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Protokolle der OSI-Schicht 2
Performancebetrachtungen (Übung)
             Kapitel 7.4

             Netze und Protokolle
    Dipl.-Wirtsch.-Ing. Henrik Schumacher




          Institut für Kommunikationstechnik
                  www.ikt.uni-hannover.de
Aufgaben der MAC (1)

Wiederholung:
In welchen Netzen wird eine MAC-Teilschicht benötigt und
welche Aufgabe erfüllt diese?




                            (2)
Aufgaben der MAC (2)


Netze mit gemeinsam benutzen Medium
(Mehrfachzugriffskanal, gemeinsames Medium: Luft, Draht
usw.)

Protokolle, die bestimmen, wann eine bestimmte Station
in einem Mehrfachzugriffskanal senden darf

Beispiel: Gruppe unterhält sich




                             (3)
Sinn mathematischer Betrachtungen (1)

Aus welchem Grund ist es sinnvoll, für ein Netz
mathematische Berechnungen zur Performance
(Leistungsfähigkeit) durchzuführen?




                             (4)
Sinn mathematischer Betrachtungen (2)

Optimierung und Dimensionierung von Nachrichtennetzen

   neue Netze
          Schätzung der Angebotsparameter, Definition der Qualitätsparameter,
          Ermittlung der Kosten; Design des Netzes, Struktur, Wegewahl ,
          Berechnung der Kanalzahlen


   existierende Netze
          Messung der Angebotsparameter, der realen Qualitätsparameter,
          Prüfung der Messwerte gegen die Planwerte (Soll-/Ist-Vergleich),
          Anpassung der Netzstruktur




                                      (5)
Sinn mathematischer Betrachtungen (3)



                                                        ja
                                   Optimierungs-
Schätzung oder Messung
                                                             Ende
                                     kriterium
  der zu optimierenden
       Parameter                      erfüllt?

                                                 nein

                               Struktur eines Festnetzes
                                festlegen (Knotenzahl,
                              Bündelzahl, Leitweglenkung)



                                      Zielfunktion
                                      berechnen




                                           (6)
Verlustsysteme / Wartesysteme (1)

Nachrichtensysteme können in Verlustsysteme und
Wartesysteme unterteilt werden.
Erläutern Sie die Begriffe und geben Sie Beispiele!




                             (7)
Verlustsysteme / Wartesysteme (2)

Verlustsystem
   ein einfallender Belegungswunsch wird sofort bearbeitet, wenn
   die Ressourcen dafür zur Verfügung stehen. Sind alle
   Ressourcen belegt, wird der Belegungswunsch abgewiesen, er
   geht zu Verlust
   Beispiel: Fernsprechnetz
Wartesystem
   ein einfallender Bearbeitungswunsch wird in eine Warteschlange
   geschrieben und bearbeitet, sobald freie Ressourcen dafür zur
   Verfügung stehen. Ein Verlust tritt auf, wenn alle Warteplätze in
   der Warteschlange belegt sind und ein weiterer
   Bearbeitungswunsch eintrifft
   Beispiel: Daten-Endgeräte (paketorientiert), Hotline eines Call-
   Centers mit Warteplätzen



                                  (8)
Charakteristische Qualitätsparameter (1)

Was sind die typischen Qualitätsparameter für ein
Verlustsystem bzw. ein Wartesystem?




                            (9)
Charakteristische Qualitätsparameter (2)

Verlustsystem
  Verlust (Blockierungswahrscheinlichkeit), d.h. der
  Anteil der Anforderungen, die nicht vom System bearbeitet werden kann


Wartesystem
  theoretisches (reines) Wartesystem
      Wartewahrscheinlichkeit
      Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit > T
      mittlere Wartezeit

  reales Wartesystem (Warte-Verlust-System)
      wie theoretisches Wartesystem
      Verlustwahrscheinlichkeit (Paketverlust)




                                      (10)
Wartesysteme (1)

Zeichnen Sie das Modell eines Datenendgerätes, mit
dessen Hilfe mathematische Performance-Betrachtungen
zur MAC möglich sind!




