Mathematischer Vorkurs f¨ur BWL, Informatik und WI Technische Universit¨at Clausthal
Wintersemester 2015/16 Dr. Marco Bend...
die Masse zu einem Zeitpunkt t kann also mit Hilfe der Masse zum Startzeitpunkt t0 und einer
Wachstumsrate r bestimmt werd...
Aufgabe 17 (Definitionsbereich und asymptotisches Verhalten)
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Fu...
Aufgabe 24 (Lokale Extrema)
Berechnen Sie f¨ur die folgenden Funktionen die ersten beiden Ableitungen und bestimmen Sie mi...
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Aufgaben vorkurs Mathematik

  1. 1. Mathematischer Vorkurs f¨ur BWL, Informatik und WI Technische Universit¨at Clausthal Wintersemester 2015/16 Dr. Marco Bender Aufgabe 1 (Bruchrechnung) Vereinfachen Sie die folgenden Br¨uche so weit wie m¨oglich. a) 27a 18b b) 1 3 + 1 5 c) 2 3 · 1 5 d) 54a2 a3 e) −5 −3 : −3 5 Aufgabe 2 (Potenzen) Vereinfachen Sie mithilfe der Rechenregeln f¨ur Potenzen die folgenden Ausdr¨ucke soweit wie m¨oglich. a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y) b) (2x)(−2x) c) 1 a −1 a 1 −a d) (x + y)−3(x + y)8(x + y)−2 e) x2y−5 a−3b−1 · a−1b x−2y−7 f) a−1b−2 c−7 2 : ab−2 c7 −2 g) ((a+b)(a−b))−5 ((a2−b2) Aufgabe 3 (Wurzeln) Vereinfachen Sie die Wurzeln soweit wie m¨oglich: a) ( 4 √ 8 + 4 √ 27)( 4 √ 3 − 4 √ 2) b) ( √ x + √ y)( √ 2x − √ 2y) c) ( √ ax − √ bx) : √ x Aufgabe 4 (Br¨uche mit Wurzeln) Formen Sie die Br¨uche so um, dass der Nenner keine Wurzeln mehr enth¨alt, und vereinfachen Sie die Darstellung so weit wie m¨oglich. (Hinweis: Binomischen Formeln!) a) 4 3√ 2 b) 28 4+ √ 2 c) 2( √ 5− √ 3) √ 5+ √ 3 Aufgabe 5 (Logarithmen) Berechnen Sie die folgenden Logarithmen ohne Verwendung eines Taschenrechners. a) log2(4) b) log4(2) c) log4(64) d) log2(1 8) e) log7(7n) f) log10(4, 7 · 10150) g) log2(8 · 2−100) Aufgabe 6 (Exponentialgleichungen) L¨osen Sie die folgenden Gleichungen: a) 3 2 log(x) = log(56) − log(7) b) 4x = 0, 125 c) 0, 5x−5 = 15 d) 73x+2 = 10x Aufgabe 7 (Zinseszins) Herr M¨uller hat 5000 Euro zu einem Zinssatz von 1% pro Jahr angelegt (die Zinsen werden jeweils zum Jahresende gutgeschrieben). Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital von Herrn M¨uller verdoppelt? Aufgabe 8 (Geschachtelte Quadrate) Verbindet man die Seitenmitten eines Quadrates, so erh¨alt man wieder ein Quadrat. Setzt man dieses Verfahren fort, erh¨alt man eine Folge von Quadraten. Wie kann man den Umfang des n-ten Quadrats aus dem Umfang des Fl¨acheninhalts des ersten Quadrats berechnen? Aufgabe 9 (Exponentielles Wachstum) Unter geeigneten Bedingungen verdoppelt eine Hefekultur ihre Masse in zwei Stunden. Dabei w¨achst die Masse der Kultur exponentiell, d.h. Masse(t) = Masse(t0) · rt , 1
  2. 2. die Masse zu einem Zeitpunkt t kann also mit Hilfe der Masse zum Startzeitpunkt t0 und einer Wachstumsrate r bestimmt werden. Um 100l unterg¨ariges Bier herzustellen, ben¨otigt man 120g Hefe. Wir haben 10g Hefe. Wie lange (in Stunden und Minuten) m¨ussen wir warten, bis sich die Hefe auf die gew¨unschte Menge vermehrt hat? (Hinweis: ¨Uberlegen Sie zun¨achst, wie die Wachstumsrate r bestimmt werden kann.) Aufgabe 10 (Quadratische Gleichungen) Bestimmen Sie alle L¨osungen der quadratischen Gleichungen: a) x(x + √ 5) = 0 b) (x + 3 17)(x − 1 11) = 0 c) x2 − 8x + 16 = 0 Aufgabe 11 (Polynomidivision) L¨osen Sie die folgenden Gleichungen mithilfe von Polynomdivision: a) x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 b) 3x4 + 4x3 − 24x = −3x3 − 14x2 Aufgabe 12 (Quadratische Gleichungen) Erl¨autern Sie, wie viele L¨osungen die Gleichung a(x − 2)2 + e = 0 f¨ur verschiedene Werte von a ∈ R und e ∈ R hat und geben Sie diese (falls m¨oglich) an. Aufgabe 13 (Lineare Gleichungssysteme) L¨osen Sie das folgende LGS mit dem Eliminationsverfahren von Gauss. 2x1 − 4x2 + 5x3 = 3 3x1 + 3x2 + 7x3 = 17 4x1 − 2x2 − 3x3 = −1 Aufgabe 14 (Lineare Gleichungssysteme) ” Ein Vater und seine beiden S¨ohne sind zusammen 100 Jahre alt. Der Vater ist doppelt so alt wie sein ¨altester Sohn und 30 Jahre ¨alter als sein j¨ungster Sohn.“ Bestimmen Sie das Alter der drei M¨anner, indem Sie ein LGS aufstellen und l¨osen. Aufgabe 15 (Lineare Gleichungssysteme) F¨ur welche Werte von r ∈ R besitzt das folgende LGS keine L¨osung, genau eine L¨osung, unendlich viele L¨osungen? x1 − x2 + r 3 x3 = 1 3x2 − rx3 = 0 3x1 − 3x2 + r2 x3 = r + 2 Aufgabe 16 (Funktionen) Entscheiden Sie, welche der Zuordnungen mit Definitionsbereich D = {a, b, c, d} und Wertebereich W = {a, c, e} Funktionen von D nach W sind. a) a → a, b → a, c → a, d → a b) a → a, c → c c) a → a, b → a, c → c, c → e, d → a d) a → c, b → c, c → e, d → b e) a → e, b → c, d → a, c → e 2
  3. 3. Aufgabe 17 (Definitionsbereich und asymptotisches Verhalten) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen und untersuchen Sie das asymptotische Verhalten von f bei Ann¨aherung an (m¨ogliche) Definitionsl¨ucken und f¨ur x → ±∞: a) f(x) = (x − 1)2 b) f(x) = 1 x2 c) f(x) = ln(1 x ) d) f(x) = 2x−3 4x e) 2x2−3 4x f) x 1+|x| Aufgabe 18 (Monotonie) Treffen Sie Aussagen zum Monotonieverhalten der folgenden Funktionen: a) f(x) = −2x b) f(x) = (x − 5)2 + 3 c) f(x) = 1 xn , mit n ∈ N d)f(x) = a + bx mit a, b ∈ R Aufgabe 19 (Angebot und Nachfrage) Die j¨ahrliche Nachfrage f¨ur Reis in einer Marktwirtschaft l¨asst sich durch folgende lineare Funktion beschreiben: qN = 100 − 20p, wobei p den Preis (in Geldeinheiten GE) und q den Konsum pro Person (in Mio. T.) bezeichnet. Das j¨ahrliche Angebot f¨ur Reis ist auch eine lineare Funktion, dessen Parameter (a und b) aber unbekannt sind: qA = a + b · p, Die Marktforschungen haben gezeigt, dass die Produzenten bei einem Preis von 1 GE 40 Mio.T. Reis auf dem Markt anbieten, bei einem Preis von 5 GE sogar 120 Mio.T. a) Bestimmen Sie mit Hilfe der gegebenen Informationen die Angebotsfunktion f¨ur Reis. b) Der Markt befindet sich im Gleichgewicht, wenn Nachfrage und Angebot ¨ubereinstimmen. Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge f¨ur diesen Fall. Aufgabe 20 (Differenz monotoner Funktionen) Gilt die Behauptung: ” Die Differenz zweier monoton wachsender (fallender) Funktionen ist monoton wachsend (fallend)“? Geben Sie eine Begr¨undung oder ein Gegenbeispiel. Aufgabe 21 (Pilzbek¨ampfung) Durch Pilzbefall verringert sich der Ertrag eines Landwirtes drastisch. Um diesem entgegen zu wirken verwendet er ein Pflanzenschutzmittel. Pro Einheit verwendeten Fungizids ver¨andert sich der Verlust relativ, dies wird