Dimensionstheorie Noethersche Ringe nach Athiyah MacDonald.

1. Dimensionstheorie
Seminarvortrag: Kommutative Algebra
Heinrich Hartmann
SS 2004
Inhaltsverzeichnis
1 Einf¨uhrung 1
2 Hilbert Funktionen 2
3 Noethersche Lokale Ringe 8
4 Regul¨are Lokale Ringe 12
5 Transzendente Dimension 13
1 Einf¨uhrung
Es mag zun¨achst etwas befremdlich klingen, dass der Begriff der Dimension, der uns allen in
vielerlei Hinsicht so nat¨urlich vorkommt, in der Kommutativen Algebra derart viele Umst¨ande
macht. Kapitel 8 im zweiten Teils von
”
David Eisenbud: Commutative Algebra with a view
tward Algebraic Geometry“ gibt einige sehr lesenswerte Erkl¨arungen zu wesentlichen Ideen dieses
Themas. Einige davon will ich hier kurz vorstellen.
In den Anf¨angen der Algebraischen Geometrie waren Kurven etwas, was durch eine Gleichung
in den Koordinaten der Euklidischen Ebene definiert wird. Dies sind nun Objekte, die in jeder
Hinsicht eindimensional sind (abgesehen von
”
pathologischen“ F¨allen wie etwa x2 +y2 = 0). Die
Einf¨uhrung komplexer Zahlen ver¨anderte zwar die Natur der untersuchten Objekte, nicht aber
die Ansicht, dass sie eindimensional sein sollten. Allein Bezeichnungen
”
Riemannsche Fl¨achen“
und
”
algebraische Kurven ¨uber C“ f¨ur das selbe Objekt die verdeutlichen die Problematik bei
der Definition der Dimension dieser Objekte.
Von einem Dimensionsbegriff verlangt man in der Kommutativen Algebra ¨ublicherweise fol-
gende Eigenschaften:
• Axiom D1 Dimension ist eine lokale Eigenschaft. Das soll bedeuten, dass ein Ring lo-
kal durchaus verschiedene Dimensionen haben darf. Insgesamt wird dem Ring dann das
Supremum der Dimensionen der lokalisierungen zugeordnet:
dim A = sup
p ⊂ A Primideal
dim Ap (1)
1

2. Wenn man die Deutung der Komplettierung als kleinere Umgebung und des Ideals im
Kopf beh¨alt, wird die Forderung
dim Ap = dim ˆAp (2)
verst¨andlich.
• Axiom D2 Nilpotente beeinflussen die Dimension nicht. Gew¨ohnliche Polynomringe
haben keine nilpotenten Elemente, in der Geometrie gibt es in der Regel keine nilpotenten
Funktionen (außer 0). Man kann jedoch nilpotenten Elementen eine geometrische Bedeu-
tung geben, wenn man sie als Richtungsinformationen ¨ahnlich einer Taylorreihe liest. Man
denke beispielsweise an den Ring k[x]/(x2), wo von einem Polynom f ∈ k[x] nur noch die
letzten beiden Koeffizienten sichtbar beliben. Daher ist es zu verstehen, dass Nilpotente
bei der Dimension keine Rolle spielen sollten.
• Axiom D3 Ganze Erweiterungen beeinflussen die Dimension nicht. Sei f : X → Y
ein Morphismus affiner Variet¨aten, so dass die induzierte Abbildung der Koordinatenringe
f*: A(Y ) → A(X) eine ganze Erweiterung ist (⇔ B endlich erzeugt als A-Modul), dann
hat f endliche Fasern (Beweis mit
”
going up/down“ Theoremen von Cohen Seidenberg).
Ganze Ringerweiterungen entsprechen also ¨Uberlagerungen auf der geometrischen Seite.
Hat man z.B. eine ¨Uberlagerung von Mannigfaltigkeiten gegeben, so ist auch hier die
Dimension von Basis (Ziel) und Totalraum (Quelle) die selbe.
• Axiom D4 Kalibration: dim k[x1, . . . , xd] = d. Der Polynomring in d Variablen entspricht
der affinen d-dimensionalen Ebene ¨uber k. Dieser sollte mit Sicherheit die Dimension d
zugewiesen bekommen.
Im Folgenden werden 3 verschiedene Charakterisierungen gegeben, die im Falle lokaler noether-
scher Ringe einen konsistenten Dimensionsbegriff liefern.
2 Hilbert Funktionen
Definition 2.1. Eine Abbildung λ : A-Mod → Z von der Klasse aller A-Moduln nach Z heißt
additive Funktion, falls f¨ur jede kurze exakte Sequenz:
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 (3)
gilt: λ(M) = λ(M ) + λ(M ).
Beispiel 2.2. Sei k ein K¨orper, so ist dim : k-Vektorr¨aume → Z additiv (mit Homomorphisatz).
Beispiel 2.3. In §6 haben wir gesehen, dass die L¨ange l der Kompositionsreihe eines Moduls
¨uber einem Artinschen Ring eine additive Funktion ist. Dies wird die additive Funktion sein, die
uns im folgenden prim¨ar interessieren wird. Ist der Grundring ein K¨orper, so ist die L¨ange des
Moduls nat¨urlich die Dimension als Vektrorraum.