                          (11)
Wartesysteme (2)

                     Warteschlange                    Bedieneinheit (z.B. Pakete/sec)


                λ
Ankünfte                                                                          Ausgang
                                                               μ
(z.B. Pakete/sec)                                                                 abgehend

                 λ = mittlere Ankunftsrate = 1/mittlere Ankunftszeit
                 µ - mittlere Bedienrate = 1/mittlere Bedienzeit
             System                  Bedienheinheit (begrenzender Faktor)
             Supermarkt              Kassierer (Schnelligkeit)
             Gasspeicher             Heizungen der Kunden (Verbrauch)
             Wasserturm              Wasserhähne der Kunden (Verbrauch)
             Dateiserver             Festplatte, Systembus, Übertragungsleitung
             Multitasking-Computer   Prozessor(en) (Rechengeschwindigkeit)
             Sprachkommunikations-   Leitungen (Anzahl der Leitungen)
             system
             Datenkommunikations-    Übertragungskanal (Datenrate)
             system




                                               (12)
Beispiele aus der Praxis




           Supermarkt                          Bahnhof / Post

Was ist besser ?
Kriterium für “besser” ?
    Durchsatz
    mittlere Wartezeit
    Varianz der Wartezeit (wie ungleich werden (gleichartige) Kunden behandelt)
    maximale Wartezeit?




                                        (13)
Hilfsmittel: Warteschlangentheorie
                                      (bzw. Verkehrstheorie)
beschäftigt sich mit dem Verhalten von Systemen
Allgemein wird von Kunden im System gesprochen
   Pakete in einem Datenkommunikationssystem
   Schlange an der Kasse im Supermarkt
   Anfragen an einen Dateiserver (Computernetz)
   Anrufe in einem Sprachkommunikationssystem (z.B. auch Callcenter)
Die Systeme bestehen aus
   Kunden bzw. Anfragen, die das System betreten und wieder verlassen.
   Bedieneinheiten bzw. Servern, die bestimmte Aufgaben für die Kunden
   erledigen sollen
   einem Transportsystem, das bestimmt, wie sich die Kunden bewegen
   …
Interessante Größen sind
   Durchlaufzeit bzw. Bearbeitungszeit einer Anfrage
   Auslastung von Bedieneinheiten
   …


                                   (14)
Fragestellungen zur Warteschlangentheorie

Antworten auf folgende Fragen können abgeleitet werden:
   Wie hoch kann die Ankunftsrate sein, die abgefertigt werden kann?
   Wie groß ist der Füllstand der Warteschlange bei Ankunft?
   Wie groß ist Wartezeit in der Warteschlange?
   Wie hoch ist die Abfertigungsdauer?
   Wie groß ist Verweilzeit im System (Warten + Abfertigung)?
   Prozentsatz abgewiesener Kunden?
   Wo sind die Flaschenhälse im System?
   Lohnt es sich, eine zweite Bedieneinheit zu spendieren?
   Wie verhält sich das System bei Überlast?




                                   (15)
M|M|1-System (5)

Was ist unter dem Ausnutzungsfaktor ρ zu verstehen?
Welche Bedingungen müssen für ρ bei einem stabilen
System eingehalten werden?




                          (16)
M|M|1-System (6)

Ausnutzungsfaktor:
   Verhältnis der „Arbeit“, die beim System eintrifft zu der Rate (Kapazität)
   mit der das System die Arbeit bewältigen kann
   die Arbeit eines Kunden entspricht der Zeit in Sekunden, die er
   bearbeitet werden muss
Bei M|M|1-System kann gezeigt werden:
  λ mittlere Ankunftsrate
ρ= =                      stabil für : 0 ≤ ρ < 1
  μ  mittlere Bedienrate
Wenn die Bedienrate größer ist, als die Ankunftsrate, dann wird
der Warteschlangeninhalt nicht über alle Grenzen wachsen




                                      (17)
Ankunftsrate / Bedienrate (1)

Die mittlere Ankunftsrate und Bedienrate sind statistische
Variablen d.h. werden durch Zufallsprozesse bestimmt.
Wie werden statistische Variablen (bzw. deren
Eigenschaften) beschrieben?




                            (18)
Beschreibung einer stetigen
                                     Zufallsvariablen X
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen X kleiner
oder gleich einer vorgegebenen Zahl xi ist.
Sie ist aufgrund der Eigenschaften von P eine auf das
Intervall beschränkte, nicht abnehmende Funktion.
                                                    xi

                                                    ∫ f (t)dt
                       F ( x)kont = P( X ≤ xi ) =
Verteilungsfunktion:
                                                    −∞

                       f (t )
Dichtefunktion:




                                (19)
Beschreibung einer diskreten
                                          Zufallsvariablen X
 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=xi) gibt an, mit
 welcher Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen
 X gleich einer vorgegebenen Zahl xi ist.


                                                      (∑pi =1)
                                 P(X = xi ) = pi
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
                                                           i
                                                      xi
                        F ( x)diskret = P( X ≤ xi ) = ∑P( X = i)
Verteilungsfunktion:
                                                      i =1



 Merke:
     bei diskreten ZV: Wahrscheinlichkeitsfunktion!
     bei stetigen ZV: Dichtefunktion!


