1. Protokolle der OSI-Schicht 2
Performancebetrachtungen (Übung)
Kapitel 7.4
Netze und Protokolle
Dipl.-Wirtsch.-Ing. Henrik Schumacher
Institut für Kommunikationstechnik
www.ikt.uni-hannover.de
2. Aufgaben der MAC (1)
Wiederholung:
In welchen Netzen wird eine MAC-Teilschicht benötigt und
welche Aufgabe erfüllt diese?
(2)
3. Aufgaben der MAC (2)
Netze mit gemeinsam benutzen Medium
(Mehrfachzugriffskanal, gemeinsames Medium: Luft, Draht
usw.)
Protokolle, die bestimmen, wann eine bestimmte Station
in einem Mehrfachzugriffskanal senden darf
Beispiel: Gruppe unterhält sich
(3)
4. Sinn mathematischer Betrachtungen (1)
Aus welchem Grund ist es sinnvoll, für ein Netz
mathematische Berechnungen zur Performance
(Leistungsfähigkeit) durchzuführen?
(4)
5. Sinn mathematischer Betrachtungen (2)
Optimierung und Dimensionierung von Nachrichtennetzen
neue Netze
Schätzung der Angebotsparameter, Definition der Qualitätsparameter,
Ermittlung der Kosten; Design des Netzes, Struktur, Wegewahl ,
Berechnung der Kanalzahlen
existierende Netze
Messung der Angebotsparameter, der realen Qualitätsparameter,
Prüfung der Messwerte gegen die Planwerte (Soll-/Ist-Vergleich),
Anpassung der Netzstruktur
(5)
6. Sinn mathematischer Betrachtungen (3)
ja
Optimierungs-
Schätzung oder Messung
Ende
kriterium
der zu optimierenden
Parameter erfüllt?
nein
Struktur eines Festnetzes
festlegen (Knotenzahl,
Bündelzahl, Leitweglenkung)
Zielfunktion
berechnen
(6)
7. Verlustsysteme / Wartesysteme (1)
Nachrichtensysteme können in Verlustsysteme und
Wartesysteme unterteilt werden.
Erläutern Sie die Begriffe und geben Sie Beispiele!
(7)
8. Verlustsysteme / Wartesysteme (2)
Verlustsystem
ein einfallender Belegungswunsch wird sofort bearbeitet, wenn
die Ressourcen dafür zur Verfügung stehen. Sind alle
Ressourcen belegt, wird der Belegungswunsch abgewiesen, er
geht zu Verlust
Beispiel: Fernsprechnetz
Wartesystem
ein einfallender Bearbeitungswunsch wird in eine Warteschlange
geschrieben und bearbeitet, sobald freie Ressourcen dafür zur
Verfügung stehen. Ein Verlust tritt auf, wenn alle Warteplätze in
der Warteschlange belegt sind und ein weiterer
Bearbeitungswunsch eintrifft
Beispiel: Daten-Endgeräte (paketorientiert), Hotline eines Call-
Centers mit Warteplätzen
(8)
10. Charakteristische Qualitätsparameter (2)
Verlustsystem
Verlust (Blockierungswahrscheinlichkeit), d.h. der
Anteil der Anforderungen, die nicht vom System bearbeitet werden kann
Wartesystem
theoretisches (reines) Wartesystem
Wartewahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit > T
mittlere Wartezeit
reales Wartesystem (Warte-Verlust-System)
wie theoretisches Wartesystem
Verlustwahrscheinlichkeit (Paketverlust)
(10)
11. Wartesysteme (1)
Zeichnen Sie das Modell eines Datenendgerätes, mit
dessen Hilfe mathematische Performance-Betrachtungen
zur MAC möglich sind!
(11)
13. Beispiele aus der Praxis
Supermarkt Bahnhof / Post
Was ist besser ?
Kriterium für “besser” ?
Durchsatz
mittlere Wartezeit
Varianz der Wartezeit (wie ungleich werden (gleichartige) Kunden behandelt)
maximale Wartezeit?
