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Mathematische Probleme lösen mit Hilfe von Mindmaps
Dr. Thomas Teepe
Alosenweg 37
70329 Stuttgart
E-Mail: thomasteepe@web.de

Überblick

In diesem Text möchte ich eine Methode zur Bearbeitung mathematischer Probleme darstellen.
Dabei geht es nicht in erster Linie um die Elemente einer mathematischen Heuristik selbst (wie etwa die
Strategie der Rückwärtssuche oder die Betrachtung von Extremfällen), sondern es geht um eine Technik, mit der
diese Elemente gezielt eingesetzt werden können.

Die Methode nutzt wesentliche Ideen des Mindmapping. Diese bekannte Technik zum Sammeln und Ordnen von
Ideen wird im Abschnitt I beschrieben. Sofern der Leser mit dem Mindmapping vertraut ist, kann er diesen
Abschnitt überspringen.
Die Grundidee der Methode besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden:
- Das gegebene Problem wird in einer Mindmap bearbeitet;
- dabei werden Lösungswerkzeuge aus einer oder mehreren Hilfs-Mindmaps herangezogen.
Dieses Vorgehen wird in Abschnitt II vorgestellt.
Im Abschnitt III wird untersucht, wie die Methode auf das Lösen mathematischer Probleme angewendet werden
kann. Im Mittelpunkt steht dabei der Aufbau der benutzten Mindmaps.


Inhaltsverzeichnis

I.     Mindmapping .................................................................................................................................................. 2
    I.1    Grundlagen.............................................................................................................................................. 2
    I.2    Anleitung zur Erstellung von Mindmaps ................................................................................................ 2
    I.3    Diskussion ............................................................................................................................................... 2
    I.4    Bemerkungen .......................................................................................................................................... 2
II.      Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps................................................. 3
    II.1   Grundidee und Bezeichnungen ............................................................................................................... 3
    II.2   Die Arbeit mit Werkzeug-Maps .............................................................................................................. 3
    II.3   Diskussion ............................................................................................................................................... 4
III.     Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme ............................... 5
    III.1 Gliederung der Problem-Map.................................................................................................................. 5
    III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps ............................................................................................................. 6
    III.3 Diskussion ............................................................................................................................................. 12
IV.      Literaturverzeichnis................................................................................................................................... 12
I.   Mindmapping
I.1 Grundlagen

Mindmapping ist eine einfache und wirkungsvolle Technik zum Sammeln und Aufbereiten von Ideen.
Entwickelt wurde diese Technik in den 1970er Jahren von dem Engländer Tony Buzan.
Beim Mindmapping sollen die folgenden Fähigkeiten des menschlichen Gehirns besser genutzt werden:
- Assoziationen bilden,
- Hierarchien von Begriffen bilden und
- sowohl in Wörtern als auch in Bildern denken.
Herkömmliche Techniken zum Aufzeichnen von Ideen nutzen diese Fähigkeiten oft unzureichend oder
unterdrücken sie sogar.

I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps

-   Man benötigt ein Blatt Papier, vorzugsweise im Format DIN A4 oder größer, und Schreibstifte,
    vorzugsweise in verschiedenen Farben.
- Man benutzt das Papier im Querformat. Dies erleichtert das Layout der Mindmap.
- In die Mitte des Papiers schreibt man das Thema der Mindmap und zeichnet einen Rahmen darum. Dadurch
    kann man die Ideen buchstäblich in alle Richtungen entwickeln und behält zugleich das zentrale Thema im
    Blick.
- Die Hauptideen werden um dieses Zentrum herum aufgeschrieben und durch Linien mit dem Zentrum
    verbunden. Diese Ideen-Äste werden durch Ideen-Zweige und -Unterzweige verfeinert. Durch diese
    Baumstrukturen entstehen Hierarchien von Begriffen. Neue Einfälle können sachgerecht an passenden Orten
    eingefügt werden.
- Beim Mindmapping sollte man Stichwörter anstelle ganzer Sätze verwenden, um Redundanz zu vermeiden
    und Platz zu sparen. Zudem lassen sich Assoziationen leichter zu einzelnen Wörtern bilden als zu einem
    ganzen Satz.
- Man sollte oft Symbole und kleine Zeichnungen verwenden, um die Fähigkeiten des Gehirns zu bildhaftem
    Denken auszunutzen.
- Man kann die Ideen in der Mindmap über die hierarchische Gliederung hinaus organisieren, indem man sie
    nummeriert, Wichtiges grafisch hervorhebt und Ideen durch Pfeile verbindet.
Die genannten Regeln können abgeändert werden, wenn dies dem Zweck der Mindmap dient.
Von solchen Abweichungen wird im Folgenden häufig Gebrauch gemacht.

I.3 Diskussion

Vorteile:
- Mindmapping ist eine sehr wirkungsvolle Methode, um Ideen zu sammeln und zu ordnen.
- Es ist praktisch überall verfügbar.
- Es ist außerordentlich breit einsetzbar.
- Die Anwendung ist einfach, macht Spaß und führt rasch zu Erfolgen.

