1. N G
Institut für Parallele und Verteilte Systeme
Universität Stuttgart
Wintersemester 2010/2011
2. A M
A A P
Seien L : V → W und f ∈ W gegeben. Finde u ∈ V, so dass
Lu = f.
Wir suchen exakte Lösung in V.
Kernfrage: Existenz & Eindeutigkeit.
N A P
Seien L : V → W und f ∈ W gegeben. Finde uN ∈ VN (⊂ V), so dass
J(LvN − f) → min
vN ∈VN
für ein J : W → R.
Wir suchen näherungsweise Lösung in einem Unterraum.
Kernfrage: Konstruktion & Güte
3. N
Z B
u gesuchte Lösung
Lu = f f gegebene rechte Seite
L Operator (des Problems)
V, W abstrakte Vektorräume
uN Näherung, Approximante, Interpolante
J(LvN −f) → min (uN − u) Fehler
vN ∈VN
(f − LuN ) Residuum, (LuN − f) Defekt
J Funktional (des Verfahrens/Ansatzes)
VN = span φi,N N
i=1
φi,N ∈ V Basis von VN
4. V
V RN
x1
x= = x1 e1 + x2 e2
x2
1 0
e1 = , e2 =
0 1
Basis: kanonisch, Einheitsvektoren
B ,P Z
101 = 1 · φ0 + 0 · φ1 + 1 · φ2 = 1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 = 5
Basis: Potenzen von 2
V O , ...
x1
x= = x1 a + x2 o = x1 · + x2 ·
x2
Basis: Obstsorten
5. V F
V F
x1
x = x2 = x1 · + x2 · + x3 · =u
x3
Linearkombination
N N
uN := ui,N φi,N uN (x) := ui,N φi,N (x)
i=1 i=1
Koe zientenvektor und Vektor der Basisfunktionen
u0,N φ0,N (x)
u1,N φ1,N (x)
uN := . . . ∈ RN
˜ ΦN (x) :=
... ∈ RN
uN−1,N φN−1,N (x)
uN,N φN,N (x)
uN (x) = uN · ΦN (x) ∈ R
˜
6. P &B
V P G ≤3
P3 = {p ∈ C | p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 } ↔ R4
Viele Basen: Monome, Taylorpolynome, Legendrepolynome, . . .
Erst nach Basiswahl sind c ∈ R4 und p ∈ P3 äquivalent.
Basis I
p=0· +3· +4· +1· =
Basis II
p=0· +3· +4· +1· =
8. N
Z B
u gesuchte Lösung
Lu = f f gegebene rechte Seite
L Operator (des Problems)
V, W abstrakte Vektorräume
uN Näherung, Approximante, Interpolante
J(LvN −f) → min (uN − u) Fehler
vN ∈VN
(f − LuN ) Residuum, (LuN − f) Defekt
J Funktional (des Verfahrens/Ansatzes)
VN = span φi,N N
i=1
φi,N ∈ V Basis von VN
9. W N ?
Z F
Zu gegebenem > 0, nde schnell (≈ kleines N) eine Näherung uN ,
so dass der Fehler uN − u < für bestimmte Norm · (≈ L, J).
T
Entwurf konstruktiver Berechnungs- und Näherungsverfahren
Rekonstruktion von Funktionen, Nullstellensuche,
Eigenwertbestimmung, . . .
Analyse numerischer Verfahren
Genauigkeit, Verfahrenskomplexität (Speicher, Rechenzeit), . . .
Numerische Programmierung
E ziente parallele Implementierung numerischer Algorithmen
Mathematische Modellierung
Anwendungsproblem in mathematische Aufgabe umformulieren
10. E B
G M CAGD
Modellierung geometrischer Objekte im Rechner. Bausteine sind
gekrümmte Kurven und Flächen.
Bézier-Kurven und -Flächen
B-Spline-Kurven und -Flachen
NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines)
11. E B
C
R T Um Glanz- und Spiegelungense ekte realisieren zu
können, müssen viele Schnittpunkte von Strahlen mit
Szenenobjekten berechnet werden.
R V Di uses Beleuchtungsmodell
C Bewegung & Interaktion in Echtzeit
12. E B
S V
P T Trajektorienberechnung
C Iso ächen-Extraktion
V Intensitäten
13. E B
B &K
JPEG Cosinus-Transformation
JPEG2000 Wavelet-Transformation
S Kantenerkennung
14. E B
H P C
P R Supercomputer für numerische Berechnungen
LGS Lösen großer Gleichungssysteme
PDE Partielle Di erentialgleichungen
