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Einf¨hrung
                   u
       Großraum GADTs
     Beispiele f¨r GADTs
                u
     Schlußbetrachtungen




                    GADTs
 Generalisierte Algebraische Datentypen


Sven Urbanski (svenurbanski@gmail.com)



Haskell User Group Hamburg 19.04.2012




                                          1
Einf¨hrung
                                u
                    Großraum GADTs
                  Beispiele f¨r GADTs
                             u
                  Schlußbetrachtungen

1   Einf¨hrung
        u
      Motivation
      ADTs
2   Großraum GADTs
      Phantomtypen
      Typeinschr¨nkungen
                  a
      Erweiterung der R¨ckgabetypen
                        u
3   Beispiele f¨r GADTs
               u
      Sichere Listen
      Gemischte Listen
      Abstrakte Syntaxb¨ume
                        a
      Vektoren
4   Schlußbetrachtungen
      Fazit
      Verwandtes: Associated Types
      Verwandtes: Dependent Types
                                         2
Einf¨hrung
                                 u
                     Großraum GADTs       Motivation
                   Beispiele f¨r GADTs
                              u           ADTs
                   Schlußbetrachtungen


Motivation



  Generalisierte Algebraische Datentypen
  (GADT, [g2t]) bieten:
   ⇒ Formulierung von Invarianten im Typsystem
   ⇒ Zus¨tzliche Typchecks
        a
   ⇒ weniger Laufzeitfehler




                                                       3
Einf¨hrung
                                  u
                      Großraum GADTs       Motivation
                    Beispiele f¨r GADTs
                               u           ADTs
                    Schlußbetrachtungen


ADT


  ⇒ Algebraische Datentypen
    ([a:de:te:] auch Summen-Datentypen):
 Beispiel:
  1   data X = X1 A | X2 B | ...



  ⇒ X ist der ADT
    X1, X2, ... sind Konstruktorfunktionen
    X ≈ die Menge aller Werte aus A, B, . . .
    X ≈ {a1, a2, a3, . . . , b1, b2, b3, . . .}
    |X | = |A| + |B| + . . .


                                                        4
Einf¨hrung
                                    u
                        Großraum GADTs       Motivation
                      Beispiele f¨r GADTs
                                 u           ADTs
                      Schlußbetrachtungen


Anwendungsf¨lle
           a



   ⇒ beliebig viele
   ⇒ uberall, wo im Datentyp verschiedene F¨lle unterschieden
     ¨                                     a
     werden
  Beispiel:
   1   data Expr = IExpr Int
   2             | BExpr Bool
   3             | AndExpr Expr Expr




                                                                5
Einf¨hrung
                                   u
                                            Phantomtypen
                       Großraum GADTs
                                            Typeinschr¨nkungen
                                                      a
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u
                                            Erweiterung der R¨ckgabetypen
                                                             u
                     Schlußbetrachtungen


Phantomtypen


  Normale Typparameter:
   1   data List a = Nil
   2               | Cons a (List a)



  Typparameter, die scheinbar nicht genutzt werden:
   1   data PList a b = PNil
   2                  | PCons a (PList a b)




                                                                            6
Einf¨hrung
                                   u
                                            Phantomtypen
                       Großraum GADTs
                                            Typeinschr¨nkungen
                                                      a
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u
                                            Erweiterung der R¨ckgabetypen
                                                             u
                     Schlußbetrachtungen


Phantomtypen

  Zur Erinnerung:
   1   data PList a b = PNil
   2                  | PCons a (PList a b)



  Vorteil: Listen mit unterschiedlicher Semantik k¨nnen nicht mehr
                                                  o
  gemischt werden
  Beispiel:
   1   data Euro = ...
   2   data USD = ...
   3   euroToUsd :: PList a Euro -> PList a USD




                                                                            7
Einf¨hrung
                                   u
                                            Phantomtypen
                       Großraum GADTs
                                            Typeinschr¨nkungen
                                                      a
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u
                                            Erweiterung der R¨ckgabetypen
                                                             u
                     Schlußbetrachtungen


Einschr¨nkungen der Typparameter
       a


  In Java:
   1   interface NumList<A>
   2   class NCons<A extends Number> implements NumList<A>
   3   class NNil ...



  In Haskell:
   1   data NumList a = NNil
   2                  | Num a => NCons a (NumList a)




                                                                            8
Einf¨hrung
                                   u
                                            Phantomtypen
                       Großraum GADTs
                                            Typeinschr¨nkungen
                                                      a
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u
                                            Erweiterung der R¨ckgabetypen
                                                             u
                     Schlußbetrachtungen


Syntax GADTs

  Alte Syntax (ADTs):
   1   data List a = Nil
   2               | Cons a (List a)



  Neue Syntax:
   1   data List a where
   2     Nil :: List a
   3     Cons :: a -> (List a) -> List a



  Nil ist eine Funktion ohne Parameter.
  Cons ist eine Funktion mit zwei Parametern.
  Gemeinsamkeiten?
                                                                            9
Einf¨hrung
                                           u
                                                      Phantomtypen
                               Großraum GADTs
                                                      Typeinschr¨nkungen
                                                                a
                             Beispiele f¨r GADTs
                                        u
                                                      Erweiterung der R¨ckgabetypen
                                                                       u
                             Schlußbetrachtungen


Erweiterung durch GADTs


  Willk¨rliche Beispiele:
       u
   1   Cons1   ::   a   ->   (List   a)   ->   List    a
   2   Cons2   ::   a   ->   (List   a)   ->   List    (a,a)
   3   Cons3   ::   a   ->   (List   a)   ->   List    (List a)
   4   Cons4   ::   a   ->   (List   a)   ->   a --    err



   ⇒ Welchen Vorteil bringt das?
   ⇒ Mehr Typchecks
   ⇒ Aber wie sinnvoll einsetzen?