Nachteile:
- Die Stichwörter und Symbole in einer Mindmap geben einen Gedanken oft nur skizzenhaft wieder.
   Deshalb eignen sich Mindmaps nur dann zur Vermittlung von Ideen, wenn sie für diesen Zweck aufbereitet
   werden.
- Ideen in einem intuitiven, nicht-sprachlichen und nicht-bildhaftem Stadium lassen sich in Mindmaps nicht
   sinnvoll erfassen.
- Mindmaps können dazu verführen, die wesentlichen Aspekte eines Problems unbearbeitet zu lassen und sich
   stattdessen mit seinen zugänglicheren Aspekten zu beschäftigen oder sich in übermäßigen Vorplanungen zu
   verlieren.


I.4 Bemerkungen

Eine umfassende Darstellung des Mindmapping bieten Tony und Barry Buzan (Buzan/Buzan 1999).




                                                    2
Es gibt eine wachsende Zahl von Computer-Programmen für das Mindmapping. Zumindest eines dieser
Programme (mit Namen „Freemind“) kann kostenlos im Internet heruntergeladen werden; zu anderen
Programmen gibt es kostenlose Testversionen.
Internet-Suchmaschinen liefern einen raschen Überblick über das Angebot an Mindmapping-Programmen.


II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps
II.1 Grundidee und Bezeichnungen

Die Grundidee besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden.
1. Das gegebene Problem wird in der so genannten Problem-Map (PM) bearbeitet.
2. Unterstützt wird die Bearbeitung durch eine Reihe von Werkzeug-Maps (WMs). Diese WMs enthalten
    Operatoren, also Strategien und Techniken, die die Lösung von Problemen unterstützen.
Die gleichzeitige Verwendung von PM und WMs wird im folgenden Werkzeug-Mapping genannt.

II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps

Im Folgenden werden die drei wesentlichen Aspekte der Arbeit mit WMs untersucht:
(a) Zusammenstellung der WMs,
(b) Verwendung der WMs beim Bearbeiten von Problemen und
(c) Anpassung der WMs.

(a) Zusammenstellung der WMs
Es gibt mehrere Ausgangspunkte für die Zusammenstellung von WMs:
- Der Benutzer organisiert die heuristischen Kenntnisse, die er bereits besitzt, in WMs und entwickelt dieses
     System weiter.
- Der Benutzer organisiert heuristische Empfehlungen aus der einschlägigen Literatur in WMs.
- Der Benutzer arbeitet mit WMs, die er von einem Lehrer erhalten hat.
 Ein bloßes Aufhäufen von Operatoren in den WMs ist in jedem Fall nur wenig sinnvoll. Die Operatoren sollten
vielmehr so angeordnet werden, dass diejenigen Operatoren, die in einer Bearbeitungssituation von Nutzen sind,
leicht gefunden werden können.
Damit stellt sich die Frage nach den Prinzipien für die Gliederung der WMs. Einige werden nun vorgestellt.

Gliederung nach Bearbeitungsphasen:
Die Bearbeitung eines Problems lässt sich aufteilen in verschiedene Phasen, wie etwa Orientierungsteil,
Ausführungsteil und Kontrollteil (vgl. Sell/Schimweg 2002, Kap. 4; ähnlich Polya 1988, S. 5ff).
Gliederung nach Operatorgruppen:
Beispiele für Operatorgruppen sind etwa Analysetechniken oder Kreativitätstechniken.
Gliederung nach Bearbeitungssituationen:
Eine Bearbeitungssituation kann etwa darin bestehen, dass noch unklar ist, worin das Problem überhaupt besteht,
welche Lösungsansätze in Frage kommen, welcher von mehreren Lösungswegen eingeschlagen werden soll oder
darin, dass bei der Verfolgung eines Lösungsansatzes Hindernisse auftreten.
In den WMs kann es Operatoren zur Untersuchung solcher Schwierigkeiten geben. Diesen „Diagnose-
Operatoren“ können dann „Therapie-Operatoren“ zugeordnet werden, mit denen die Schwierigkeiten bewältigt
werden können.
Beispiel: Der Benutzer merkt, dass er einen Ansatz augenblicklich nicht weiter voranbringen kann. Mit einem
Fragenkatalog kann er prüfen,
- ob die verwendeten Begriffe unklar sind,
- ob unsichere Hypothesen die weitere Arbeit stören,
- ob die Beziehungen von Bestandteilen des Problems unübersichtlich sind oder
- ob er nicht weiß, was als nächstes zu tun ist.
Abhängig vom Ergebnis dieser Prüfung kann er gezielt Operatoren benutzen, um die Schwierigkeiten zu
beseitigen.
Gliederung nach fachlichen Aspekten:
Bei der Gliederung nach fachlichen Aspekten lassen sich Operatoren danach zusammenfassen, zu welcher
Teildisziplin sie gehören oder auf welche Objekte sie sich anwenden lassen.

Diese Gliederungen überlappen sich teilweise; dabei hat jede einzelne ihre sinnvollen Anwendungen. Es
empfiehlt sich daher, sie parallel zu verwenden. Ein gewisses Maß an Redundanzen und Querverweisen
zwischen den verschiedenen Gliederungen ist dabei vorteilhaft.

