In der etwa 30-minütigen Vorlesung geht es allgemein um die Streuparameter von linearen Zweitoren, also z.B. Filtern, Transformatoren, Verstärkern, Kabeln etc. Als Einstieg werden zunächst die Impedanz- und Admittanzparameter wiederholt. Durch deren einfachere Messung bei hohen Frequenzen werden die Wellengrößen motiviert und mit ihrer Hilfe die Streuparameter definiert. Abschließend wird kurz auf die Messung der frequenzabhängigen Streuparameter mit einem Netzwerkanalysator eingegangen und ein typisches Messergebnis gezeigt.

1. Grundgebiete der Elektrotechnik III
Streuparameter eines linearen Zweitores
Dr.-Ing. Mathias Magdowski
Lehrstuhl für Elektromagnetische Verträglichkeit
Institut für Medizintechnik
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Lizenz: cba CC BY-SA 3.0 (Namensnennung, Weitergabe unter gleichen Bedingungen)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 1 / 31

2. Beispiele für Zweitore
Quelle: wdwd, CC BY 2.5,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=1166628
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 2 / 31

3. Beispiele für Zweitore
Quelle: wdwd, CC BY 2.5,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=1166628
Quelle: Zátonyi Sándor, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=22549722
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 2 / 31

4. Beispiele für Zweitore
Quelle: wdwd, CC BY 2.5,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=1166628
Quelle: Zátonyi Sándor, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=22549722
Quelle: Penrhyncoch, CC BY-SA 2.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=2367685
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 2 / 31

5. Beispiele für Zweitore
Quelle: wdwd, CC BY 2.5,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=1166628
Quelle: Zátonyi Sándor, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=22549722
Quelle: Penrhyncoch, CC BY-SA 2.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=2367685
Quelle: Giorgio Minguzzi, CC BY-SA 2.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.
php?curid=37995538
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 2 / 31

6. Inhalt
1 Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
2 Wellengrößen
3 Streuparameter
Definition
Bestimmung
Messung
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 3 / 31

7. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Zwischenübersicht
1 Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
2 Wellengrößen
3 Streuparameter
Definition
Bestimmung
Messung
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 4 / 31

8. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Impedanzparameter
Spannung und Strom an jedem Tor:
I1 I2
U1 U2
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 5 / 31

9. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Impedanzparameter
Spannung und Strom an jedem Tor:
I1 I2
U1 U2
Definition der Impedanzparameter:
U1 = z11 · I1 + z12 · I2 (1a)
U2 = z21 · I1 + z22 · I2 (1b)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 5 / 31

10. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Admittanzparameter
Definition der Admittanzparameter:
I1 = y11 · U1 + y12 · U2 (2a)
I2 = y21 · U1 + y22 · U2 (2b)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 6 / 31

11. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Admittanzparameter
Definition der Admittanzparameter:
I1 = y11 · U1 + y12 · U2 (2a)
I2 = y21 · U1 + y22 · U2 (2b)
Matrixschreibweise:
U1
U2
=
z11 z12
z21 z22
·
I1
I2
U = z · I (3)
I1
I2
=
y11 y12
y21 y22
·
U1
U2
I = y · U (4)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 6 / 31

12. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Admittanzparameter
Definition der Admittanzparameter:
I1 = y11 · U1 + y12 · U2 (2a)
I2 = y21 · U1 + y22 · U2 (2b)
Matrixschreibweise:
U1
U2
=
z11 z12
z21 z22
·
I1
I2
U = z · I (3)
I1
I2
=
y11 y12
y21 y22
·
U1
U2
I = y · U (4)
Umrechnung:
y = z−1
(5)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 6 / 31

13. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Eigenschaften von Zweitoren
Lineare und nichtlineare Zweitore:
Linear: Proportionalität, Superposition, R, L, C
Nichtlinear: Halbleiterbauelemente
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 7 / 31

14. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Eigenschaften von Zweitoren
Lineare und nichtlineare Zweitore:
Linear: Proportionalität, Superposition, R, L, C
Nichtlinear: Halbleiterbauelemente
Passive und aktive Zweitore:
Passiv: nur R, L, C
Aktiv: Verstärker, ungesteuerte Quellen
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 7 / 31

15. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Eigenschaften von Zweitoren
Lineare und nichtlineare Zweitore:
Linear: Proportionalität, Superposition, R, L, C
Nichtlinear: Halbleiterbauelemente
Passive und aktive Zweitore:
Passiv: nur R, L, C
Aktiv: Verstärker, ungesteuerte Quellen
Lineare, passive Zweitore sind umkehrbar und schon durch drei
Parameter vollständig bestimmt.
y21 = y12 z21 = z12 (6)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 7 / 31

16. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Live Quiz auf www.lehrevaluation.ovgu.de
−→ Live Quiz (rechte Seite)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 8 / 31

17. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Zusammenschaltung von Vierpolen
Arten der Zusammenschaltung (Live Quiz mmczw):
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 9 / 31

18. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Zusammenschaltung von Vierpolen
Arten der Zusammenschaltung (Live Quiz mmczw):
1 Reihen-Reihen-Schaltung
2 Parallel-Parallel-Schaltung
3 Reihen-Parallel-Schaltung (Hybridschaltung)
4 Parallel-Reihen-Schaltung (andere Form der Hybridschaltung)
5 Kettenschaltung von Vierpol A und Vierpol B
6 Kettenschaltung von Vierpol B und Vierpol A
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 9 / 31

19. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Zusammenschaltung von Vierpolen
Arten der Zusammenschaltung (Live Quiz mmczw):
1 Reihen-Reihen-Schaltung
2 Parallel-Parallel-Schaltung
3 Reihen-Parallel-Schaltung (Hybridschaltung)
4 Parallel-Reihen-Schaltung (andere Form der Hybridschaltung)
5 Kettenschaltung von Vierpol A und Vierpol B
6 Kettenschaltung von Vierpol B und Vierpol A
Andere Parameter:
Kettenparameter:
U1
I1
=
a11 a12
a21 a22
·
U2
I2
Hybridparameter:
U1
I2
=
h11 h12
h21 h22
·
I1
U2
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 9 / 31

20. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Reihen-Reihen-Schaltung von Zweitoren
Schaltbild:
A
B
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 10 / 31

21. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Reihen-Reihen-Schaltung von Zweitoren
Schaltbild:
A
B
Zweitorparameter der Gesamtschaltung (Live Quiz mmqhy):
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 10 / 31

22. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Reihen-Reihen-Schaltung von Zweitoren
Schaltbild:
A
B
Zweitorparameter der Gesamtschaltung (Live Quiz mmqhy):
zges = zA + zB (7)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 10 / 31

23. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Nachteile der üblichen Parameter
Messtechnik:
hohe Frequenzen
Spannungs- und Strommessung schwierig
(nach Betrag und Phase)
einfachere Messung hin- und rücklaufender Wellen
Bezug auf die Wellenimpedanz des Messsystems
Vermeidung von Impedanztransformationen
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 11 / 31

24. Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
Nachteile der üblichen Parameter
Messtechnik:
hohe Frequenzen
Spannungs- und Strommessung schwierig
(nach Betrag und Phase)
einfachere Messung hin- und rücklaufender Wellen
Bezug auf die Wellenimpedanz des Messsystems
Vermeidung von Impedanztransformationen
Mathematik:
mögliche Singularität der Admittanz- und Impedanzmatrizen
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 11 / 31

25. Wellengrößen
Zwischenübersicht
1 Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
2 Wellengrößen
3 Streuparameter
Definition
Bestimmung
Messung
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 12 / 31

26. Wellengrößen
Zusammenhang zwischen Wellen, Spannung & Strom
Wellengrößen aus Spannung und Strom:
a =
1
2
U
√
Zc
+ I
√
Zc (8a)
b =
1
2
U
√
Zc
− I
√
Zc (8b)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 13 / 31

27. Wellengrößen
Zusammenhang zwischen Wellen, Spannung & Strom
Wellengrößen aus Spannung und Strom:
a =
1
2
U
√
Zc
+ I
√
Zc (8a)
b =
1
2
U
√
Zc
− I
√
Zc (8b)
Einheit:
√
W
Wirkleistung: |a|2
bzw. |b|2
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 13 / 31

28. Wellengrößen
Zusammenhang zwischen Wellen, Spannung & Strom
Wellengrößen aus Spannung und Strom:
a =
1
2
U
√
Zc
+ I
√
Zc (8a)
b =
1
2
U
√
Zc
− I
√
Zc (8b)
Einheit:
√
W
Wirkleistung: |a|2
bzw. |b|2
Spannung und Strom aus Wellengrößen:
U =
√
Zc(a + b) (9a)
I =
1
√
Zc
(a − b) (9b)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 13 / 31

