capacity.
1. INTRODUCTION
In the last one decade a lot of work has been done by various authors taking into
consideration the concept of catastrophe B.K. Kumar et. al. [1] obtained the transient solution
of an M/M/2 queue with heterogeneous servers subject to catastrophes. DI Crescenzo et. al.
[3] made a continuous approximation of M/M/1 queue with catastrophe. In all the above
mentioned studies the researchers have obtained the state probabilities in one way or the other
and have computed various measures of performance. In this paper, the occurrence of a
catastrophe makes the system empty instantly whenever the system is not empty but the
system takes its own time to ready to accept new customers, this time is referred to as ‘the
restoration time’. The system subjected to catastrophes must take some time for its restoration
after the occurrence of a catastrophe. We have obtained explicitly the distribution of the
IJMRD
© PRJ
PUBLICATION
International Journal of Management Research and
Development (IJMRD)
ISSN 2248 – 938X (Print)
ISSN 2248 – 9398(Online),
Volume 3, Number 2, April - May (2013), pp. 31-61
© PRJ Publication, http://www.prjpublication.com/IJMRD.asp

32
number of times the system reaches its capacity in time t under the effects of catastrophe and
restoration. Various other measures of performance have also been obtained explicitly.
2. MODEL DESCRIPTION
We consider an M/M/2/N queueing system having two heterogeneous servers with
FCFS discipline subject to catastrophes and restorations. The customers arrive at a counter in
accordance with a Poisson process with mean arrival rate λ>0. This model is based on the
following assumptions:-
1. There are two servers: server 1, the fast server and server 2, the slow server. The
service times are exponentially distributed with mean service rates µ1 and µ2
respectively and µ1>µ2.
2. If the system is empty, a customer joins the fastest server with probability p and the
slow with probability 1-p.
3. Each customer is served only at one server.
4. When the system is not empty, the catastrophes occur according to Poisson process
with mean rateξ .The occurrence of a catastrophe destroys all the customers in the
instants and affects the system as well. The system will require some sort of time to
restarts in a normal way, which is taken as restoration time. The restoration times are
independently, identically exponentially distributed with parameter β>0. The
customers arrive in the system during the restoration time as usual.
We define
m, nP (t) = Prob. [X(t) = m, Y(t) = n], 2 n N≤ ≤ (1)
Where
X (t) = the number of times the system reaches its capacity in time t.
Y (t) = the number of customers in the system at time t.
,0 ( )mP t = the prob. that the system is empty at time t.
,00 ( )mP t = The prob. that there are zero customers in the system at time t without the
occurrence of
Catastrophe.
,00 ( )mQ t = The prob. that there are zero customers in the system at time t with the occurrence
of
catastrophe destroying all the customers.
,1,0 ( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 1.
,0,1( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 2.
The marginal probabilities are
., ,
0
( ) ( )n m n
m
P t P t
∞
=
= ∑ And ,. ,
0
( ) ( )
N
m m n
n
P t P t
=
= ∑

33
3. DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS GOVERNING THE SYSTEM
,00 ,00 1 ,1,0 2 ,0,1 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0m m m m m
d
P t P t P t P t Q t n m
dt
λ µ µ β= − + + + = ≥ (2)
,00 ,00 ,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0
N
m m m n
n
d
Q t Q t P t n m
dt
λ β ξ
=
= − + + = ≥∑ (3)
,1,0 1 ,1,0 ,0 2 ,2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m
d
P t P t pP t P t n m
dt
λ µ ξ λ µ= − + + + + = ≥ (4)
,0,1 2 ,0,1 ,0 1 ,2( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m
d
P t P t p P t P t n m
dt
λ µ ξ λ µ= − + + + − + = ≥ (5)
, 1 2 , , 1 1 2 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;2 1, 0m n m n m n m n
d
P t P t P t P t n N m
dt
λ µ µ ξ λ µ µ− += − + + + + + + ≤ ≤ − ≥
(6)
, 1 2 , 1, 1( ) ( ) ( ) ( ) ; , 1m N m N m N
d
P t P t P t n N m
dt
µ µ ξ λ − −= − + + + = ≥ (7)
0, ( ) 0N
d
P t
dt
=
Taking Laplace transform of the equations (2)-(7) w.r.t. t we have
0,00 0,00 0,1,0 0,0,11 2 0,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0s P s P s P s P s Q s mλ µ µ β
− − − − −
= − + + + + = (8)
0,. 0,000,00 0,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 0sQ s Q s P s P s mλ β ξ
− − − −
= − + + − = (9)
,00 ,00 ,1,0 ,0,11 2 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m m ms P s P s P s P s Q s mλ µ µ β
− − − − −
= − + + + ≥ (10)
,. ,00,00 ,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 1m mm msQ s Q s P s P s mλ β ξ
− − − −
= − + + − ≥ (11)
,1,0 ,1,0 ,0 ,21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m ms P s P s p P s P s nλ µ ξ λ µ
− − − −
= − + + + + = (12)
,0,1 ,0,1 ,0 ,22 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )m m m ms P s P s p P s P sλ µ ξ λ µ
− − − −
= − + + + − + (13)
, , 1 , 11 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2,3,..., 1m n m n m ns P s P s P s n Nλ µ µ ξ λ µ µ
− − −
− ++ + + + = + + = − (14)
, 1, 11 2( ) ( ) ( ) ; , 1m N m Ns P s P s n N mµ µ ξ λ
− −
− −+ + + = = ≥ (15)
0, ( ) 0Ns P s
−
=
Since 0,00P (0) = 1
Where
, ,
0
( ) ( )st
m n m nP s e P t dt
∞−
−
= ∫
Define the probability generating functions by
,
0
( , ) ( ) m
n m n
m
P x s P s x
∞− −
=
= ∑ (16)

34
0
2
0 0 1,0 0,1
( , ; ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
N
n
n
n
H x y s R x s P x s y
R x s P x s P x s P x s
− − −
=
− − − −
= +
= + +
∑
(17)
. ,.
0
( , ) ( ) m
m
m
P x s P s x
∞− −
=
= ∑
(18)
Multiplying equation (8) to (15) by xm
, summing over the ranges of m and using (16), we
have
0 1,0 0,1 .1 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1, 0s P x s P x s P x s P x s nλ ξ µ µ ξ
− − − −
+ + = + + + = (19)
1,0 0 21 2( ) ( , ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ
− − −
+ + + = + (20)
0,1 0 22 1( ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ
− − −
+ + + = − + (21)
1 11 2 1 2( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ),2 1n n ns P x s P x s P x s n Nλ µ µ ξ λ µ µ
− − −
− ++ + + + = + + ≤ ≤ − (22)
11 2( ) ( , ) ( , )N Ns P x s x P x sµ µ ξ λ −
− −
+ + + = (23)
Using (19) to (21), we get
01 1 2 21
1,0 2 1 2
1
11
[( )( ) { ( ) }] ( , )
( , ) [ {2( ) }]
( ){( ) ( 1) ( , )}N
s s p P x s
P x s s
s s s x P x s
λ ξ µ λ ξ λ µ µ µ
µ λ ξ µ µ
µ λ ξ ξ λξ
−
−
−
−
−
−
 
+ + + + + − + − = + + + +
 
− + + + + + − 
(24)
02 1 2 21
0,1 1 1 2
1
12
[( )( ) { ( ) }] ( , )
( , ) [ {2( ) }]
( ){( ) ( 1) ( , )}N
s s p P x s
P x s s
s s s x P x s
λ ξ µ λ ξ λ µ µ µ
µ λ ξ µ µ
µ λ ξ ξ λξ
−
−
−
−
−
−
 
+ + + + + + + − = + + + +
 
− + + + + + − 
(25)
Multiplying equation (22) to (23) by yn
, summing over the ranges of n and using (17), we
have on simplification
1
2
( , ; )
D
H x y s
D
−
=
(26)
Where
1 2
0 1,0 0,11 1 2
1 1
2 1
1 2
[1 ] (1 )( ) ( , ) (1 )[ ( , ) ( , )]
(1 )
(1 ) ( , ) ( 1) ( 1) ( , )N
N
D y s y y R x s y y P x s P x s
x y
y y P x s s y x y x P x s
s
ξ λ µ µ λ
λ
λ ξ
µ µ ξ
− − −
−
− −
− +
−
= + + − − − − − + +
  −
− + − + − +  
+ + +  
2 1 2[( ) (1 )( ( ))]D s y y yξ λ µ µ= + + − − +
1
1 2
(1 )
( , ) ( , )N N
x y
P x s P x s
s
λ
µ µ ξ
− −
−
−
=
+ + +

35
2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( )
( ) , 1,2.
2
i
s s
s i
λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ µ
α
λ
+ + + + ± + + + + − × +
= =
The existence of ( , ; )H x y s
−
is only possible if numerator vanishes for α1 and α2 the two zeros
of the denominators. This will give rise two equations, solving them we have;
1
0
( , )
( , )
( , )
E x s
P x s
E x s
−
−
−
= (27)
2
1
(., )
( , )
( , )
N
E s
P x s
E x s
−
−
− −
=
(28)
Where
[ ]2 1
1 1 2 1 1 1
2 1 4
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
( ) [ ( )] { ( 1) ( )} ( ) ( ) ( 1)
[ ( )] [ { ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}]
( , ) [ ( 1)( ) [ ][ ( )]] (
s A x s s A s T N s T N
A A x s s T N T N T N T N
E x s s x s A A s A
λ ξ γ µ µ ξ λ µ ξ µ λ ξ
λ µ µ ξ λγ µ µ
λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ λγ
− −
− −
−
− − − −
+ + + + − − + + + + + + −
+ + + + − − − + + + − +
= − + + − − + + + + 2
1 2
2 2 2
1 2 1 1
2
1 2 1 2
1)[
( )( )] ( 1) ( 1) [ (2){ ( ) ( )}]
(2)( )
x s
s s T N x A s V A s s s
A A V
µ µ
ξ µ λ ξ λξ λγ ξ µ λ ξ
λγ µ µ
−
− − −
−
 
 
 
 
− + + 
 + + + + − + − + + + + + +
 
 + 
1
1
1 1
2 2
1 1 2 1 2 2 2 1 2 2
1 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 2 1 2 2
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)]
(., ) [( )( ) ][ (1){ ( )} (2) ( )]
( )[ (1){ ( )} (2){ } (3)
s A s A V B B B B V
E s s s s A V B B B V B A
V B B V B B V B
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λγ
ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ µ µ
µ µ µ µ λ λ
− −
−
− − −
+ − + + + − + + − + −
= + + + + + + − + + − + +
+ − + + − − − 2 ]
 
 
 
 
  