                                                      3
Wenn die Zahl benutzter Gliederungen eine gewisse Grenze überschreitet, ist es sinnvoll, mehrere WMs zu
erstellen. Der Nutzen eines derartigen Satzes von WMs hängt entscheidend von seiner Gesamtstruktur ab; eine
Reduktion auf die einzelnen Techniken, die in den Blättern der Baumstruktur einer WM zu finden sind, ist nicht
möglich. Sinnvoll ist es stattdessen, den gesamten Satz von WMs selbst als einen Super-Operator mit einer
Hierarchie von Sub-Operatoren aufzufassen.

(b) Verwendung der Werkzeug-Maps beim Bearbeiten von Problemen
Der Benutzer kann aus den verschiedenen Gliederungen diejenigen auswählen, die zu seinen Zielen und der
augenblicklichen Bearbeitungssituation passen.
Sofern die WMs, wie oben beschrieben, Operatoren zur Diagnose und Therapie von Schwierigkeiten in einer
Bearbeitungssituation enthalten, kann sich der Benutzer hiervon leiten lassen.
Die Verwendung von WMs ist ebenso wie die sonstige Bearbeitung eines Problems stark von der Intuition des
Benutzers beeinflusst. Es erscheint deshalb nicht sinnvoll, die Verwendung von WMs in ein enges Korsett von
Regeln zu zwängen.

Wenn die WMs dem Benutzer bei der Bearbeitung nur wenig nutzen, so können ihre Mängel bei der Rückschau
untersucht und beseitigt werden.

(c) Anpassen der Werkzeug-Maps und die Bedeutung der Rückschau
Die WMs sind nicht als statische Objekte gedacht. Der Benutzer soll sie laufend seinen Erfahrungen,
Kenntnissen, Bedürfnissen und Vorlieben anpassen können.1

Die Anpassung der WMs kann wiederum unterstützt werden durch Operatoren in der WM, mit denen das
Vorgehen beim Bearbeiten eines Problems ausgewertet werden kann. 2
Zu diesen Operatoren können etwa die folgenden Fragen gehören:
- An welchen Stellen und aus welchen Gründen war die Bearbeitung des Problems gestört?
- Durch welche Operatoren hätte sich das vermeiden lassen?
- Welche neuen Operatoren sollten in die WMs aufgenommen werden, und wie sollten sie eingegliedert
    werden?
- Was war ausschlaggebend für den Erfolg?
- Wie lässt sich das auf andere Probleme übertragen?

Bei der laufenden Anpassung der WMs sollte eine Überfrachtung mit Operatoren, die allzu selten genutzt
werden können, sorgfältig vermieden werden.


II.3 Diskussion

Vorteile:
- Werkzeug-Mapping regt dazu an, sich mit dem eigenen Verhalten bei der Bearbeitung von Problemen zu
   beschäftigen.
- Werkzeug-Mapping kann angepasst werden an verschiedene Problemtypen und an die Erfahrungen,
   Kenntnisse, Bedürfnisse und Vorlieben des Benutzers. Insbesondere ist eine laufende Weiterentwicklung
   der WMs während einer längeren Lernphase sinnvoll.
- Werkzeug-Mapping kann als ein sich selbst verbessernder Prozess konstruiert werden: Spezielle Operatoren
   für die Nachbereitung einer Problembearbeitung können helfen, Schwachstellen in der eigenen
   Vorgehensweise und im Aufbau der WMs aufzudecken und zu beheben.
- Werkzeug-Mapping nutzt alle Vorteile des gewöhnlichen Mindmapping. Insbesondere bei den WMs ist die
   Darbietung heuristischer Operatoren in einer Mindmap günstiger als Darbietungen etwa in Form von
   Listen3: Die flächige, grafische und hierarchische Anordnung erleichtert die Orientierung und das Auffinden
   relevanter Operatoren, und weitere Operatoren lassen sich leicht sachgerecht hinzufügen.
- WMs können eine große Zahl von Operatoren darbieten. Dadurch können WMs insbesondere weniger
   erfahrenen Problemlösern nützliche Operatoren ins Gedächtnis rufen.
- Die selbstständige Erstellung eigener WMs verankert heuristische Operatoren im Arbeitsgedächtnis.
- Durch die Verbindung von Diagnose- mit Therapie-Operatoren kann der Benutzer sehr gezielt Abhilfe für
   seine Schwierigkeiten finden.

1
  Eine Phase der Rückschau ist enorm wichtig, wenn die Fähigkeit, Probleme zu lösen, verbessert werden soll.
Dies wird von zahlreichen Autoren betont, z.B. Mason 1985, S.57ff; Polya 1988, S.14ff.
2
  Bei der Erstellung und nachfolgenden Anpassung der WMs ist Mindmapping-Software nützlich.
3
  Ein prominentes Beispiel einer derartigen Liste findet sich in Polya 1988, S. xvi-xvii.

                                                      4
-   Werkzeug-Mapping unterstützt den Transfer heuristischer Kenntnisse: Ratschläge aus der Literatur können
    in WMs aufbereitet werden; Experten können Teile ihrer Erfahrungen in WMs darstellen und so für
    Anfänger nutzbar machen; Gruppen können gemeinsame WMs erstellen und damit die Erfahrungen der
    Einzelnen für die Gruppe verfügbar machen.