                                                                                      10
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Sichere Listen


   ⇒ Was bedeutet “sicher”?
   ⇒ Typ-Unterscheidung zur Compilezeit:
     Leere / Nicht leere Listen (genauer: L¨nge der Liste)
                                           a
   ⇒ Sinnvoll f¨r partiell definierte Funktionen wie head und tail
               u

  Beispiel:
   1   data Safe a = Safe a
   2   data NotSafe = NotSafe
   3   data SafeList a b where
   4     Nil :: SafeList a NotSafe
   5     Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)




                                                                    11
Einf¨hrung
                                       u        Sichere Listen
                           Großraum GADTs       Gemischte Listen
                         Beispiele f¨r GADTs
                                    u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                                 a
                         Schlußbetrachtungen    Vektoren


Typ von sicheren Listen

  Zur Erinnerung:
   1   data SafeList a b where
   2     Nil :: SafeList a NotSafe
   3     Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)



  Bedeutung der Typparameter:
   1   SafeList   a   NotSafe                        --   leere Liste
   2   SafeList   a   (Safe NotSafe)                 --   Laenge == 1
   3   SafeList   a   (Safe b)                       --   Laenge >= 1
   4   SafeList   a   (Safe (Safe NotSafe))          --   Laenge == 2
   5   SafeList   a   (Safe (Safe b))                --   Laenge >= 2
   6   SafeList   a   b                              --   Laenge beliebig
   7   ...                                           --   Laenge n ???
   8



                                                                            12
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Funktionen mit sicheren Listen: safeHead


  Zur Erinnerung:
   1   data SafeList a b where
   2     Nil :: SafeList a NotSafe
   3     Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)



  Sicher:
   1   safeHead :: SafeList a (Safe b) -> a
   2   safeHead (Cons x _) = x
   3   -- safeHead Nil = ???




                                                                    13
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Funktionen mit sicheren Listen: unsafeHead


  Zur Erinnerung:
   1   data SafeList a b where
   2     Nil :: SafeList a NotSafe
   3     Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)



  Unsicher:
   1   unsafeHead :: SafeList a b -> a
   2   unsafeHead (Cons x _) = x
   3   unsafeHead Nil = error "error in head!"




                                                                    14
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Funktionen mit sicheren Listen: tail


  Zur Erinnerung:
   1   data SafeList a b where
   2     Nil :: SafeList a NotSafe
   3     Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)



  Beispiel:
   1   safeTail :: SafeList a (Safe b) -> SafeList a b
   2   safeTail (Cons _ t) = t




                                                                    15
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Funktionen mit sicheren Listen: access


  Zur Erinnerung:
   1   data SafeList a b where
   2     Nil :: SafeList a NotSafe
   3     Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)



  Sicherer Zugriff?
   1   accessN :: Int
   2              -> SafeList a (Safe (Safe (Safe ...)))
   3              -> a




                                                                    16
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Funktionen mit sicheren Listen: map/fold

   ⇒ Was ist mit total definierten Funktionen wie map oder fold?
   ⇒ Kein Problem!
  map:
   1   safeMap :: SafeList a c -> (a -> b) -> SafeList b c
   2   safeMap (Cons e t) f = Cons (f e) (safeMap t f)
   3   safeMap (Nil) _ = Nil



  fold:
   1   fold :: (a -> b -> a) -> a -> SafeList b c -> a
   2   fold f start (Nil) = start
   3   fold f start (Cons e t) = fold f (f start e) t



                                                                    17
Einf¨hrung
                                     u        Sichere Listen
                         Großraum GADTs       Gemischte Listen
                       Beispiele f¨r GADTs
                                  u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                               a
                       Schlußbetrachtungen    Vektoren


Funktionen mit sicheren Listen: zip

  Zur Erinnerung:
   1     data SafeList a b where
   2       Nil :: SafeList a NotSafe
   3       Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)



  zip:
   1     safeZip :: SafeList a len -> SafeList b len
   2             -> SafeList (a,b) len
   3     safeZip Nil Nil = Nil
   4     safeZip (Cons e1 l1) (Cons e2 l2) =
   5         Cons (e1,e2) (safeZip l1 l2)




                                                                      18
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Funktionen mit sicheren Listen: Konvertierung 1


  Zur Erinnerung:
   1   data SafeList a b where
   2     Nil :: SafeList a NotSafe
   3     Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)



  Unsichere Liste → Sichere Liste
   1   makeSafe1 :: SafeList a b
   2                -> Maybe (SafeList a (Safe b))
   3   makeSafe1 Nil = Nothing
   4   makeSafe1 (Cons e l) = Just (Cons e l) --- ???




