Physikalische Grundlagen der Signalübertragung mit Wellen

1. Studiengang: Informatik, Modul Naturwissenschaft und Technik 2, Kurs BZG2252.1
AutorInnen: Roland Bruggmann, roland.bruggmann@students.bfh.ch
Marcus Fischer, marcus.fischer@students.bfh.ch
Rosalie Gerber, rosalie.gerber@students.bfh.ch
Dozent: Christian Thiess, christian.thiess@bfh.ch
Datum: 18. Mai 2015
Berner Fachhochschule | Haute ´ecole sp´ecialis´ee bernoise | Bern University of Applied Sciences
Stehende Wellen
Physikalische Grundlagen der Signal¨ubertragung mit Wellen
Laborbericht

2. Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
2. Methode 2
2.1. Laufende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Versuchsanordnung 4
3.1. Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. Rohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Ergebnisse 6
5. Diskussion 8
5.1. Plausibilit¨at der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2. Messunsicherheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6. Schlussfolgerungen 10
Literaturverzeichnis 11
Bildnachweis 11
Abbildungsverzeichnis 12
Tabellenverzeichnis 12
A. Laboranleitung 13
B. Bilddokumentation 14
B.1. Versuchsanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.2. Messinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.3. Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Stehende Wellen, Version 1.4, 18. Mai 2015 i

3. 1. Einleitung
Bei zahlreichen technischen Anwendungen wie z.B. in Glasfaserleitungen oder beim Mobilfunk erfolgt die Signal-
¨ubertragung mit Wellen. Um die dazu ben¨otigten elementaren physikalischen Grundlagen zu erarbeiten, sollen
relevante Begriffe in einem Laborversuch erfahren und benutzt werden – hier zum Thema stehende Wellen.
Durch Anzupfen oder Anschlagen der Saite eines Monochords sollen stehende Wellen erzeugt werden. Deren Fre-
quenzen sollen gemessen, zum Vergleich auch berechnet werden. Dazu m¨ussen Dichte, Querschnitt und Spannung
der Saite bestimmt werden, damit die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle berechnet werden kann. Ebenfalls
zu messen sind die Saitenl¨angen und die Frequenzen. Die somit gemessenen und berechneten Frequenzwerte sollen
in einer Tabelle aufgelistet und verglichen werden.
Der vorliegende Bericht gliedert sich in sechs Kapitel: Auf diese Einleitung folgt die Erl¨auterung der verwendeten
Methode (Kapitel 2) und die Beschreibung der Versuchsanordnung (Kapitel 3). Im Anschluss werden die Ergebnisse
pr¨asentiert (Kapitel 4) und in einer Diskussion kritisch hinterfragt (Kapitel 5). Mit den Schlussfolgerungen werden
die wichtigsten Ergebnisse rekapituliert und hinsichtlich der Ausgangslage reflektiert (Kapitel 6). Im Anhang A zu
finden ist die Laboranleitung. Die Fotografien im Anhang B dokumentieren die Versuchsanordnung, die verwendeten
Messinstrumente und die Messausf¨uhrungen.
Stehende Wellen, Version 1.4, 18. Mai 2015 1

4. 2. Methode
Es werden die zur Auswertung gebrauchten physikalischen Zusammenh¨ange zu laufenden und stehenden Wellen in
Formeln und mit kurzen Kommentaren erl¨autert. F¨ur die Facharbeit wird die in der Modulbeschreibung1
empfohlene
Literatur verwendet:
ˆ Christian Thiess: Grundlagen der Signal¨ubertragung mit Wellen.
Vorlesungsskript Fr¨uhlingssemester 2015 ([Thi15]).
ˆ Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik f¨ur Ingenieure.
Springer Verlag 2012 ([HMS12]).
Zudem finden sich musiktheoretische Grundlagen in folgendem Standardwerk:
ˆ Hermann Grabner: Allgemeine Musiklehre. Zweiter Teil: Intervallen- und Skalenlehre.
B¨arenreiter 2001 ([Gra01]).