Lemma 2.4. Sei λ eine additive Funktion, Mi A-Moduln. F¨ur eine exakte Sequenz
0 −→ M1 −→ . . . −→ Mn −→ 0 (4)
gilt: (−1)i λ(Mi) = 0
2

3. Beweis. Vgl. Kapitel 2
Sei A = ∞
n=0 An ein graduierter, noetherscher Ring. Nach 10.7 ist dann A0 ebenfalls
noethersch und A das Erzeugnis endlich vieler x1, . . . , xs als A0-Algebra. Zerlegen wir nun die
einzelnen Erzeuger in ihre homogenen Komponenten, erhalten wir ein weiteres Erzeugendensys-
tem von A. Wir k¨onnen also o.E. xi als homogen annehmen: xi ∈ Aki
.
Sei M = ∞
n=0 Mn ein endlich erzeugter graduierter A-Modul. Dann wird M von endlich
vielen homogenen Elementen m1, . . . , mt erzeugt: mj ∈ Mrj (gleiches Argument). Jedes Element
aus Mn hat also die Form n
j=0 aj mj wobei aj ∈ An−rj . Also ist Mn endlich erzeugt als A0-
Modul von den Elementen der Form aj mj mit aj Monom in x1, . . . , xs vom Totalgrad n − rj
(d.h. aj = xj1 · . . . · xjm , n − rj = kj1 + . . . + kjm ).
Definition 2.5. Sei λ : A0-Mod → Z eine additive Funktion. Die Poincar´e Reihe eines endlich
erzeugten A0-Moduls M (bez¨uglich λ) ist die erzeugende Funktion von λ(Mn):
P(M, t) =
∞
n=0
λ(Mn) tn
(5)
zun¨achst als formale Potenzreihe. (Obwohl die Funktion nat¨urlich von der Wahl von λ abh¨angt,
unterdr¨ucken wir dies bei der Notation).
Satz 2.6. (Hilbert, Serre) P(M, t) ist eine rationale Funktion der Form:
f(t)
s
i=0(1 − tki )
(6)
mit einem Polynom f(t) ∈ Z[x].
Beweis. Mit Induktion nach s der Anzahl der Erzeuger von A als A0-Algebra: F¨ur s = 0 ist
A=A0 und somit M ein endlich erzeugter A0-Modul. Das bedeutet Mn wird Null f¨ur große n,
also auch λ(Mn) und P(M, t) ist selbst ein Polynom. F¨ur s > 0 haben wir exakte Sequenzen
von A0-Moduln:
0 −→ Kn −→ Mn
xs
−→ Mn+ks −→ Ln+ks −→ 0 (7)
Wobei Kn der Kern der Abbildung xs : Mn → Mn+ks und Ln+ks der Kokern ist. Wir setzen
nun K = n Kn und L = n Ln. K ist ein Untermodul von M und wird nach Konstruktion
von xs annulliert. L ist ein Faktormodul von M und wird ebenfalls von xs annulliert, denn
jeder Repr¨asentant einer Nebenklasse in L wird durch xs in das Bild von xs abgebildet, welches
jedoch gerade ausgeteilt wurde. Da also xs auf L und K wie die Null wirkt, k¨onnen wir xs
als Erzeuger streichen. Somit werden L und K zu A0[x1, . . . , xs−1] Moduln und wir k¨onnen die
Induktionsvoraussetzung anwenden. Erst einmal haben wir:
λ(Kn) − λ(Mn) + λ(Mn+ks ) − λ(Ln+ks ) = 0 (8)
Multiplikation mit tn+ks
und Summation ¨uber n liefert:
tks
∞
n=0
tn
λ(Kn) − tks
∞
n=0
tn
λ(Mn) +
∞
n=0
tn+ks
λ(Mn+ks ) −
∞
n=0
tn+ks
λ(Ln+ks ) = 0
⇔ tks
P(K, t) − tks
P(M, t) + P(M, t) + p(t) − P(L, t) + p (t) = 0
⇔ (1 − tks
)P(M, t) = P(L, t) − tks
P(K, t) + p (t) (9)
3

4. mit Polynomen p, p , p in denen jeweils die Restterme versammelt wurden. Mit der Induktions-
veraussetzung folgt:
(1 − tks
)P(M, t) =
f(t)
s−1
i=0 (1 − tki )
− tks
g(t)
s−1
i=0 (1 − tki )
+ p (t)
⇔ P(M, t) =
h(t)
s
i=0(1 − tki )
(10)
wobei wieder f, g, h ∈ Z[t].
Bemerkung 2.7. Insbesondere konvergiert P(M, t) auf der offenen Einheitskreisscheibe und
kann zu einer meromorphen Funktion auf C fortgesetzt werden. Diese hat nur endliche viele
Pole, die alle auf dem Einheitskreis liegen (ki-te Einheitswurzeln).
Definition 2.8. Die Ordung des Pols von P(M, t) an der Stelle t = 1 wird mit d(M) bezeichnet
und ist ein Maß f¨ur die Gr¨oße von M relativ zu λ.
Falls A von Elementen der Ordnung ki = 1 erzeugeut wird (als A0-Algebra), so haben die
Koeffizienten von P(M, t) eine besoders einfache gestalt:
Korollar 2.9. Ist ki = 1 f¨ur alle i, dann ist λ(Mn) f¨ur große n ein Polynom H(n) (aus Q[x])
vom Grad d(M) − 1. Dieses Polynom wird auch Hilbert Polynom genannt.