                                                                    19
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Funktionen mit sicheren Listen: Konvertierung 2


  Zur Erinnerung:
   1   data SafeList a b where
   2     Nil :: SafeList a NotSafe
   3     Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b)



  Sichere Liste → Unsichere Liste
   1   makeUnsafe :: SafeList a (Safe b)
   2                 -> SafeList a b
   3   makeUnsafe (Cons e l) = Cons e l -- ???



  Sinnvoll?

                                                                    20
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Gemischte Listen


  Idee: Verschiedene Typen in einer Liste
  Beispiel:
   1   data MixList a b where
   2     MNil :: MixList a ()
   3     MCons :: (Show c, Show b) =>
   4           a -> MixList b c -> MixList a (MixList b c)



   ⇒ a ist der Typ des ersten Elements
   ⇒ b ist der Typ der Restliste



                                                                    21
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Gemischte Listen

  Zur Erinnerung:
   1   data MixList a b where
   2     MNil :: MixList a ()
   3     MCons :: (Show c, Show b) =>
   4           a -> MixList b c -> MixList a (MixList b c)



  Beispiel:
   1   > MCons 42 (MCons "hallo" MNil)
   2   42 : "hallo" : []
   3   > :t MCons 42 (MCons "hallo" MNil)
   4   MixList t (MixList [Char] (MixList b ()))




                                                                    22
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Unsichere Ausdrucksb¨ume (ADT)
                    a
  ADT:
   1   data Expr = IntLiteral Int
   2             | BoolLiteral Bool
   3             | AndExpr Expr Expr
   4   inv :: Expr -> Bool
   5   inv (BoolLiteral _) = True
   6   inv (IntLiteral _) = True
   7   inv (AndExpr l r)    = isInt l && isInt r
   8                          ‘or‘ isBool l && isBool r
   9   -- isBool, isInt ...



   ⇒ Umst¨ndliche Definition der Invariante (bei vielen
           a
     Konstruktorfunktionen)
   ⇒ Kann mit ADT nur zur Laufzeit uberpr¨ft werden
                                      ¨     u
   ⇒ Ziel: Invariante durch Compiler uberpr¨fen lassen
                                     ¨     u
                                                                    23
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Sichere Ausdrucksb¨ume (GADT)
                  a


  GADT:
   1   data Expr a where
   2     I     :: Int -> Expr Int
   3     B     :: Bool -> Expr Bool
   4     And   :: Expr Bool -> Expr Bool -> Expr Bool



   ⇒ Invariante?
   ⇒ Langweilig: Ausdrucksb¨ume bestehen nur aus Ints oder nur
                           a
     aus Bools
   ⇒ Erweiterung: Vergleich und Addition


                                                                    24
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Sichere Ausdrucksb¨ume (GADT)
                  a


  Erweiterung:
   1   data Expr a where
   2     I     :: Int -> Expr Int
   3     B     :: Bool -> Expr Bool
   4     And   :: Expr Bool -> Expr Bool -> Expr Bool
   5     Equal :: (Show a, Eq a) =>
   6              Expr a -> Expr a -> Expr Bool
   7     Add   :: Expr Int -> Expr Int -> Expr Int



   ⇒ Mischung von Ints und Bools und Invariante erf¨llt
                                                   u



                                                                    25
Einf¨hrung
                                     u        Sichere Listen
                         Großraum GADTs       Gemischte Listen
                       Beispiele f¨r GADTs
                                  u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                               a
                       Schlußbetrachtungen    Vektoren


Sichere Ausdrucksb¨ume: eval
                  a
  Zur Erinnerung:
   1   data Expr a where
   2     I     :: Int -> Expr Int
   3     B     :: Bool -> Expr Bool
   4     And   :: Expr Bool -> Expr Bool -> Expr Bool
   5     Equal :: Eq a => Expr a -> Expr a -> Expr Bool
   6     Add   :: Expr Int -> Expr Int -> Expr Int



  Auswertung:
   1   eval   :: Expr a -> a
   2   eval   (I i)       = i
   3   eval   (B b)       = b
   4   eval   (And l r)   = eval l && eval r
   5   eval   (Equal l r) = eval l == eval r
   6   eval   (Add l r)   = eval l + eval r


                                                                      26
Einf¨hrung
                                     u        Sichere Listen
                         Großraum GADTs       Gemischte Listen
                       Beispiele f¨r GADTs
                                  u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                               a
                       Schlußbetrachtungen    Vektoren


Sichere Ausdrucksb¨ume: optimize
                  a

  Zur Erinnerung:
   1   data Expr a where
   2     I     :: Int -> Expr Int
   3     B     :: Bool -> Expr Bool
   4     And   :: Expr Bool -> Expr Bool -> Expr Bool
   5     Equal :: Eq a => Expr a -> Expr a -> Expr Bool
   6     Add   :: Expr Int -> Expr Int -> Expr Int



  optimize:
   1   optimize   :: Expr a -> Expr a
   2   optimize   (And (B True) r) = optimize r
   3   optimize   (And l r) = And (optimize l) (optimize r)
   4   optimize   x = x



                                                                      27
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Vektoren
  Beispiel:
   1   data Zero
   2   data Next a
   3   data Vec e n where
   4     NullVec :: Vec e Zero
   5     NextVec :: e -> Vec e n -> Vec e (Next n)



  Konvertierung:
   1   v2l :: Vec e n -> [e]
   2   v2l NullVec = []
   3   v2l (NextVec e l) = e : v2l l
   4
   5   l2v :: [e] -> Vec e n
   6   l2v []    = NullVec
   7   l2v (e:l) = NextVec e (l2v l) -- ???