Nachteile:
- Werkzeug-Mapping ist wie jede neue Methode gewöhnungsbedürftig.
- Werkzeug-Mapping ist für Menschen mit einer stark intuitiven Denkweise, die weder ausgeprägt sprachlich
   noch bildlich ist, weniger geeignet.
- Der Benutzer braucht zu Beginn Augenmaß, um die WMs nicht mit einer Überfülle nur scheinbar nützlicher
   Operatoren zu überfrachten. Eine geringere Zahl sinnvoll ausgewählter und strukturierter Operatoren führt
   zu besseren Ergebnissen.


III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme
III.1 Gliederung der Problem-Map

Erfasst werden sollten in der PM alle Schritte, die bei der Bearbeitung des Problems wesentlich sind,
insbesondere
- Operatoren, deren Anwendung versucht werden soll, und
- Ideen, die durch die Anwendung der Operatoren entstanden sind.

Die folgende Grafik gibt einen sinnvollen Aufbau einer PM wieder.

Abb. 1: Allgemeiner Aufbau einer PM
                                                 Ansatz    Ansatz
                                                                      ...
                                                                      ...
                                                                                 ...
                                                           Ansatz     Ansatz
                                                                                 ...
                                 Hauptansatz
                                                 Ansatz               ...

                                                           Ansatz
                        Ziel                                          ...
                                                           Ansatz

                                                 Ansatz
                                                           Ansatz
    Thema                        Hauptansatz     Ansatz
                                                 Ansatz

                                 Hauptansatz


Erläuterungen:
- Der Gesamtüberblick fällt u.U. leichter, wenn man das Thema der PM am linken Rand notiert.
- Eine scharfe Trennung von Zielen, Hauptansätzen und Ansätzen ist für Anwendungen nicht notwendig.
- Im Lauf der Bearbeitung können weitere Ziele hinzukommen.
- In dem Diagramm steht jeder Ansatz oder Hauptansatz für ein Element einer möglichen Lösung: Ein solches
    Element kann etwa ein Operator sein, eine Idee, die bei der Anwendung eines Operators entstanden ist oder
    ein spontaner Einfall für einen Lösungsversuch.
- Der Benutzer kann entscheiden, bis zu welchem Auflösungsgrad die PM die Bearbeitung des Problems
    abbilden soll: Ein erfahrener Problemlöser kann auf die Dokumentation einzelner Zwischenschritte
    verzichten.

Die obige Darstellung ist aus folgenden Gründen günstig:
- Sie dokumentiert sinnvoll die einzelnen Bearbeitungsschritte. Insbesondere gibt sie wieder, welche Ansätze
    untersucht worden sind und was dabei herausgekommen ist. Die Bearbeitungsversuche sind gemäß ihren
    Abhängigkeiten gegliedert. (In Wirklichkeit stehen die Gedanken natürlich nicht in strikt hierarchischer
    Beziehung zueinander. Dennoch gibt die vorgeschlagene Struktur die Verhältnisse gut wieder.
    Verfeinerungen durch Querverweise sind leicht möglich.)
- Sie kann flexibel verschiedene heuristische Vorgehensweisen abbilden, insbesondere Vorwärts- und
    Rückwärtssuche.

                                                     5
-    Sie ermöglicht es, rasch die kritischen Punkte bei der Bearbeitung eines Problems zu erkennen:
     -    Ziele und Hauptansätze – hier werden grundsätzliche Entscheidungen über Lösungswege getroffen;
     -    sonstige Verzweigungspunkte – hier werden weitere Entscheidungen über den Lösungsweg getroffen;
          evtl. wurden an diesen Stellen alternative Ansätze noch nicht berücksichtigt;
     -    Endpunkte, in denen die Verfolgung eines Ansatzes zumindest vorläufig abbricht.
     An diesen Punkten ergeben sich oft charakteristische Schwierigkeiten bei der Bearbeitung eines Problems.
     Die WMs können gemäß diesen Schwierigkeiten gegliedert werden und sodann gezielt Operatoren für deren
     Bewältigung zur Verfügung stellen.


III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps

Es folgt eine Auswahl aus einem Satz von WMs.
Dabei geht es mir weit weniger um einzelne Operatoren und ihre Anordnung, sondern um eine Illustration der
Grundideen des Werkzeug-Mapping.
Auswahl und Anordnung der Operatoren orientieren sich teilweise an zwei Büchern zur mathematischen
Heuristik, in denen es um Aufgaben aus nationalen und internationalen Mathematik-Wettbewerben geht (Engel
1998; Zeitz 1999).

Der gesamte Satz von WMs ist baumartig gegliedert. Die folgende Map bildet die Wurzel dieses Baums und
dient zur allgemeinen Orientierung während der Bearbeitung eines Problems.
Die Pfeile „>>“ verweisen auf andere WMs.
Wegen ihrer besonderen Bedeutung ist die Rückschau getrennt aufgeführt.