1
1 1
1
1 4 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
2 1 6
1 1 2 1 2 2
( 1) [{ ( )}{ (1) ( ) (2) (1){ ( )}}
{ ( ) ( )}{ ( ) (1) (2) { }}] [ ( 1)
( , ) ( ) ][( ) ( 1)
x s A s B V B V V B B
A A s B V B V B B x
E x s A A x s B V N B
λξ λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ
µ µ µ λ ξ µ µ λγ γ λ λ
λ µ µ ξ µ µ λγ
− − −
− −
−
− −
− + + + + + + − + +
+ − + − + + + + + − + + −
= + + + + + + − 1
1
1 1
2
2 2 1 2
4 2 1 6 2
2 1 1 2 1 2 2 2
4
2 1 2 2
( 2) ( ){ ( )}
( 1){ }] ( ) [( ) ( 2) ( 1)
( 1){ ( )} ( ){ }]
V N V N B B
V N B B A x s B V N B V N
V N B B V N B B
γ µ µ
γ λ λ µ µ ξ µ µ λγ γ
µ µ γ λ
−
− − − −
−
 
 
 
 
− − + + 
 
+ − + − + + + + + − − − 
 
+ + + + + 
[ ]1
1
1 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
( ) ( )
[( )( ) ]
[( ){( ) ( ) } ( )]
[( ) ( ){ ( )} ( )]
A s s
A s
B s s s p p s
B s A p
µ µ µ λ ξ µ λ ξ
µ µ λ ξ µ µ
µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ
λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ
= + + + + + + +
= + + + + +
= + + + + + + + + − + + +
= + + + + + − − −
21 2
1 2 ( )say
µ µ
α α γ
λ
−
+
= = ,
2
( ) ( 1) ( )T n V n V nγ −
= + −
and
1 2( ) ( ) ( ), 0,1,2,3,...r r
V r s s rα α= − =
If we write
2 1 2[( )( )]D y yλ α α= − − −
(26) yields

36
1 11
1 2
0 01 2(1)
n n
n n
D y y
V
α α
λ α α
∞ ∞
− −
= =
    
 −   
     
∑ ∑
, 2
1
y
α
<
(29)
Now ( , )nP x s
−
is the coefficient of yn
in (17). Comparing the coefficients of yn
on both sides
of (29), we have:
2
1
0 11 2 3( , ) ( , ) ( , )
(1)
n
n NP x s s F F P x s F P x s
V
γ
λ
− − −
−
−
 
= + +  
(30)
Where
2 2
1 1 1 2 1 2[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}]F s T n s AV n A T n T nξ λ µ ξ γ µ µ λγ −
= + − + + + − − + + −
2
1 2 1 2
2 2
2 1 2 2 1 2 2 1 1 2
2 2 1
( 1)[( ){( ) ( ) } ( )]
[ ( )( ) ( 2)][( ) ( ){ ( ) }
( )]
T n s s s p p s
F T n T n s A p
λ µ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ
γ µ µ λγ λ ξ µ µ λ µ µ µ µ
λµ µ µ
−
 − + + + + + + + + − + + +
 
= + + + − + + + + − + 
 − −
 
1 2 2
3 1 1 2 2( 1)[ ( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )} ]F s x T n s T n T n V n Aλξ λ µ ξ γ µ µ λγ− −
 = − − + + + − + + − + 
Since 0 ( , )P x s
−
and 1( , )NP x s
−
− are given by (27) and (28), so ( , )nP x s
−
are explicitly known.
For setting x=0 in (30) gives
[ ]
2
0, 1 6 2 3 7 4 52
6
( ) { }
(1)
n
nP s sZ Z Z Z Z Z Z
s Z V
γ
λξ
λ
−
= + − −
(31)
Where
2 2
1 1 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}
( 1)[( ){( ) ( ) } ( )] [ ( )( )
( 2)][( ) ( ){ ( )} ( )]
Z s T n s AV n A T n T n
T n s s s p p s T n
Z
T n s A p
ξ µ λ ξ γ µ µ λγ
µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ γ µ µ
λγ λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ
−
−
 = + − + + + − − + + − 
 − + + + + + + + + − + + + + + +
= 
− + + + + + − − −
2 2
3 1 2 1 1
2 2
4 1 1 2 2
2 2
1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2
5 2 1
( )[ ][ ( )]
( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )}
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)]
[ ( )(
Z s A s
Z T n s T n T n V n A
s A s A V B B B B V
Z A s s
λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ
µ λ ξ γ µ µ λγ
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λ γ
λ ξ µ λ
− −
−
− −



 = − + + − − + + + 
 = − + + + − + + − + 
+ − + + + − + + − + − +
= + + + + + 2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2
4 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
1
6 1 2
)][ (1) {( ( )} ( ) (2)] ( )
[ (1){ ( )} (2){ } (3)]
[ ( )][ (1) ( ) (2) (1){ ( )}] [
[ ] ( )
V B B B B V A
V B B V B B B V
A s B V B V V B B A A
Z s
ξ γ λγ µ µ µ µ µ µ
µ µ λ λ
λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ
λξ µ µ
− −
− −
−
 
 
− + + − + + + 
 − + + − + −
 
+ + + + + + − + + + −
= − + −
1
2 2 4
1 1 2 2 2 1 2
6 2
1 2 1 1 2 2 2 2 1 2
2 2 2
7 1 1 1 2 1 2 1 2
( )][( ) (1) (2) { } ( 1)
{ } [ {( ) ( 1) ( 2)} ( ){ ( )}]
[( )( ) ( )] ( 1) ( ) (2)
s B V B V B B V N
B B A B V N B V N V N B B
Z A s s s T N A A V
µ λ ξ µ µ λγ γ λ γ
λ λ µ µ λγ γ µ µ
λγ ξ µ λ ξ µ µ λγ µ µ
− − −
− −
− −
 
 
+ + + + + − + + − 
 + + − + + − − − + + 
= − + + + + + + − + + 
Applying the Leibniz differentiation theorem to (24) to (25) and (27), setting x=0 and
dividing both sides by m! We have
8
,1,0
9
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (32)

37
10
,0,1
11
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (33)
12
,0
13
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (34)
Where
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2
2 2 6 2
2 1 2 2 1 1 2 1 2 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1
8
[ {( ) } (2) [ ( ) ( )( )( )] ( 1) ( )
( ) [2 2 {( ) } ( 1) ( 2) ( )
{ ( ) }]][ ( ) { ( 2) ( 1)}
s p A A V s s s T N s s
s A A A A A p B V N V N B V N
B B A B V N V N A A
Z
λ µ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ
λ µ ξ λµ λ µ µ µ λγ γ
µ µ λ µ µ
− −
+ − − + + + + + + + + + − + +
+ + + + + + − + − − −
+ + + + − + +
=
2 4
2 1 1 2
1 4 4
2 1 1 2 1 2 2 1
4 2 6
2 1 2 1 2 1 1 2 2
2
{ ( 1) ( )} { }
{ ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {{( ) }
}{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2)
B V N V N B B
T N T N s s T N A T N A A p B
B T N T N B B V N p T N T N A B V N
B
γ γ λ
λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ µ
γ λ µ µ λ µ µ λγ
−
− − −
− −
+ − + +
− − − + + + + + − − − + −
+ − − − + + + + − − − + + −
2 2 ( 1)
1 2 2 1 1 2 2( 1) ( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] m
V N V N B A A V A s pγ λξ ξ λ µ µ µ− −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− − + + + + + − 
2
2 2 2 ( 1) 1 6
1 2 1 1 2 1 1 2 2
2 4
9 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2
2 2
1 2
[ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2)
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1)
(2) { }}] [
m m m m
s s s s A B V N V N B
Z V N B B V N B B A A s B V B
V B B
γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ
γ γ λ λ
+ − + + −
− −
− −
+ + + + + + + + + − −
= − + + − − + − − + − + + + + +
− + − 4 2 1
2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
A s B V B V V B Bλ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +
 
 
 
 
+ + + + + + − + +  
2
1 2 1 2 1 1 2 1
2 2 6 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
10
[ ( ) (2) { ( ) ( )( )( )}] ( 1) ( )
( ) [2 2 {( ) ( 1) ( 2) ( ){
( ) }}][ ( ) { ( 2) ( 1)} {
s pA A V s s s T N s s
s A A A A A pB V N V N B V N B
B A B V N V N A A B
Z
λ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ
λ µ ξ λ µ λ µ µ λγ γ
µ µ λ µ µ γ
− −
−
+ − + + + + + + + + + − + +
+ + + + + + + − − − +
+ + + − + +
=
4
1 2
1 4 4
2 1 1 2 1 2 1 2
4 2
1 2 1 2 1 1 2 2
6 2
2
( 1) ( )} { }
{ ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {( ) }
{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2)
( 1)
V N V N B B
T N T N s s T N A T N A A pB B
T N T N B B V N p T N T N A B V N
B V N V
γ λ
λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ
γ λ µ µ λ µ µ
λγ γ
−
− − −
−
− −
+ − + +
− − − + + + + + − − − + +
− − − + + + + − − − + +
− − − 2 ( 1)
1 2 2 1 1 2 2( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] m
N B A A V A s pλξ ξ λ µ µ µ −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ + + + + − 
2
2 2 2 ( 1) 1 6
1 2 2 1 2 1 1 2 2
2 4
11 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2
2 2
1 2
[ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2)
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1)
(2) { }}] [
m m m m
s s s s A B V N V N B
Z V N B B V N B B A A s B V B
V B B
γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ
γ γ λ
+ − + + −
− −
− −
+ + + + + + + + + − −
= − + + − − + − − + − + + + + +
− + − 4 2 1
2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
A s B V B V V B Bλ λ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +
 
 
 
 
+ + + + + + − + +  
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
6 2 2 2
2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 4
12 1 2 1 1 2 2
(2)( ) [( )( ) ( )] ( 1) [2 2 {( ) ( 1)
( 2) ( ){ ( ) }}][2 (1) ( ) ( ) {2( )( )}
( 1) ( 2)][2 { ( )
A AV A s s T N A A B V N
B V N V N B B V T N s
Z T N V N A A B B
µ µ ξ λ µ ξ µ µ λ λ µ µ
λγ γ µ µ λγ µ µ γ µ µ λ ξ
λ γ λ γ µ µ
− −
−
+ − + + + + + + − + + + +
− − − + + + + + + + +
= − − + + + 1 2
4 2 6 2
1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1
2 ( 1)
1 2
}{ ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}
( ){ } 2 {( ) ( 2) ( 1) ( 1)} (2){ ( )
( )}] m
T N T N T N T N
V N B B A B V N B V N V N B A A V A s
µ µ
γ λ λ µ µ λγ γ λξ ξ
λ µ µ
− − −
−
 
 
 