Beweis. Wir wissen bereits, dass die Erzeugendenfunktion von λ(Mn) gegeben ist durch
f(t)/(1 − t)s. K¨urzen wir den Bruch vollst¨andig, erhalten wir: P(M, t) = g(t)/(1 − t)d und
f(1) = 0, wobei d = d(M). Sei nun g(t) = a0 + a1t + . . . + aN tN ; Es gilt:
(1 − t)−d
=
∞
k=0
d + k − 1
d − 1
tk
(11)
Somit folgt:
∞
n=0
λ(Mn)tn
= P(M, t) =
g(t)
(1 − t)d
=
N
l=0
altl
∞
k=0
d + k − 1
d − 1
tk
=
∞
L=0
L
K=0
d + L − K − 1
d − 1
aKtL
(12)
Mit an = 0 f¨ur alle n > N. Koeffizientenvergleich liefert:
λ(Mn) =
N
k=0
ak
d + n − k − 1
d − 1
(13)
f¨ur alle n > N, sonst wird die Summe nicht vollst¨andig durchlaufen. Mit n
k = n(n − 1) . . . (n −
k +1)/k! sieht man noch, dass diese Summe ein Polynom in n ist. Der F¨uhrungsterm ergibt sich
zu: ( k ak)nd−1/(d − 1)!
Satz 2.10. Sei x ∈ Ak kein Nullteiler von M, dann gilt d(M/xM) = d(M) − 1
4

5. Beweis. Analog zum Beweis von 2.6 betrachten wir die exakte Sequenz:
0 −→ Kn −→ Mn
x
−→ Mn+k −→ Ln+k −→ 0 (14)
wobei diesmal Kn = 0 (Multiplikation mit x ist injektiv). Anwenden von λ, Multiplikation mit
tn+k und aufsummieren liefert:
(1 − tk
)P(M, t) = P(L, t) + p(t) (15)
mit einem Polynom p(t) ∈ Z[t]. Da nun 1 − tk nur eine einfache Nulltelle bei t = 1 hat, folgt die
Behauptung.
Beispiel 2.11. Sei A = k[x1, . . . , xs] der Polynomring in s Variablen ¨uber einem K¨orper k (oder
einem artinschem Ring). Dann ist An ein freier Modul erzeugt von Monomen xm1
1 . . . xms
s mit
mi = n. Es gibt s+n−1
s−1 von ihnen (Ziehen mit Zur¨ucklegen ohne Beachten der Reihenfolge).
W¨ahlen wir als additive Funktion die L¨ange des Moduls (= Anzahl der Erzeuger), so ergibt sich:
P(M, t) = (1 − t)−s.
Beispiel 2.12. Sei A = k[x1, . . . , xs] der Polynomring in s Variablen ¨uber einem K¨orper k,
I = (x6y2, x4y3, xy5) ⊂ A ein Monomideal. Insbesondere hat I homogene Erzeuger und A/I wird
auf nat¨urliche Weise ein graduierter A-Modul. Wir wollen nun die Poincar´ereihe des graduierten
A-Moduls A/I ausrechnen. Eine k-Vektorraumbasis von A/I ist gegeben durch
B = {xn
ym
| n, m ∈ N0, xn
ym
/∈ I} (16)
diese ist kompatibel mit der Graduierung in dem Sinne, dass der Grad i Anteil von A/I von den
Grad i Elementen von B aufgespannt wird. Da wir hier ¨uber einem K¨orper arbeiten, ist die L¨ange
des Moduls durch seine Dimension gegeben. Die Dimensionen der homogenen Komponenten kann
man nun relativ leicht am Monomdiagram ablesen:
Hierbei entsprechen die Gitterpunkte den Monomen in x und y, der dunkel eingef¨arbte Bereich
markiert Monome die in I liegen. So findet man:
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 > 8
l((A/I)i) 1 2 3 4 5 6 6 5 3 3
5

6. F¨ur große i ist die l¨ange also konstant (= 3). Der erste Ansatz w¨are also das Verhalten f¨ur große
Werte von i zu kontrollieren.
∞
n=0
3 tn
=
3
1 − t
Die kleinen Werte von i k¨onnen wir nun mit einem Polynom korrigieren:
P(M, t) =
3
1 − t
+ 2t7
− 3t6
+ 3t5
+ 2t4
+ t3
− t − 2
=
1 + t + t2 + t3 + t4 + t5 − t7 − 2t8
1 − t
(17)
Womit wir das Theorem von Hilbert Serre experimentell best¨atigt haben.
Anfang des Vortrags
Satz 2.13. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal, q ein m-prim¨ares Ideal,
M ein endlich erzeugter A-Modul, (Mn) eine stabile q-Filtration von M. Dann gilt:
1. M/Mn hat endliche L¨ange f¨ur alle n > 0
2. F¨ur große n ist diese L¨ange ein Polynom g(n) vom Grad kleiner gleich s, wobei s die
geringste Anzahl von Erzeugern von q.
3. Der Grad und des F¨uhrungskoeffizient von g(n) h¨angen nur von M und q, nicht aber von
der gew¨ahlten Filtration ab.
Beweis. zu 1. Sei G(A) = ∞
n=0 qn/qn+1, G(M) = ∞
n=0 Mn/Mn+1. Der erste Summand
G0(A) = A/q ist noethersch und nulldimensional, (da in A kein Primideal ¨uber q liegt) und
somit artinsch nach (8.5). G(A) ist noethersch und G(M) ist nach (10.22) ein endlich erzeugter
G(A)-Modul. Jeder Summand Gn(M) = Mn/Mn+1 wird als A-Modul durch q annuliert ((Mn)
ist q- Filtration), kann also als A/q-Modul aufgefasst werden. Damit ist nun Mn/Mn+1 zu ei-
nem endlich erzeugen Modul ¨uber einem artinschen Ring (A/q) geworden und hat somit endlich
L¨ange (da eine Kompositionsreihe existiert). Es gilt:
ln = l(M/Mn) =
n
r=1
l(Mr−1/Mr) (18)
(betrachte: Mn/Mn+1 −→ M/Mn+1 −→ M/Mn)
zu 2. Sei x1, . . . , xs ein Erzeugendensystem von q, dann erzeugen die Bilder xi der xi in q/q2 den
Ring G(A) = A/q ⊕ q/q2 ⊕ q2/q3 . . . als A/q-Algebra. Alle xi haben Grad 1, also gilt nach (2.9)
l(Mn/Mn+1) ist f¨ur große n ein Polynom f(n) vom Grad kleiner gleich s − 1. Nach Gleichung
(18) gilt demnach ln+1 −ln = f(n). Nach dem folgendem Lemma (2.14) ist dann ln ebenfalls ein
Polynom g(n) von Grad kleiner gleich s ist (f¨ur große n).