                                                                    28
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Vektorfunktionen: Skalarprodukt

  Zur Erinnerung:
   1   data Zero
   2   data Next a
   3   data Vec e n where
   4     NullVec :: Vec e Zero
   5     NextVec :: e -> Vec e n -> Vec e (Next n)



  Skalarprodukt:
   1   dot :: Vec Int n -> Vec Int n -> Int
   2   dot NullVec NullVec = 0
   3   dot (NextVec e1 l1) (NextVec e2 l2) = e1 * e2 + dot l1 l2




                                                                    29
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Vektorfunktionen: Konkatenation

  Zur Erinnerung:
   1   data Zero
   2   data Next a
   3   data Vec e n where
   4     NullVec :: Vec e Zero
   5     NextVec :: e -> Vec e n -> Vec e (Next n)



  Konkatenation:
   1   concatV :: Vec e n1 -> Vec e n2 -> Vec e n3 -- ???
   2   concatV NullVec x         = x
   3   concatV (NextVec e1 l1) x = NextVec e1 (concatV l1 x)




                                                                    30
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Vektoren – zweiter Versuch:


  Beispiel:
   1   data Wec e n where
   2     Wec :: [e] -> Wec e n



  Konvertierung:
   1   w2l :: Wec e n -> [e]
   2   w2l (Wec l) = l
   3
   4   l2w :: [e] -> Wec e n
   5   l2w l = Wec l




                                                                    31
Einf¨hrung
                                   u        Sichere Listen
                       Großraum GADTs       Gemischte Listen
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                             a
                     Schlußbetrachtungen    Vektoren


Vektoren – zweiter Versuch: Invariante


  Zur Erinnerung:
   1   data Wec e n where
   2     Wec :: [e] -> Wec e n



  Eigene Konstruktorfunktion:
   1   w3 :: [e] -> Wec e (Next (Next (Next Zero)))
   2   w3 e = assert (length e == 3) (Wec e)




                                                                    32
Einf¨hrung
                                       u        Sichere Listen
                           Großraum GADTs       Gemischte Listen
                         Beispiele f¨r GADTs
                                    u           Abstrakte Syntaxb¨ume
                                                                 a
                         Schlußbetrachtungen    Vektoren


Vektoren – dritter Versuch:



  Beispiel:
   1   data WecN   e   n where
   2     Wec1 ::   e   -> WecN e (Next Zero)
   3     Wec2 ::   e   -> e -> WecN e (Next (Next Zero))
   4     Wec3 ::   e   -> e -> e -> WecN e (Next (Next (Next Zero)))
   5     -- ...



   ≈ Praktikabel?




                                                                        33
Einf¨hrung
                                     u
                                              Fazit
                         Großraum GADTs
                                              Verwandtes: Associated Types
                       Beispiele f¨r GADTs
                                  u
                                              Verwandtes: Dependent Types
                       Schlußbetrachtungen


Fazit



    + Mehr Typsicherheit
    + Weniger Laufzeitfehler
    + Geschicktere Invarianten
    + Partielle Funktion ⇒ totale Funktion
    ≈ . . . aber nicht alle
    ≈ Nur bei bestimmten Datenstrukturen sinnvoll einsetzbar




                                                                             34
Einf¨hrung
                                   u
                                            Fazit
                       Großraum GADTs
                                            Verwandtes: Associated Types
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u
                                            Verwandtes: Dependent Types
                     Schlußbetrachtungen


Associated Types (1)

     ⇒ Funktionen uber Typen
                  ¨
     ⇒ Erweiterung von Typklassen

Herk¨mmliche Num-Typklasse:
    o                                       Neue Num-Typklasse:
 1   class Num a where                        1   class MyNum a b where
 2     (+++) :: a -> a -> a                   2     type Sum a b :: *
 3                                            3     (+++) :: a -> b -> Sum a b
 4                                            4
 5   instance Num Int where                   5   instance MyNum Int Int where
 6     (+++) x y = x + y                      6     type Sum Int Int = Int
 7                                            7     (+++) x y = x + y



     ⇒ Sum ist eine Funktion mit 2 Typen als Parameter und einem
       Typ als R¨ckgabewert
                u
                                                                                 35
Einf¨hrung
                                   u
                                            Fazit
                       Großraum GADTs
                                            Verwandtes: Associated Types
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u
                                            Verwandtes: Dependent Types
                     Schlußbetrachtungen


Associated Types (2)

  Zur Erinnerung:
   1   class MyNum a b where
   2     type Sum a b :: *
   3     (+++) :: a -> b -> Sum a b



  MyNum Float Int:
   1   instance Integral a => MyNum Float a where
   2       type Sum Float a = Float
   3       (+++) x y = x + intToFloat y



   ⇒ Floats und Ints addieren!
   ≈ Ints und Floats?
                                                                           36
Einf¨hrung
                                   u
                                            Fazit
                       Großraum GADTs
                                            Verwandtes: Associated Types
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u
                                            Verwandtes: Dependent Types
                     Schlußbetrachtungen


Associated Types (3)

  Zur Erinnerung:
   1   class MyNum a b where
   2     type Sum a b :: *
   3     (+++) :: a -> b -> Sum a b



  MyNum Int Float:
   1   instance Integral a => MyNum a Float where
   2       type Sum a Float = Float
   3       (+++) x y = y +++ x



   ⇒ nun ist +++ kommutativ!

