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![Lineare Transformationen
Wie transformiert eine Matrix einen Vektor? (Forts.)
v hat im neuen System immer noch dieselben Komponenten wie v
Bzgl. des [e1 , e2 , e3 ]-Systems haben sie sich aber ge¨ndert
a
Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 14/26](https://image.slidesharecdn.com/2010-jogl-05-transformationen-120724145320-phpapp02/85/2010-JOGL-05-Transformationen-14-320.jpg)
![Lineare Transformationen
Wie transformiert eine Matrix einen Vektor? (Forts.)
Die Komponente des Vektors v im [e1 , e2 , e3 ]-Systems ergeben sich
zu
v = xa1 + y a2 + za3
Das l¨ßt sich aber pr¨gnanter durch eine Matrixmultiplikation
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ausdr¨cken
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a1x a2x a3x x
v = a1y a2y a3y y = Av
a1z a2z a3z z
Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 15/26](https://image.slidesharecdn.com/2010-jogl-05-transformationen-120724145320-phpapp02/85/2010-JOGL-05-Transformationen-15-320.jpg)
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2010-JOGL-05-Transformationen
Das Dokument behandelt grundlegende Transformationen in der Computergrafik, einschließlich linearer und affiner Abbildungen durch Matrizen. Es erläutert Konzepte wie Matrixmultiplikation, Skalierung, Rotation und die Verwendung homogener Koordinaten zur Umsetzung von Transformationen. Die theoretischen Grundlagen und mathematischen Prinzipien werden mit praktischen Anwendungen in OpenGL und Java verknüpft.
2010-JOGL-05-Transformationen
- 1. CARL VON OSSIETZKY Transformationen Johannes Diemke ¨ Ubung im Modul OpenGL mit Java Wintersemester 2010/2011
- 2. Motivation Transformationen Sind Grundlage vieler Verfahren der Computergrafik Model- und View-Transformation Projektionstransformation Einsatz in vielen weiteren Verfahren Bump Mapping Shadow Mapping Billboarding ... Mathematische Grundlage sind lineare und affine Abbildungen mittels Matrizen Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 2/26
- 3. Grundlagen Matrix Rechteckige Anordnung von Elementen Schl¨sselkonzept der linearen Algebra u In der Computergrafik von elementarer Bedeutung: Lineare und affine Abbildungen Beschreiben Transformationen zwischen Koordinatensystemen Notation Aneinanderreihung der Elemente in Zeilen und Spalten Durch fettgedruckte Großbuchstaben bezeichnet Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 3/26
- 4. Grundlagen Transponieren einer Matrix Die transponierte Matrix AT einer r×c-Matrix A ergibt sich durch Vertauschen der Zeilen mit den Spalten Das Ergebnis ist eine c×r-Matrix Transponieren als Involution (M T )T = M Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 4/26
- 5. Grundlagen Multiplikation mit einemSkalar Eine m×n-Matrix M kann mit einem Skalar k multipliziert werden Ergebnis ist wieder eine m×n-Matrix kM Jedes Element wird mit k multipliziert Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 5/26
- 6. Grundlagen Matrixmultiplikation Eine r×n-Matrix A kann mit einer n×c-Matrix B multipliziert werden Das Ergebnis ist eine r×c-Matrix Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 6/26
- 7. Grundlagen Matrixmultiplikation (Forts.) Die Elemente cij der r×c-Matrix C = AB ergeben sich zu Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 7/26
- 8. Grundlagen Rechenregeln f¨r Matrizen u Nicht kommutativ AB = BA Assoziativ (AB)C = A(BC ) Inverse eines Produktes (AB)−1 = B −1 A−1 Transponieren eines Produkts (AB)T = B T AT Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 8/26
- 9. Grundlagen Die Einheitsmatrix Spezielle Diagonalmatrix Hat nur Einsen auf der Diagonalen Neutrales Element bzgl. Multiplikation IA = AI = A Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 9/26
- 10. Grundlagen Vektoren als Matrizen Vektoren der Dimension n k¨nnen als Matrizen aufgefasst werden o 1×n-Matrix (Zeilenvektor) n×1-Matrix (Spaltenvektor) Aus geometrischer Sicht sind beide Notationen identisch Unterscheidung bei Matrixmultiplikation aber wichtig Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 10/26
- 11. Grundlagen Vektor-Matrix-Multiplikation M¨glich, da Vektoren als Matrizen aufgefasst werden k¨nnen o o Es gelten die gleichen Regeln Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 11/26
- 12. Lineare Transformationen Geometrische Interpretation Eine quadratische Matrix kann jede lineare Transformation beschreiben Gerade und parallele Geraden bleiben erhalten Der Urspung bewegt sich nicht L¨ngen, Winkel, Fl¨chen und Volumen k¨nnen sich aber ¨ndern a a o a Lineare Transformationen Rotation Skalierung Reflexion Scherung Orthographische Projektion Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 12/26
- 13. Lineare Transformationen Wie transformierteine Matrix einen Vektor? Ein Vektor kann als Linearkombination von Basisvektoren aufgefasst werden Bezeichnen wir die Basisvektoren mit e1 , e2 und e3 erhalten wir v = xe1 + y e2 + ze3 Der Vektor v kann durch einen Basiswechsel auf v abgebildet werden v = xa1 + y a2 + za3 Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 13/26