zu 3. Sei (Mn) eine weitere stabile q-Filtration von M, und sei g (n) = l(M/Mn). Nach (10.6)
haben die beiden Filtrationen gebundene Differenz, d.h. es existiert eine Zahl n0 mit Mn+n0 ⊂
Mn, Mn+n0
⊂ Mn f¨ur alle n ≥ 0. Es folgt g(n + n0) ≥ g (n) und g (n + n0) ≥ g(n). Also m¨ussen
g und g gleichen Grad und F¨uhrungskoeffizienten haben.
Lemma 2.14. (vgl. Hartshorne Algebraic Geometry, S.49) Ein numerisches Polynom ist ein
Polynom P ∈ Q[x] mit der Eigenschaft, dass P(n) ∈ Z f¨ur große n ∈ N.
6

7. 1. Ist P ein solches, dann gibt es ganze Zahlen c0, . . . , cr sodass:
P(x) = c0
z
r
+ c1
z
r − 1
+ . . . + cr (19)
Insbesondere ist P(n) ∈ Z f¨ur alle n ∈ Z.
2. Ist f : Z → Z eine beliebige Funktion, deren Differenzfunktion ∆f := f(n + 1) − f(n)
ein numerisches Polynom Q(n) ist. So ist auch f selbst ein numerisches Polynom P(n) f¨ur
große n.
Beweis. zu 1. Mit Induktion nach dem Grad von P. F¨ur grad Null ist die Behauptung trivial.
Da x
r = xr/r! + . . . k¨onnen wir P auf jeden Fall in der obigen Form schreiben, falls wir ci aus
Q w¨ahlen. Betrachten wir nun ∆P(x) = P(x + 1) − P(x), so erhalten wir mit ∆ x
r = x
r−1 :
∆P = c0
x
r − 1
+ c1
x
r − 2
+ . . . + cr (20)
Dies ist nun ein numerisches Polynom vom Grad r − 1, nach Induktionsvorraussetzung sind also
c0, . . . , cr−1 ∈ Z. Doch nun folgt sofort cr ∈ Z, da P(n) ganzzahlig wird f¨ur große n.
zu 2. Schreibe Q wie in (19), dann setze
P = c0
x
r + 1
+ c1
x
r
+ . . . + cr
x
1
(21)
Nun ist ∆P = Q, und damit ∆(f − P)(n) = 0 f¨ur große n. Also ist (f − P) eine Konstante cr+1
f¨ur große n und es gilt f = P + cr+1.
Definition 2.15. Das zur Filtration (qnM) geh¨orige Polynom g(n) wird auch mit χM
q (n) be-
zeichnet:
χM
q (n) = l(M/qn
M) (22)
Im Falle M = A nennen wir χq(n) := χA
q (n) auch das charakteristische Polynom von q.
Korollar 2.16. F¨ur große n ist l(A/qn) ein Polynom χq(n) vom Grad kleiner gleich s, der
minimalen Anzahl von Erzeugern von q.
Beweis. Wende (2.13) 2. mit M = A, Mn = qn an.
Satz 2.17. Seien A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m, q sei m-prim¨ar. Dann
gilt: grad χq(n) = grad χm(n).
Beweis. Da q ein zu m assoziiertes Prim¨arideal ist, haben wir mr ⊂ q ⊂ m mit einem r ≥ 1.
Also gilt mnr ⊂ qn ⊂ mn und damit
χm(rn) ≥ χq(n) ≥ χm(n) (23)
und mit n → ∞ folgt die Behauptung.
Definition 2.18. Der gemeinsame Grad der χq(n) wird auch mit d(A) bezeichnet und stimmt
mit der fr¨uheren Definition von d ¨uberein, wenn man als graduierten Modul Gm(A) w¨ahlt:
d(A) = d(Gm(A)) (24)
7

8. Beweis. Der Grad des Hilbertpolynoms H(n) = l(mn+1/mn) ist nach (2.9) d-1 und da χm(n) :=
l(A/mn) gilt:
χm(n) = H(0) + H(1) + . . . + H(n − 1) (25)
und mit (2.14) folgt wieder die Behauptung.
Zusammenfassung
• Poincarereihe P(M, t) = ∞
n=0 l(Mn) tn
• Hilbertpolynom H(n) = l(Mn)
• charakteristisches Polyom χM
q (n) = l(M/qnM)
3 Noethersche Lokale Ringe
Definition 3.1. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal. Wir bezeichnen
mit δ(A) := min{n | (x1, . . . , xn) m-prim¨ar } die kleinste Anzahl von Erzeugern eines m-prim¨aren
Ideals von A.
Wir schicken den Hauptsatz der Dimensionstheorie noetherscher lokaler Ringe voran.
