N                                           G    Institut für Parallele und Verteilte Systeme                Universität S...
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N    Z            B                          u gesuchte Lösung        Lu = f            f gegebene rechte Seite           ...
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E       B    H   P                C    P          R         Supercomputer für numerische Berechnungen            LGS Lösen...
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Lec 1 numstoch motivation und_grundlagen

  1. 1. N G Institut für Parallele und Verteilte Systeme Universität Stuttgart Wintersemester 2010/2011
  2. 2. A M A A P Seien L : V → W und f ∈ W gegeben. Finde u ∈ V, so dass Lu = f. Wir suchen exakte Lösung in V. Kernfrage: Existenz & Eindeutigkeit. N A P Seien L : V → W und f ∈ W gegeben. Finde uN ∈ VN (⊂ V), so dass J(LvN − f) → min vN ∈VN für ein J : W → R. Wir suchen näherungsweise Lösung in einem Unterraum. Kernfrage: Konstruktion & Güte
  3. 3. N Z B u gesuchte Lösung Lu = f f gegebene rechte Seite L Operator (des Problems) V, W abstrakte Vektorräume uN Näherung, Approximante, Interpolante J(LvN −f) → min (uN − u) Fehler vN ∈VN (f − LuN ) Residuum, (LuN − f) Defekt J Funktional (des Verfahrens/Ansatzes) VN = span φi,N N i=1 φi,N ∈ V Basis von VN
  4. 4. V V RN x1 x= = x1 e1 + x2 e2 x2 1 0 e1 = , e2 = 0 1 Basis: kanonisch, Einheitsvektoren B ,P Z 101 = 1 · φ0 + 0 · φ1 + 1 · φ2 = 1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 = 5 Basis: Potenzen von 2 V O , ... x1 x= = x1 a + x2 o = x1 · + x2 · x2 Basis: Obstsorten
  5. 5. V F V F   x1 x =  x2  = x1 · + x2 · + x3 · =u x3 Linearkombination N N uN := ui,N φi,N uN (x) := ui,N φi,N (x) i=1 i=1 Koe zientenvektor und Vektor der Basisfunktionen     u0,N φ0,N (x)  u1,N   φ1,N (x)      uN :=  . . .  ∈ RN ˜   ΦN (x) :=   ...  ∈ RN   uN−1,N   φN−1,N (x)  uN,N φN,N (x) uN (x) = uN · ΦN (x) ∈ R ˜
  6. 6. P &B V P G ≤3 P3 = {p ∈ C | p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 } ↔ R4 Viele Basen: Monome, Taylorpolynome, Legendrepolynome, . . . Erst nach Basiswahl sind c ∈ R4 und p ∈ P3 äquivalent. Basis I p=0· +3· +4· +1· = Basis II p=0· +3· +4· +1· =
  7. 7. B L M P0 (x) = 1 1 = P0 (x) P1 (x) = x x = P1 (x) 1 2 1 P2 (x) = 2 (3x − 1) x2 = 3 (P0 (x) + 2P2 (x)) 1 3 1 P3 (x) = 2 (5x − 3x) x3 = 5 (3P1 (x) + 2P3 (x)) 1 4 2 1 P4 (x) = 8 (35x − 30x + 3) x4 = 35 (7P0 (x) + 20P2 (x) + 8P4 (x)) . . . . . .
  8. 8. N Z B u gesuchte Lösung Lu = f f gegebene rechte Seite L Operator (des Problems) V, W abstrakte Vektorräume uN Näherung, Approximante, Interpolante J(LvN −f) → min (uN − u) Fehler vN ∈VN (f − LuN ) Residuum, (LuN − f) Defekt J Funktional (des Verfahrens/Ansatzes) VN = span φi,N N i=1 φi,N ∈ V Basis von VN
  9. 9. W N ? Z F Zu gegebenem > 0, nde schnell (≈ kleines N) eine Näherung uN , so dass der Fehler uN − u < für bestimmte Norm · (≈ L, J). T Entwurf konstruktiver Berechnungs- und Näherungsverfahren Rekonstruktion von Funktionen, Nullstellensuche, Eigenwertbestimmung, . . . Analyse numerischer Verfahren Genauigkeit, Verfahrenskomplexität (Speicher, Rechenzeit), . . . Numerische Programmierung E ziente parallele Implementierung numerischer Algorithmen Mathematische Modellierung Anwendungsproblem in mathematische Aufgabe umformulieren
  10. 10. E B G M CAGD Modellierung geometrischer Objekte im Rechner. Bausteine sind gekrümmte Kurven und Flächen. Bézier-Kurven und -Flächen B-Spline-Kurven und -Flachen NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines)
  11. 11. E B C R T Um Glanz- und Spiegelungense ekte realisieren zu können, müssen viele Schnittpunkte von Strahlen mit Szenenobjekten berechnet werden. R V Di uses Beleuchtungsmodell C Bewegung & Interaktion in Echtzeit
  12. 12. E B S V P T Trajektorienberechnung C Iso ächen-Extraktion V Intensitäten
  13. 13. E B B &K JPEG Cosinus-Transformation JPEG2000 Wavelet-Transformation S Kantenerkennung
  14. 14. E B H P C P R Supercomputer für numerische Berechnungen LGS Lösen großer Gleichungssysteme PDE Partielle Di erentialgleichungen

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