                                   (20)
Mittelwert und Varianz


Beschreibung von Zufallsvariablen (hier diskret): m
                                                         ∑
                               X d is k r e t =                     p i ⋅x i
Mittelwert, Erwartungswert:
                                                            i =1
                                                        +∞
                                                   ∫
                                               =                   x ⋅ f ( x )dx
                                 X   kont
                                                        −∞

                                                        Quadrat der Abweichung vom Mittelwert



                                  σ diskret 2 = ∑ pi ⋅( xi − X diskret ) 2
Varianz:                                                i
                                                   +∞
(zentrales Moment zweiter                                                      2

                                                   ∫ (x − X
                                  σ kont =                                   ) ⋅ f ( x ) dx
                                         2
Ordnung)
                                                                      kont
                                                   −∞



                                        (21)
Kontinuierliches Beispiel

              Beispiel Exponentialverteilung:




                                                                     (22)
Achtung, dieses Lamda hat noch nichts mit der Ankunftsrate zu tun!
Diskretes Beispiel

Beispiel Würfel:
                   P ( X = xi )
                            1




                   P = 1/6


                                0   1      2   3     4   5   6   x
                     F(x)
                            1




                            q


                                0   1      2   3     4   5   6   x


                                    (23)
M|M|1-System (1)

In der Praxis wird häufig ein M|M|1-System zur
Performance Betrachtung verwendet.
Was versteht man unter einem M|M|1-System und welche
Vorteile bietet es?




                          (24)
Ankunftsrate / Bedienrate (2)

mittlere Ankunftsrate λ
   abhängig von den Zeitpunkten, wann die Pakete von einer
   höheren Schicht an die MAC übergeben werden
   abhängig von der Generierung der Pakete in höheren Schichten
   (Verkehrsart und Protokolle: WWW, FTP, TCP, UDP)


mittlere Bedienrate µ
   abhängig von den Dauern bei der „Bearbeitung“ der Pakete
   Bearbeitung hier
      Bits auf Medium geben
      Einfluss des MAC-Protokolls




                                    (25)
M|M|1-System (2)

Kendall-Notation für Wartesysteme
   A|B|m|n
       A   :=    Verteilung der Zwischenankunftszeiten
       B   :=    Verteilung der Bearbeitungszeiten
       m   :=    Anzahl der Bedieneinheiten
       n   :=    Anzahl der Warteplätze
   Parameter für A,B
       M   :=    exponentielle Verteilung (Markov)
       E   :=    r-stufige Erlangverteilung
       H   :=    r-stufige hyperexponentielle Verteilung
       D   :=    deterministisch
       G   :=    allgemeine Verteilung
   Beispiel: M|D|4|10




                                     (26)
M|M|1-System (3)

                                                b(t ) = μe − μ t
Exponentiell verteilte Bediendauern:

Exponentiell verteilte Ankunftsabstände:
                                                     a (t ) = λe − λt
1 Bedieneinheit, unendlich viele Warteplätze

Vorteil
   System einfach mit Hilfe der Verkehrstheorie zu berechnen (vgl.
   Kapitel 4.3,22-27)
      Problem mit Markov-Ketten beschreibbar
      aus Gleichungen der Markov-Ketten -> Wahrscheinlichkeiten des
      Systems (z.B. Kunden im System) errechenbar
      Erwartungswert berechnen –> mittlere Anzahl Kunden im System


                                 (27)
M|M|1-System (4)

Es wird ein Medium betrachtet, dass eine konstante
Datenrate (Bits/sec) übertragen kann. Die MAC eines
Systems gibt die Pakete sofort auf das Medium (kein
Einfluss auf Bedienverhalten).
Wie müssen die Längen der Pakete gestaltet sein, damit
es als M|M|1-System betrachtet werden kann?




                           (28)
M|M|1-System (5)

  Die Paketlängen müssen exponentiell verteilt sein, da so
  die Bedienzeit exponentiell verteilt ist.



              tb1           tb2                            tb3                     tb4
                                   Bedienzeiten
Quelle

                                                                 ta34
               ta12                 ta23
                           Zwischenankunftszeiten

                                                                                           Zeit
                                                                              t4
                                                t3
         t1           t2                                   Ankunftszeiten


                                                                                      1
                                                                                   λ=
 mittlere Zwischenankunftszeit: t a            mittlere Ankunftsrate:
                                                                                      ta
                                                                         1
                                                                    μ=
 mittlere Bedienzeit: tb          mittlere Bedienrate:
                                                                         tb
                                                    (29)
Poissonverteilung


Die Poissonverteilung kann aus der Exponentialverteilung
abgeleitet werden.