                                                                           37
Einf¨hrung
                                u
                                         Fazit
                    Großraum GADTs
                                         Verwandtes: Associated Types
                  Beispiele f¨r GADTs
                             u
                                         Verwandtes: Dependent Types
                  Schlußbetrachtungen


Dependent Types (1)




   ⇒ Typen, die von Werten abh¨ngen
                              a
   ⇒ Agda




                                                                        38
Einf¨hrung
                                    u
                                             Fazit
                        Großraum GADTs
                                             Verwandtes: Associated Types
                      Beispiele f¨r GADTs
                                 u
                                             Verwandtes: Dependent Types
                      Schlußbetrachtungen


Dependent Types (2)



  Willk¨rliches Beispiel:
       u
  q : ΣN (λx → if x = 1 then N else Bool)

  Werte f¨r q:
         u
  q = 4, true
  q = 1, 42




                                                                            39
Einf¨hrung
                                   u
                                            Fazit
                       Großraum GADTs
                                            Verwandtes: Associated Types
                     Beispiele f¨r GADTs
                                u
                                            Verwandtes: Dependent Types
                     Schlußbetrachtungen


Dependent Types (3)



   ⇒ noch genauere Typ¨berp¨fungen / Invarianten
                      u    u
     z.B.:
          Vektoren (auch mit GADTs)
          Matrizen (m × n → n × o → m × o)
          Bin¨re B¨ume (links < mitte < rechts)
             a    a
   ≈ Vermischung Typ/Wert
   ≈ Endlosschleifen im Typsystem
   ≈ Typgleichheit