 − − − + + − −
 
 + + − + + − − − + + +
 
+ +  
2
2 2 ( 1) 1 6 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
4 2 2
13 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2
4
2 1
[ ( ) ][ ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) }
( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1) (2) { }}]
[ ( )][
m m m m
s s s A B V N V N B V N B B
Z V N B B A A s B V B V B B
A s
γ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ γ µ µ
γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ γ γ λ
λ λ µ ξ γ
+ − + + − −
− − −
−
+ + + + + − − − + +
= − − + − − + − + + + + + − + −
+ + + + 2 1
2 2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
B V B V V B Bλ µ µ γ µ µ− +
 
 
 
 
+ + − + +  
Now
2
, ,014( ) ( )
(1)
n
m n mP s Z P s
V
γ
λ
− −
 
=   
(35)
Where
1 2 2
1 1 2 1 2 1
2 2 2
14 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2 2 2 1
[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}] [ ( 1){( )
{( ) ( ) } ( )} [ ( )( ) ( 2)][( ) ( )
{ ( ) } ( )]]
s s T n s AV n A T n T n T n s
Z s s p p s T n T n s
p
ξ λ µ ξ γ µ µ λγ λ µ ξ
λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ γ µ µ λγ λ ξ µ µ
λ µ µ µ µ λµ µ µ
− −
−
 + − + + + − − + + − + − + + +

= + + + + + − + + + + + + − + + + +
− + − −




 

Using (10) and (11), we have
,
,0 0
,00
[ ( )]
( ) ( )
( )
( ) ( )
N
m n
m n
m
P s
s P s
P s
s s
ξ
λ β
λ β ξ λ β ξ
−
−
−
=+ +
= −
+ + − + + −
∑ (36)

38
,
,00
,00
[ ( )]
( )
( )
( ) ( )
N
m n
mn
m
P s
P s
Q s
s s
ξ
ξ
λ β ξ λ β ξ
−
−
−
=
= −
+ + − + + −
∑
(37)
We know that
( ) ( )
( )
0 0
0
( 1) 1
-j 1
(1 / ) ,( ) ( ) ( ) ,( ) ( 1)
and (1-a)
j
i i
k
i
j j i j j j j i j j i i
i ii
j k k
k
a b
a
a
C a b a a b b a b a b C a b
b
C
∞
= =
∞
=
− + + + −
+ −
− = + = + + + − = −
=
∑ ∑
∑
Using these Identities in (31) to (37), we have
[
1
1 ( 1 2) 2( 1)
0 0 0 0 0 1 0 0
1 ( 1) ( 1
1 2 2 1 1 2
0,
1
( 1)
1
{2( ) ( ) }[ {
( )
j j ll h
l h p q j l h p q j k h l
j l k h r p q
g j h l n g j h l n
n
j l j l r h j l
l h r p q
p R R
P s
λ γ
µ µ λ µ µ µ µ γ
+ −∞ ∞ ∞
+ + + − + − + + + − + + − +
= = = = = = =
− − + + − − − − + + − + +
−
+ + + −     
−      
     
+ + − + −
=
∑∑∑∑∑ ∑ ∑
) 2 ( 1)
( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) ( )
1 2
( 2) 2 2
2 1 1 2 1 2 2 1 2
2
1
} {
}] ( ) ( ) [ {
}] [ { ( ) ( )( )( ) (1 )
(
}]
g j h l n
g j h l n l h k h l j k l h p g j h l k g j h l k
g j h l k
R
R s p R R
R p p
p
γ
µ µ γ λ ξ γ
λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ
λµ
− − + + − − +
− + + − + + + − + + + − + − + − − + + + + + − + + + +
− + + + + +
−
− + + + + −
− + − + + + + + + − − +
−
−
1
( 1) ( 2) 2( ) ( 1)
0 0 0 0 0
( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
(
1) 2 [{
} { }] ( ) [{
j l
l h j j k h l j k h l g j h l n
j l k h r
g j h l n g j h l n g j h l n k l g j h l n
g j h
j l l j l r
R
l h r
R R R s R
R
λ γ
γ λ ξ
+∞ ∞ ∞
+ − + − + + − + − + + − − + + − − −
= = = = =
− + + − + + − − + + − − − + + − + − − − + + − −
− + +
+ + +   
   
   
− − − + + + −
∑∑∑∑∑
) 1 ( 1) ( 1)
2
3 2( 1)
1 2 1 2 1 2 1 2 1
0
2 2 (2 2) 2 2 1
1 2
} { }]
( )[( )( ) {2( ) ( )}]( ) {
(2 ) [( ) ] } (2 ) [(
l n g j h l n g j h l n
N
i
i
i N i N i i N
R R
s
s s
γ
ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ λ µ ξ γ
λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ
− + − − + + − − + − + + − + −
−
− − +
=
− + − − + − − +
 
 
 
 
 
 − −
 
  

+ + + + + + + + + + + + + 

+ + + + + − + +
∑
1
(2 1)
1 2
0
2 1 2
1 2 1 2 2 1
2 1
2( 1) 2 2 (2 2) 2( ) 2 1
1 2
0 0
(2
1 2
) ]
[ {( )( )( )} ( ) (1 ) ( )]
{ (2 ) [( ) ] } 3{ (2 )
[( ) ]
N
i N
i
n n
n i i n i n n i i n
i i
i
p p
s
s
µ ξ ν
γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µ λ ξ µ µ λ λ ξ µ
γ λ λ µ µ ξ ν γ λ
λ µ µ ξ ν
−
− − +
=
− −
− −
− − − + − − + − − +
= =
− −

+ + + 

+ − + + + + + − + + − − + +

+ + + + + −

+ + + + +
∑
∑ ∑
2
1) 2( 1) 2 2 (2 2)
1 2
0
1 22
2( 1) ( 2) ( 2)
0 0 0 0 0 0 0
} { (2 ) [( ) ] }
2
( 1) [{ }] ( 1)
2 1
N
n i i N i N
i
j jN
l i j k i g j l i N g j l i N l
j l k i j l k
s
j l N
R R
l i
j j k
l k
γ λ λ µ µ ξ ν
γ
−
+ − + − + − − +
=
+ +∞ ∞ + ∞ ∞
+ − + + + − + + + − + − + + + − −
= = = = = = =

+ + + + + + +

+ +  
− − + −  
  
+ + + 
 
 
∑
∑∑∑∑ ∑∑∑
1
(2 1) ( ) ( 3) 2 2 1 (2 1)
1 2
0
[{ }] (2 ) [( ) ]
N
j l g j i g j i i N i N
i
R R sγ γ λ λ µ µ ξ ν
−
− − − − + + − + + − − + − − +
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 − − + + + + + 
   
∑
(38)

39
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
2 2( 1) ( 1 2) ( 1) (
1 2 1 2 1 2
,1,0
1 1 1
( 1)
1
[ ( ) ] 2 ( ) {
()
j l h m
i l h p
j l k h r p i
j k l m j k l j k p mi l k p
m
j m j l j l r h m
j l h r p i
p s R
P s
λ µ µ µµ γ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞ −
++ +
= = = = = = =
+ + − + + −+ − + + + − −++ + −
−
+ + + + + −      
−       
      
+ + + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
11)
( 1 2) 2 ( 1) ( 1) 2 6
1 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
2 2 1 2
2
1 2
} { } (2 ) [ ( ) (1 )
{( )( ) }][ ] [ ( )
{( )
g j h i p
g j h i p g j h i l n g j h i l n j i k
g j h i p l n g j h i p l n
R R R p
p R R p
p
γ λ γ λµ µ λ µµ
µ λ ξ λ ξ µ λ µ λξ λ ξ µ
λ µ µ
+ + ++ +
− + + ++ + − − + + +−− + − + + +−− − ++ + −
− + + ++ −− − + + ++ −+
 −
+ − − + + −
+ + + + − − + + + +
+ −
1 1
2 1 2 2 2 1 2
0 0 0 0
1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1)
1 1 2
2
1 2 2
} (1 ) {( )( ) }] ( 1)
1
( ) [ ]
[( ) ](
j i m
i l
j l k i
mi l k m j i mi l g j l n g j l n
p p
j i l m j k
s R R
l i k
p
µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µµ
λ µ γ µ µ ξ
λξ µ µ µ
++∞ ∞ −
+
= = = =
−+ − + − + −− − −+ − + ++ − − + +− +

+ − + + + + − −

+ + − +   
+ + + −   
   
+ + −
∑∑∑∑
1 2
3 ( 1) ( 1)
2
0 0 0 0
2 2( ) 2 [2( ) 2] ( )
1 2 2 1 2 1
( 1) (
) [ ] ( 1)
[ [( ) ] (2 ) [( ) ] ( )
[
j N
g j l k n g j l k n l
j l k i
l i j k i N j k i N j l i
g j k l n g j k
j l
s R R
l
p s s
R R
λ µ ξ
λ µ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ
+∞ ∞ +
− − + ++ − − − + ++ − +
= = = =
+ + + − − − + + − − − −+
− + + −− − − + + −
+ 
+ + + − − −  
 
+ − + + + + + + + + +
−
∑∑∑∑
1
1) 3 2( ) 2 1
1 2 2 1
0
(2 1) 3
1 2 1 2 1 2 2
2( ) (
1 2 2
] [ [( ) ]( ) [ (2 )
[( ) ] ] [2( )( ) ( )
1
[( ) ]] ( 1) ( )
n
l n n i i n
i
i n
l h j k r k h
p s
s p
j l m j l
p s
l j h
λξ µ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ λ
µ µ µ γ λ ξ
−
+ − − − + +
=
− + +
+ − + + − +
+ + − + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + +   
+ − − + +   
   
∑
[
1
)
0 0 0 0 0
( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3
1 2 2
2( 2) 2 1 (2 1) 2( 1) 2 2
1 2 1 2
[{ } { }] ( ) [ [( ) ]]
(2 ) [( ) ] (2 ) [(
j l
l
j l k h r
g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
i i N i N i i N
R R R R s p
s s
γ λξ ξ λ µ µ µ
γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞
−
= = = = =
− + + −− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + −
− + − − − − − − + − +
− − − + + + −
+ + + + + + + + + +
∑∑∑∑∑
1 2
(2 2)
0 0
) ] ]
N N
i N
i i
ν
+ −
− − +
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
  
∑ ∑
(39)

40
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
2( 1) ( 1 1) ( 1)
1 2 1 2 1 2
(
,0,1
1 1 1
( 1)
1
[ ( ) ] 2 ( )
{
( )
j l h m
i l h p
j l k h r p i
j k l m j k r l j k p m i l k p
m
j m j l j l r h m
j l h r p i
s
R
P s
λ µ µ µ µ γ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ + +
= = = = = = =
+ + − + + + − + − + + + − − + + +
−
−
+ + + + + −      
−       
      
+ + + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 1) 2 ( 1 2) ( 1) ( 1)
2 4
1 2 1 2 1 1 1
( 1 ) ( 1 )
2 1 2
2
} { }
(2 ) [ ( ) (1 ) {( )( ) }]
[ ] [ ( ) (1 )
{
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+ + −
− + + + + − − − + + + + − +
 − + −
− + + − + + + + −
− + + + + − +
1 1
2 2
0 0 0 0
1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1)
2 1 2
3 ( 1)
1
1 1
( )( ) (1 ) }] ( 1)
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λ µ γ µ µ ξ
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+ +∞ ∞ −
+
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− + − + − + − − − − + − + + + − − + + − +
− − + + + − −
+ + −   
+ + + − − −   
  
+ + 
+ + + − 
 
+ + + + −
∑ ∑ ∑∑
1 1
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0 0 0 0
( 1) 2
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1
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1
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(2 ) [( ) ] ( )
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λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ
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− + + + + − +
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− + + + +
+ + − + − + + − + − − +
− + + − − − − + +
+ 
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 
− +  
+  
  
 + + + + + + + + +
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1 2
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1 2 1 2 1 2
1
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0 0 0 0 0
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+∞ ∞ ∞
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= = = = =
− + −
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+  
− + + + −   
  
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2
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2
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−
−
− + − + − − +
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− + − +
− − −
+ + + + − + + + +

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1 2 1 2 1
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2 1 2
0
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
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

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

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












 + + + + − +
− + + + + − + + + +
+ + + + + + + +
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 
 
 
 
 
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(40)

41
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1 2 1 2
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1 2
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1
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+ + −     
    
− 
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 
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1 2 1 1 2
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1 1
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− + − − + + + − − − + + + − +
+∞ ∞ ∞ −
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− + − + + + + + +
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+     
     
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+  
  
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  
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+ + + + +
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 
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(41)

42
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1 1
1 2
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   
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    
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( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
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 
 
 
 
 
 
 
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 − + − 
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1
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1 2 1
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− − + − 
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1 2 2
0
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1 2
0
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∑
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 
 
 + + + +
  
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− + − + +   
   
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 
 
 
 
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 
 
 
 
 + + + + +
  
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(42)

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1
1 2 1 2
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    
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 
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1 1 2 1 2
1
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− + − − + + +−− − + + +−+
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++
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− + − + + + + + +
+ + + − − + + + + +
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     
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+ + + −
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0 0 0 0
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1 1 2
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(1 ) (1 )( ) ] ( 1)
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  
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+ +  
+ − + − + −   
  
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[( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 )
( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }
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n
i n
s λ µ µ ξ ν
−
− − +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + + + +
 
 
  
∑

44
2 1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2 2 1
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){ ( )
1
( )
n j i j ll m h N
i l p q
j l k h r i q p n
m i l p
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
p
h k p q
s
γ
µ µ γ
λ
λ µ µ λ µ µ µ
ξ
λ β ξ
+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = = =
− − +
− + + +   
+ −    
   
+ + + + +    
+ − +    
    
−
+ + −
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
1 2
(2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4
1 2
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2 1 ( 1)
}]
( ) [{ }
{ } { }]]
{
m i l q p
n n
s R R
R R R R
R
µ
γ µ µ ξ γ
γ ν γ
−− − +
− + − − + − − − + + − + + + + + − + + + + + −
− + + + + + + − + + + + + + + − + + + + + + + + − + + + + + + + +
− +
+ + + − −
− + −
+ −
2
( 1)
1 2 2 1 1 2
0 0 0 0
1
1 (2 1 1)
1 0 0 0
( 1)
1 2
} [2( ){ ( ) }]{ }[
1 2 1
( 1)
( ) (
j i N
n n n
j l k n
h l m
i l h m i l p m j i l p
p h i
m i l p
R p R R
m m j j i l j i k
i j l h k
s s
µ µ λ µ µ µµ
λ γ
µ µ ξ
+ +∞ ∞
− + −
= = = =
−
+ + −− + − + −− − −
= = =
− − − +
− + − + −
− + + + + + +     
−      
     
+ + + +
∑∑∑∑
∑∑∑
( ) ( 1 1) 1 ( 1 2)
1 2
2( 1) 2 2( ) 2
2 1 2
0 0 0 0
[2( ) 2] 2
1 2 1 1 2
) [ ]]
( 1) [ { ( ) }] {(2 )
[( ) ] } [ {( ) (
m i k l g j h i p g j h i p
j N
l i j k i l i j k i N
j l k i
j k i N
R R
j l
p
l
s
λ ξ γ
γ λ µ µ µ λ
λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ λµµ λ
− − + − − + + + + + − − + + + + +
+∞ ∞ +
+ − + + + + + + − −
= = = =
− + + − −
+ −
+ 
− − + − 
 
+ + + + + − + + + +
∑∑∑∑
2
2
2 2 2( 1) 2 3
2 1 2 1
0
1
(2 3) 1 2 2( ) (2 1)
1 2 2
0
2
(2 1) 2( 1) (2 2)
1 2 1 2
0
)
{ ( ) }}]( ) [{ (2 )
[( ) ] ( ) [ (2 )
[( ) ] (2 ) [(
N
i i N
i
n
i N n i i n
i
n
i n n i i n
i
p s
s s
s s
ξ µ
λ µ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ
−
− − + − +
=
−
− − + − − − − − +
=
−
− − + − −− − +
=
+ +
+ − + + +
+ + + + + − + + +
+ + + + + − + + + +
∑
∑
∑ (2 2)
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2 2( ) ( )
2 1 1
0 0 0 0 0 0
( ) (
) ] ]
[ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( )
( ) }] ( 1) ( )
[{
i n
j l N
l h j k r k l h
j l k h r n
g j h l n g
p
m j j l l
p s
j l h
R R
ξ ν
ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µµ
µ µ µ γ λ ξ
− − +
+∞ ∞ ∞
+ − + + − − +
= = = = = =
− + + − − −
+
+ + + + + + − + − + +
+ +   
− + − + +   
   
−
∑∑∑∑∑∑
) 1 ( 1) ( 1) 1
1
1 2 1 2 2 (2 2)
2 1 2 2 1
0
1
1 2( ) (2 1) (2 1)
1 1 2
0
} { }]
( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ]
( ) [ (2 ) [( ) ] ]]
j h l n g j h l n g j h l n
N
i i N i N
i
n
n i i n i n
i
R R
s s p
s s
γ ξλ
+ + − + − − + + − − + − + + − + + −
−
− − + − + − − +
=
−
− − − − + − − +
=




− − +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + +

∑
∑




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(43)

45
2 1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2
,00
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){
1
( )
( )
n j i j ll m h N
i l p q
j l k h r i q p n
m i l p
m
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
p
h k p q
Q s
s
γ
µ µ γ
λ
λ µ µ λ
ξ
λ β ξ
++ −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = = =
−−+
−
− + + +   
+ −    
   
+ + + + +    
+    
    
=
+ + −
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
2 1 1 2
(2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4
1 2
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2 1
( ) }]
( ) [{ }
{ } { }]]
m i l q p
n
s R R
R R R R
µ µ µµ
γ µ µ ξ γ
γ ν
−− − +
− + −− + − −−+ + − + + ++ + − + + ++ + −
− + + ++ + + − + + ++ + + + − + + ++ + + + + − + + ++ + + + +
−
− +
+ + + − −
− + −
+
2
( 1) ( 1)
1 2 2 1 1 2
0 0 0 0
1
1
1 0 0 0
(2 1 1) (
1 2
{ } [2( ){ ( ) }]{ }[
1 2 1
( 1)
( )
j i N
n n n n
j l k n
h l m
i l h m i l p
p h i
m j i l p m i
R R p R R
m m j j i l j i k
i j l h k
s
γ µ µ λ µ µ µµ
λ
γ µ µ ξ
++∞ ∞
+ − + −
= = = =
−
+ + −−+
= = =
− + −−− − − −
− − + − + −
− + + + + + +     
−      
     
+ + +
∑∑∑∑
∑∑∑
1) ( ) ( 1 1)
1 2
1 ( 1 2) 2( 1) 2
2 1 2
0 0 0 0
2( ) 2 [2( ) 2] 2
1 2 1
( ) [
]] ( 1) [ { ( ) }]
{(2 ) [( ) ] } [ {( )
l p m i k l g j h i p
j N
g j h i p l i j k i l i
j l k i
j k i N j k i N
s R
j l
R p
l
s
λ ξ
γ γ λ µ µ µ
λ λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ
−+ − −+ − − + + ++ +
+∞ ∞ +
− − + + ++ + + − + ++ +
= = = =
+ + − − − + + − −
+ +
+ 
− − − + − 
 
+ + + + + − + +
∑∑∑∑
1 2
2
2 2 2( 1) 2 3
2 2 1 2 1
0
1
(2 3) 1 2 2( ) (2 1)
1 2 2
0
2
(2 1) 2( 1) (2 2)
1 2
0
( ) { ( ) }}]( ) [{ (2 )
[( ) ] ( ) [ (2 )
[( ) ] (2 ) [(
N
i i N
i
n
i N n i i n
i
n
i n n i i n
i
p s
s s
s s
λµµ
λ ξ µ λ µ µ µ λ µ ξ γ λ
−
− − + − +
=
−
− − + − − − − − +
=
−
− − + − −− − +
=
+
+ + + + − + + +
+ + + + + − + + +
+ + + + + −
∑
∑
∑ (2 2)
1 2
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2 2( ) ( )
2 1 1
0 0 0 0 0 0
(
) ] ]
[ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( )
( ) }] ( 1) ( )
[{
i n
j l N
l h j k r k l h
j l k h r n
g j h
p
m j j l l
p s
j l h
R
λ µ µ ξ ν
ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µµ
µ µ µ γ λ ξ
− − +
+∞ ∞ ∞
+ − + + − −+
= = = = = =
− + + −
+ + + + +
+ + + + + + − + − + +
+ +   
− + − + +   
   
∑∑∑∑∑∑
) ( ) 1 ( 1) ( 1) 1
1
1 2 1 2 2 (2 2)
2 1 2 2 1
0
1
1 2( ) (2 1) (2
1 1 2
0
} { }]
( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ]
( ) [ (2 ) [( ) ]
l n g j h l n g j h l n g j h l n
N
i i N i N
i
n
n i i n i n
i
R R R
s s p
s s
γ ξλ
− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + −
−
− − + − + − − +
=
−
− − − − + − − +
=
− − − +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + +
∑
∑ 1)
]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