Definition: Sind beliebige Ereignisse voneinander unabhängig und gleichverteilt und
gibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Ereignisse im Intervall t an, dann ist X
poissonverteilt.
                                     (λ ⋅ t ) −λ⋅t
                                                 k
                   P( X = k ) = pk =         ⋅e
                                       k!
                    λ: Rate, mit der die Ereignisse eintreten

                                       E ( x) = λ ⋅ t
                    Mittelwert

                                       σ          = λ ⋅t
                                           2
                   und Varianz


                                           (30)
M|M|1-System (7)

Geben Sie mit Hilfe von ρ die Wahrscheinlichkeit pk an,
dass sich k Kunden in einem M|M|1-System befinden!
Wie kann aus der Wahrscheinlichkeit auf auf die mittlere
Anzahl an Kunden Nk im System geschlossen werden?




                            (31)
M|M|1-System (6)

aus Markov-Kette für MM1 System (vgl. 4.3, S.23-24):
                pk = (1 − ρ ) ⋅ ρ k           für : 0 ≤ ρ < 1
aus Mittelwertberechnung:
                                                                          ρ
                                        ∞
    N k = lim E{N (t )} = ∑ n ⋅ pn = N k =
                                                                       1− ρ
              t →∞
                                       n =0
                                                      mittlere Anzahl Kunden im System




nun könnte man weitermachen…
mit Little‘s Law λ ⋅ T = N
                                                                          ρ
                                                             Nk                          1
                           k
                                                        T=        =                =
durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System T ist:
                                                             λ        λ (1 − ρ )       μ −λ


                                              (32)
M|M|1-System (9)

Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf der mittleren
Anzahl an Kunden Nk in einem M|M|1-System über ρ !



                             ρ
                     Nk =
                            1− ρ




                             (33)
M|M|1-System (10)

                    20



                    15
Durchschn. Anz. N




                    10



                     5



                     0
                         0   0.2   0.4          0.6      0.8     1
                                         rho


                                         (34)
Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
                                                 (1)
Zeigen Sie, wie sich die mittlere Verzögerungszeit
verändert, wenn statt einem M|M|1-System, N M|M|1-
Systeme auf den gleichen Kanal zugreifen, wenn dieser in
N Teil-Kanäle aufgeteilt wird!

Vergleiche Vorlesung Folie 7.3.10 „average transfer delay
of the TDMA system with fixed assignment“




                            (35)
Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
                                                  (2)
statische Kanalzuordnung
   Multiplexen
   Kanal wird in N (konstant große) Teile zerlegt
   Jeder Benutzer eigenen Kanalanteil -> keine Überschneidungen
   Verfügbare Datenrate wird in konstanten Anteilen verteilt

Beispiel
   Frequenzmultiplex
   Zeitmultiplex
   Code-Multiplex




                               (36)
Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
                                                                   (3)


      Annahme: M|M|1-System
      es gilt:
                                                   ρ
                                  λ
                                                                Def. Little‘s Law:

                               ρ=       N=                      N = λ ⋅T
                                  μ           1− ρ

                                                       μKanal
                 λges




T mittlere Verweilzeit im System
N mittlere Anzahl Kunden im System
ρ                                           (37)
    Ausnutzungsfaktor
Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
                                                                   (3)


                        ρ
      mit N =                              N = λ ⋅T
                              und
                    1− ρ


                                          λ                      1
                            ρ                                    μ
                                          μ                            1
         λ ⋅T =                                              T=     =
                                     =
                                                                   λ μ −λ
                                            λ
                        1− ρ                                    1−
                                         1−
                                                                     μ
                                            μ



T mittlereVerweilzeit im System
N mittlere Anzahl Kunden im System
ρ                                                     (38)
    Ausnutzungsfaktor
Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
                                                  (4)
Multiplexing
   Pakete werden nicht in einem einzigen System verarbeitet,
   sondern in N Teilsystemen, deren Bedieneinheiten um den
   Faktor N geringere Datenraten bearbeiten müssen.
   auch die Ankunftsrate der Teilsysteme ist um den Faktor N
   geringer




                                (39)
Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
                                                             (3)

                          λ/N                               μ/N
               λ
                                1



                          λ/N
                                                            μ/N
                                2



                          λ/N                               μ/N
                                3




                          λ/N
                                                            μ/N
                                N




Dadurch ergibt sich für die mittlere Bearbeitungszeit der Pakete im System:

                                        1              1
                          Tmux =                =N        = N ⋅T
                                    μ       λ        μ −λ
                                        −
                                    N       N

                                                     (40)
Random Access vs. Statisches Multiplexing
                                                                (1)
Welches MAC-Zugriffsprinzip ist bei hoher Auslastung
eines Systems vorteilhafter: Random Access oder
statisches Multiplexing?
– und bei geringer Last?
                                                                 0.01 persistent CSMA
                        1.0
                        0.9
                                                                     nonpersistent CSMA
                        0.8
                        0.7
       S (Throughput)




                        0.6                                      0.1 persistent CSMA
                        0.5
                        0.4
                        0.3
                             slotted                      0.5 persistent CSMA
                        0.2                1 persistent CSMA
                             ALOHA
                        0.1 pure
                            ALOHA
                          0    1   2   3      4     5     6      7     8    9   10
                                           G (offered traffic)

                                                     (41)
Random Access vs. Statisches Multiplexing
                                                  (1)
Vollast: statisches Multiplexing
   keine Kollisionen und Konkurrrenz
   vorhersagbare Zugriffszeiten
   geringer Overhead

geringe Last: Random Access
   kürzere Zugriffszeiten, da kein Warten auf Slot
   komplette Kanalkapazität kann verwendet werden, daher
   schnellere Übertragung




                                (42)