                                                                           40

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GADTs Einführung

  • 1. Einf¨hrung u Großraum GADTs Beispiele f¨r GADTs u Schlußbetrachtungen GADTs Generalisierte Algebraische Datentypen Sven Urbanski (svenurbanski@gmail.com) Haskell User Group Hamburg 19.04.2012 1
  • 2. Einf¨hrung u Großraum GADTs Beispiele f¨r GADTs u Schlußbetrachtungen 1 Einf¨hrung u Motivation ADTs 2 Großraum GADTs Phantomtypen Typeinschr¨nkungen a Erweiterung der R¨ckgabetypen u 3 Beispiele f¨r GADTs u Sichere Listen Gemischte Listen Abstrakte Syntaxb¨ume a Vektoren 4 Schlußbetrachtungen Fazit Verwandtes: Associated Types Verwandtes: Dependent Types 2
  • 3. Einf¨hrung u Großraum GADTs Motivation Beispiele f¨r GADTs u ADTs Schlußbetrachtungen Motivation Generalisierte Algebraische Datentypen (GADT, [g2t]) bieten: ⇒ Formulierung von Invarianten im Typsystem ⇒ Zus¨tzliche Typchecks a ⇒ weniger Laufzeitfehler 3
  • 4. Einf¨hrung u Großraum GADTs Motivation Beispiele f¨r GADTs u ADTs Schlußbetrachtungen ADT ⇒ Algebraische Datentypen ([a:de:te:] auch Summen-Datentypen): Beispiel: 1 data X = X1 A | X2 B | ... ⇒ X ist der ADT X1, X2, ... sind Konstruktorfunktionen X ≈ die Menge aller Werte aus A, B, . . . X ≈ {a1, a2, a3, . . . , b1, b2, b3, . . .} |X | = |A| + |B| + . . . 4
  • 5. Einf¨hrung u Großraum GADTs Motivation Beispiele f¨r GADTs u ADTs Schlußbetrachtungen Anwendungsf¨lle a ⇒ beliebig viele ⇒ uberall, wo im Datentyp verschiedene F¨lle unterschieden ¨ a werden Beispiel: 1 data Expr = IExpr Int 2 | BExpr Bool 3 | AndExpr Expr Expr 5
  • 6. Einf¨hrung u Phantomtypen Großraum GADTs Typeinschr¨nkungen a Beispiele f¨r GADTs u Erweiterung der R¨ckgabetypen u Schlußbetrachtungen Phantomtypen Normale Typparameter: 1 data List a = Nil 2 | Cons a (List a) Typparameter, die scheinbar nicht genutzt werden: 1 data PList a b = PNil 2 | PCons a (PList a b) 6
  • 7. Einf¨hrung u Phantomtypen Großraum GADTs Typeinschr¨nkungen a Beispiele f¨r GADTs u Erweiterung der R¨ckgabetypen u Schlußbetrachtungen Phantomtypen Zur Erinnerung: 1 data PList a b = PNil 2 | PCons a (PList a b) Vorteil: Listen mit unterschiedlicher Semantik k¨nnen nicht mehr o gemischt werden Beispiel: 1 data Euro = ... 2 data USD = ... 3 euroToUsd :: PList a Euro -> PList a USD 7
  • 8. Einf¨hrung u Phantomtypen Großraum GADTs Typeinschr¨nkungen a Beispiele f¨r GADTs u Erweiterung der R¨ckgabetypen u Schlußbetrachtungen Einschr¨nkungen der Typparameter a In Java: 1 interface NumList<A> 2 class NCons<A extends Number> implements NumList<A> 3 class NNil ... In Haskell: 1 data NumList a = NNil 2 | Num a => NCons a (NumList a) 8
  • 9. Einf¨hrung u Phantomtypen Großraum GADTs Typeinschr¨nkungen a Beispiele f¨r GADTs u Erweiterung der R¨ckgabetypen u Schlußbetrachtungen Syntax GADTs Alte Syntax (ADTs): 1 data List a = Nil 2 | Cons a (List a) Neue Syntax: 1 data List a where 2 Nil :: List a 3 Cons :: a -> (List a) -> List a Nil ist eine Funktion ohne Parameter. Cons ist eine Funktion mit zwei Parametern. Gemeinsamkeiten? 9
  • 10. Einf¨hrung u Phantomtypen Großraum GADTs Typeinschr¨nkungen a Beispiele f¨r GADTs u Erweiterung der R¨ckgabetypen u Schlußbetrachtungen Erweiterung durch GADTs Willk¨rliche Beispiele: u 1 Cons1 :: a -> (List a) -> List a 2 Cons2 :: a -> (List a) -> List (a,a) 3 Cons3 :: a -> (List a) -> List (List a) 4 Cons4 :: a -> (List a) -> a -- err ⇒ Welchen Vorteil bringt das? ⇒ Mehr Typchecks ⇒ Aber wie sinnvoll einsetzen? 10
  • 11. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Sichere Listen ⇒ Was bedeutet “sicher”? ⇒ Typ-Unterscheidung zur Compilezeit: Leere / Nicht leere Listen (genauer: L¨nge der Liste) a ⇒ Sinnvoll f¨r partiell definierte Funktionen wie head und tail u Beispiel: 1 data Safe a = Safe a 2 data NotSafe = NotSafe 3 data SafeList a b where 4 Nil :: SafeList a NotSafe 5 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) 11
  • 12. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Typ von sicheren Listen Zur Erinnerung: 1 data SafeList a b where 2 Nil :: SafeList a NotSafe 3 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) Bedeutung der Typparameter: 1 SafeList a NotSafe -- leere Liste 2 SafeList a (Safe NotSafe) -- Laenge == 1 3 SafeList a (Safe b) -- Laenge >= 1 4 SafeList a (Safe (Safe NotSafe)) -- Laenge == 2 5 SafeList a (Safe (Safe b)) -- Laenge >= 2 6 SafeList a b -- Laenge beliebig 7 ... -- Laenge n ??? 8 12
  • 13. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Funktionen mit sicheren Listen: safeHead Zur Erinnerung: 1 data SafeList a b where 2 Nil :: SafeList a NotSafe 3 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) Sicher: 1 safeHead :: SafeList a (Safe b) -> a 2 safeHead (Cons x _) = x 3 -- safeHead Nil = ??? 13
  • 14. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Funktionen mit sicheren Listen: unsafeHead Zur Erinnerung: 1 data SafeList a b where 2 Nil :: SafeList a NotSafe 3 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) Unsicher: 1 unsafeHead :: SafeList a b -> a 2 unsafeHead (Cons x _) = x 3 unsafeHead Nil = error "error in head!" 14