46
1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 1
1 2
1
1 1
[2( ) ] ( 1)
2 ( ) {
( )
j l m
i l h
j l k h r i
j j k r l m i l k h g j h i l n g j h i l n
m j j l j l r m
j l h r i
s R R
s
µ µ µµ
γ µ µ ξ
ξ λ β ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− + − + + − − − − + + − + + + − − − − + + + − + +
−
+ + + + −     
+ + −      
     
 + + + −
− + + −
∑∑∑∑∑∑
)
4 ( ) ( )
1 2 1 1 2
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 2
1 1
0 0 0 0 0 0
}
2 ( ) { } [( )( ) ( )]
( ) { } [( )( ) ]
( 1)
j l m
i l h
j l k h r i
R R
s R R
λ µ µ γ λ ξ λ ξ µ λ µ µ
− − + + + − − − + + + − +
− + − − + + + − − − + + + − +
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =

− + − + + + + + +
+ + + − − + + + + +

−

∑∑∑∑∑∑ ( 6)
1 2
( ) ( 1) ( 1)
1 2 1
1 1
2 1 2
0 0 0
1
( )
2 ( ) [{ }] [ ( )
( ) ] ( 1)
i k l l h
j N
l
j l k i
m j j l l j l r m
j l h r i
s R R
γ µ µ
λ µ µ ξ ξ λ ξ µ
λ ξ µ µµ
− + + + +
− − + − − + + − − − + − + + + − − + − + + + − + +
+ ∞ −
= = = =
+ + + + −     
+     
     
+ + + − − + +
+ + + −∑∑∑ 2( 1) 2( ) 1
1 2
0
[2( ) 1]
1 2 1 2 1 2 2
2( )
1 1 2
0 0
1
( ) (2 )
[( ) ] [3{( )( )} ( )
1
(1 ) (1 )( ) ] ( 1)
j k i l i j k i N
j k i N
l
l h j k
k h r
j j k
l k
s
j j k
p p
l k
γ µ µ λ
ξλ µ λ ξ µµ γ
∞
− + + + + + + − +
− + + − +
∞
+ − +
= =
+ +  
+  
  
+ + + + + + + + + + + + +
+ +  
+ − + − + −   
  
∑
∑∑
1
0 0 0
( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
3
1 1 2 1 2 2 1 1
2( 1) 2 2 (
1 2
( ) [{ } { }]
[ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( )
[{ (2 ) [( ) ]
j
j l
i i N
s R R R R
p p s
s
λ ξ γ
ξ λξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ
+∞ ∞
= = =
− + − − + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + +
−
− + − + −
+ + − − − +
− + + + + − + + + + +
+ + + + +
∑∑∑
2 1
2 2) 2 2 1
0 0
(2 1)
1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 2 3
1 1 2 2 1 2
2
2( 1) (2 2)
1 2
0
{ (2 )
[( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 )
( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }
[ (2 ) [( )
N N
i N i i N
i i
i N
n
n i i n
i
s p p
s s
s
γ λ
γ λ λ µ µ ξ
− −
− + − − +
= =
− − +
− −
−
− − − − +
=
−
+ + + + + + − + − + − −
+ + + + + + + + + + + + +
+ + + + +
∑ ∑
∑ (2 2)
] ]i n
ν − − +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(44)
Where
2
2 2
12 2
1 1 1
( )
, ( ) 4 ( ) , 2[ ( 1) ]R s g l N Nk and
µ µ
α γ ν µ µ λ ξ λ µ µ γ
λ
−
+
= = + + + + − + = + + =
We are now in a position to complete the solution for the joint distribution of X (t) and Y (t).
Taking the Inverse Laplace transform of (38) to (44), using the tables [2, 4, 6], we obtain

47
[
1
1 ( 1 2)
0 0 0 0 0 1 0 0
2( 1) 1
1 2 2 1 1 2 ( 1) ( 1)
0,
1
( 1)
1
{2( ) ( ) }[[ { }
( )
j j ll h
l h p q j l h p q
j l k h r p q
j k h l
g j h l n g j h l n
n
j l j l r h j l
l h r p q
p I I
P t
λ
γ µ µ λ µ µ µ µ γ
+ −∞ ∞ ∞
+ + + − + − + + +
= = = = = = =
− + + − + −
+ + − − − + + − + +
+ + + −     
−      
     
+ + − + −
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 2
1 2
( 1 1)
( )2 2( 1)
( 1) ( 1) 1 2
0
( )( )( )
( 1) ( ) ( 2) 1 2
( )
{ }] ( )
( 1 1)!
[ { }](2 ( ) ).
t j k l h p
t l h k h l
g j h l n g j h l n
t wp w
g j h l k g j h l k g j h l k
t w
I I e
j k l h p
I I I w e e d
λ µ µ ξ
λ µ µ ξλ ξ
γ µ µ γ
γ λ µ µ
+ − + − −
− + + +− + − + + +
+ + − − + + + − + +
− + + + −− +
+ + + + + + + + + + + + + +
−
− − + +
+ − + − −
− − + 
∫
2 2 2
2 1 1 2 1 2 2 1 2 1
1
( 1) ( 2) 2( )
( 1)
0 0 0 0 0
1
( 1) (
[ { ( ) ( )( )( ) (1 ) }]
( 1) 2 [[{
} {
j l
l h j j k h l j k h l
g j h l n
j l k h r
g j h l n g
w
p p p
j l l j l r
I
l h r
I I
λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ λµ
λ γ
γ
+∞ ∞ ∞
+ − + − + + − + − + + −
+ + − − −
= = = = =
−
+ + − + +
+
− + + + + + + − − + −
+ + +   
−    
   
− −
∑∑∑∑∑
1 2
1 2
1
( )
) ( ) ( )
0
( )( )1 ( )
( ) ( 1) ( 1) 1 2
1 2
( )
}] [{
( 1)!
} { }](2 ( ) ). ]
( )[(
t k l
t
j h l n g j h l n g j h l n
t ww
g j h l n g j h l n g j h l n
t w
I e I
k l
I I I w e e dw
λ µ µ ξ
λ µ µ ξλ ξ
γ λ µ µ
ξ µ µ λ ξ
− −
− + + +
+ + − − + + − + + + − −
− + + + −− − +
+ + − + + + − − + + + − + −
 
 
 
 −
 − + −
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1
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λ µ µ ξ
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+ − + + + + +
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2
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(2 1) (2 2)
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(45)

48
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(46)

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(47)

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+ − −
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− +
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1
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2 2
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( ) ( )
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 
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(48)

51
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+ + + + +    
+ − +    
    
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−
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− + − − − −
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 
 
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 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
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 
 
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 
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 
 
 
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 
 
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52
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1 2 1 2
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 
 
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 
 
 
 
 
  

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1 2
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1
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}(2 ( ) ). ]
( )
[{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) )
1!
. . ] ] ]
w
N
w n n
n i n i
i n i n
i i
u w u t ww
w w e
w u
i n I i n I u
u e e du e e dw
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
λ µ µ
λ γ γ λ µ µ
− + + +−
− +
− −
− − − − − −
− + − +
= =
− + + + − + + − − + + −− − + −
+
−
− − + − − + +
+
∑ ∑∫
2 1 2 1
1
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1
0 0 0 0 0 0
( 1)
2( )
( ) (
0
[ {(2 )( 2 )
( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1)
( )
[{
( 1)!
j l N
l h
j l k h r n
t k l h
j k r
g j h l n g j h l
m j
p p
j
j l l t w
I I
l h k l h
ξ µ µ ξ µ µ ξ
µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ
γ
+∞ ∞ ∞
+
= = = = = =
− + −
− + +
+ + − − + + −
+ + + +
+ 
+ − + − + + − + −  
 
+   −
−  
− + −  
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1 2
1
) ( 1) ( 1)
1
( )( ) 1 2 1 1
2 1 (2 2) 2 1
00
1
( ) 2( )
2 1 (2 1) 2 1
0
} { }]
(2 ( ) ) [{ (2 2) }(2 ( ) )
[( ) ] [ (2 1) ](2 ( ) )
n g j h l n g j h l n
t N
t w i
i N
i
n
w n i
i n
i
I I
w e i N I w w
e p i n I u u
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ
γ
λ µ µ ξλ γ λ µ µ
µ µ λ γ λ µ µ
−
+ + + − − + + + − + +
−
− + + + − − − + −
− +
=
−
− + + + − − −
− +
=
− −
+ + − + +
+ + − + +
∑∫
∑ 1 2
1 2
( )1
0
( )( ) ( )( )( )
. ]
] ] ]
w
u
w u t ww
e
e du e e dw
λ µ µ ξ
λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
− + + +
− + + − − + + −− + −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
∫

54
2 1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2 2 1 1
,00
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){ ( )
1
( )
n j i j ll m h N
i l p q
j l k h r i q p n
m i l p
m
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
p
h k p q
Q t
γ
µ µ γ
λ
λ µ µ λ µ µ µ
ξ
+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = = =
− − +
− + + +   
+ −    
   
+ + + + +    
+ − +    
    
=
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
2
( 1 1)
(2 1) 4
( 1 1) ( 1 2)
0
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2 1
}]
( )
[{ }
( 1 1)!
{ } { }
](2 ( )
m i l q p
t m i l p q
m j i q
g j h i p g j h i p
t w
I I
m i l p q
I I I I
w
µ
γ γ
λ µ µ
− − − +
− − + + −
− + − − + −
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
−
− −
− − + + −
− + −
+
∫
1 2
2 1
( )( )( )
0 0 0 0 1 0 0 0
( 1 1) (
1 (2 2 1)
1
) ] [ ( 1)
2 1 ( ) ( )
( 1 1)!
j i l h m N
t ww i l h
j l k h p i n
m i l p m
m i l p m j i l n
m m j
e e dw
i j
j i l j i k t w w u
l h k m i l p
µ µ ξλ β ξ
λ γ
+ +∞ ∞ −
− + + −− + − + +
= = = = = = =
− − + −
− − + − + − − − −
− +  
+ −   
  
+ + + + +    − −
   
− − + −   
∑ ∑ ∑∑∑∑∑
1)
0 0
1
( 1 ) ( 1 2)
( 1 1) ( 1 3)
1 2 2 1 1 2
( 1)!
[ {( 1 ) ( 1 2) } {
( 1 1) ( 1 3) }]
[2( ){ ( ) }][{
t w i l k
m i l k
p
γ γ
µ µ λ µ µ µ µ
− − + −
−
+ + + + − + + + + + +
+ + + + − + + + + + + +