Abb. 2: Mathematische Probleme lösen (WM)

                                                    >> Problem erfassen
                                Problem
                                                    >> Ansätze erzeugen
                                bearbeiten
                                                    >> Ansätze verfolgen
                                                    >> Wissen beschaffen
    Mathematische
      Probleme
        lösen
                                >> Ergebnisse darstellen


                                >> Rückschau



Abb. 3: Problem erfassen (WM)
                                                        Skizze anfertigen
                                                        Bezeichnungen einführen

                             Erste Schritte     Spezialfälle betrachten
                                                                            Systematisieren
                                                        Vereinfachtes Problem
                                                        Verwandte Probleme

                                                          Geometrisch
                                                          Algebraisch
                                                          Algorithmisch
                             Problem-Repräsentation
                                                          Dynamisch/statisch

                                                          Verschiedene Blickwinkel      Koordinatensystem
                                                                                        wählen
    Problem
                                                       Gegebene Größen
    erfassen
                             Problem modifizieren      Gesuchte Größen
                                                       Bedingungen

                             Problem zerlegen
                             Ziel festlegen




                                                           6
Haupt-Anwendungsbereich der folgenden WM:
Die Inhalte der WM „Ansätze erzeugen“ sind von besonderer Bedeutung bei der Suche nach Hauptansätzen und
bei der Suche nach alternativen Ansätzen an Verzweigungspunkten.
An dieser WM lassen sich einige allgemeine Eigenschaften zeigen:
- Die knappen Einträge in der WM können nur dann sinnvoll genutzt werden, wenn sie zuvor erläutert und
     durch Beispiele verdeutlicht worden sind: WMs können Erfahrungen im Bearbeiten von Problemen nicht
     ersetzen.
- Die Orientierung in der WM fällt umso leichter, je genauer man ihre Organisation kennt. Der Benutzer kann
     deshalb großen Nutzen daraus ziehen, wenn er die WMs selbst erarbeitet.
- Sobald ein Ast eine gewisse Größe erreicht, können seine Inhalte in eine separate WM ausgelagert werden.
- Die WM weist Überlappungen mit der WM „Problem erfassen“ auf.


Abb. 3: Ansätze erzeugen (WM)

                           >>Problem erfassen
                                                      Widerspruch
                           Beweisverfahren
                                                      Induktion
                                                                                   Fragestellungen
                                                       Verwandtes suchen
                                                                                   Methoden

                                                                           Vorwärts
                                                       Suchrichtung
                                                                           Rückwärts

                                                       Vorletzten Schritt planen
                           Vorgehensweisen             Zerlegen in Teilprobleme
                                                       Zwischenziele festlegen
                                                       Wunschdenken
                                                                           Gegebene Größen
                                                       Modifizieren        Gesuchte Größen
                                                                           Bedingungen

                                                                      Extremale Elemente untersuchen
                                             Extremalprinzip
                                                                      Monotonisieren

                                                                  Geometrische Symmetrien
                                             Symmetrie            Algebraische Symmetrien
                                                                  Paare bilden
                           Prinzipien
                                                                  Monovarianten
  Ansätze                                                                             Mit Abständen
  erzeugen                                                                            Durch Parität
                                             Invarianten
                                                                  Konstruktion
                                                                                                           Summen
                                                                                      Durch Hilfsobjekte
                                                                                                           Produkte


                                                   Passende Größen definieren
                           Konstruktionen          Funktionen definieren
                                                   Substitutionen

                                             Reihen
                                             Erzeugende Funktionen
                           Werkzeuge
                                             Graphen
                                             ...

                                             >> Algebra
                           Disziplinen       >> Zahlentheorie
                                             >> ...




                                                             7
Haupt-Anwendungsbereich der folgenden WM:
Aus der Struktur der PM ist unmittelbar ersichtlich, welche Ansätze bislang nicht weiter verfolgt worden sind:
Dies sind die oben genannten Endpunkte, von denen keine weiteren Verzweigungen ausgehen. An diesen und
evtl. weiteren Stellen können Operatoren zum Thema „Ansätze verfolgen“ die Bearbeitung voranbringen.
Die Map zeigt, wie Diagnose- und Therapie-Operatoren zusammenwirken: Der Ast „Blockaden beseitigen“ führt
zu verschiedenen Typen von Blockaden (Diagnose).4 Zu jedem Typ findet man dann eine Reihe von Operatoren,
die beim Auflösen dieser Blockade helfen (Therapie).
Die Möglichkeit, Hilfestellungen auch bei emotionalen Schwierigkeiten anzubieten, ist durch den Ast
„Frustration“ nur knapp angedeutet. Dieser Ansatz ist sehr entwicklungsfähig.