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  • 1. Protokolle der OSI-Schicht 2 Performancebetrachtungen (Übung) Kapitel 7.4 Netze und Protokolle Dipl.-Wirtsch.-Ing. Henrik Schumacher Institut für Kommunikationstechnik www.ikt.uni-hannover.de
  • 2. Aufgaben der MAC (1) Wiederholung: In welchen Netzen wird eine MAC-Teilschicht benötigt und welche Aufgabe erfüllt diese? (2)
  • 3. Aufgaben der MAC (2) Netze mit gemeinsam benutzen Medium (Mehrfachzugriffskanal, gemeinsames Medium: Luft, Draht usw.) Protokolle, die bestimmen, wann eine bestimmte Station in einem Mehrfachzugriffskanal senden darf Beispiel: Gruppe unterhält sich (3)
  • 4. Sinn mathematischer Betrachtungen (1) Aus welchem Grund ist es sinnvoll, für ein Netz mathematische Berechnungen zur Performance (Leistungsfähigkeit) durchzuführen? (4)
  • 5. Sinn mathematischer Betrachtungen (2) Optimierung und Dimensionierung von Nachrichtennetzen neue Netze Schätzung der Angebotsparameter, Definition der Qualitätsparameter, Ermittlung der Kosten; Design des Netzes, Struktur, Wegewahl , Berechnung der Kanalzahlen existierende Netze Messung der Angebotsparameter, der realen Qualitätsparameter, Prüfung der Messwerte gegen die Planwerte (Soll-/Ist-Vergleich), Anpassung der Netzstruktur (5)
  • 6. Sinn mathematischer Betrachtungen (3) ja Optimierungs- Schätzung oder Messung Ende kriterium der zu optimierenden Parameter erfüllt? nein Struktur eines Festnetzes festlegen (Knotenzahl, Bündelzahl, Leitweglenkung) Zielfunktion berechnen (6)
  • 7. Verlustsysteme / Wartesysteme (1) Nachrichtensysteme können in Verlustsysteme und Wartesysteme unterteilt werden. Erläutern Sie die Begriffe und geben Sie Beispiele! (7)
  • 8. Verlustsysteme / Wartesysteme (2) Verlustsystem ein einfallender Belegungswunsch wird sofort bearbeitet, wenn die Ressourcen dafür zur Verfügung stehen. Sind alle Ressourcen belegt, wird der Belegungswunsch abgewiesen, er geht zu Verlust Beispiel: Fernsprechnetz Wartesystem ein einfallender Bearbeitungswunsch wird in eine Warteschlange geschrieben und bearbeitet, sobald freie Ressourcen dafür zur Verfügung stehen. Ein Verlust tritt auf, wenn alle Warteplätze in der Warteschlange belegt sind und ein weiterer Bearbeitungswunsch eintrifft Beispiel: Daten-Endgeräte (paketorientiert), Hotline eines Call- Centers mit Warteplätzen (8)
  • 9. Charakteristische Qualitätsparameter (1) Was sind die typischen Qualitätsparameter für ein Verlustsystem bzw. ein Wartesystem? (9)
  • 10. Charakteristische Qualitätsparameter (2) Verlustsystem Verlust (Blockierungswahrscheinlichkeit), d.h. der Anteil der Anforderungen, die nicht vom System bearbeitet werden kann Wartesystem theoretisches (reines) Wartesystem Wartewahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit > T mittlere Wartezeit reales Wartesystem (Warte-Verlust-System) wie theoretisches Wartesystem Verlustwahrscheinlichkeit (Paketverlust) (10)
  • 11. Wartesysteme (1) Zeichnen Sie das Modell eines Datenendgerätes, mit dessen Hilfe mathematische Performance-Betrachtungen zur MAC möglich sind! (11)
  • 12. Wartesysteme (2) Warteschlange Bedieneinheit (z.B. Pakete/sec) λ Ankünfte Ausgang μ (z.B. Pakete/sec) abgehend λ = mittlere Ankunftsrate = 1/mittlere Ankunftszeit µ - mittlere Bedienrate = 1/mittlere Bedienzeit System Bedienheinheit (begrenzender Faktor) Supermarkt Kassierer (Schnelligkeit) Gasspeicher Heizungen der Kunden (Verbrauch) Wasserturm Wasserhähne der Kunden (Verbrauch) Dateiserver Festplatte, Systembus, Übertragungsleitung Multitasking-Computer Prozessor(en) (Rechengeschwindigkeit) Sprachkommunikations- Leitungen (Anzahl der Leitungen) system Datenkommunikations- Übertragungskanal (Datenrate) system (12)
  • 13. Beispiele aus der Praxis Supermarkt Bahnhof / Post Was ist besser ? Kriterium für “besser” ? Durchsatz mittlere Wartezeit Varianz der Wartezeit (wie ungleich werden (gleichartige) Kunden behandelt) maximale Wartezeit? (13)
  • 14. Hilfsmittel: Warteschlangentheorie (bzw. Verkehrstheorie) beschäftigt sich mit dem Verhalten von Systemen Allgemein wird von Kunden im System gesprochen Pakete in einem Datenkommunikationssystem Schlange an der Kasse im Supermarkt Anfragen an einen Dateiserver (Computernetz) Anrufe in einem Sprachkommunikationssystem (z.B. auch Callcenter) Die Systeme bestehen aus Kunden bzw. Anfragen, die das System betreten und wieder verlassen. Bedieneinheiten bzw. Servern, die bestimmte Aufgaben für die Kunden erledigen sollen einem Transportsystem, das bestimmt, wie sich die Kunden bewegen … Interessante Größen sind Durchlaufzeit bzw. Bearbeitungszeit einer Anfrage Auslastung von Bedieneinheiten … (14)