dargestellt durch die Funktion f(x) = 1 2 x 3 a) Wie verh¨alt sich der Verlust? Zeichnen Sie dies in einer Funktion mit geeignetem Maßstab. b) Handelt es sich hierbei um eine monotone Funktion ? c) Wie verh¨alt sich nach diesem Modell der Verlust durch den Pilzbefall, wenn man beliebig viel Fungizid einsetzt? Ist das realistisch? Aufgabe 22 (Stetigkeit) Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit an der Stelle x0: a) f(x) = −x − 1 2x2, x ≤ 2 x2 − 4x, x > 2 x0 = 2 b) f(x) = 2x − 25 2 , x < 5 1 2x2 − 3x, x ≥ 5 x0 = 5 Aufgabe 23 (Ableitungen) Bestimmen Sie die erste Ableitung von f: a) f(x) = 5x3 − 4x2 b) f(x) = 5 √ x + 2 3x6 c) f(x) = −2x2 + sin(x) d) f(x) = 2 3x4 − 3 2x6 e) f(x) = √ x2 + 1(x2 − 2x) f) f(x) = (3x − 2) 4 (x + 3)3 3
  4. 4. Aufgabe 24 (Lokale Extrema) Berechnen Sie f¨ur die folgenden Funktionen die ersten beiden Ableitungen und bestimmen Sie mit deren Hilfe alle lokalen Extrema. a) f(x) = x3 + 2x2 − 1 b) f(x) = (x2 − 3)ex Aufgabe 25 (Gewinnkurve eines Projektes) Ein Unternehmen m¨ochte die Gewinnkurve eines Projektes bestimmen. Man nimmt an, dass diese durch ein Polynom vom Grad 2 beschrieben wird. Es ist bekannt, dass das Projekt bei einer Ab- satzmenge von 200 keinen Gewinn aber auch keinen Verlust macht (Break-Even-Punkt) und dass die Gewinnkurve bei 320 verkauften St¨ucken eine Steigung von 12 hat. Um das Projekt umzusetzen, wird mit Fixkosten (Kosten, die nicht von der verkauften Menge x abh¨angen) von 20.000 gerechnet. a) Wie sieht die Gewinnfunktion aus? b) Bei welcher Absatzmenge ist der Gewinn am gr¨oßten? Aufgabe 26 (Optimierung mit quadratischen Funktionen) Sie besitzen ein großes Waldgrundst¨uck entlang einer Autobahn, die schon mit einem Wildzaun gesichert ist. Als zus¨atzliche Einnahmequelle wollen Sie auf einer rechteckigen Teilfl¨ache von zwei Hektar Weihnachtstannen anpflanzen. Da diese vom Wild gut angenommen werden, m¨ussen Sie die drei ¨ubrigen Seiten einz¨aunen. Wie lang m¨ussen die Seiten des Rechtecks sein, damit Sie m¨oglichst wenig Kosten haben? Aufgabe 27 (Differenzierbarkeit) Wie m¨ussen a, b ∈ R gew¨ahlt werden, damit f f¨ur x0 = 2 differenzierbar ist? f(x) = 3 x−3, x ≤ 2 ax2 + 2x + b x > 2 Aufgabe 28 (Integrale) Berechnen Sie die folgenden Integrale: a) 2 0 (3x2 + 7x + 17)dx b) 4 −3 |x|dx c) −1 −2 (3x2 − 4 x2 )dx d) 2 1 6(x3 − 2 x )dx + 2 1 (1 + 12 x )dx Aufgabe 29 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = 1 2x2(x2 − 4). Wie groß ist die Fl¨ache, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt? Aufgabe 30 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f(x) = −x2 + 4.25 und g(x) = 1 x2 . Bestimmen Sie den Inhalt der Fl¨ache, die von den f und g eingeschlossen wird. Aufgabe 31 (Partielle Integration) Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels partieller Integration: a) 1 −1 xe4xdx b) π 0 x sin(x)dx c) 2 0 x2exdx Aufgabe 32 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen) Betrachten Sie die Funktionen f(x) = x2 und g(x) = mx mit m > 0. a) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte von f und g (in Abh¨angigkeit vom Parameter m). b) Bestimmen Sie m so, dass diese Fl¨ache, die f und g einschließen, 1 6 ist. 4

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