Abb. 4: Ansätze verfolgen (WM)

                                                              Unklarheit benennen
                                            Unklarheit        Klärung der Unklarheit als
                                                              Zwischenziel formulieren

                                                                Teilprobleme
                                                                untersuchen
                                            Komplexität
                                                                Spezialfälle untersuchen
                                                                >> Ansätze erzeugen

                            Blockaden       Neuartigkeit
                                                                >> Wissen beschaffen
                            beseitigen
                                                                 Identifizieren
                                            Unsichtbare
                                            Elemente             Informationen über
                                                                 Elemente sammeln
                                                                 >> Wissen beschaffen

                                                                            Identifizieren
                                            Unsichere Hypothesen
                                                                            Überprüfen

                                                               Sich an frühere Erfolge erinnern
                                            Frustration
                                                               Sich selbst Ratschläge geben

                                                     Was spricht für/gegen Abbruch?
    Ansätze                 Abbruch sinnvoll?
                                                     Alternativen zum Abbruch?
    verfolgen
                                                        Verbalisieren
                                                        Visualisieren

                                                Was würde X jetzt tun?
                                                Was würde X mir jetzt raten?
                            Allgemeine
                            Tricks              Zwischenstand zusammenfassen
                                                Abstand zum               Pause machen
                                                Problem gewinnen          Perspektive eines
                                                                          Beobachters einnehmen

                                                Einer anderen Person das Problem
                                                schildern




4
 Die Klassifikation der Blockaden benutzt Ideen aus Dörners Theorie der „Unbestimmtheit“ (vgl. Dörner 1998,
S. 351ff), sofern mir diese für mathematische Fragestellungen relevant erschienen.

                                                          8
Die folgende WM umfasst Teile des Kapitels über Algebra aus dem Buch von Paul Zeitz über mathematisches
Problemlösen (Zeitz 1999, Kap. 5). Sie soll vor allem zeigen, wie nicht nur heuristische Prinzipien in WMs
organisiert werden können, sondern auch mathematisches Wissen. Mathematische Terme lassen sich leicht in
handgeschriebene WMs einfügen; sie fehlen hier aus Gründen der technischen Darstellbarkeit.

Abb. 5: Algebra (WM)

                                  Faktorisierungen
                                                            Binomische Formeln
                                  Quadrate benutzen
                                                                Symmetrien ausnutzen
                                  Substituieren und             Geeignete
                                  Vereinfachen                  Ergänzungen
                                                                                    Faktoren
                                                                einführen
                                                                                    Summanden

                                                     Summen
                                  Teleskop-
                                                     Produkte

                                                      Faktorisierung
                                                      Fundamentalsatz
                                                      Divisionsalgorithmus
                                                                                  Restsatz
   Algebra                        Polynome            Koeffizienten
                                                      und Nullstellen         Elementarsymmetrische
                                                                              Polynome
                                                                                   Lemma von Gauß
                                                      Rationale Nullstellen
                                                                                   Satz über rationale Nullstellen

                                  ...



Die folgende WM erfasst einige Methoden zur Beschaffung mathematischen Wissens.

Abb. 6: Wissen beschaffen (WM)

                                                 Inhaltsverzeichnisse
                       Standardwerke
                                                 Register

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                                         Fragen nach ...         Ansprechpartnern
                                                                 Inhaltlichen Hinweisen




                                                                9
Die vorletzte der vorgestellten WMs soll die Darstellung der Ergebnisse unterstützen. Wesentliche Ideen
stammen aus dem Buch von Beutelspacher zur Formulierung mathematischer Gedanken (Beutelspacher 2002).

Abb. 7: Ergebnisse darstellen

                                                                       In der Problemstellung
                                                                       In eigenen Hilfs-
                                                                       konstruktionen
                                          Welche Gegenstände
                                          treten auf?                              Zahlen
                                                                                   Folgen
                                                                                   Abbildungen
                                                                                   ...

                                          Skizzen anfertigen
                       Allgemeines        Geeignete Bezeichnungen
                       Vorgehen           einführen
                                                                   Eigenschaften
                                                                   fordern
                                          Eigenschaften            Eigenschaften
                                          der Gegenstände          nachweisen
                                                                   Gegenstände mit besonderen
                                                                   Eigenschaften                             Extremale
                                                                                                             Gegenstände

                                          Manipulation an Gegenständen
                                                                                         Durch Abbildungen
                                          mathematisch beschreiben
                                                                                         ...

                                                  Was soll bewiesen werden?
                                                                            Schritt 1, Schritt 2 ...

                                                  Beweis gliedern           Fallunterscheidung
                                                                            Zwischenbehauptungen
                                                                            formulieren

                                                  Beweis-Ende deutlich machen
                                                                                 Formulierung einer
                                                                                 Annahme
 Ergebnisse            Beweise                              Widerspruchs-
                       aufschreiben                                                                          Widerspruch zur
 darstellen                                                 beweis               Schlussfolgerung
                                                                                                             Annahme
                                                                                 ziehen
                                          Standard-                                                          Widerspruch zu gültiger
                                          Beweis-                                                            mathematischer Aussage
                                          verfahren
                                                            Gegenbeispiel
                                                                                         Induktionsanfang
                                                            Induktionsbeweis             Induktionsvoraussetzung
                                                                                         Induktionsschluss

                                                            ...

                                                      Vollständige Sätze!
                                                      Klare, überschaubare Sätze!
                                                                                    Ähnliche Bezeichnungen für
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                       Mathematische Stilistik                                      in Bezeichnungen deutlich machen
                                                                                    Standardbezeichnungen benutzen

                                                                                 Nicht am Anfang!
                                                      Symbole in Sätzen
                                                                                 I.d.R. durch mindestens ein Wort trennen!

                                                      ...