2.1. Laufende Wellen
Die Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit c einer laufenden Welle ist gem¨ass [HMS12, S. 466] gegeben durch
Parameter des Ortes x und der Zeit t als c = x
t , mit x = λ (Wellenl¨ange) und t = T (Periode) ergibt sich:
c =
λ
T
(2.1)
Die Elongation y einer laufenden Welle wird gem¨ass [HMS12, S. 468] als harmonische Welle in Abh¨angigkeit von
Ort x und Zeit t formuliert (hier ohne Verschiebung der Nullphase φ0):
y(x, t) = A · sin (ω · t − ω · x
c )
Mit der algebraischen Umformung ω · x
c = x · ω
c und dem Einsetzen der Wellenzahl k = ω
c ergibt sich schliesslich
die Wellenfunktion
y(x, t) = A · sin (ω · t − k · x) (2.2)
Die Ausbreitungrichtung einer laufenden Welle wird durch das Vorzeichen der Ortsvariable x abgebildet:
ˆ Welle nach
”
rechts”, d.h. positive x-Werte: y(x, t) = A · sin (ω · t − k · x)
ˆ Welle nach
”
links”, d.h. negative x-Werte: y(x, t) = A · sin (ω · t + k · x)
F¨ur ∆x = λ (Wellenl¨ange), ∆t = T (Periode) und ∆φ = 2π (Vollwinkel) ergeben sich folgende Zusammenh¨ange:
ˆ Ort: k = ∆W inkel
∆Ort = ∆φ
∆x = 2π
λ (r¨aumliche Periode)
ˆ Zeit: ω = ∆W inkel
∆Zeit = ∆φ
∆t = 2π
T (zeitliche Periode)
1Modulbeschreibung: Naturwissenschaft und Technik 2, Online: http://www.ti.bfh.ch/fileadmin/modules/BZG2252-de.xml. Zu-
griff: 22. April 2015.
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5. 2.2. Stehende Wellen
Eine (aus-)laufende Welle y1 wird an einem Einspannungspunkt in eine zweite (ein-)laufende Welle y2 gleicher
Amplitude und Frequenz reflektiert (vgl. [HMS12, S. 479 f.]). Diese erf¨ahrt nebst dem Richtungswechsel (−x)
einen Phasensprung (+π):
y1(x, t) = A · sin (ω · t − k · x)
y2(x, t) = A · sin (ω · t + k · x + π)
Die zwei Wellen gleicher Frequenz ¨uberlagern sich (Interferenz). Gem¨ass [HMS12, S. 477]
”
geht man davon aus,
dass sich jede Welle so ausbreitet, als ob die anderen Wellen nicht da w¨aren”. Somit wird eine Summe yRes aus
den beiden Wellengleichungen y1 und y2 gebildet. Die Wellengleichung yRes kann durch algebraische Umformung
in die Wellengleichung 2.3 ¨uberf¨uhrt werden:
yRes (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
= A · sin (ω · t − k · x) + A · sin (ω · t + k · x + π)
= A · [sin (ω · t − k · x) + sin (ω · t + k · x + π)]
= A · [sin (ω · t − k · x) − sin (ω · t + k · x)]
. . .
= −2A · cos (ω · t) · sin (k · x)
yRes (x, t) = −2A · sin (k · x) · cos (ω · t) (2.3)
Die Gleichung 2.3 hat eine reelle zeitliche und eine r¨aumliche Funktion separiert (vgl. [Thi15, S. 13]): Sie kann
als harmonische Schwingung gelesen werden mit einer Amplitude von −2A · sin (k · x) und einer Schwingung
cos (ω · t). Die so beschriebene Welle kann eine stehende Welle sein. Dazu muss die Amplitude jedoch folgende
Randbedingungen erf¨ullen:
A(0) = 0 ⇒ A(0) = −2A · sin (k · 0) = 0
A(L) = 0 ⇒ A(L) = −2A · sin (k · L) = 0 wenn k · L = n · π
⇒ k = n · π
L
Es gibt also nur diskrete k bzw. Frequenzen f , f¨ur welche stehende Wellen m¨oglich sind. Entsprechend der Anzahl
Wellenb¨auche n k¨onnen aus der Phasengeschwindigkeit c und der Saitenl¨ange L die Frequenz fn und die Wellenl¨ange
λn berechnet werden (siehe Gleichungen 2.4 und 2.5):
fn = n/2 ·
c
L
(2.4)
λn = 2/n · L (2.5)
[Thi15, S. 13] erl¨autert die Frequenzen und Wellenl¨angen von stehenden Wellen f¨ur n = [1, 4] (n ∈ N) mit folgender
Skizze (siehe Abbildung 2.1):
Fachbereich MNG
Naturwissenschaften und Technik 2
Grundlagen der Signalübertragung mit Wellen Seite 13
Was sagen diese mathematischen Ausdrücke aus? Betrachten wir zunächst die laufende Welle:
Ausbreitungsgeschwindigkeit : fλ
T
λ
SchwingungeinefürZeit
SchwingungeinerwährendWeg
c ⋅===
k
ω
π2
ω
λfλc =
⋅
⋅=⋅=
Damit lässt sich das Argument der e-Funktion
bei der laufenden Welle auch schreiben: 





−⋅=⋅⋅
c
x
tωzk−tω
x/c ist gerade die Zeitverschiebung, mit der die Erregung beim Punkt x anlangt. Wenn die
Schwingung bei z = 0 mit einer gegebenen Phase erfolgt, so erfolgt sie bei einem anderen x mit
einer um die Laufzeit x/c verzögerten Phase.