  • 15. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Funktionen mit sicheren Listen: tail Zur Erinnerung: 1 data SafeList a b where 2 Nil :: SafeList a NotSafe 3 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) Beispiel: 1 safeTail :: SafeList a (Safe b) -> SafeList a b 2 safeTail (Cons _ t) = t 15
  • 16. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Funktionen mit sicheren Listen: access Zur Erinnerung: 1 data SafeList a b where 2 Nil :: SafeList a NotSafe 3 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) Sicherer Zugriff? 1 accessN :: Int 2 -> SafeList a (Safe (Safe (Safe ...))) 3 -> a 16
  • 17. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Funktionen mit sicheren Listen: map/fold ⇒ Was ist mit total definierten Funktionen wie map oder fold? ⇒ Kein Problem! map: 1 safeMap :: SafeList a c -> (a -> b) -> SafeList b c 2 safeMap (Cons e t) f = Cons (f e) (safeMap t f) 3 safeMap (Nil) _ = Nil fold: 1 fold :: (a -> b -> a) -> a -> SafeList b c -> a 2 fold f start (Nil) = start 3 fold f start (Cons e t) = fold f (f start e) t 17
  • 18. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Funktionen mit sicheren Listen: zip Zur Erinnerung: 1 data SafeList a b where 2 Nil :: SafeList a NotSafe 3 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) zip: 1 safeZip :: SafeList a len -> SafeList b len 2 -> SafeList (a,b) len 3 safeZip Nil Nil = Nil 4 safeZip (Cons e1 l1) (Cons e2 l2) = 5 Cons (e1,e2) (safeZip l1 l2) 18
  • 19. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Funktionen mit sicheren Listen: Konvertierung 1 Zur Erinnerung: 1 data SafeList a b where 2 Nil :: SafeList a NotSafe 3 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) Unsichere Liste → Sichere Liste 1 makeSafe1 :: SafeList a b 2 -> Maybe (SafeList a (Safe b)) 3 makeSafe1 Nil = Nothing 4 makeSafe1 (Cons e l) = Just (Cons e l) --- ??? 19
  • 20. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Funktionen mit sicheren Listen: Konvertierung 2 Zur Erinnerung: 1 data SafeList a b where 2 Nil :: SafeList a NotSafe 3 Cons :: a -> SafeList a b -> SafeList a (Safe b) Sichere Liste → Unsichere Liste 1 makeUnsafe :: SafeList a (Safe b) 2 -> SafeList a b 3 makeUnsafe (Cons e l) = Cons e l -- ??? Sinnvoll? 20
  • 21. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Gemischte Listen Idee: Verschiedene Typen in einer Liste Beispiel: 1 data MixList a b where 2 MNil :: MixList a () 3 MCons :: (Show c, Show b) => 4 a -> MixList b c -> MixList a (MixList b c) ⇒ a ist der Typ des ersten Elements ⇒ b ist der Typ der Restliste 21
  • 22. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Gemischte Listen Zur Erinnerung: 1 data MixList a b where 2 MNil :: MixList a () 3 MCons :: (Show c, Show b) => 4 a -> MixList b c -> MixList a (MixList b c) Beispiel: 1 > MCons 42 (MCons "hallo" MNil) 2 42 : "hallo" : [] 3 > :t MCons 42 (MCons "hallo" MNil) 4 MixList t (MixList [Char] (MixList b ())) 22
  • 23. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Unsichere Ausdrucksb¨ume (ADT) a ADT: 1 data Expr = IntLiteral Int 2 | BoolLiteral Bool 3 | AndExpr Expr Expr 4 inv :: Expr -> Bool 5 inv (BoolLiteral _) = True 6 inv (IntLiteral _) = True 7 inv (AndExpr l r) = isInt l && isInt r 8 ‘or‘ isBool l && isBool r 9 -- isBool, isInt ... ⇒ Umst¨ndliche Definition der Invariante (bei vielen a Konstruktorfunktionen) ⇒ Kann mit ADT nur zur Laufzeit uberpr¨ft werden ¨ u ⇒ Ziel: Invariante durch Compiler uberpr¨fen lassen ¨ u 23
  • 24. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Sichere Ausdrucksb¨ume (GADT) a GADT: 1 data Expr a where 2 I :: Int -> Expr Int 3 B :: Bool -> Expr Bool 4 And :: Expr Bool -> Expr Bool -> Expr Bool ⇒ Invariante? ⇒ Langweilig: Ausdrucksb¨ume bestehen nur aus Ints oder nur a aus Bools ⇒ Erweiterung: Vergleich und Addition 24
  • 25. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Sichere Ausdrucksb¨ume (GADT) a Erweiterung: 1 data Expr a where 2 I :: Int -> Expr Int 3 B :: Bool -> Expr Bool 4 And :: Expr Bool -> Expr Bool -> Expr Bool 5 Equal :: (Show a, Eq a) => 6 Expr a -> Expr a -> Expr Bool 7 Add :: Expr Int -> Expr Int -> Expr Int ⇒ Mischung von Ints und Bools und Invariante erf¨llt u 25
  • 26. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Sichere Ausdrucksb¨ume: eval a Zur Erinnerung: 1 data Expr a where 2 I :: Int -> Expr Int 3 B :: Bool -> Expr Bool 4 And :: Expr Bool -> Expr Bool -> Expr Bool 5 Equal :: Eq a => Expr a -> Expr a -> Expr Bool 6 Add :: Expr Int -> Expr Int -> Expr Int Auswertung: 1 eval :: Expr a -> a 2 eval (I i) = i 3 eval (B b) = b 4 eval (And l r) = eval l && eval r 5 eval (Equal l r) = eval l == eval r 6 eval (Add l r) = eval l + eval r 26