− − + −
+ + + + − − + + + + + + −
+ + + + − + − + + + + + + −
+ − +
∫ ∫
1 2
( 1 1)
1
( 1 1) ( 1 2)
1 ( )( ) ( )
( 1 2) 2 1
( )( )
( 1 1)
( 1 1) } {( 1 2)
( 1 2) }](2 ( ) ) ] ]
g j h i p n
w u w
g j h i p n
t w
g j h i p n I
g j h i p n I u e du e
e dw
λ ξ λ β ξ
µ µ ξ
γ
λ µ µ
+ + + + − +
−
+ + + + + + + + + + + +
− − + − − + −
+ + + + − +
− + + −
+ + + + − + −
+ + + + + + − + + + + + + −
+ + + + − + +
1 2
1 2
2( 1) 2
2 1 2
0 0 0 0
( )1 2 2 2
[2( ) 2] 1 1 2 2 2 1
2( 1)
2
00
( 1) [ { ( ) }] {(2( )
2) } [ {( ) ( ) { ( )
( )
}}] [{ (2 3)
1!
j N
l i j k i l i
j l k i
t
j k i N
t
i
i
j l
p j k i
l
N I t e p
t w
i N
λ µ µ ξ
γ λ µ µ µ
µ γ
+∞ ∞ +
+ − + + + +
= = = =
− + + +−
+ + − −
− +
=
+ 
− − + − + + 
 
− − − + + + + + + +
−
− − +
∑∑∑∑
∫ 1 2
1 2 2 1
2
( )1
(2 3) 2 1
1 2
1 2( ) 2( 1)
(2 1) (2 2) 2 1
0 00
( ) ( )( ) ( )1 ( )
}(2 ( ) ). ]
( )
[{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) )
1!
. . ] ] ]
N
w
i N
w n n
n i n i
i n i n
i i
u w u w
I w w e
w u
i n I i n I u
u e e du e e
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
λ µ µ
λ γ γ λ µ µ
−
− + + +−
− +
− −
− − − − − −
− + − +
= =
− + + + − + + − − + +− − + −
+
−
− − + − − + +
∑
∑ ∑∫
( )
2 1 2 1
1
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1
0 0 0 0 0 0
( 1)
2( )
( )
0
[ {(2 )( 2 )
( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1)
( )
[{
( 1)!
t w
j l N
l h
j l k h r n
t k l h
j k r
g j h l n
dw
p p
m j j l l t w
I I
j l h k l h
ξ µ µ ξ µ µ ξ
µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ
γ
−
+∞ ∞ ∞
+
= = = = = =
− + −
− + +
+ + − −
+ + + + +
+ − + − + + − + −
+ +    −
−   
− + −   
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1 2
1
( ) ( 1)
1
( )( ) 1 2 1
( 1) 2 1 (2 2)
00
1
( )1 2( )
2 1 2 1 (2 1)
00
} {
}](2 ( ) ) [{ (2 2) }
(2 ( ) ) [( ) ] [ (2 1) ]
(2
g j h l n g j h l n
t N
t w i
g j h l n i N
i
w n
w n i
i n
i
I
I w e i N I
w w e p i n I
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ
γ
λ µ µ ξλ γ
λ µ µ µ µ λ γ
λ
−
+ + − + + + − − +
−
− + + + − − − +
+ + − + + − +
=
−
− + + +− − −
− +
=
− −
+ + − +
+ + + − +
∑∫
∑∫
1 2 1 2( ) ( )( ) ( )( )1 ( )
2 1( ) ) . ] ] ] ]u w u t ww
u u e e du e e dwλ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
µ µ − + + + − + + − − + + −− − + −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 

55
1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
( 1) 2( )
( 1) ( 1
0
1
[2( ) ] ( 1)
1 ( )
2 [{
( 1)!
j l m
i l h
j l k h r i
t m i l k h
j j k r l
m j j l j l r
j l h r
m t w
I I
i m i l k h
µ µ µµ
γ
ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− − + + −
− + − + + −
+ + + − − − + + + − + +
+ + + +    
+ + −     
    
−  −
 −  − − + + − 
−
∑∑∑∑∑∑
∫
1 1 2
)
4
1 2 ( ) ( ) 1 2
( 1)
1 1 2 ( ) ( ) 1 2
0
( ) ( )( )( )
}
2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )(
( )
) ( )][ { }(2 ( ) )]
( 1)!
]
w k r l
u t ww
I I w
w u
I I u
k r l
e e e dwλ ξ µ µ µ ξλ β ξ
−
+ + + − − + + + − +
+ − −
+ + + − − + + + − +
− + + − + + −− + −

− + − + + + + +
−
+ + − +
+ − −

∫
1 2 1 2
1 1
( 6)
1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
(
0
[( )( ) ]
1
( 1) ( )
( )
2 [{
( 1)!
j l m
i l h i k l l h
j l k h r i
t m i l k
m i l h m i l h r
g j
m j j l l j l r m
j l h r i
t w
I
m i l k
λ ξ µ λ ξ µ µµ
γ µ µ
λ
+∞ ∞ ∞ −
+ + − + + + +
= = = = = =
− − + −
− − + − − + +
+ +
− + + + + +
+ + + + −      
− +      
     
−
− − + −
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1) ( 1) 1 2
1 1
( )( )( )
1 2 1 2
0 0 0 0
2( 1) 1
1 2 [2( ) 1]
}(2 ( ) )]
1
] [ ( )( ) ] ( 1)
( ) (2( ) 1)
h i l n g j h i l n
j N
t ww l
j l k i
j k i l i
j k i N
I w
j j k
e e dw
l k
j k i N I t e
µ µ ξλ β ξ
λ µ µ
ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ
γ µ µ
+ − − + + + + − + +
+∞ ∞ −
− + + −− + −
= = = =
−− + + + + −
+ + − +
− +
+ +  
− + + + + + −   
  
+ + + − +
∑∑∑∑
1 2( )
1
2 1 2 2 1 1 2
( 1)1
2( )
( ) ( )
0 0 0 0 0 0
1
(
[3{( )
( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ]
1 ( )
( 1) [{ }
( 1)!
{
t
t k h lj l
l h j k
g j h l n g j h l n
j l k h r
g j
p p
j j k t w
I I
l k k h l
I
λ µ µ ξ
λ ξ µ
λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ
γ
γ
+ + +
+ − −+∞ ∞ ∞
+ − +
+ + − − + + − +
= = = = =
−
+
+ + +
+ + + + + + − + − +
+ +   −
− −  
+ − −  
−
∑∑∑∑∑ ∫
( ) ( )
1) ( 1) 1 2 1
2 2
2( 1)
1 2 1 2 2 1 (2 2)
00
(2 1
(2 1) 1 2
}](2 ( ) ) ] [ (1 )( )
( )
( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) }
2!
{ (2 1) }](2 ( ) )
w w
h l n g j h l n
t N
i
i N
i
i
i N
I w e e dw p
t w
p i N I
i N I w w e
λ β ξ λ ξ
λ
λ µ µ ξ λξ λ ξ µ
µ µ µµ λ µ λ ξ µ γ
γ λ µ µ
− + − − +
+ − − + + + − + +
−
− +
− +
=
−− −
− +
− + + − + +
 −
+ + − + + − +

− − + +
∑∫
1 1 2
1 2
1
) ( )( )( )
0
2 2
2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
( )( ) ( )( ) 2( 1)
(2 2
00 0
]
[ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
[{3 4 } ][ (2 2)
1! 2!
N
w t ww
i
t t n
t w t w n i
i n
i
e e dw
p p
t w t w
e e dw i n I
µ ξ λ µ µ ξλ β ξ
λ ξ µ λ ξ µ
γ
−
+ + − + + + −− + −
=
−
− + + − − + + − − − −
− +
=
 +
− + − + − − + + + + + +
− −
+ − +
∑
∑∫ ∫ )]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(51)
Where 1 2( ) , 2 ( )I t Iν να α λ µ µ≡ = +

56
4. NUMBER OF TIMES THE SYSTEM REACHES ITS CAPACITY IN TIME t
Putting y=1 in (26) and on simplification, we have
[ ]1
1( ,1; ) 1 ( 1) ( , )N
A
H x s x P x s
s
λ
−
−= + −
(52)
Using (28) in (52) and setting x=0, we have
151
0,.
16
( ) 1
ZA
P s
s Z
−  
= − 
  (53)
Where
1
1
1 1
2
1 1 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2
15 2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )}
(2)] [[( )( ) ][ (1){ ( )}
(2) ( )] ( )[ (1){ ( )} (2){ } (3) ]]
s A s A V B B B
Z B V s s s A V B B B
V B A V B B V B B V B
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ
λγ ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ
µ µ µ µ µ µ λ λ
−
− − −
 + − + + + − + + − +

= − + + + + + + − + +
− + + + − + + − − −



 
 
 
1 1
1
1 1
6 2
1 2 2 2 2 1 2
4 4
2 2 1 2 2 1 2
16 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2
[( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( )}
( 1){ }] [{ ( )}{ (1) ( ) (2)
(1){ ( )}} { ( ) ( )}{ ( ) (1)
(2) {
A B V N B V N V N B B
V N B B A s B V B V
Z
V B B A A s B V
B V
λ µ µ λγ γ µ µ
γ λ λ µ λ ξ λγ µ µ
ξ
γ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ
λγ γ
− −
− −
−
− −
+ + − − − + +
+ − + − + + + + + +
=
− + + + − + − + + + +
+ − 1 2}}]]B Bλ
 
 
 
 
 
 
+  
Using (28) in (52), differentiating m times w.r.t. x and dividing both sides by m! And setting
x=0, we have
17
,.
18
( )m
Z
P s
Z
−  
=  
  (54)
Where
1 1 1
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 4 4
1 2 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
17 2
2
[ (1){ ( )} ( ) (2)][ ( ) ( 2)
2 ( ){ [ ( 1) ( 1)]} ( ) ( )
{ }][ (1){ ( )} ( ) ( ){ ( ) (1)
(2)
V B B B B V B V N
s V N B V N B V N
B B V B B A A s B V
Z
B V
γ λγ µ µ µ µ µ µ
λ µ µ λ ξ γ γ µ µ γ
λ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ
λγ
− −
− − −
−
− + + − + + + −
+ + + + − + + + + +
+ + + − + − + + + +
=
+ + 1 1
1 1 1
2
2 1 2 2 1 2
2 2 4
2 1 2 1 2 2
( 1)
( )} [ ( 2) ( ){ ( )}]
{ ( 1) ( )} ( ){ ( 2) ( 1)} { }
{ ( 1) ( 2)}] m
A s A B V N V N B B
A A B V N V N A B V N V N B B
V N V N
λ µ λ ξ λ λ γ µ µ
γ λ µ µ γ λ
−
− −
−
 
 
 
 
 