                                                              10
Die abschließende WM zur Rückschau hat drei wesentliche Funktionen:
1. Sie soll die Prüfung von Resultaten und Methoden bei der Bearbeitung eines Problems unterstützen.
2. Sie soll helfen, die WMs laufend den inhaltlichen und methodischen Anforderungen anzupassen.
3. Schließlich soll sie helfen, das eigene Verhalten beim Bearbeiten von Problemen zu verbessern.
Die folgende WM sollte als eine erste Annäherung an das komplexe Thema Rückschau aufgefasst werden.
Die Operatoren zur Verbesserung des allgemeinen Problemlöseverhaltens können losgelöst von einer
unmittelbaren Bearbeitung eines Problems benutzt werden. Auswahl und Gliederung dieser Operatoren ist
teilweise beeinflusst von Überlegungen Csikszentmihalyis (Csikszentmihalyi 2001).


Abb. 6: Rückschau (WM)

                           Wissenslücken aufspüren
                                                             >> Wissen beschaffen
                                                   Prüfung der
                                                   Einzelschritte
                                  Resultate
                                  prüfen                                         Extremfälle
                                                   Ergebnisse plausibel?
                                                                                 Spezialfälle

                                                   Andere Herleitung?

                                  Methoden prüfen
                                                           Weitere Einsatzmöglichkeiten?

                                                     Welche Störungen gab es?
                                                     Ursache der Störungen?
                           Bearbeitungsvorgang
                           prüfen                    Behebung der Störungen?
                                                     Anpassung von HMMs
                                                                                       Neue Operatoren?
                                                     sinnvoll?
                                                                                       Gliederungen verändern?

                                                                                       Arbeitsbedingungen
                                                                                       Arbeitsverhalten
                                                 Was stört die Konzentration?
                                                                                       Geringe Motivation
                                                                                       Sonstige Ablenkungen

                                                 Motivation         Welchen Wert hat es,
                                                 prüfen             das Problem zu bearbeiten?
                                                                    Wie sind die Erfolgsaussichten?

                                                 Herausforderungen          Problem ggf.
                                                 angemessen?                vereinfachen
                                                                            Erfolgsmaßstäbe bedenken
 Rückschau                                                           Deutliche Ziele
                                                 Ziele setzen
                           Allgemeine                                Erreichbare Ziele
                                                                                            Zwischenziele setzen
                           Vorgehensweise
                           verbessern                                                        Umgang mit
                                                                         Gefühlslage         quot;Unbehagenquot;
                                                                                             während der         Wahrnehmen
                                                 Rückmeldungen           beachten
                                                 auffinden und                               Bearbeitung         Benennen
                                                 verarbeiten                                                     Klären

                                                                         Rückmeldungen
                                                                                                 Vermutungen formulieren
                                                                         aus dem Problem
                                                                                                 Vermutungen überprüfen

                                                 Allgemein: Schwächen
                                                                                Ursachen der Schwächen?
                                                 analysieren
                                                                                Verbesserungen?

                                                                 Untersuchen
                                                 Vorbilder
                                                                 Nachahmen

                                                 Konstruktion nützlicher
                                                 Operatoren?




                                                      11
III.3 Diskussion

Vorteile:
- Die PM liefert eine sinnvolle Dokumentation der Bearbeitungsschritte.
- Kritische Punkte in der Bearbeitung des Problems lassen sich anhand der PM leicht identifizieren. Zu diesen
   kritischen Punkten lassen sich dann gezielt Hilfsoperatoren in den WMs finden.

Nachteile:
- Wenn Probleme umfangreiche Nebenrechnungen oder platzraubende Skizzen benötigen, so kann es
   Probleme mit dem Layout der PM geben.
   Dies lässt sich durch Querverweise in den Griff bekommen; Nebenrechnungen und Skizzen können auf
   gesonderten Blättern angefertigt werden.


IV. Literaturverzeichnis
Beutelspacher, Albrecht (2002) “Das ist o.B.d.A. trivial” Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer
Gedanken. 6. Auflage, Vieweg, Braunschweig.
Buzan, Tony; Buzan Barry (1999) Das Mind-Map-Buch. 4. Auflage, Mvg, Landsberg.
Csikszentmihalyi, Mihaly (2001) Flow – Das Geheimnis des Glücks. 9. Auflage, Klett-Cotta, Stuttgart.
Dörner, Dietrich (1998) Bauplan für eine Seele. Rowohlt, Reinbek.
Engel, Arthur (1998) Problem-Solving Strategies. Springer, New York.
Mason, John (1985) Hexeneinmaleins. Oldenbourg, München.
Polya, George (1988) How to Solve it. Princeton University Press, Princeton.
Sell, Robert; Schimweg, Ralf (2002) Probleme lösen. Springer, Berlin.
Zeitz, Paul (1999) The Art and Craft of Problem Solving. Wiley, New York.