Satz 3.2. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal. Die drei folgenden Zahlen
sind gleich:
• dim A: Die maximale L¨ange von Ketten von Primidealen in A (Krulldimension).
• d(A): Der Grad des charakteristischen Polynoms χm(n) = l(A/mn).
• δ(A): Die kleineste Anzahl von Erzeugern eines m-prim¨aren Ideals.
Wie zu erwarten bedarf der Beweis ein wenig Arbeit. Die Strategie wird sein zu zeigen
δ(A) ≥ d(A) ≥ dim A ≥ δ(A), woraus nat¨urlich die Gleichheit folgt.
8

9. Satz 3.3. δ(A) ≥ d(A)
Beweis. Das war Inhalt von (2.16).
Satz 3.4. Sei A, m, q wie immer, M ein endlich erzeugter A-Modul, x ∈ A kein Nullteiler in M
und M = M/xM. Dann gilt:
gradχM
q ≤ gradχM
q − 1 (26)
Beweis. Sei N = xM, da x kein Nullteiler ist die Abbildung ·x : M → N, m → xm injektiv also
ein Isomorphismus von A-Moduln. Sei Nn = N ∩ qnM. Wir betrachten die exakte Sequenz:
0 −→ xM −→ M −→ M/xM −→ 0 (27)
Teilen wir ¨uberall qnM heraus ergibt sich:
0 −→ N/Nn −→ M/qn
M −→ M /qn
M −→ 0 (28)
Wenden wir nun die additive Funktion l an, erh¨alt man mit g(n) = l(N/Nn):
g(n) − χM
q (n) + χM
q (n) = 0 (29)
f¨ur große n. Nun sagt uns Artin-Rees (10.9), dass (Nn) eine stabile q-Filtration von N ist. Da
N ∼= M erhalten wir mit (2.13) 3. dass g(n) und χM
q (n) denselben Leitterm haben und es folgt
die Behauptung.
Wir erhalten nun sofort ein Ergebnis, das wir in der graduierten Version schon in (2.10)
gesehen haben:
Korollar 3.5. Ist A ein noetherscher lokaler Ring, x ein Nichtnullteiler in A, dann gilt:
d(A/(x)) ≤ d(A) − 1 (30)
Beweis. Direkte Folgerung aus (3.4) mit M=A.
Wir sind nun soweit den n¨achsten wichtigen Satz zu beweisen:
Satz 3.6. d(A) ≥ dim A.
Beweis. Mit Induktion nach d = d(A). Ist d = 0 so ist l(A/mn) konstant f¨ur große n. Also haben
wir mn = mn+1 (beachte l(A/mn+1) = l(A/mn)+l(mn/mn+1)) f¨ur ein n und mit Nakayama folgt
m = 0. Daher ist A artinsch und damit dim A = 0.
Sei nun d > 0 und der Fall d − 1 schon gezeigt. Sei weiter p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pr eine beliebige
Kette von Primidealen in A. Sei x ∈ p1, x /∈ p0, A = A/p0 und x das Bild von x in A . Dann
ist x = 0 und da A ein Integrit¨atsbereich ist, k¨onnen wir (3.5) anwenden:
d(A /(x )) ≤ d(A ) − 1 (31)
Ist nun m das maximale Ideal von A , dann ist A /m n das Bild von A/mn unter der kanonischen
Projektion und somit folgt l(A/mn) = l(A /m n)+l(ker(π)) ≥ l(A /m n) und damit d(A) ≥ d(A )
(betrachte Hilbertpolynom). Also haben wir insgesamt:
d(A /(x )) ≤ d(A ) − 1 = d(A) − 1 = d − 1 (32)
Nun folgt aus der Induktionsvorraussetzung, dass die L¨ange jeder Kette von Primidealen in
A /(x ) kleiner gleich d − 1 ist. Doch die Bilder von p1, . . . , pr in A /(x ) bilden eine Kette der
L¨ange r − 1, also folgt r − 1 ≤ d − 1 und wir haben r ≤ d, was zu zeigen war.
9

10. Korollar 3.7. Falls A noetherscher lokaler Ring, dann ist dim A endlich.
Definition 3.8. In einem beliebigen Ring A definieren wir die H¨ohe eines Primideals p als
Supremum der L¨angen von Primidealketten p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pr = p, die bei p enden. Es gilt
H¨ohe von p = dim Ap.
Korollar 3.9. In einem noetherschen Ring hat jedes Primideal endlich H¨ohe. Also gen¨ugen die
Primideale eines Noetherschen Rings der absteigenden Ketten Bedingung (d.c.c.).
Satz 3.10. Sei A ein noetherscher lokaler Ring der Dimension d. Dann existiert ein m-prim¨ares
Ideal in A, das von nicht weniger als d Elementen x1, . . . , xd erzeugt wird. Also dim(A) ≥ δ(A).
Beweis. Wir konstruieren x1, . . . , xd ∈ m so, dass m das einzige Primideal ist das (x1, . . . , xd)
enth¨alt. Dies geschieht induktiv, wobei wir stets sicherstellen, dass H¨ohe von (x1, . . . , xi) ≥ i.
Da m das einzige Primideal ist das H¨ohe d hat, haben wir dann die Behauptung bewiesen.
F¨ur i = 0 ist nichts zu zeigen.
Sei also (x1, . . . , xi−1) schon konstruiert. Ist m das einzige Primideal das (x1, . . . , xi−1) enth¨alt so
sind wir bereits fertig. Nehmen wir also an, dies sei nicht der Fall. Sein p1, . . . , ps die minimalen
Primideale der Prim¨arzerlegung von (x1, . . . , xi−1). Aus der Minimalit¨atsbedingung folgt sofort
m = pj ∀ j ∈ {1, . . . , s}. Aus dem Primvermeidungslemma folgt nun s
j=1 pj = m. W¨ahle also
xi ∈ m, xi /∈ s
j=1 pj.