 + + + + − − + +
 
 + + − + + + − + + +
 
+ − −  
2
( 1) 1 6
1 2 1 1 2 2
2 4
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
18 2 2
1 2 2 2 1 2 2 1
4
2
[ ( ) ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ]
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}
{( ) (1) (2) { }}] [ ( )]
[
m m m
s s s A B V N V N B
V N B B V N B B A A s
Z
B V B V B B A s
B V
λξ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ
µ µ λ γ γ λ λ λ µ ξ
γ λ
− + + −
− −
− −
−
+ + + + + − − −
+ + − − + − − + − + + +
=
+ + − + − + + + +
2 1
2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
B V V B Bµ µ γ µ µ− +
 
 
 
 
 
 + + − + + 
Expanding the right hand sides of (53) and (54), we have

57
1
( ) 2( 1) 2
0 0 0 0 0 0
2 2 ( 1) ( 1
1 2 2 1 2
0,.
1
( 1)
( )( ) ( ) (1 ) [{
( )
j jl
i l h j l h i j k h l r
j l k h i r
g j k l g j k l
j l j l r j j k l
s
l h r i k
p p R R
P s
λ γ
λ ξ µ λ ξ µ ξλ µ µ λµ
+∞ ∞ ∞
++ − +− + − + + −+ + −
= = = = = =
− + + +− − + + ++
−
+ + + + −     
−      
     
 + + + + + − − − −
=
∑∑∑∑∑∑
)
1 ( 1) ( 2) 4 ( 1) ( 2) 2
0 0 0
( 2 2)
1 2 1 2
0 0
2
1
}
{ } (2 ) { }]
1
( 1) [ ( )( )( )
(1 )
j
g j i h k g j i h k i j k g j k l g j k l
j l k
j
i l j k l i
i r
R R R R s
j l j k j r
l k r
p
γ λ γ
γ λλ ξ µ λ ξ µ µ µ
λµ
∞ ∞
− − + ++ + + − + ++ + + + + − − + + +− − + + +− −
= = =
∞
+ − + −++
= =
− − + − −
+ + − +   
− + + + + +   
   
− − +
∑∑∑
∑∑
( ) ( 1) 2 ( 1) ( 2)
2
3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)
1 2 1 2
( )][{ } { }]
[ ( )] { }] ( )( ) [{ }]
g j l k N g j l k N g j l k g j l k
g j g j k l g j r l g j r l
p R R R R
p R R s R R
λ λ ξ µ γ
λ µ µ γ ξµ µ λ ξ
− + ++ + − + ++ + + − + ++ + − + ++ +
− − + − − + + − −− − + + ++ − + + ++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + − − −
 
− + − − + + + −  
(55)
1 1 1
1
0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 1
1 2
,.
1 1 1
( 1)
1
2 [( ) ]
( )
j j kl m m i
i l p q h
j l k h r i q p
m i l p q m i l p q l p
m
m m j j l j k m i j k
i j l h k p q
j i l r
p
r
P s
λ µ µ λ γ
+ −∞ ∞ ∞ − + −
+ + + +
= = = = = = = =
− − + − − − − + + + −
−
− + + + + − −       
−        
       
+ + + 
+ 
 
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
(2 1) ( 1 1)
1 2
( 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) ( 1 3)
1 1
0 0 0 0
( )
( ) [{ } { }]
1
( 1)
m j i q m i l p
m i k l g j h i p N g j h i p N g j h i p N g j h i p N
j m
i l
j l k i
s
s R R R R
m m j j i j i
i j l
µ µ ξ
λ ξ γ
+ − − − − − − + −
− − − − − − + + + + + − + + + + + + − + + + + + + − + + + + + +
+∞ ∞ −
+
= = = =
+ + +
+ + − − −
− + + +   
+ −    
   
∑∑∑∑ 1 (2 2)
1
( ) ( ) ( 2) ( 1)
2 1 2 1 2
1 2
( 3) 2( 1) 2
0 0 0 0
[2 ( )
( )( )]( ) [{ } {
}] ( 1) [ { (
m i k m j i N
m i l k g j i N g j i N g j i N
j N
g j i N l i j k i
j l k i
k
k
s R R R
j l
R p
l
λ γ λλ ξ µ
λ ξ µ µ µ µ µ ξ γ
γ λ µ
− − − − + − − −
− − + + − + + + − + + + + − + + + +
+∞ ∞ +
− + + + + + − + + +
= = = =
+ 
+ + 
 
+ + + + + + − −
+ 
− − −  
 
∑∑∑∑ 2( ) 2
2 1 2
[2( ) 2] 2
1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2( 1) 2 3 (2 3) 2( ) (2 1)
1 2 1 2
0 0
) }] {(2 )
[( ) ] } [ ( )( )( ) (1 )
( )][{ (2 ) [( ) ] } { (2 )
[(
l i j k i N
j k i N
N n
i i N i N n i i n
i i
s p
p s
s
µ µ λ
λ µ µ ξ ν λλ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ
λ µ µ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ
λ µ
+ + + − −
− + + − −
− −
− + − + − − + − − +
= =
+ −
+ + + + + + + + + + + − −
+ + + + + + + −
+ +
∑ ∑
(2 1)
1 2 ) ] }]i n
µ ξ ν − − +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + +
 
 
 
(56)
Taking the inverse transform of (55) and (56), we have

58
1
( ) 2( 1)
0 0 0 0 0 0
2 2
1 2 2 1 2
0
0,.
1
( 1)
( )
( )( ) ( ) (1 ) [{( )( 1)
1!
( )
j jl
i l h j l h i j k h l r
j l k h i r
t
j l j l r j j k l
l h r i k
t w
p p g j k l g j k l
P t
λ γ
λ ξ µ λ ξ µ ξλ µ µ λµ
+∞ ∞ ∞
+ + − + − + − + + − + +
= = = = = =
+ + + + −     
−      
     
−
 + + + + + − − − + + + + + + −
=
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1 1 2 1
1 2 ( ) ( 1) 1 2 ( 1)
4 1
( 2) 1 2 ( 3)
( )( )1
( 2)
( ( ) ) 2 } {( 1) ( ( ) )
2 } (2 ) {( 3)( 1)( ( ) )
2 }]
g j k l g j k l g j i h k
i j k
g j i h k g j k l
t w
g j k l
w I I g j i h k w I
I g j k l g j k l w I
I w e dλ µ µ ξ
λ µ µ γ λ µ µ
λ γ λ µ µ
− − −
+ + + + + + + + + + + +
+ + − −
+ + + + + + + + −
− + + + −−
+ + + −
+ − − + + + + + +
− + + + + − + + + − +
− ( 1)
0 0 0 0 0
( 2 2) 2
1 2 1 2 1 2 ( )
0
2
( 1) ( 1) (
1
( 1)
( )
[ ( )( )( ) (1 ) ( )] [[{
1!
} {
j j
i l j i
j l k i r
t
j k l i
g j l k N
g j l k N g j l k g j
j l j k j r
w
l k r
t w
p p I
I I I
λ
γ λ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ λ λ ξ µ
γ
∞ ∞ ∞
+ − + +
= = = = =
− + − + +
+ + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + − +   
− −    
   
−
+ + + + + − − + + +
− − −
∑∑∑∑∑
∫
1 2
3
2) 1 2 ( 1) ( 1) 1 2
( 2)
( )( )( )
1 2 ( 1) ( 2) 1 2
0
} [ ( )] { }](2 ( ) )
( )
( ) [{ }(2 ( ) ) ] ]
( 2)!
l k g j g j
w k l
t wu
g j r l g j r l
p I I w
w u
I I u e du e dw
k l
λ µ µ ξλ ξ
λ µ µ γ λ µ µ
ξ µ µ λ µ µ
−
+ + + − + +
− −
− + + + −− +
+ + + + + + + +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 − + − +
 
 −
− + − +
− − 
∫


(57)
1 1 1
1
0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 1 (
1 2
,.
1 1 1
( 1)
1
2 [( ) ]
( )
j j kl m m i
i l p q h
j l k h r i q p
m i l p q m i l p q l p
m
m m j j l j k m i j k
i j l h k p q
j i l r
p
r
P t
λ µ µ λ γ
+ −∞ ∞ ∞ − + −
+ + + +
= = = = = = = =
− − + − − − − + + + −
− + + + + − −       
−        
       
+ + + 
+ 
 
=
∑∑∑∑∑∑∑ ∑
1 2
( 1 2)
2 1)
0
( 2)
( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) ( 1 3)
0
( )( )( )
1 2
( )
[
( 1 2)!
( )
[{ } { }]
( 2)!
(2 ( ) ) ] ] ( 1)
t m i l p
m j i q
w m i l k
g j h i p N g j h i p N g j h i p N g j h i p N
t wu i
t w
m i l p
w u
I I I I
m i l k
u e du e dwµ µ ξλ ξ
γ
λ µ µ
− − + −
+ − − −
− − − −
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
− + + −− +
−
− − + −
−
− − −
− − − −
+ + −
∫
∫
1 1
0 0 0 0
( 1)
1 (2 2)
1 2 1 2
0
( ) ( 2) ( 1) (
1
( )
[2 ( )( )( )]
( 1)!
[{ } {
j m
l
j l k i
t m i l k
m i k m j i N
g j i N g j i N g j i N g j i N
m m j j i
i j l
j i k t w
k m i l k
I I I I
λ γ λ λ ξ µ λ ξ µ µ µ
γ
+∞ ∞ −
+
= = = =
− + + −
− − − − + − − −
+ + + + + + + + + + + + + + +
− + +   
   
   
+ +  −
+ + + + + 
− + + − 
− − −
∑∑∑∑
∫
1 2
1 2
( )( )
3) 1 2
1 2
2( 1) 2
2 1 2
0 0 0 0
( )1 2 2
[2( ) 2] 1 2 1 2 1 1
}](2 ( ) )
( 1) [ { ( ) }] {(2( ) 2)
} [ ( )( )( ) (1 ) (
t w
j N
l i j k i l i
j l k i
t
j k i N
w e dw
j l
p j k i N
l
I t e p p
µ µ ξ
λ µ µ ξ
λ µ µ
γ λ µ µ µ
λ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ λ µ
− + + −
+∞ ∞ +
+ − + + + +
= = = =
− + + +−
+ + − −
+
+ 
− − + − + + − − 
 
+ + + + + + − − + +
∑∑∑∑
1 2
2
2 1
( )2( 1) 2( ) 1
(2 3) (2 1)
0 0
)]
[{ (2 3) } { (2 1) }]
N n
ti n i
i N i n
i i
i N I i n I t e λ µ µ ξ
µ
γ γ
− −
− + + +− + − −
− + − +
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 − + − − +
 
 
 
  
∑ ∑
(58)