(13)
14. Hilfsmittel: Warteschlangentheorie
(bzw. Verkehrstheorie)
beschäftigt sich mit dem Verhalten von Systemen
Allgemein wird von Kunden im System gesprochen
Pakete in einem Datenkommunikationssystem
Schlange an der Kasse im Supermarkt
Anfragen an einen Dateiserver (Computernetz)
Anrufe in einem Sprachkommunikationssystem (z.B. auch Callcenter)
Die Systeme bestehen aus
Kunden bzw. Anfragen, die das System betreten und wieder verlassen.
Bedieneinheiten bzw. Servern, die bestimmte Aufgaben für die Kunden
erledigen sollen
einem Transportsystem, das bestimmt, wie sich die Kunden bewegen
…
Interessante Größen sind
Durchlaufzeit bzw. Bearbeitungszeit einer Anfrage
Auslastung von Bedieneinheiten
…
(14)
15. Fragestellungen zur Warteschlangentheorie
Antworten auf folgende Fragen können abgeleitet werden:
Wie hoch kann die Ankunftsrate sein, die abgefertigt werden kann?
Wie groß ist der Füllstand der Warteschlange bei Ankunft?
Wie groß ist Wartezeit in der Warteschlange?
Wie hoch ist die Abfertigungsdauer?
Wie groß ist Verweilzeit im System (Warten + Abfertigung)?
Prozentsatz abgewiesener Kunden?
Wo sind die Flaschenhälse im System?
Lohnt es sich, eine zweite Bedieneinheit zu spendieren?
Wie verhält sich das System bei Überlast?
(15)
16. M|M|1-System (5)
Was ist unter dem Ausnutzungsfaktor ρ zu verstehen?
Welche Bedingungen müssen für ρ bei einem stabilen
System eingehalten werden?
(16)
17. M|M|1-System (6)
Ausnutzungsfaktor:
Verhältnis der „Arbeit“, die beim System eintrifft zu der Rate (Kapazität)
mit der das System die Arbeit bewältigen kann
die Arbeit eines Kunden entspricht der Zeit in Sekunden, die er
bearbeitet werden muss
Bei M|M|1-System kann gezeigt werden:
λ mittlere Ankunftsrate
ρ= = stabil für : 0 ≤ ρ < 1
μ mittlere Bedienrate
Wenn die Bedienrate größer ist, als die Ankunftsrate, dann wird
der Warteschlangeninhalt nicht über alle Grenzen wachsen
(17)
18. Ankunftsrate / Bedienrate (1)
Die mittlere Ankunftsrate und Bedienrate sind statistische
Variablen d.h. werden durch Zufallsprozesse bestimmt.
Wie werden statistische Variablen (bzw. deren
Eigenschaften) beschrieben?
(18)
19. Beschreibung einer stetigen
Zufallsvariablen X
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen X kleiner
oder gleich einer vorgegebenen Zahl xi ist.
Sie ist aufgrund der Eigenschaften von P eine auf das
Intervall beschränkte, nicht abnehmende Funktion.
xi
∫ f (t)dt
F ( x)kont = P( X ≤ xi ) =
Verteilungsfunktion:
−∞
f (t )
Dichtefunktion:
(19)
20. Beschreibung einer diskreten
Zufallsvariablen X
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=xi) gibt an, mit
welcher Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen
X gleich einer vorgegebenen Zahl xi ist.
(∑pi =1)
P(X = xi ) = pi
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
i
xi
F ( x)diskret = P( X ≤ xi ) = ∑P( X = i)
Verteilungsfunktion:
i =1
Merke:
bei diskreten ZV: Wahrscheinlichkeitsfunktion!
bei stetigen ZV: Dichtefunktion!
(20)
21. Mittelwert und Varianz
Beschreibung von Zufallsvariablen (hier diskret): m
∑
X d is k r e t = p i ⋅x i
Mittelwert, Erwartungswert:
i =1
+∞
∫
= x ⋅ f ( x )dx
X kont
−∞
Quadrat der Abweichung vom Mittelwert
σ diskret 2 = ∑ pi ⋅( xi − X diskret ) 2
Varianz: i
+∞
(zentrales Moment zweiter 2
∫ (x − X
σ kont = ) ⋅ f ( x ) dx
2
Ordnung)
kont
−∞
(21)
22. Kontinuierliches Beispiel
Beispiel Exponentialverteilung:
(22)
Achtung, dieses Lamda hat noch nichts mit der Ankunftsrate zu tun!