Sei nun p ein Primideal, das (x1, . . . , xi) enth¨alt. Wir m¨ussen zeigen H¨ohe von p ≥ i. Es folgt
aus der Minimalit¨at der pj, dass pj ⊂ p f¨ur mindestens ein j ∈ {1, . . . , s}. Weiter ist nach
Konstruktion p = pj und da nach Induktionsvoraussetzung H¨ohe von pj ≥ i − 1 muss, gelten
H¨ohe von p ≥ i, was wir zeigen wollten.
Als letztes bleibt noch zu verifizieren, dass (x1, . . . , xd) wirklich m-prim¨ar ist. Da m das einzige
Primideal ist das (x1, . . . , xd) enth¨alt folgt (x1, . . . , xd) = m und aus der Maximalit¨at von m
folgt nun auch diese Behauptung.
Damit haben wir den Hauptsatz der Dimensionstheorie bewiesen.
Beispiel 3.11. Sei A = k[x1, . . . , xn]m die Lokalisierung des Polynomrings am maximalen Ideal
m = (x1, . . . , xn). Dann ist Gm(A) der Polynomring in n Variablen und seine Poincar´ereihe ist
gegeben durch (1−t)−n. Also ist mit dem Hauptsatz dim Am = n (Ziehen mit Zur¨ucklegen ohne
bachten der Reihenfolge).
Korollar 3.12. (Einbettungsdimension) dimk(m/m2) ≥ dim A
Beweis. Seien v1, . . . , vs ∈ m so, dass die Bilder in m/m2 eine Vektorraum-Basis bilden, dann
erzeugen die vi auch m. Also ist dimk(m/m2) = s ≥ dim A
Korollar 3.13. Sei A ein noetherscher Ring, x1, . . . , xr ∈ A. Dann hat jedes minimale zu
(x1, . . . , xr) assoziierte Ideal p eine H¨ohe kleiner gleich r.
Beweis. In der Lokalisierung Ap wird das Ideal (x1, . . . , xr) pe-prim¨ar. Also r ≥ dim Ap = H¨ohe
von p.
Korollar 3.14. (Hauptidealsatz von Krull) Sei A ein neotherscher Ring, x ∈ A weder Nullteiler
noch Einheit. Dann ist die H¨ohe jedes minimalen Primideals, das (x) enth¨alt, gleich 1.
Beweis. Nach dem letzen Korollar ist die H¨ohe kleiner gleich 1. W¨are die H¨ohe von p = 0, so
ist p assoziiert zum 0-Ideal. Denn ein minimales Primideal ist auf jeden Fall in p enthalten,
aus H¨ohe 0 folgt dann Gleichheit. Daraus folgt p ⊂ 0 ⊂ pk f¨ur ein k. Also sind alle Elemente
Nullteiler. Widerspruch zu x ∈ p.
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11. Korollar 3.15. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, x ∈ m kein Nullteiler. Dann ist dim A/(x) =
dim A − 1.
Beweis. Sei d = dim A/(x). Mit (3.5) und (3.2) folgt sofort: d ≤ dim A − 1. Sei nun x1, . . . , xd
Elemente aus m, deren Bilder in A/(x) ein m/(x)-prim¨ares Ideal erzeugen. Dann ist das Ideal
(x, x1, . . . , xr) von A m-prim¨ar, also d + 1 ≥ dim A.
Korollar 3.16. Sei ˆA die m-adische Komplettierung von A. Dann ist dim A = dim ˆA. Oder mit
anderen Worten D1 ist erf¨ullt.
Beweis. A/mn ∼= ˆA/ˆmn also gilt χm(n) = χˆm(n).
Definition 3.17. Sei x1, . . . , xd ein Erzeugendensystem eines m-prim¨aren Ideals. Falls d =
dim A, wird x1, . . . , xd ein System von Parametern genannt.
Satz 3.18. Sei x1, . . . , xd ein System von Parametern f¨ur einen noetherschen lokalen Ring A
und q das von ihnen erzeugte m-prim¨are Ideal. Sei f(t1, . . . , td) = |ν|=s aνxν ein homogenes
Polynom vom Grade s mit Koeffizienten in A. Falls nun
f(x1, . . . , xd) ∈ qs+1
(33)
dann liegen alle Koeffizienten von f in m.
Beweis. Wir haben einen Epimorphismus von graduierten Ringen:
α : (A/q)[t1, . . . , ts] −→ Gq(A) = ∞
n=0 qn/qn+1,
ti → xi mod q2, 1 → (1, 0, 0, . . .) ∈ A/q ⊕ q/q2 ⊕ . . . (34)
Nach Vorraussetzung liegt die Nebenklasse von f modulo q im Kern von α. Es gilt n¨amlich
α(f(t1, . . . , td)) = α( |ν|=s aνtν) = |ν|=s aνxν wobei aν ∈ A/q und x ∈ q/q2, somit xν ∈
qs/qs+1. Wenn nun also f(x1, . . . , xd) ∈ qs+1 so gehen alle Summanden von f in Gq(A) auf die
Null.
Angenommen ein Koeffizient liegt nicht im maximalen Ideal, ist also eine Einheit. Dann ist
f kein Nullteiler in A/q (Kapitel 1, Aufgabe 3). Dann haben wir also:
d = d(Gq(A)) ≤ d((A/q)[t1, . . . , td]/(f)) weil f ∈ Kern α
= d((A/q)[t1, . . . , td]) − 1 weil f kein Nullteiler (2.10)
= d − 1 mit dem Beispiel nach (2.10) (35)
Das ist ein Widerspruch.