59
5. MEASURE OF EFFECTIVENESS
Two measures of effectiveness of immediate interest are the expectation ( ) ( )X t Nµ
and
the variance
2
( ) ( )X t Nσ
of the distribution of the number of times the system reaches its capacity
in time interval (0, t].
5(a). Expectation { ( ) ( )X t Nµ
}
( )
1
( ) ( ,1; )X s
x
d
N H x s
dx
µ
− −
=
 
=    (59)
Expanding the right hand side of (59), we have
1
2 1 1 2 1 2
0 0 0 1 0 0
(2 ) 2( ) ( 1) ( 1)
1 2
( 1) ( 1) 2
( )
[ ( ) ( )( ) (1 )] ( 1)
1
( )
1
{ }
( )
j kk l
i l
j i l p k
j i l j i k k N j i l p
H H
X s
p p
j k j k l l k
s
j l p i
R R
N
λ µ µ λ λ µ ξ λ µ ξ µ λ µ λ
λ γ µ µ ξ
γ
µ
+ +∞ ∞
+
= = = = =
− + + − − − + + − + − +
− + − − −
−
− + + + + + + − − −
+ + + +    
+ + +    
    
− +
=
∑∑ ∑ ∑∑
( 2) ( 3)
2 1
2 ( 1) ( 1) ( 1)
2 1
2
2( 1) 2 2
2 1 1 2 1 2
0
(2 2)
1 2
{ } [ (1 )( )
( )( )]( ) { }
[ ( )( ) ( )( )][ (2 )
[( ) ]
j i k l N j i k l N
j i l p H H
N
i i N
i
i N
R R p
p s R R
p
s
µ λ λ µ ξ
λ λ ξ µ µ λ ξ
λ µ µ λ µ ξ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν
− + + + + + − + + + + +
− − + + − + − −
−
− + − +
=
− − +
 − + − + +
+ 
+ + + + + −  
+ + + + − + +
+ + + + + −
∑
1
1 2( ) 2 1 (2 1)
1 2
0
(2 ) [( ) ] ]
N
N i i N i N
i
sλ γ λ λ µ µ ξ ν
−
− − − − + − − +
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ + + + + 
  
∑
(60)
Where H= (j+i+k+l+1) (N+1)
Taking the inverse transform of (60), we have
1
2 1 1 2 1 2
0 0 0 1 0 0
1 1
(2 ) 2( ) ( 1)
0 0
( )
[ ( ) ( )( ) (1 )] ( 1)
1 ( ) ( )
[
1 ( 1 1)! 1!
[[
( )
j kk l
i l
j i l p k
t wj i l p
j i l j i k k N
X t
p p
j k j k l l k t w w u
j l p i j i l p
N
λ µ µ λ λ µ ξ λ µ ξ µ λ µ λ
λ γ
µ
+ +∞ ∞
+
= = = = =
+ − + −
− + + − − − + +
− + + + + + + − − −
+ + + +     − −
    
+ − + −    
=
∑∑ ∑ ∑∑
∫ ∫
1 2
2
( 1) ( 1) ( 2) ( 3) 2 1 2
( 1 1)
2
1 2 1 ( 1) ( 1) 2 1
0
( )( ) (( )( )
{ } { }](2 ( ) ) [ (1 )
( )
( ) ( )( )] [{ }(2 ( ) )
( 1 1)!
] ] ]
H H j i k l N j i k l N
u j i l p
H H
w uu v
I I I I u p
u v
p I I
j i l p
e dv e du eλ µ µ ξ µλ ξ
γ λ µ µ µ λ
λ µ ξ λ λ ξ µ µ λ µ µ ν
−
+ − + + + + + + + + + +
− + + −
+ −
− + + + − −− + −
− + − + + −
−
+ + + + + − +
− + + −∫
1 2
1 2
)( )
2 1 1
2 1
2( 1) 1 2( )
2 1 2 2 2 2 1
0 0
( )1
[ ( )( )
( )( )][{ (2 2) } { (2 1) }
]
t w
N N
i N i
i N i N
i i
t
dw p
i N I i N I
t e
µ ξ
µ µ ξ
λ µ µ λ µ ξ
µ µ λ µ ξ γ λ γ
+ + −
− −
− + − − −
− + − +
= =
− + +−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ + + + + 
 
 − + + − + − − +
 
 
 
 
 
∑ ∑
(61)

60
5(b). Variance {
2
( ) ( )X t Nσ
}
2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[1 ( )]X t X t X tN K t N Nσ µ µ= + −
(62)
Where
,.
2
( ) ( 1) ( )m
m
K t m m P t
∞
=
= −∑
Therefore, to find the value of variance, it suffices to calculate the first term on right hand
side of (62) since expectation has already been obtained in (61).Now Laplace transform of
K(t) is
2
2
1
( ) ( ,1; )
x
d
K s H x s
dx
− −
=
 
=    (63)
Expanding the right hand side of (63), we have
2
2 1 1 2 1 2 1 2
1
( )
0 0 0 0 0 1 0
(2( ) 1( 1) 1
[ ( ){( )(1 ) ( ) ( ) ( )( )]
1 1 1 1
( 1)
1
( )
j i l
k l h j i k l
j l k h i p
k i l p N
p
i j i j l i j l p
i j l h k p
Ks
λλ ξ µ µ µ µ λ µµ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ
λ
γ
+∞ ∞ ∞
+ + − ++ +
= = = = = =
− ++ + + +
−
+ − − + + − + + + + + +
+ + + + + +      
−       
      
=
∑∑∑∑∑∑
) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)
1 2
( 2) ( 2) ( 1) ( 2)
1 2 1 2
3 2 {2( 1) 1}{ 1} {2( 1) 1}{
0
( ) [{ } {
} ( ) [{ }]] 2( )( )
( ) ( 1) [{
j i k p v v j i k l N
j i k l N j i N v v N
l N k N k
k
s R R R
R s R R s
i
s R R
h
µ µ ξ γ
λ ξ µ µ µ µ ξ
λ ξ γ
− ++ + − − − + − − ++ + + +
− ++ + + + − ++ − + + − + +
∞
− + + + − + −
=
+ + + − − −
+ + + − + + + + +
 
+ + − − 
 
∑ 1}
1
0 0
2
2( 1) 2 2
2 1 2 2 1
0
1
(2 2) 2( ) 2 1 (2 1)
1 2 1 2
0
}] [( )( )
( ) ( ) (1 )( )][{ (2 )
[( ) ] } (2 ) [( ) ] ]
i
N
j l
N
i i N
i
N
i N N i i N i N
i
p p
s s
λ ξ λ ξ µ
λ ξ µ λµ λ ξ µ λµ λ ξ µ γ λ
λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ ν
∞
+
= =
−
− + − +
=
−
− − + − − − + − − +
=
 
 










+ + + +


+ + − + + − − + +


+ + + + + − + + + + +
 
∑∑
∑
∑

















(64)
Where v = [{2(j+k+l+1) +i+p1} (N+1)]
Taking the Inverse Laplace transform of (64), we have

61
2
2 1 1 2 1 2 1 2
1
( )
0 0 0 0 0 1 0
(2( ) 1( 1) 1)
[ ( ){( )(1 ) ( ) ( ) ( )( )]
1 1 1 1
( 1)
1
( )
j i l
k l h j i k l
j l k h i p
k i l p N
p
i j i j l i j l p
i j l h k p
K t
λ λ ξ µ µ µ µ λ µµ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ
λ
γ
+∞ ∞ ∞
+ + − + + +
= = = = = =
− + + + + +
+ − − + + − + + + + + +
+ + + + + +      
−       
      
=
∑∑∑∑∑∑
1 2 1 2
( 1 1)
1
( 1) ( 1) ( 1)
0
( 1)
( 2) 1 2 ( 1) ( 2) 1 2
0
( ) ( )( )( )
( )
[[{ } {
( 1 1)!
( )
}](2 ( ) ) [{ }(2 ( ) )
( 1)!
] ] ]
t j i k p
v v j i k l N
w j i
j i k l N N v v N
w t wu
t w
I I I
j i k p
w u
I w I I u
j i
e du e e dwλ µ µ ξ µ µ ξλ ξ
γ
λ µ µ λ µ µ
+ + + −
−
− + + + + + +
+ +
+ + + + + + + + +
− + + + − + + −− +
−
− − −
+ + + −
−
+ + − +
+ +
+
∫
∫
1 2
2
1 2
0 0 0 0
1 2
( )1 1 ( )( )
1 2 {2( 1) 1}{ 1} {2( 1) 1}{ 1}
[2( )] ( 1) ( )
[{2 ( )( )][[{{2( 1) 1}{ 1}][{2( 1) 1}{ 1} 1]
( ( ) ) 2 }] ]
[( )(
ti
l N
j l k
w t w
k N k N
i
t w
h
t w k N k N
w I I w e e dwλ µ µ ξ λ ξ
µ µ γ
µ µ ξ
λ µ µ
λ ξ λ ξ µ
∞ ∞
= = =
− + + +− − − + −
+ + + + − +
 
+ − − 
 
+ + + − + + + + + + −
+ − +
+ + +
∑∑∑ ∫
1 2
1 2 1 2 2 1
2 1
( )2( 1) 2( ) 1
(2 2) (2 1)
0 0
)( ) ( ) (1 )( )]
[{ (2 2) } (2 1) ]
N N
ti N i
i N i N
i i
p p
i N I i N I t e λ µ µ ξ
λ ξ µ λµ λ ξ µ λµ λ ξ µ
γ γ
− −
− + + +− + − − −
− + − +
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + − + + − − + +
 
 
− + − − + 
 
 
 
  
∑ ∑
(65)
REFERENCES
1. B.K.Kumar and S.P.Madheswari, “Transient solution of an M/M/2 queue with
Heterogeneou servers subject to Catastrophes,” information and management
science, Vol. 18, No. 1, pp.63-80, 2007.
2. D.V.Widder (1946), “The Laplace Transform”, Princeton Mathematical Series.
3. Di Crescenzo, A; Giorno, V and Ricciardi, L.M. (2003). “On the M/M/1 queue with
Catastrophes and its continuous Approximation,” Queueing systems, 43,329-347.
4. Erdelyi, A, W.Magnus, F.Oberhettinger and F.G.Tricomi (1954),”Table of Integral
Transform”,Vol.1, McGraw-Hill Book Company, New York.
5. G.N.Watson, Sc.D, F.R.S. (1959), “A Treatise on the Theory of Bessel Function”,
2nd Edition, Cambridge Uni. Press.
6. S.P.Madheswari and B.K.Kumar, “An M/M/2 queueing system with heterogeneous
Servers and multiple vacations,” Mathematical and Computing modeling, 13(41),
Pp.1415-1429, 2005.

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