29. Wellengrößen
Wellenimpedanz und Reflexionsfaktor
Wellenimpedanz Zc:
50 Ω: Hochfrequenzmesstechnik
75 Ω: Radio- und Fernsehtechnik
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 14 / 31

30. Wellengrößen
Wellenimpedanz und Reflexionsfaktor
Wellenimpedanz Zc:
50 Ω: Hochfrequenzmesstechnik
75 Ω: Radio- und Fernsehtechnik
Reflexionsfaktor oder Streuparameter s:
I
Za
a
b
U
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 14 / 31

31. Wellengrößen
Wellenimpedanz und Reflexionsfaktor
Wellenimpedanz Zc:
50 Ω: Hochfrequenzmesstechnik
75 Ω: Radio- und Fernsehtechnik
Reflexionsfaktor oder Streuparameter s:
I
Za
a
b
U
s =
b
a
=
Za − Zc
Za + Zc
(10)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 14 / 31

32. Streuparameter
Zwischenübersicht
1 Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
2 Wellengrößen
3 Streuparameter
Definition
Bestimmung
Messung
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 15 / 31

33. Streuparameter Definition
Zwischenübersicht
1 Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
2 Wellengrößen
3 Streuparameter
Definition
Bestimmung
Messung
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 16 / 31

34. Streuparameter Definition
Streuparameter
Hin- und rücklaufende Wellen an jedem Tor:
a1
b1
b2
a2
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 17 / 31

35. Streuparameter Definition
Streuparameter
Hin- und rücklaufende Wellen an jedem Tor:
a1
b1
b2
a2
Definition der Streuparameter:
b1 = s11 · a1 + s12 · a2 (11a)
b2 = s21 · a1 + s22 · a2 (11b)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 17 / 31

36. Streuparameter Definition
Streuparameter
Hin- und rücklaufende Wellen an jedem Tor:
a1
b1
b2
a2
Definition der Streuparameter:
b1 = s11 · a1 + s12 · a2 (11a)
b2 = s21 · a1 + s22 · a2 (11b)
Matrixschreibweise:
b1
b2
=
s11 s12
s21 s22
·
a1
a2
(12)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 17 / 31

37. Streuparameter Definition
Streuparameter
Streuparameter eines Dreitors (Live Quiz mmwln):
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 18 / 31

38. Streuparameter Definition
Streuparameter
Streuparameter eines Dreitors (Live Quiz mmwln):


b1
b2
b3

 =


s11 s12 s13
s21 s22 s23
s31 s32 s33

 ·


a1
a2
a3

 (13)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 18 / 31

39. Streuparameter Definition
Streuparameter
Streuparameter eines Dreitors (Live Quiz mmwln):


b1
b2
b3

 =


s11 s12 s13
s21 s22 s23
s31 s32 s33

 ·


a1
a2
a3

 (13)
Streuparameter eines n-Tors:





b1
b2
...
bn





=





s11 s12 · · · s1n
s21 s22 · · · s2n
...
...
...
...
sn1 sn2 · · · snn





·





a1
a2
...
an





(14)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 18 / 31

40. Streuparameter Definition
Streuparameter
Streuparameter eines Dreitors (Live Quiz mmwln):


b1
b2
b3

 =


s11 s12 s13
s21 s22 s23
s31 s32 s33

 ·


a1
a2
a3

 (13)
Streuparameter eines n-Tors:





b1
b2
...
bn





=





s11 s12 · · · s1n
s21 s22 · · · s2n
...
...
...
...
sn1 sn2 · · · snn





·





a1
a2
...
an





(14)
Bedeutung:
sii: Reflexionsfaktoren
sij: Transmissionsfaktoren
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 18 / 31

41. Streuparameter Bestimmung
Zwischenübersicht
1 Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
2 Wellengrößen
3 Streuparameter
Definition
Bestimmung
Messung
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 19 / 31