  • 27. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Sichere Ausdrucksb¨ume: optimize a Zur Erinnerung: 1 data Expr a where 2 I :: Int -> Expr Int 3 B :: Bool -> Expr Bool 4 And :: Expr Bool -> Expr Bool -> Expr Bool 5 Equal :: Eq a => Expr a -> Expr a -> Expr Bool 6 Add :: Expr Int -> Expr Int -> Expr Int optimize: 1 optimize :: Expr a -> Expr a 2 optimize (And (B True) r) = optimize r 3 optimize (And l r) = And (optimize l) (optimize r) 4 optimize x = x 27
  • 28. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Vektoren Beispiel: 1 data Zero 2 data Next a 3 data Vec e n where 4 NullVec :: Vec e Zero 5 NextVec :: e -> Vec e n -> Vec e (Next n) Konvertierung: 1 v2l :: Vec e n -> [e] 2 v2l NullVec = [] 3 v2l (NextVec e l) = e : v2l l 4 5 l2v :: [e] -> Vec e n 6 l2v [] = NullVec 7 l2v (e:l) = NextVec e (l2v l) -- ??? 28
  • 29. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Vektorfunktionen: Skalarprodukt Zur Erinnerung: 1 data Zero 2 data Next a 3 data Vec e n where 4 NullVec :: Vec e Zero 5 NextVec :: e -> Vec e n -> Vec e (Next n) Skalarprodukt: 1 dot :: Vec Int n -> Vec Int n -> Int 2 dot NullVec NullVec = 0 3 dot (NextVec e1 l1) (NextVec e2 l2) = e1 * e2 + dot l1 l2 29
  • 30. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Vektorfunktionen: Konkatenation Zur Erinnerung: 1 data Zero 2 data Next a 3 data Vec e n where 4 NullVec :: Vec e Zero 5 NextVec :: e -> Vec e n -> Vec e (Next n) Konkatenation: 1 concatV :: Vec e n1 -> Vec e n2 -> Vec e n3 -- ??? 2 concatV NullVec x = x 3 concatV (NextVec e1 l1) x = NextVec e1 (concatV l1 x) 30
  • 31. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Vektoren – zweiter Versuch: Beispiel: 1 data Wec e n where 2 Wec :: [e] -> Wec e n Konvertierung: 1 w2l :: Wec e n -> [e] 2 w2l (Wec l) = l 3 4 l2w :: [e] -> Wec e n 5 l2w l = Wec l 31
  • 32. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Vektoren – zweiter Versuch: Invariante Zur Erinnerung: 1 data Wec e n where 2 Wec :: [e] -> Wec e n Eigene Konstruktorfunktion: 1 w3 :: [e] -> Wec e (Next (Next (Next Zero))) 2 w3 e = assert (length e == 3) (Wec e) 32
  • 33. Einf¨hrung u Sichere Listen Großraum GADTs Gemischte Listen Beispiele f¨r GADTs u Abstrakte Syntaxb¨ume a Schlußbetrachtungen Vektoren Vektoren – dritter Versuch: Beispiel: 1 data WecN e n where 2 Wec1 :: e -> WecN e (Next Zero) 3 Wec2 :: e -> e -> WecN e (Next (Next Zero)) 4 Wec3 :: e -> e -> e -> WecN e (Next (Next (Next Zero))) 5 -- ... ≈ Praktikabel? 33
  • 34. Einf¨hrung u Fazit Großraum GADTs Verwandtes: Associated Types Beispiele f¨r GADTs u Verwandtes: Dependent Types Schlußbetrachtungen Fazit + Mehr Typsicherheit + Weniger Laufzeitfehler + Geschicktere Invarianten + Partielle Funktion ⇒ totale Funktion ≈ . . . aber nicht alle ≈ Nur bei bestimmten Datenstrukturen sinnvoll einsetzbar 34
  • 35. Einf¨hrung u Fazit Großraum GADTs Verwandtes: Associated Types Beispiele f¨r GADTs u Verwandtes: Dependent Types Schlußbetrachtungen Associated Types (1) ⇒ Funktionen uber Typen ¨ ⇒ Erweiterung von Typklassen Herk¨mmliche Num-Typklasse: o Neue Num-Typklasse: 1 class Num a where 1 class MyNum a b where 2 (+++) :: a -> a -> a 2 type Sum a b :: * 3 3 (+++) :: a -> b -> Sum a b 4 4 5 instance Num Int where 5 instance MyNum Int Int where 6 (+++) x y = x + y 6 type Sum Int Int = Int 7 7 (+++) x y = x + y ⇒ Sum ist eine Funktion mit 2 Typen als Parameter und einem Typ als R¨ckgabewert u 35
  • 36. Einf¨hrung u Fazit Großraum GADTs Verwandtes: Associated Types Beispiele f¨r GADTs u Verwandtes: Dependent Types Schlußbetrachtungen Associated Types (2) Zur Erinnerung: 1 class MyNum a b where 2 type Sum a b :: * 3 (+++) :: a -> b -> Sum a b MyNum Float Int: 1 instance Integral a => MyNum Float a where 2 type Sum Float a = Float 3 (+++) x y = x + intToFloat y ⇒ Floats und Ints addieren! ≈ Ints und Floats? 36
  • 37. Einf¨hrung u Fazit Großraum GADTs Verwandtes: Associated Types Beispiele f¨r GADTs u Verwandtes: Dependent Types Schlußbetrachtungen Associated Types (3) Zur Erinnerung: 1 class MyNum a b where 2 type Sum a b :: * 3 (+++) :: a -> b -> Sum a b MyNum Int Float: 1 instance Integral a => MyNum a Float where 2 type Sum a Float = Float 3 (+++) x y = y +++ x ⇒ nun ist +++ kommutativ! 37
  • 38. Einf¨hrung u Fazit Großraum GADTs Verwandtes: Associated Types Beispiele f¨r GADTs u Verwandtes: Dependent Types Schlußbetrachtungen Dependent Types (1) ⇒ Typen, die von Werten abh¨ngen a ⇒ Agda 38
  • 39. Einf¨hrung u Fazit Großraum GADTs Verwandtes: Associated Types Beispiele f¨r GADTs u Verwandtes: Dependent Types Schlußbetrachtungen Dependent Types (2) Willk¨rliches Beispiel: u q : ΣN (λx → if x = 1 then N else Bool) Werte f¨r q: u q = 4, true q = 1, 42 39
  • 40. Einf¨hrung u Fazit Großraum GADTs Verwandtes: Associated Types Beispiele f¨r GADTs u Verwandtes: Dependent Types Schlußbetrachtungen Dependent Types (3) ⇒ noch genauere Typ¨berp¨fungen / Invarianten u u z.B.: Vektoren (auch mit GADTs) Matrizen (m × n → n × o → m × o) Bin¨re B¨ume (links < mitte < rechts) a a ≈ Vermischung Typ/Wert ≈ Endlosschleifen im Typsystem ≈ Typgleichheit 40