Beachten Sie, dass das "overall"-Vorzeichen des Arguments keine Rolle spielt. Manche Autoren
schreiben lieber ( )tωxk ⋅−⋅ statt ( )xk-tω ⋅⋅ . Da ohnehin der Realteil zu nehmen ist, also der
Cosinus des Arguments, und dieser vom Vorzeichen des Arguments unabhängig ist, spielt dieser
Unterschied keine Rolle.
Wichtig ist aber das relative Vorzeichen zwischen dem zeitlichen Anteil tω ⋅ und dem räumlichen
Anteil xk ⋅ . Es gibt an, ob die Welle in positiver oder in negativer x-Richtung läuft.
In manchen Anwendungen separiert man den Zeitanteil
und betrachtet den Ausdruck in der Klammer als
ortsabhängige komplexe „Amplitudenfunktion“ A(x).
( ) [ ] tωixki
eeAtx,y ⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅=
Falls die Welle auf ihrem Weg noch absorbiert wird
(Details siehe später), nimmt die Amplitude exponentiell
ab und die Amplitudenfunktion wird:
( ) ( ) xkiα
0
xk-ixα
0 eAeeAxA ⋅⋅+-⋅⋅⋅-
⋅=⋅⋅=
Stehende Welle:
Eine spezielle Lösung der Wellengleichung führt zu einer Separierung der reellen zeitlichen und
räumlichen Funktionen. An einer gegebenen Stelle x läuft dann immer die gleiche zeitliche
Schwingung ab [beschrieben durch ( )1tωsin ϕ+⋅ ], mit einer positionsabhängigen Amplitude
( )2xkcosA ϕ+⋅⋅ .
Solche stehenden Wellen lassen sich z.B. auf beidseitig eingespannten Saiten (Gitarre, Violine etc.)
erzeugen oder mit in Rohren eingeschlossenen Luftsäulen (Blasinstrumente), aber auch mit
elektromagnetischen Wellen zwischen Reflektoren. Die genaueren Bedingungen werden weiter
unten im Zusammenhang mit Reflexionen an Grenzflächen behandelt. Die Reflexionsbedingungen
legen die folgenden wichtigen Randbedingungen fest:
Einspannungspunkte: Knotenpunkte
Freie Enden: Bäuche
Damit die Wellenfunktion diese
Randbedingungen erfüllt, sind nur ganz
bestimmte Frequenzen erlaubt, wobei
die entsprechende Wellenlänge zur
vorgegebenen Geometrie "passt".
Stehende Wellen sind die Normal-
schwingungen des gekoppelten Systems,
das die Welle ausbreitet.
Abbildung 2.1.: Frequenzen fn und Wellenl¨angen λn stehender Wellen
Stehende Wellen, Version 1.4, 18. Mai 2015 3

6. 3. Versuchsanordnung
Der Versuch mit einem Monochord1
soll Aufschluss geben ¨uber die Frequenzen einer stehenden Welle in Abh¨an-
gigkeit von Saitenl¨ange und Saitenspannung (siehe Abbildung 3.1):
Eine Stahlsaite wird am Steg einer Bundschiene festgemacht, am anderen Ende ¨uber eine Rolle einem Gewichts-
stein zugef¨uhrt, welcher die Saite spannt (siehe Abbildung B.1). Mit einem verschiebbaren Saitenbund kann die
Saitenl¨ange L eingestellt werden (siehe Abbildung B.2), mit verschiedenen Gewichtssteinen resp. Massen m kann die
Saitenspannung ver¨andert werden (siehe Abbildung B.3). Die Saite wird f¨ur die Messausf¨uhrung jeweils angeschlagen
– es entsteht eine stehende Welle mit einem Wellenbauch (n = 1). Die Welle wird mit einem elektromagnetischen
Tonabnehmer in ein elektrisches Signal gewandelt (siehe Abbildung B.6). Das Signal wird mit einem Oszilloskop
visualisiert, auf dessen Liquid Cristal Display (LCD) kann die Frequenz abgelesen werden (siehe Abbildung B.7).
Masse m
Saitenlänge L
Gewichtstein
Saitenbund
Stahlsaite
RolleTonabnehmer
Oszilloskop
Messleiste
Bundschiene
Steg
Abbildung 3.1.: Handskizze der Versuchsanordnung
3.1. Voraussetzungen
Die Messungen erfolgen f¨ur zwei verschiedene Saitenspannungen mit je drei Saitenl¨angen (siehe Laboranleitung im
Abschnitt A). Die Saitenl¨angen L werden anhand folgender Kriterien gew¨ahlt:
1. Die resultierenden Schwingungszahlen resp. Frequenzen sollen im menschlichen H¨orbereich zu liegen kommen,
gem¨ass [Gra01, S. 48 f.] also zwischen 16 Hz und 30 kHz. Dabei entspricht die untere H¨orschwelle von 16 Hz
einem Subkontra-C genannten Ton (siehe [Gra01, S. 49]).