24. M|M|1-System (1)
In der Praxis wird häufig ein M|M|1-System zur
Performance Betrachtung verwendet.
Was versteht man unter einem M|M|1-System und welche
Vorteile bietet es?
(24)
25. Ankunftsrate / Bedienrate (2)
mittlere Ankunftsrate λ
abhängig von den Zeitpunkten, wann die Pakete von einer
höheren Schicht an die MAC übergeben werden
abhängig von der Generierung der Pakete in höheren Schichten
(Verkehrsart und Protokolle: WWW, FTP, TCP, UDP)
mittlere Bedienrate µ
abhängig von den Dauern bei der „Bearbeitung“ der Pakete
Bearbeitung hier
Bits auf Medium geben
Einfluss des MAC-Protokolls
(25)
26. M|M|1-System (2)
Kendall-Notation für Wartesysteme
A|B|m|n
A := Verteilung der Zwischenankunftszeiten
B := Verteilung der Bearbeitungszeiten
m := Anzahl der Bedieneinheiten
n := Anzahl der Warteplätze
Parameter für A,B
M := exponentielle Verteilung (Markov)
E := r-stufige Erlangverteilung
H := r-stufige hyperexponentielle Verteilung
D := deterministisch
G := allgemeine Verteilung
Beispiel: M|D|4|10
(26)
27. M|M|1-System (3)
b(t ) = μe − μ t
Exponentiell verteilte Bediendauern:
Exponentiell verteilte Ankunftsabstände:
a (t ) = λe − λt
1 Bedieneinheit, unendlich viele Warteplätze
Vorteil
System einfach mit Hilfe der Verkehrstheorie zu berechnen (vgl.
Kapitel 4.3,22-27)
Problem mit Markov-Ketten beschreibbar
aus Gleichungen der Markov-Ketten -> Wahrscheinlichkeiten des
Systems (z.B. Kunden im System) errechenbar
Erwartungswert berechnen –> mittlere Anzahl Kunden im System
(27)
28. M|M|1-System (4)
Es wird ein Medium betrachtet, dass eine konstante
Datenrate (Bits/sec) übertragen kann. Die MAC eines
Systems gibt die Pakete sofort auf das Medium (kein
Einfluss auf Bedienverhalten).
Wie müssen die Längen der Pakete gestaltet sein, damit
es als M|M|1-System betrachtet werden kann?
(28)
29. M|M|1-System (5)
Die Paketlängen müssen exponentiell verteilt sein, da so
die Bedienzeit exponentiell verteilt ist.
tb1 tb2 tb3 tb4
Bedienzeiten
Quelle
ta34
ta12 ta23
Zwischenankunftszeiten
Zeit
t4
t3
t1 t2 Ankunftszeiten
1
λ=
mittlere Zwischenankunftszeit: t a mittlere Ankunftsrate:
ta
1
μ=
mittlere Bedienzeit: tb mittlere Bedienrate:
tb
(29)
30. Poissonverteilung
Die Poissonverteilung kann aus der Exponentialverteilung
abgeleitet werden.
Definition: Sind beliebige Ereignisse voneinander unabhängig und gleichverteilt und
gibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Ereignisse im Intervall t an, dann ist X
poissonverteilt.
(λ ⋅ t ) −λ⋅t
k
P( X = k ) = pk = ⋅e
k!
λ: Rate, mit der die Ereignisse eintreten
E ( x) = λ ⋅ t
Mittelwert
σ = λ ⋅t
2
und Varianz
(30)
31. M|M|1-System (7)
Geben Sie mit Hilfe von ρ die Wahrscheinlichkeit pk an,
dass sich k Kunden in einem M|M|1-System befinden!
