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Iterativer Löser
ILU-Zerlegung
Abdelhamid Barzali
Prof. Dr. Thomas Huckle
18.06.07
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
ILU-Zerlegung
Einführung
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• Lösen des Gleichungssystems A*X=Y
Als Computerprogramm umgesetzt .
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Es bieten sich viele Lösungsverfahren an (ZB) :
- Gauss-Alghoritmus
- QR-Zerlegung (varianten)
- Chol...
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Die Methoden zur Lösung von linearen
Gleichungssystemen unterteilt man in zwei
klassen :
• direkte Ve...
LU-Zerlegung „Dreieckszerlegung “
Dies ist eine Zerlegung der regulären
Matrix A in das Produkt einer linken
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Literatur
• Andreas Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2.
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Ilu Zerlegung

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incomplete LU-Decomposition
( by Abdelhamid Barzali )

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Ilu Zerlegung

  1. 1. Iterativer Löser ILU-Zerlegung Abdelhamid Barzali Prof. Dr. Thomas Huckle 18.06.07
  2. 2. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle ILU-Zerlegung Einführung warum? - was? - wie?
  3. 3. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • Lösen des Gleichungssystems A*X=Y Als Computerprogramm umgesetzt . • Lineare Probleme der Technik lassen sich, sofern sie nicht über- oder unterbestimmt sind auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems zurückführen. Ziel : warum? - was? - wie?
  4. 4. warum? - was? - wie? Es bieten sich viele Lösungsverfahren an (ZB) : - Gauss-Alghoritmus - QR-Zerlegung (varianten) - Cholesky-Zerlegung - LU-Zerlegung …
  5. 5. warum? - was? - wie? Die Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen unterteilt man in zwei klassen : • direkte Verfahren : Cholesky- Zerlegung,Gauss- Verfahren,LU &- QR-Zerlegung • iterative Verfahren : Gauß- Seidel- und Jacobi-Verfahren,ILU..
  6. 6. LU-Zerlegung „Dreieckszerlegung “ Dies ist eine Zerlegung der regulären Matrix A in das Produkt einer linken unteren Dreiecksmatrix L (links)und einer rechten oberen Dreiecksmatrix U (rechts). Das folgende Beispiel zeigt dies: ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle warum? - was? - wie?
  7. 7. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle warum? - was? - wie? wie
  8. 8. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle warum? - was? - wie?
  9. 9. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle warum? - was? - wie?
  10. 10. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • A*X=Y => A=U*L => Vorwärtseinsetzen : L*Y= b => Rückwärtseinsetzen : R*X=Y • Die Anzahl arithmetischer Operationen für die LU- Zerlegung ist bei einer n *n-Matrix ca. 2/3*(n^3) • Was ist eine dünnbesetzte Matrix ? • Was passiert bei der Berechnung von LU bezüglich dünnbesetzten Matrizen ?
  11. 11. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • Bei der Berechnung einer normalen LU-Zerlegung einer dünnbesetzten Matrix : - man kann die Besetzungsstruktur in der Regel nicht ausnutzen - Es wird daher sehr viel mehr Speicherplatz benötigt als für die ursprüngliche Matrix . - die Anzahl der notwendigen Rechenoperationen ist nicht geringer als die für eine vollbesetzte Matrix.
  12. 12. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle Beispiel : A*X=Y A
  13. 13. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle Beispiel : A*X=Y U
  14. 14. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle ILU-Zerlegung: auch Unvollständige LU- Zerlegung ?
  15. 15. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle ILU-Zerlegung „Unvollständige LU-Zerlegung“ bezeichnet man in der numerischen Mathematik die fehlerbehaftete Zerlegung einer n*n-Matrix A in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U bei der von den Zerlegungsmatrizen L und U nur die Einträge einer vorgegebenen Besetzungsstruktur berechnet werden. Wie ?
  16. 16. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • Beispiel : A*X=Y A
  17. 17. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • Beispiel : A*X=Y U ( incomplet )
  18. 18. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • Beispiel : A*X=Y U ( incomplet ) U (bei LU)
  19. 19. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • Präkonditionierer „Vorkonditionerer “ • bezogen auf ein lineares Gleichungssystem A*x=b bedeutet Präkonditioniereung die Umwandlung in ein äqualentes LGS C*y=d,sodass letzteres numerisch einfacher zu lösen ist . man hauptsächlich iterative • warum das denn ?
  20. 20. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • Die ILU-Zerlegung wird erfolgreich als Vorkonditionerer zur Beschleunigung der iterativen Lösung großer dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme Ax = b mittels Krylow-Unterraum-Verfahren eingesetzt. • Krylow-Unterraum-Verfahren ?
  21. 21. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle Anwendung Für die Anwendung als Vorkonditionierer wird das Gleichungssystem Ax = b formal mit (LU)^( 1) multipliziert, Wendet man darauf Krylow-Unterraum- Verfahren an, so konvergieren diese besser, da die Matrix ((LU)^( 1))* A näher an der Einheitsmatrix als A ist
  22. 22. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle For k = 1,...,n 1, do For i = k + 1,...,n and if , do mik: = mik / mkk For j = k + 1,...,n and if ,do mij: = mij mikmkj
  23. 23. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle • Die Kosten von ILU-Zerlegung im Vergleich zum Verfahren Gauß- Seidel.. • Bezüglich mehreren mit der selben Matrix zu lösenden Systemen .
  24. 24. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle Geschichte & Varianten - ILU(p) Weit verbreitet sind die ILU(p)-Zerlegungen, die erstmals von Watts 1981 bei der Simulation eines Ölreservoirs betrachtet wurden . - Die ILUT haben den Nachteil, dass die Nichtnulleinträge nicht aufgrund von Approximationseigenschaften gewählt werden und somit Rechenzeit für Fast-Nulleinträge vergeudet werden kann. (1994 von Yousef Saad vorgeschlagenen ) - ...es gibt auch weitere
  25. 25. Literatur • Andreas Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2005 . • Gerard Meurant: Computer Solution of Large Linear Systems, Elsevier, 1999 • Yousef Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics 2003, • A survey of preconditioned iterative methods • Wikipedia + Vorlesung ( Nummerische Mathematik )
  26. 26. motivation definition vision diskussion Problemstellung Beschreibung Wirkung ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle Danke ! fürs Zuhören :)

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