Korollar 3.19. Sei A, m ein noetherscher lokaler Ring, k ⊂ A ein K¨orper der isomorph zu A/m
ist (zum Beispiel eine Lokalisierung des Polynomrings nach maximalem Ideal), x1, . . . , xd ein
System von Parametern, dann sind die xi algebraisch unabh¨angig.
Beweis. Angenommen f(x1, . . . , xd) = 0, wobei f = 0 ein Polynom mit Koeffizienten in k. Wir
k¨onnen f in der Form f = fs+h¨ohere Terme schreiben. Wobei s der kleinste Grad eines Terms
und fs = 0 homogen vom Grad s. Dann ist fs(x1, . . . , xd) = 0− h¨ohere Terme ∈ qs+1. Mit dem
letzten Satz folgt, dass die Koeffizienten von fs alle in m liegen. Da die Koeffizienzten alle im
K¨orper k lagen, folgt fs ≡ 0. Widerspruch.
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12. 4 Regul¨are Lokale Ringe
Die regul¨aren lokalen Ringe in der kommutativen Algebra entsprechen den nicht singul¨aren
Punkten einer Variet¨at in der algebraischen Geometrie.
Satz 4.1. Sei A, m ein noetherscher lokaler Ring der Dimension d, k = A/m der Restklas-
senk¨orper. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent:
1. Gm(A) ∼= k[t1, . . . , td] wobei ti algebraisch unabh¨angig.
2. dimk(m/m2) = d
3. m kann von d Elementen erzeugt werden.
Erf¨ullt ein Ring eine (und damit alle) dieser Bedingungen, so heißte er auch regul¨ar.
Beweis. 1.⇒2. : klar, da m ∼= (t1, . . . , td) mit Hilbertschem Nullstellensatz und weiter wird
m/m2=“Menge der Polynome von Grad 1“ als k-VR genau von den ti erzeugt.
2.⇒3. : Wie bei (3.12). Jede Basis von m/m2 erzeugt ganz m.
3.⇒1. : Sei m = (x1, . . . , xd), dann ist die Abbildung
α : k[x1, . . . , xd] → Gm(A), xi → xi mod m2
(36)
ein Isomorphismus. Surjektivit¨at ist klar. Seien f, g homogen vom Grad s, mit αf = αg. Das
ist ¨aquivalent zu f(x1, . . . , xd) − g(x1, . . . , xd) ∈ ms+1. Mit (3.18) folgt wieder, dass f − g = 0.
Damit ist gezeigt, dass α ein Isomorphismus auf den einzelnen Summanden ist. Also auch auf
den ganzen graduierten Ringen.
Lemma 4.2. Sei A ein Ring, a ⊂ A ein Ideal mit ∞
n=0 an = {0}. Dann gilt:
Ga(A) ist Integrit¨atsbereich, ⇒ A ist Integrit¨atsbereich.
Beweis. Seien x, y = 0 zwei Elemente aus A. Da n an = 0 folgt, es existieren r, s ≥ 0 mit
x ∈ ar ar+1 und y ∈ as as+1. Betrachte nun die Bilder x und y von x und y in ar/ar+1 bzw.
as/as+1. Diese sind nach Voraussetzung ungleich 0 und da Ga(A) Integrit¨atsbereich, folgt auch
xy = 0, also xy = 0.
Korollar 4.3. Jeder regul¨are lokale Ring ist ein Integrit¨atsbereich.
Korollar 4.4. Die regul¨aren lokalen Ringe der Dimension 1 sind genau die diskreten Bewer-
tungsringe.
Beweis. A regul¨arer lokaler Ring der Dimension 1 ⇐⇒ dimk m/m2 = 1 ⇐⇒ A diskreter Bewer-
tungsring. Mit (4.1), (4.3) und (9.2).
Und nun noch ein wichtiger Satz, der uns sichert, dass unsere Intuition richtig bleibt.
Satz 4.5. Sei A, m ein noetherscher lokaler Ring. Dann ist A regul¨ar genau dann, wenn ˆA
regul¨ar.
Beweis. Nach (10.16) ist ˆA lokal mit maximalem Ideal ˆm und (10.26) stellt sicher, dass ˆA
noethersch bleibt. In (3.16) hatten wir weiter gezeigt, dass dim A = dim ˆA und in (10.22) steht,
dass Ga(A) ∼= Gˆa
ˆA was mit (4.1) die Behauptung beweist.
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13. Satz 4.6. Sei f ∈ k[x1, . . . , xn] ein Polynom ¨uber einem algebraisch abgeschlossenem K¨orper
k, A := k[x1, . . . , xn]/(f). Die durch f definierte Variet¨at hat am Punkt P = (P1, . . . , Pn) ∈
kn eine Singularit¨at, falls dort alle partiellen Ableitungen ∂f
∂xi
verschwinden. Sei m = (x −
P1, . . . , x − Pn) das zu P geh¨orige maximale Ideal. Dann gilt: Am ist genau dann regul¨ar, wenn
V (f) an P nicht singul¨ar ist.
Beweis. Sei zun¨achst o.E. P = 0. Wir werden nun der Reihe nach zeigen:
Amregul¨ar ⇔ dimk ˜m/˜m2
= dim Am = n − 1
⇔ f /∈ m2
⇔ Es existiert ein i , so dass: ∂f/∂xi = 0 (37)
(˜m := mAm das maximale Ideal in der Lokalisierung). Die erste ¨Aquivalenz folgt aus der Defini-
tion von regul¨ar und dem Hauptidealsatz von Krull.