2. F¨ur beide Saitenspannungen wollen wir oktavierte T¨one messen. Um den n¨achst h¨oher oktavierten Ton zu
erzeugen, muss gem¨ass [Gra01, S. 49] die Saitenl¨ange halbiert werden. Wir wollen jedoch den n¨achst tiefer
oktavierten Ton erzeugen, verdoppeln also jeweils die Saitenl¨ange.
1[Gra01, S. 48 f.]:
”
Das Monochord, angeblich schon vom griechischen Philosophen Pythagoras (500 v.Chr.) verwendet, besteht aus
einer ¨uber einem Resonanzkasten gespannten Saite, die durch einen verschiebbaren Steg [(hier Bund)] in verschiedene Teile geteilt
werden kann.”
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7. 3.2. Rohdaten
Formelsammlung
Folgende Daten werden durch Nachschlagen in einer Formelsammlung ermittelt:
ˆ Erdbeschleunigung g; Einheit: [m/s2].
ˆ Dichte ρ des Saitenmaterials (Stahl resp. Eisen); Einheit: [kg/m3].
Messungen
Folgende Daten werden durch Messen ermittelt:
ˆ Saitendicke resp. -durchmesser d; Einheit: [m] (Anzahl Messungen: 1, siehe Schieblehre in Abbildung B.4).
ˆ Masse m der Gewichtssteine; Einheit: [kg] (Anzahl Messungen: 2, resp. wird der Beschriftung entnommen,
siehe Gewichtssteine in Abbildung B.3).
ˆ Saitenl¨ange L; Einheit: [m] (Anzahl Messungen: 2 · 3 = 6, siehe Messleiste in Abbildungen B.2 und B.5).
ˆ Frequenz fmess ; Einheit: [Hz] (Anzahl Messungen: 2 · 3 = 6, siehe Oszilloskop in Abbildung B.7).
Berechnungen
Folgende Daten werden durch Berechnen ermittelt:
ˆ Saitenspannung FZug = m · g; Einheit: [kg · m/s2] = [kg·m
s2 ] = [N].
ˆ Saitenquerschnitt A = r2
· π = (d
2 )2
· π = d2·π
4 = d2
· π
4 ; Einheit: [m2
].
ˆ Mit der Saitenspannung FZug, der Dichte ρ des Saitenmaterials und dem Saitenquerschnitt A l¨asst sich die
Phasengeschwindigkeit berechnen (siehe Laboranleitung im Anhang A).
Phasengeschwindigkeit c =
FZug
ρ·A ; Einheit: [
kg·m
s2 / kg
m3 ·m2] = [ kg·m
s2 · m
kg ] = [ m2
s2 ] = [m/s].
ˆ Wellenl¨ange λ = 2 · L (siehe Gleichung 2.5); Einheit: [m].
ˆ Mit der Phasengeschwindigkeit c und Saitenl¨ange L resp. der Wellenl¨ange λ l¨asst sich die Frequenz fsoll
berechnen (siehe Gleichung 2.4).
Sollwert der Frequenz fsoll = 1/2 · c
L = c
2·L = c
λ ; Einheit: [
m/s
m ] = [s−1
] = [Hz].
ˆ Prozentuale Abweichung, Error e =
√
(fsoll −fmess )2
fmess
· 100; Einheit: [%].
Unter Verwendung der Gleichung 2.4 kann die Frequenz f schliesslich als Funktion f (L) in Abh¨angigkeit der
Saitenl¨ange L formuliert werden:
f (L) = 1/2 ·
c
L
= 1
2 · c · L−1
= 1
2 ·
FZug
ρ·A · L−1
= 1
2 · m·g
ρ·A · L−1
f (L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
(3.1)
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8. 4. Ergebnisse
Die Ergebnisse der Messungen (siehe Abbildungen B.9 bis B.14) werden in der Tabelle 4.1 pr¨asentiert. Darin
enthalten sind auch die Werte aus der Formelsammlung und die berechneten Werte inklusive den prozentualen
Abweichungen. Die gemessenen Frequenzen fmess werden schliesslich in einem f -L-Diagramm als Datenpunkte in
Abh¨angigkeit der Saitenl¨ange L grafisch dargestellt (siehe Abbildung 4.1). Die Kennlinien im Diagramm entsprechen
dabei der Funktion gem¨ass Gleichung 3.1. Zudem ist die untere H¨orschwelle von 16 Hz eingetragen.