42. Streuparameter Bestimmung
Bestimmung der Streuparameter
Definitionsgleichungen:
b1 = s11 · a1 + s12 · a2 (15)
b2 = s21 · a1 + s22 · a2 (16)
Bestimmung mit reflexionsfreiem Abschluss:
s11 =
b1
a1 a2=0
(17a)
s12 =
b1
a2 a1=0
(17b)
s21 =
b2
a1 a2=0
(17c)
s22 =
b2
a2 a1=0
(17d)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 20 / 31

43. Streuparameter Bestimmung
Umrechnung zwischen Streu- und
Impedanzparametern
Impedanzparameter aus Streuparametern:
z = [E + s] · [E − s]−1
· Zc (18)
E: Einheitsmatrix
Streuparameter aus Impedanzparametern:
s = [z − E · Zc] · [z + E · Zc]−1
(19)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 21 / 31

44. Streuparameter Messung
Zwischenübersicht
1 Wiederholung: Impedanz- und Admittanzparameter
2 Wellengrößen
3 Streuparameter
Definition
Bestimmung
Messung
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 22 / 31

45. Streuparameter Messung
Motivation
Lord Kelvin (William Thomson,
1824–1907)
If you can not measure it, you
can not improve it.
Abbildung: Lord Kelvin (1906)
Quelle: Smithsonian Institution from United States,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?
curid=6866435
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 23 / 31

46. Streuparameter Messung
Vektorieller Netzwerkanalysator
Quelle: Rohde & Schwarz GmbH & Co. KG München, CC BY 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5502214
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 24 / 31

47. Streuparameter Messung
Vektorieller Netzwerkanalysator
Quelle: Rohde & Schwarz GmbH & Co. KG
München, CC BY 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/
index.php?curid=5502214
=
Quelle: skeeze, CC0,
https://pixabay.com/de/schweizer-
taschenmesser-werkzeuge-572667/
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 25 / 31

48. Streuparameter Messung
Beispiel
Drahtantenne mit 15 cm Länge:
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 26 / 31

49. Streuparameter Messung
Speichern der Streuparameter
Touchstone-Dateiformat:
!---------------------------------------------------------------------
! ZVM, 3.52
!---------------------------------------------------------------------
! symbol freq-unit parameter-type data-format keyword impedance-ohm
# HZ S RI R 50
!---------------------------------------------------------------------
! freq reS11 imS11
1.00000000000E+07 1.01627 -0.00379976
1.19950000000E+07 1.04348 0.0479264
1.39900000000E+07 0.975739 -0.00625008
1.59850000000E+07 0.981508 -0.00598559
1.79800000000E+07 1.00152 -0.0453621
...
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 27 / 31

50. Streuparameter Messung
Darstellung als Bode-Diagramm
10−1
100Betrag
107
108 109
−180
−90
0
90
180
Frequenz, f in Hz
Phasein°
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 28 / 31

51. Streuparameter Messung
Darstellung als Smith-Diagramm
0,2 0,5 1 2 5
0
0,2
0,5
1
2
5
−0,2
−0,5
−1
−2
−5
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 29 / 31

52. Streuparameter Messung
Ausblick
Wellenkettenparameter:
b1
a1
=
t11 t12
t21 t22
·
a2
b2
(20)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 30 / 31

53. Streuparameter Messung
Ausblick
Wellenkettenparameter:
b1
a1
=
t11 t12
t21 t22
·
a2
b2
(20)
A B
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 30 / 31

54. Streuparameter Messung
Ausblick
Wellenkettenparameter:
b1
a1
=
t11 t12
t21 t22
·
a2
b2
(20)
A B
tges = tA · tB (21)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 30 / 31

55. Streuparameter Messung
Ausblick
Wellenkettenparameter:
b1
a1
=
t11 t12
t21 t22
·
a2
b2
(20)
A B
tges = tA · tB (21)
Weitere nützliche Parameter:
M-Parameter: Mixed-Mode-Parameter für differentielle
Leitungssysteme
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 30 / 31

56. Streuparameter Messung
Ausblick
Wellenkettenparameter:
b1
a1
=
t11 t12
t21 t22
·
a2
b2
(20)
A B
tges = tA · tB (21)
Weitere nützliche Parameter:
M-Parameter: Mixed-Mode-Parameter für differentielle
Leitungssysteme
X-Parameter: für nichtlineare Komponenten (Großsignalverhalten)
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 30 / 31

57. Streuparameter Messung
Übungsaufgaben
Dr.-Ing. Mathias Magdowski Streuparameter eines linearen Zweitores 31 / 31