  • 15. Fragestellungen zur Warteschlangentheorie Antworten auf folgende Fragen können abgeleitet werden: Wie hoch kann die Ankunftsrate sein, die abgefertigt werden kann? Wie groß ist der Füllstand der Warteschlange bei Ankunft? Wie groß ist Wartezeit in der Warteschlange? Wie hoch ist die Abfertigungsdauer? Wie groß ist Verweilzeit im System (Warten + Abfertigung)? Prozentsatz abgewiesener Kunden? Wo sind die Flaschenhälse im System? Lohnt es sich, eine zweite Bedieneinheit zu spendieren? Wie verhält sich das System bei Überlast? (15)
  • 16. M|M|1-System (5) Was ist unter dem Ausnutzungsfaktor ρ zu verstehen? Welche Bedingungen müssen für ρ bei einem stabilen System eingehalten werden? (16)
  • 17. M|M|1-System (6) Ausnutzungsfaktor: Verhältnis der „Arbeit“, die beim System eintrifft zu der Rate (Kapazität) mit der das System die Arbeit bewältigen kann die Arbeit eines Kunden entspricht der Zeit in Sekunden, die er bearbeitet werden muss Bei M|M|1-System kann gezeigt werden: λ mittlere Ankunftsrate ρ= = stabil für : 0 ≤ ρ < 1 μ mittlere Bedienrate Wenn die Bedienrate größer ist, als die Ankunftsrate, dann wird der Warteschlangeninhalt nicht über alle Grenzen wachsen (17)
  • 18. Ankunftsrate / Bedienrate (1) Die mittlere Ankunftsrate und Bedienrate sind statistische Variablen d.h. werden durch Zufallsprozesse bestimmt. Wie werden statistische Variablen (bzw. deren Eigenschaften) beschrieben? (18)
  • 19. Beschreibung einer stetigen Zufallsvariablen X Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen X kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl xi ist. Sie ist aufgrund der Eigenschaften von P eine auf das Intervall beschränkte, nicht abnehmende Funktion. xi ∫ f (t)dt F ( x)kont = P( X ≤ xi ) = Verteilungsfunktion: −∞ f (t ) Dichtefunktion: (19)
  • 20. Beschreibung einer diskreten Zufallsvariablen X Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=xi) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen X gleich einer vorgegebenen Zahl xi ist. (∑pi =1) P(X = xi ) = pi Wahrscheinlichkeitsfunktion: i xi F ( x)diskret = P( X ≤ xi ) = ∑P( X = i) Verteilungsfunktion: i =1 Merke: bei diskreten ZV: Wahrscheinlichkeitsfunktion! bei stetigen ZV: Dichtefunktion! (20)
  • 21. Mittelwert und Varianz Beschreibung von Zufallsvariablen (hier diskret): m ∑ X d is k r e t = p i ⋅x i Mittelwert, Erwartungswert: i =1 +∞ ∫ = x ⋅ f ( x )dx X kont −∞ Quadrat der Abweichung vom Mittelwert σ diskret 2 = ∑ pi ⋅( xi − X diskret ) 2 Varianz: i +∞ (zentrales Moment zweiter 2 ∫ (x − X σ kont = ) ⋅ f ( x ) dx 2 Ordnung) kont −∞ (21)
  • 22. Kontinuierliches Beispiel Beispiel Exponentialverteilung: (22) Achtung, dieses Lamda hat noch nichts mit der Ankunftsrate zu tun!
  • 23. Diskretes Beispiel Beispiel Würfel: P ( X = xi ) 1 P = 1/6 0 1 2 3 4 5 6 x F(x) 1 q 0 1 2 3 4 5 6 x (23)
  • 24. M|M|1-System (1) In der Praxis wird häufig ein M|M|1-System zur Performance Betrachtung verwendet. Was versteht man unter einem M|M|1-System und welche Vorteile bietet es? (24)
  • 25. Ankunftsrate / Bedienrate (2) mittlere Ankunftsrate λ abhängig von den Zeitpunkten, wann die Pakete von einer höheren Schicht an die MAC übergeben werden abhängig von der Generierung der Pakete in höheren Schichten (Verkehrsart und Protokolle: WWW, FTP, TCP, UDP) mittlere Bedienrate µ abhängig von den Dauern bei der „Bearbeitung“ der Pakete Bearbeitung hier Bits auf Medium geben Einfluss des MAC-Protokolls (25)
  • 26. M|M|1-System (2) Kendall-Notation für Wartesysteme A|B|m|n A := Verteilung der Zwischenankunftszeiten B := Verteilung der Bearbeitungszeiten m := Anzahl der Bedieneinheiten n := Anzahl der Warteplätze Parameter für A,B M := exponentielle Verteilung (Markov) E := r-stufige Erlangverteilung H := r-stufige hyperexponentielle Verteilung D := deterministisch G := allgemeine Verteilung Beispiel: M|D|4|10 (26)
  • 27. M|M|1-System (3) b(t ) = μe − μ t Exponentiell verteilte Bediendauern: Exponentiell verteilte Ankunftsabstände: a (t ) = λe − λt 1 Bedieneinheit, unendlich viele Warteplätze Vorteil System einfach mit Hilfe der Verkehrstheorie zu berechnen (vgl. Kapitel 4.3,22-27) Problem mit Markov-Ketten beschreibbar aus Gleichungen der Markov-Ketten -> Wahrscheinlichkeiten des Systems (z.B. Kunden im System) errechenbar Erwartungswert berechnen –> mittlere Anzahl Kunden im System (27)