Tabelle 4.1.: Messergebnisse und berechnete Werte
Messausführung Nr. 1 2 3 4 5 6 Datenquelle
7900 7900 7900 7900 7900 7900 Formelsammlung
[m] 0.00041 0.00041 0.00041 0.00041 0.00041 0.00041 gemessen
1.3203E-07 1.3203E-07 1.3203E-07 1.3203E-07 1.3203E-07 1.3203E-07 berechnet
9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 Formelsammlung
[kg] 2.52 2.52 2.52 5.04 5.04 5.04 Beschriftung
[N] 24.7212 24.7212 24.7212 49.4424 49.4424 49.4424 berechnet
[m/s] 157.80 157.80 157.80 223.17 223.17 223.17 berechnet
[m] 0.200 0.400 0.800 0.200 0.400 0.800 gemessen
[m] 0.400 0.800 1.600 0.400 0.800 1.600 berechnet
[Hz] 394.5 197.3 98.6 558.0 279.0 139.5 berechnet
[Hz] 400.0 198.4 99.5 566.9 282.8 141.5 gemessen
[%] 1.4 0.6 0.9 1.6 1.3 1.4 berechnet
Dichte ρ (Stahl) [kg/m3
]
Saitendurchmesser d
Saitenquerschnitt A [m2
]
Erdbeschleunigung g [m/s2
]
Masse m
Saitenspannung Fzug
Phasengeschwindigkeit c
Saitenlänge L
Wellenlänge λ
Sollwert Frequenz fsoll
Messwert Frequenz fmess
Abweichung e
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
f2(L) = g
4·ρ·A ·
√
2 · m · L−1
Hörschwelle 16 Hz
Messergebnisse Nr. 1 – 3
Messergebnisse Nr. 4 – 6
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmess1
fmess2
fmess3
fmess4
fmess5
fmess6
L [m]
f [Hz]
600
f [Hz]
Abbildung 4.1.: f -L-Diagramm mit Kennlinien und gemessenen Frequenzen
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9. Als Grundlage zur Diskussion veranschaulicht Abbildung 4.2 die Relation zwischen den Saitenl¨angen und den damit
gemessenen Frequenzen am Beispiel der Resultate von Messausf¨uhrung Nummer zwei und drei (Datenpunkte fmess2
und fmess3 ), Abbildung 4.3 die Relation zwischen den Saitenspannungen und den damit gemessenen Frequenzen
am Beispiel der Resultate von Messausf¨uhrung Nr. zwei und f¨unf (Datenpunkte fmess2 und fmess5 ).
Messergebnisse Nr. 4 – 6
0
100
200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmess2
fmess3
fmess6
L [m]
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmess2
fmess3
fmess3 = 1
2 · fmess2
L [m]
f [Hz]
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
f2(L) = g
4·ρ·A ·
√
2 · m · L−1
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmess2
fmess5
fmess5 =
√
2 · fmess2
L [m]
f [Hz]
Abbildung 4.2.: f -L-Diagramm mit Relation zwischen Saitenl¨ange und gemessener Frequenz
Messergebnisse Nr. 4 – 6
0
100
200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmess2
fmess3
fmess6
L [m]
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmess2
fmess3
fmess3 = 1
2 · fmess2
L [m]
f [Hz]
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
f2(L) = g
4·ρ·A ·
√
2 · m · L−1
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmess2
fmess5
fmess5 =
√
2 · fmess2
L [m]
f [Hz]
Abbildung 4.3.: f -L-Diagramm mit Relation zwischen Saitenspannung und gemessener Frequenz
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10. 5. Diskussion
5.1. Plausibilit¨at der Ergebnisse
Wie zu erwarten war, dauert es mit zunehmender Saitenl¨ange L etwas l¨anger, bis die Transversalwellen die Saite
durchlaufen haben und reflektiert werden: Die Frequenz f wird kleiner. Die gemessenen Werte stimmen gut mit den
berechneten Werten ¨uberein, wie die prozentualen Abweichungen von maximal 1.6 % zeigen (siehe Tabelle 4.1).
Der gesunde menschliche H¨orbereich liegt gem¨ass [HMS12, S. 631] zwischen 16 Hz und 20 kHz. Die Messresultate
liegen also gut ¨uber der Grenze des H¨orbaren, was auch die untere H¨orschwelle im Diagramm veranschaulicht
(siehe Abbildung 4.1). Mit dem menschlichen Geh¨or war in der Abfolge der Messungen eine abnehmende Tonh¨ohe
wahrnehmbar, die Oktaven waren klar zu erkennen.
Mit dem Verdoppeln der Saitenl¨ange L resp. der Wellenl¨ange λ halbiert sich die Frequenz f des Grundtons. Diese
Annahme wurde in den ersten drei Messausf¨uhrungen best¨atigt. Das Ph¨anomen ist im Diagramm gut erkennbar,
die Kennlinie f¨allt nach rechts ab (siehe Abbildung 4.2).