Es ist ˜m/˜m2 = m/m2 + (f). Falls nun f ∈ m2, so geht (f) im Faktorring auf die 0 und
m/m2 wird durch die Elemente x1, . . . , xn als k-Vektorraum erzeugt.Es folgt dimk(˜m/˜m2). Ist
f = s
|ν|=0 fν xν /∈ m2, so ist wenigstens ein fν mit |ν| = 1 ungleich Null. Wir k¨onnen nun eines
der xi als Linearkombination der anderen darstellen: xj = 1/aj(f − i=j fixi − h¨ohere Terme)
reduzieren wir diese Gleichung modulo f, m2 erhalten wir xj = 1/aj i=j fixi. Wir erhalten
dimk ˜m/˜m2 = n − 1.
Ist f singul¨ar an der 0, so gilt
∂f
∂xi
(0) = (
s
|ν|=0
fν νi xν1
· · · xνi−1
· · · xνn
)(0) = f(0,...,1,...,0) = 0 f¨ur alle i (38)
und da f(0) = fν=0 = 0 folgt: f singul¨ar ⇔ f ∈ m2.
5 Transzendente Dimension
Sei A = k[x1, . . . , xn] der Polynomring in n Variablen K¨orper k und p ⊂ A ein Primideal.
Durch p wird eine irreduzible affine Variet¨at V = V (p) = {P ∈ kn | f(P) = 0} definiert.
Der Ring A/p =: A(V ) wird Koordinatenring von V genannt und der Quotientenk¨orper
k(V ) = Q(A(V )) heißt auch K¨orper der rationalen Funktionen auf V. War unser Prim-
ideal schon ein maximales Ideal, so erhalten wir nach dem Hilbertschem Nullstellensatz eine
algebraische Erweiterung unseres Grundk¨orpers. War p ein echtes Primideal, so haben wir einen
transzendenten Anteil. Wir werden sehen, dass der Transzendenzgrad dieser K¨orpererweiterung
k ⊂ K mit unserem bisherigen Dimensionsbegriff zusammenf¨allt. Das ist auch der Grund, wes-
halb diese Zahl auch Dimension der Variet¨at V (t-dim V ) genannt wird.
Nehmen wir z.B. A = C[x, y], p = (x). Dann ist A/p = C[y] und Q(A/p) = C(y) hat also
Transzendenzgrad 1. Die Dimension der Lokalisierung C[y](y−a) an einem maximalen Ideal ist
ebenfalls 1.
Im folgenden sei k stets algebraisch abgeschlossen.
Satz 5.1. Sei V eine irreduzible affine Variet¨at, P ∈ V ein Punkt, dann ist t-dim V = tr-deg
k(V ) gleich der Dimension des noetherschen lokalen Rings A(V )m wobei m das zu P geh¨orige
maximale Ideal ist.
Wir schicken zun¨achst ein Lemma vorran:
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14. Lemma 5.2. Sei B ⊂ A eine ganze Ringerweiterung, B algebraisch abgeschlossen, A, B Inte-
grit¨atsbereiche. Sei m ein maximales Ideal von A, und n = m ∩ B. Dann ist n maximal und
dim Am = dim Bm (Krull-Dimension).
Beweis. Nach (5.8) ist n maximal. Jede von m strikt absteigende Kette von Primidealen geht
durch Schnitt mit B in eine strikt von n absteigende Kette von Primidealen in A ¨uber (5.9).
Also gilt dim Bn ≥ dim Am. Haben wir nun umgekehrt eine strikt von n absteigende Kette in B,
so k¨onnen wir sie mit dem “Going down Theorem” nach A liften, wobei die echten Inklusionen
erhalten bleiben. Das zeigt dim Bn ≤ dim Am.
Beweis. von (5.1). Nach dem Noethernormalisierungslemma k¨onnen wir einen Polynomring P =
k[x1, . . . , xd] in A(V ) finden, so dass P ⊂ A(V ) eine ganze Ringerweiterrung ist.
k[x1, . . . , xd]
ganz
−−−→ A(V )




k(x1, . . . , xd) −−−→ k(V )
(39)
Wir wollen zun¨achst zeigen, dass k(x1, . . . , xd) → k(V ) eine algebraische K¨orpererweiterung ist.
Sei a/b ∈ k(V ) also a, b ∈ A(V ), b = 0. Es gibt nach Vorraussetzung normierte Polynome p, q
mit Koeffizienten in A(V ) mit p(a) = p(b) = 0. Fassen wir dies als eine Gleichung in k(V ) auf,
so erhalten wir: a, b algebraisch ¨uber k(x1, . . . , xd). Somit auch a/b.
Es folgt, dass der Transzendenzgrad von k(V ) ¨uber k gleich dem von k(x1, . . . , xd) also d ist.
Wir zeigen nun, dass auch die Krulldimension von A(V )m d gleicht.
P ist als faktorieller Ring ganz abgeschlossen, wir k¨onnen also (5.2) anwenden. Damit folgt
dim A(V )m = dim Pn mit n ⊂ P maximal. n = (x1 − a1, . . . , xd − ad) nach dem Hilbertschen
Nullstellensatz und durch eine lineare Transformation k¨onnen wir n und das Ideal (x1, . . . , xd)
¨uberf¨uhren. Doch wir haben bereits gesehen, dass k[x1, . . . , xd](x1,...,xd) die Dimension d hat.
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