  • 28. M|M|1-System (4) Es wird ein Medium betrachtet, dass eine konstante Datenrate (Bits/sec) übertragen kann. Die MAC eines Systems gibt die Pakete sofort auf das Medium (kein Einfluss auf Bedienverhalten). Wie müssen die Längen der Pakete gestaltet sein, damit es als M|M|1-System betrachtet werden kann? (28)
  • 29. M|M|1-System (5) Die Paketlängen müssen exponentiell verteilt sein, da so die Bedienzeit exponentiell verteilt ist. tb1 tb2 tb3 tb4 Bedienzeiten Quelle ta34 ta12 ta23 Zwischenankunftszeiten Zeit t4 t3 t1 t2 Ankunftszeiten 1 λ= mittlere Zwischenankunftszeit: t a mittlere Ankunftsrate: ta 1 μ= mittlere Bedienzeit: tb mittlere Bedienrate: tb (29)
  • 30. Poissonverteilung Die Poissonverteilung kann aus der Exponentialverteilung abgeleitet werden. Definition: Sind beliebige Ereignisse voneinander unabhängig und gleichverteilt und gibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Ereignisse im Intervall t an, dann ist X poissonverteilt. (λ ⋅ t ) −λ⋅t k P( X = k ) = pk = ⋅e k! λ: Rate, mit der die Ereignisse eintreten E ( x) = λ ⋅ t Mittelwert σ = λ ⋅t 2 und Varianz (30)
  • 31. M|M|1-System (7) Geben Sie mit Hilfe von ρ die Wahrscheinlichkeit pk an, dass sich k Kunden in einem M|M|1-System befinden! Wie kann aus der Wahrscheinlichkeit auf auf die mittlere Anzahl an Kunden Nk im System geschlossen werden? (31)
  • 32. M|M|1-System (6) aus Markov-Kette für MM1 System (vgl. 4.3, S.23-24): pk = (1 − ρ ) ⋅ ρ k für : 0 ≤ ρ < 1 aus Mittelwertberechnung: ρ ∞ N k = lim E{N (t )} = ∑ n ⋅ pn = N k = 1− ρ t →∞ n =0 mittlere Anzahl Kunden im System nun könnte man weitermachen… mit Little‘s Law λ ⋅ T = N ρ Nk 1 k T= = = durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System T ist: λ λ (1 − ρ ) μ −λ (32)
  • 33. M|M|1-System (9) Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf der mittleren Anzahl an Kunden Nk in einem M|M|1-System über ρ ! ρ Nk = 1− ρ (33)
  • 34. M|M|1-System (10) 20 15 Durchschn. Anz. N 10 5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rho (34)
  • 35. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung (1) Zeigen Sie, wie sich die mittlere Verzögerungszeit verändert, wenn statt einem M|M|1-System, N M|M|1- Systeme auf den gleichen Kanal zugreifen, wenn dieser in N Teil-Kanäle aufgeteilt wird! Vergleiche Vorlesung Folie 7.3.10 „average transfer delay of the TDMA system with fixed assignment“ (35)
  • 36. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung (2) statische Kanalzuordnung Multiplexen Kanal wird in N (konstant große) Teile zerlegt Jeder Benutzer eigenen Kanalanteil -> keine Überschneidungen Verfügbare Datenrate wird in konstanten Anteilen verteilt Beispiel Frequenzmultiplex Zeitmultiplex Code-Multiplex (36)
  • 37. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung (3) Annahme: M|M|1-System es gilt: ρ λ Def. Little‘s Law: ρ= N= N = λ ⋅T μ 1− ρ μKanal λges T mittlere Verweilzeit im System N mittlere Anzahl Kunden im System ρ (37) Ausnutzungsfaktor
  • 38. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung (3) ρ mit N = N = λ ⋅T und 1− ρ λ 1 ρ μ μ 1 λ ⋅T = T= = = λ μ −λ λ 1− ρ 1− 1− μ μ T mittlereVerweilzeit im System N mittlere Anzahl Kunden im System ρ (38) Ausnutzungsfaktor
  • 39. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung (4) Multiplexing Pakete werden nicht in einem einzigen System verarbeitet, sondern in N Teilsystemen, deren Bedieneinheiten um den Faktor N geringere Datenraten bearbeiten müssen. auch die Ankunftsrate der Teilsysteme ist um den Faktor N geringer (39)
  • 40. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung (3) λ/N μ/N λ 1 λ/N μ/N 2 λ/N μ/N 3 λ/N μ/N N Dadurch ergibt sich für die mittlere Bearbeitungszeit der Pakete im System: 1 1 Tmux = =N = N ⋅T μ λ μ −λ − N N (40)
  • 41. Random Access vs. Statisches Multiplexing (1) Welches MAC-Zugriffsprinzip ist bei hoher Auslastung eines Systems vorteilhafter: Random Access oder statisches Multiplexing? – und bei geringer Last? 0.01 persistent CSMA 1.0 0.9 nonpersistent CSMA 0.8 0.7 S (Throughput) 0.6 0.1 persistent CSMA 0.5 0.4 0.3 slotted 0.5 persistent CSMA 0.2 1 persistent CSMA ALOHA 0.1 pure ALOHA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 G (offered traffic) (41)
  • 42. Random Access vs. Statisches Multiplexing (1) Vollast: statisches Multiplexing keine Kollisionen und Konkurrrenz vorhersagbare Zugriffszeiten geringer Overhead geringe Last: Random Access kürzere Zugriffszeiten, da kein Warten auf Slot komplette Kanalkapazität kann verwendet werden, daher schnellere Übertragung (42)