Die Frequenz verh¨alt sich also umgekehrtproportional zur Wellenl¨ange: f ∼ λ−1
.
Mit dem Anh¨angen eines Gewichtssteines der doppelten Masse m verdoppelte sich die Saitenspannung FZug,
die Phasengeschwindigkeit c wurde damit um den Faktor
√
2 vergr¨ossert: Die Transversalwellen durchlaufen die
Saite schneller. Die Messausf¨uhrungen Nr. vier bis sechs wurden nochmals mit denselben drei Saitenl¨angen L
durchgef¨uhrt. Die Messungen zeigten wiederum mit zunehmender Saitenl¨ange L abnehmende Frequenzen f – nun
wurden aber
√
2-fache Frequenzen gemessen. Dies zeigt sich im Diagramm durch die Translation der Messresultate
in positiver f -Richtung (siehe Abbildung 4.3).
Die Frequenz verh¨alt sich also direktproportional zur Phasengeschwindigkeit: f ∼ c.
5.2. Messunsicherheiten
F¨ur die Versuchsanordnung bestehen verschiedene Unsicherheiten, welche die Werte aus der Formelsammlung, die
Messungen und die Berechnungen betreffen.
Formelsammlung
Die Werte aus der Formelsammlung gelten f¨ur bestimmte physikalische Verh¨altnisse:
Die Dichte ρ von Eisen resp. Stahl ist stark abh¨angig von der vorherrschenden Temperatur. Die Angaben aus der
Formelsammlung gelten f¨ur eine Temperatur von 20 °C. Im Labor herrschten jedoch keine idealen physikalischen
Bedingungen. Der als Labor benutzte Saal 607 im Hauptgeb¨aude befindet sich in der obersten Etage unter dem
Dachwerk. Am Fr¨uhlingsnachmittag des 28. Aprils 2015 herrschte dort eine Temperatur von zirka 25 °C, wie dem
eigens mitgebrachten Raumthermometer entnommen werden konnte (siehe Abbildung B.8). Zudem h¨angt die Dichte
des Stahls von dessen Qualit¨at ab, der Wert aus der Formelsammlung basiert auf einem Stahl V2A mit 74 % Fe,
18 % Cr und 8 % Ni.
Ebenfalls der Formelsammlung entnommen ist die Gr¨osse der Erdbeschleunigung g von 9.81 m/s2. Der Wert
entspricht jedoch nicht der am Laborstandort tats¨achlich vorherrschenden Erdbeschleunigung. Das Hauptgeb¨aude
an der Quellgasse 21 in 2502 Biel/Bienne liegt gem¨ass einer Abfrage mit der Desktop-Applikation
”
Swiss Gravity
Zones” des Eidgen¨ossischen Institutes f¨ur Metrologie METAS1
in der Gravitationszone 2 (siehe Abbildung 5.1).
1Eidgen¨ossisches Institut f¨ur Metrologie METAS: Die Gravitationszonen der Schweiz. Online: http://legnet.metas.ch/metasweb/
Fachbereiche/Waagen/Gravitationszonen/Gravitationszonen_d, Zugriff: 30. April 2015.
Stehende Wellen, Version 1.4, 18. Mai 2015 8

11. Der Referenzwert der Erdbeschleunigung gR f¨ur die Gravitationszone 2 betr¨agt gem¨ass [Sch07, S. 2] effektiv
9.80600 m/s2.
Abbildung 5.1.: Desktop-Applikation
”
Swiss Gravity Zones”
Messungen
Die Messger¨ate weisen folgende Messgenauigkeiten auf:
ˆ Die Schieblehre zum Messen des Saitendurchmessers d hat eine digitale Anzeige, auf welcher ±0.01 mm resp.
±0.00001 m ablesbar sind (siehe Abbildung B.4).
ˆ F¨ur die Angabe der Massen m auf den Gewichtssteinen ist mit Abweichungen von ±10 g resp. ±0.01 kg zu
rechnen (siehe Abbildung B.3).
ˆ Mit der Messleiste an der Bundschiene kann die Saitenl¨ange L auf eine Genauigkeit von ±1 mm resp.
±0.001 m abgelesen werden (siehe Abbildung B.2). Dabei ist anzumerken, dass der Saitenbund in der Bund-
schiene etwas Spiel hatte.
ˆ Auf dem Oszilloskop-LCD kann die Frequenz fmess als digitaler Wert von ±0.1 Hz abgelesen werden (siehe
Abbildung B.7).
Zu bemerken ist, dass die Messinstrumente unter bestimmten Bedingungen geeicht wurden und gewisse Toleranzen
aufweisen. Wie [HMS12, S. 14 f.] zu entnehmen ist, k¨onnten systematische Abweichungen erkannt werden durch
unsymmetrische H¨aufung der Messwerte von Wiederholungsmessungen, z.B. in Ringversuchen. Abhilfe k¨onnten
Konsistenzmessungen oder auch stabilisierende Massnahmen wie Thermostatisierung schaffen.