Wie kann aus der Wahrscheinlichkeit auf auf die mittlere
Anzahl an Kunden Nk im System geschlossen werden?
(31)
32. M|M|1-System (6)
aus Markov-Kette für MM1 System (vgl. 4.3, S.23-24):
pk = (1 − ρ ) ⋅ ρ k für : 0 ≤ ρ < 1
aus Mittelwertberechnung:
ρ
∞
N k = lim E{N (t )} = ∑ n ⋅ pn = N k =
1− ρ
t →∞
n =0
mittlere Anzahl Kunden im System
nun könnte man weitermachen…
mit Little‘s Law λ ⋅ T = N
ρ
Nk 1
k
T= = =
durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System T ist:
λ λ (1 − ρ ) μ −λ
(32)
33. M|M|1-System (9)
Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf der mittleren
Anzahl an Kunden Nk in einem M|M|1-System über ρ !
ρ
Nk =
1− ρ
(33)
35. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
(1)
Zeigen Sie, wie sich die mittlere Verzögerungszeit
verändert, wenn statt einem M|M|1-System, N M|M|1-
Systeme auf den gleichen Kanal zugreifen, wenn dieser in
N Teil-Kanäle aufgeteilt wird!
Vergleiche Vorlesung Folie 7.3.10 „average transfer delay
of the TDMA system with fixed assignment“
(35)
36. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
(2)
statische Kanalzuordnung
Multiplexen
Kanal wird in N (konstant große) Teile zerlegt
Jeder Benutzer eigenen Kanalanteil -> keine Überschneidungen
Verfügbare Datenrate wird in konstanten Anteilen verteilt
Beispiel
Frequenzmultiplex
Zeitmultiplex
Code-Multiplex
(36)
37. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
(3)
Annahme: M|M|1-System
es gilt:
ρ
λ
Def. Little‘s Law:
ρ= N= N = λ ⋅T
μ 1− ρ
μKanal
λges
T mittlere Verweilzeit im System
N mittlere Anzahl Kunden im System
ρ (37)
Ausnutzungsfaktor
38. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
(3)
ρ
mit N = N = λ ⋅T
und
1− ρ
λ 1
ρ μ
μ 1
λ ⋅T = T= =
=
λ μ −λ
λ
1− ρ 1−
1−
μ
μ
T mittlereVerweilzeit im System
N mittlere Anzahl Kunden im System
ρ (38)
Ausnutzungsfaktor
39. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
(4)
Multiplexing
Pakete werden nicht in einem einzigen System verarbeitet,
sondern in N Teilsystemen, deren Bedieneinheiten um den
Faktor N geringere Datenraten bearbeiten müssen.
auch die Ankunftsrate der Teilsysteme ist um den Faktor N
geringer
(39)
40. Verzögerung bei statischer Kanalzuordnung
(3)
λ/N μ/N
λ
1
λ/N
μ/N
2
λ/N μ/N
3
λ/N
μ/N
N
Dadurch ergibt sich für die mittlere Bearbeitungszeit der Pakete im System:
1 1
Tmux = =N = N ⋅T
μ λ μ −λ
−
N N
(40)
41. Random Access vs. Statisches Multiplexing
(1)
Welches MAC-Zugriffsprinzip ist bei hoher Auslastung
eines Systems vorteilhafter: Random Access oder
statisches Multiplexing?
– und bei geringer Last?
0.01 persistent CSMA
1.0
0.9
nonpersistent CSMA
0.8
0.7
S (Throughput)
0.6 0.1 persistent CSMA
0.5
0.4
0.3
slotted 0.5 persistent CSMA
0.2 1 persistent CSMA
ALOHA
0.1 pure
ALOHA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
G (offered traffic)
(41)
42. Random Access vs. Statisches Multiplexing
(1)
Vollast: statisches Multiplexing
keine Kollisionen und Konkurrrenz
vorhersagbare Zugriffszeiten
geringer Overhead
geringe Last: Random Access
kürzere Zugriffszeiten, da kein Warten auf Slot
komplette Kanalkapazität kann verwendet werden, daher
schnellere Übertragung
(42)