- 14. Lineare Transformationen Wie transformierteine Matrix einen Vektor? (Forts.) v hat im neuen System immer noch dieselben Komponenten wie v Bzgl. des [e1 , e2 , e3 ]-Systems haben sie sich aber ge¨ndert a Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 14/26
- 15. Lineare Transformationen Wie transformierteine Matrix einen Vektor? (Forts.) Die Komponente des Vektors v im [e1 , e2 , e3 ]-Systems ergeben sich zu v = xa1 + y a2 + za3 Das l¨ßt sich aber pr¨gnanter durch eine Matrixmultiplikation a a ausdr¨cken u a1x a2x a3x x v = a1y a2y a3y y = Av a1z a2z a3z z Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 15/26
- 16. Lineare Transformationen Zusammenfassung Die Spalten einer Matrix k¨nnen als Basisvektoren aufgefasst werden o Multiplikation mit einer Matrix M F¨hrt zu Basiswechsel u Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes Gibt an wie v nach Basiswechsel im alten Koordinatensystem aussieht Konkatenation von Transformationen durch Matrixmultiplikation v = (A4 (A3 (A2 (A1 v )))) = (A4 A3 A2 A1 )v Lineare Transformationen erm¨glichen keine Translation o v = A0 = 0 Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 16/26
- 17. Lineare Transformationen Visualisieren einerTransformationsmatrix Jede Spalte der Matrix stellt einen Basisvektor nach der Transformation dar a1 = Ae1 a2 = Ae2 a3 = Ae3 a1 , a2 und a3 stellen die Achsen nach der Transformation dar Aus dieser Einsicht folgt Konstruktion einer Matrix f¨r gegebene Transformation ist einfach u Wie wirkt sich die Transformation auf die Basisvektoren aus? Transformierte Basisvektoren bilden dann die Matrix Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 17/26
- 18. Lineare Transformationen Visualisieren einerTransformationsmatrix (Forts.) Darstellung der Basisvektoren einer Transformation Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 18/26
- 19. Lineare Transformationen Skalierung Die Skalierung ist eine lineare Abbildung Vegr¨ßert oder verkleinert o Vektoren kx 0 0 S(kx , ky , kz ) = 0 ky 0 0 0 kz Inverse S −1 (kx , ky , kz ) = S(1/kx , 1/ky , 1/kz ) Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 19/26
- 20. Lineare Transformationen Rotation Die Rotation ist eine lineare Abbildung Rotiert Vektoren cos θ − sin θ 0 Rz (θ) = sin θ cos θ 0 0 0 1 Rotations-Matrizen sind orthogonal AAT = I A−1 = AT Inverse −1 T Rz (θ) = Rz (−θ) = Rz (θ) Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 20/26
- 21. Lineare Transformationen Rotation (Forts.) Rotation um die x-Achse 1 0 0 Rx (θ) = 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ Rotation umd die y-Achse cos θ 0 sin θ Ry (θ) = 0 1 0 − sin θ 0 cos θ Inverse −1 T Rx (θ) = Rx (−θ) = Rx (θ) −1 T Ry (θ) = Ry (−θ) = Ry (θ) Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 21/26
- 22. Affine Transformationen Affine Transformationen Sind ein wichtiges Hilfsmittel in der Computergrafik Erm¨glichen Orientierung und Bewegung o Lineare Abbildung plus Translation x = Ax + p Problem Transformationen nicht mehr uber reine Matrixmultiplikation ¨ m¨glich o Konkatenation auch nicht L¨sung: Homogene Koordinaten o Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 22/26
- 23. Affine Transformationen Homogene Koordinaten Eine affine Abbildung x = Ax + p kann in eine Matrixmultiplikation uberf¨hrt werden ¨ u x = Mx Dazu ist M folgendermaßen zu w¨hlen a a1,1 a1,2 a1,3 p1 a a a p M = 2,1 2,2 2,3 2 a3,1 a3,2 a3,3 p3 0 0 0 1 x ist dann in homogene Koordinaten x zu uberf¨hren ¨ u (x1 , x2 , x3 ) → (x1 , x2 , x3 , 1) Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 23/26
- 24. Affine Transformationen Homogene Koordinaten(Forts.) M kann uber eine Matrixdekomposition zerlegt werden ¨ Linearer Anteil R Affiner Anteil T 1 0 0 p1 a1,1 a1,2 a1,3 0 0 1 0 p2 a2,1 a2,2 a2,3 0 M = TR = 0 0 1 p3 a3,1 a3,2 a3,3 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Vorteile homogener Koordinaten Einheitliche Behandlung aller Transformationen Konkatenation von Transformationen durch Matrixmultiplikation Komplexe Transformationen durch Gesamttransformationsmatrix Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 24/26
- 25. Literatur Dave Shreiner OpenGL Programming Guide http://www.opengl-redbook.com/ Richard S. Wright, Benjamin Lipchak und Nicholas Haemel OpenGL SuperBibel http://www.starstonesoftware.com/OpenGL/ Randi J. Rost OpenGL Shading Language http://www.3dshaders.com/ Tomas Akenine-M¨ller, Eric Haines und Naty Hoffman o Real-Time Rendering http://www.realtimerendering.com/ Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 25/26
- 26. Literatur Edward Angel Interactive Computer Graphics http://www.cs.unm.edu/˜angel/ Gerald Farin und Dianne Hansford Practical Linear Algebra http://www.farinhansford.com/books/pla/ Fletcher Dunn und Ian Parberry 3D Math Primer for Graphics and Game Development www.gamemath.com/ Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 26/26