Berechnungen
In den Berechnungen werden sowohl Reibung als auch Luftwiderstand vernachl¨assigt. Zudem wurde der ¨Uberhang
der Saite nicht zur Masse addiert, welche die Zugspannung der Saite erzeugt. Um die Messgenauigkeit des ange-
wandten Messverfahrens bestimmen zu k¨onnen, m¨ussten gem¨ass [HMS12, S. 14] Messreihen durchgef¨uhrt und die
Resultate mit statistischen Methoden einer Fehlerrechnung unterzogen werden.
Betreffend Gleitpunktarithmetik (vgl. [Kno08]) ist zu bedenken, dass f¨ur die Berechnungen eine Software eingesetzt
wurde, welche Gleitpunktzahlen mit einer Mantisse von 20 Ziffern berechnen kann. In unserem Versuch kommen
Werte mit maximal vier Vorkommastellen (Dichte ρ = 7900 kg/m3) und der maximalen Anzahl Nachkommastellen
vor (Berechnung des Saitenquerschnittes mit π). Es gen¨ugt nun, die Phasengeschwindigkeit c auf zwei Nachkom-
mastellen zu runden – die Frequenz fsoll wird schliesslich auf eine Nachkommastelle gerundet angegeben. Es sind
keine Fehler durch fehlende Nachkommastellen zu erwarten.
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12. 6. Schlussfolgerungen
Der Laborversuch mit einem Monochord hat Aufschluss ¨uber die Frequenzen einer stehenden Welle in Abh¨angig-
keit von der Saitenl¨ange und der Saitenspannung gegeben. Die Messungen best¨atigen, dass sich die Wellenl¨ange
umgekehrtproportional und die Phasengeschwindigkeit direktproportional zur Frequenz verhalten. Die Resultate der
Messungen sind mit prozentualen Abweichungen von maximal 1.6 % als sehr gut einzusch¨atzen.
Um den Messunsicherheiten entgegenzutreten, k¨onnte der verschiebbare Bund mit einer Schraube in der Bund-
schiene arretiert werden. Zudem k¨onnte der Versuch in einem klimatisierten Labor stattfinden. Ein Vergleich der
Messresultate mit anderen Gruppen des Kurses im Sinne eines Ringversuches w¨urde Aufschluss ¨uber m¨ogliche sys-
tematische Abweichungen geben. Spannend w¨are es, pro Versuchsausf¨uhrung nicht nur eine Messung an der Zahl,
sondern eine ganze Messreihe durchzuf¨uhren. So k¨onnten die Messresultate statistisch ausgewertet werden.
Anhand des Versuchs mit stehenden Wellen konnten wir elementare physikalische Grundlagen erarbeiten und rele-
vante Begriffe nicht nur theoretisch, sondern auch praktisch anschaulich erfahren und benutzen. Somit d¨urften wir
f¨ur das Verstehen technischer Anwendungen der Signal¨ubertragung mit Wellen gewappnet sein.
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13. Literaturverzeichnis
[Gra01] Hermann Grabner. Allgemeine Musiklehre. 22. Aufl. Kassel: B¨arenreiter, 2001. Kap. 2 Intervallen- und
Skalenlehre. ISBN: 3-7618-0061-4.
[HMS12] Ekbert Hering, Rolf Martin und Martin Stohrer. Physik f¨ur Ingenieure. 11. Aufl. Heidelberg: Springer,
2012. ISBN: 978-3-642-22568-0.
[Kno08] Michael Knorrenschild. Numerische Mathematik. 3. Aufl. Leipzig: Hanser, 2008. Kap. 1 Rechnerartih-
metik und Gleitpunktzahlen. ISBN: 978-3-446-41261-3.
[Sch07] Wolfgang Schwitz. Weisungen ¨uber die Verwendung der Gravitationszonen in der Schweiz f¨ur das In-
verkehrbringen und die Eichung von Waagen. Weisungen W221.1. Bundesamt f¨ur Metrologie, 2007.
[Thi15] Christian Thiess. Grundlagen der Signal¨ubertragung mit Wellen. Vorlesungsskript Fr¨uhlingssemester
2015. Biel/Bienne: BFH-TI, 2015.
Bildnachweis
Titelbild: Marcus Fischer: Versuchsanordnung. Fotografie, 28. April 2015.
Abbildung 2.1: Ohne Bildunterschrift. In: [Thi15, S. 13].
Abbildung 3.1: Rosalie Gerber: Versuchsanordnung. Handskizze, 28. April 2015.
Abbildungen 4.1 – 4.3: Roland Bruggmann: Auswertung der Messergebnisse. Diagramme, 28. April 2015.
Abbildung 5.1: Roland Bruggmann:
”
Swiss Gravity Zones”. Bildschirmfoto, 29. April 2015.
Abbildungen B.1 – B.14: Marcus Fischer: Bilddokumentation. Fotografien, 28. April 2015.
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14. Abbildungsverzeichnis
2.1. Frequenzen fn und Wellenl¨angen λn stehender Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1. Handskizze der Versuchsanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.1. f -L-Diagramm mit Kennlinien und gemessenen Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2. f -L-Diagramm mit Relation zwischen Saitenl¨ange und gemessener Frequenz . . . . . . . . . . . . . 7
4.3. f -L-Diagramm mit Relation zwischen Saitenspannung und gemessener Frequenz . . . . . . . . . . 7
5.1. Desktop-Applikation
”
Swiss Gravity Zones” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B.1. Gesamtansicht der Versuchsanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.2. Verschiebbarer Saitenbund zum variieren der Saitenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.3. Gewichtssteine zum variieren der Saitenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.4. Schieblehre zum Messen des Saitendurchmessers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.5. Messleiste zum Messen der Saitenbund-Position resp. der Saitenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.6. Elektromagnetischer Tonabnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.7. Oszilloskop zum Messen der Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B.8. Thermometer zum Messen der Raumtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B.9. Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B.10.Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B.11.Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B.12.Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
B.13.Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
B.14.Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Tabellenverzeichnis
4.1. Messergebnisse und berechnete Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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15. A. Laboranleitung
Physiklabor
Stehende Wellen
Ziel: Begriffe zur stehenden Wellen erfahren und benutzen
Vorgehen: Durch Anzupfen oder Anschlagen werden stehende (Transversal-) Wellen auf
einer Saite erzeugt und deren Frequenz akustisch (über Mikroskop und KO) gemessen.
Bei Kenntnis von Dichte p des Saitenmaterials (Stahl/Eisen: Tabelle), dem Saitenquerschnitt
A (Saitendicke messen!) und der Saitenspannung (durch Gewichtsteine vorgegeben) lässt
sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Wellen auf der Saite berechnen:
Die stehende Grundwelle muss an beiden Enden der Saite einen Knotenpunkt haben. Daher
ist die Wellenlänge = 2 x Saitenlänge.
Mit dem bekannten Wert von c und den gemessenen Wellenlängen lassen sich die
Frequenzen berechnen.
Versuchsausführung:
1. Frequenzen der Saitenschwingung für drei Längen bestimmen; dies wird für zwei
verschiedene Saitenspannungen ausgeführt (Gewichtssteine einzeln oder zusammen
anhängen), insgesamt also 6 Messungen.
2. Wellengeschwindigkeit c jeweils aus Saitenspannung, Materialdichte und
Saitenquerschnitt bestimmen und die Frequenzwerte zu den einzelnen Saitenlängen
theoretisch berechnen.
3. Gemessene und berechnete Frequenzwerte in einer Tabelle vergleichen.
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16. B. Bilddokumentation
B.1. Versuchsanordnung
Abbildung B.1.: Gesamtansicht der Versuchsanordnung
Abbildung B.2.: Verschiebbarer Saitenbund zum variieren der Saitenl¨ange
Abbildung B.3.: Gewichtssteine zum variieren der Saitenspannung
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17. B.2. Messinstrumente
Abbildung B.4.: Schieblehre zum Messen des Saitendurchmessers
Abbildung B.5.: Messleiste zum Messen der Saitenbund-Position resp. der Saitenl¨ange
Abbildung B.6.: Elektromagnetischer Tonabnehmer
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18. Abbildung B.7.: Oszilloskop zum Messen der Frequenz
Abbildung B.8.: Thermometer zum Messen der Raumtemperatur
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19. B.3. Messungen
Abbildung B.9.: Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 1
Abbildung B.10.: Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 2
Abbildung B.11.: Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 3
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20. Abbildung B.12.: Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 4
Abbildung B.13.: Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 5
Abbildung B.14.: Oszilloskop-LCD bei Messausf¨uhrung Nr. 6
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21. Selbst¨andigkeitserkl¨arung
Wir best¨atigen, dass wir die vorliegende Arbeit selbstst¨andig und ohne Benutzung anderer als der im Literaturver-
zeichnis angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt haben. S¨amtliche Textstellen, die nicht von uns stammen,
sind als Zitate gekennzeichnet und mit dem genauen Hinweis auf ihre Herkunft versehen.
Ort, Datum: Biel/Bienne, 18. Mai 2015
Vorname, Name: Roland Bruggmann
Unterschrift: ......................................
Vorname, Name: Marcus Fischer
Unterschrift: ......................................
Vorname, Name: Rosalie Gerber
Unterschrift: ......................................
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