Die Mindmapping-Software FreeMind ist zugänglich unter
www.sourceforge.net (zuletzt aufgerufen Anfang November 2005)




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Mathematische Probleme LöSen Mit Mindmaps

  • 1. Mathematische Probleme lösen mit Hilfe von Mindmaps Dr. Thomas Teepe Alosenweg 37 70329 Stuttgart E-Mail: thomasteepe@web.de Überblick In diesem Text möchte ich eine Methode zur Bearbeitung mathematischer Probleme darstellen. Dabei geht es nicht in erster Linie um die Elemente einer mathematischen Heuristik selbst (wie etwa die Strategie der Rückwärtssuche oder die Betrachtung von Extremfällen), sondern es geht um eine Technik, mit der diese Elemente gezielt eingesetzt werden können. Die Methode nutzt wesentliche Ideen des Mindmapping. Diese bekannte Technik zum Sammeln und Ordnen von Ideen wird im Abschnitt I beschrieben. Sofern der Leser mit dem Mindmapping vertraut ist, kann er diesen Abschnitt überspringen. Die Grundidee der Methode besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden: - Das gegebene Problem wird in einer Mindmap bearbeitet; - dabei werden Lösungswerkzeuge aus einer oder mehreren Hilfs-Mindmaps herangezogen. Dieses Vorgehen wird in Abschnitt II vorgestellt. Im Abschnitt III wird untersucht, wie die Methode auf das Lösen mathematischer Probleme angewendet werden kann. Im Mittelpunkt steht dabei der Aufbau der benutzten Mindmaps. Inhaltsverzeichnis I. Mindmapping .................................................................................................................................................. 2 I.1 Grundlagen.............................................................................................................................................. 2 I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps ................................................................................................ 2 I.3 Diskussion ............................................................................................................................................... 2 I.4 Bemerkungen .......................................................................................................................................... 2 II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps................................................. 3 II.1 Grundidee und Bezeichnungen ............................................................................................................... 3 II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps .............................................................................................................. 3 II.3 Diskussion ............................................................................................................................................... 4 III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme ............................... 5 III.1 Gliederung der Problem-Map.................................................................................................................. 5 III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps ............................................................................................................. 6 III.3 Diskussion ............................................................................................................................................. 12 IV. Literaturverzeichnis................................................................................................................................... 12
  • 2. I. Mindmapping I.1 Grundlagen Mindmapping ist eine einfache und wirkungsvolle Technik zum Sammeln und Aufbereiten von Ideen. Entwickelt wurde diese Technik in den 1970er Jahren von dem Engländer Tony Buzan. Beim Mindmapping sollen die folgenden Fähigkeiten des menschlichen Gehirns besser genutzt werden: - Assoziationen bilden, - Hierarchien von Begriffen bilden und - sowohl in Wörtern als auch in Bildern denken. Herkömmliche Techniken zum Aufzeichnen von Ideen nutzen diese Fähigkeiten oft unzureichend oder unterdrücken sie sogar. I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps - Man benötigt ein Blatt Papier, vorzugsweise im Format DIN A4 oder größer, und Schreibstifte, vorzugsweise in verschiedenen Farben. - Man benutzt das Papier im Querformat. Dies erleichtert das Layout der Mindmap. - In die Mitte des Papiers schreibt man das Thema der Mindmap und zeichnet einen Rahmen darum. Dadurch kann man die Ideen buchstäblich in alle Richtungen entwickeln und behält zugleich das zentrale Thema im Blick. - Die Hauptideen werden um dieses Zentrum herum aufgeschrieben und durch Linien mit dem Zentrum verbunden. Diese Ideen-Äste werden durch Ideen-Zweige und -Unterzweige verfeinert. Durch diese Baumstrukturen entstehen Hierarchien von Begriffen. Neue Einfälle können sachgerecht an passenden Orten eingefügt werden. - Beim Mindmapping sollte man Stichwörter anstelle ganzer Sätze verwenden, um Redundanz zu vermeiden und Platz zu sparen. Zudem lassen sich Assoziationen leichter zu einzelnen Wörtern bilden als zu einem ganzen Satz. - Man sollte oft Symbole und kleine Zeichnungen verwenden, um die Fähigkeiten des Gehirns zu bildhaftem Denken auszunutzen. - Man kann die Ideen in der Mindmap über die hierarchische Gliederung hinaus organisieren, indem man sie nummeriert, Wichtiges grafisch hervorhebt und Ideen durch Pfeile verbindet. Die genannten Regeln können abgeändert werden, wenn dies dem Zweck der Mindmap dient. Von solchen Abweichungen wird im Folgenden häufig Gebrauch gemacht. I.3 Diskussion Vorteile: - Mindmapping ist eine sehr wirkungsvolle Methode, um Ideen zu sammeln und zu ordnen. - Es ist praktisch überall verfügbar. - Es ist außerordentlich breit einsetzbar. - Die Anwendung ist einfach, macht Spaß und führt rasch zu Erfolgen. Nachteile: - Die Stichwörter und Symbole in einer Mindmap geben einen Gedanken oft nur skizzenhaft wieder. Deshalb eignen sich Mindmaps nur dann zur Vermittlung von Ideen, wenn sie für diesen Zweck aufbereitet werden. - Ideen in einem intuitiven, nicht-sprachlichen und nicht-bildhaftem Stadium lassen sich in Mindmaps nicht sinnvoll erfassen. - Mindmaps können dazu verführen, die wesentlichen Aspekte eines Problems unbearbeitet zu lassen und sich stattdessen mit seinen zugänglicheren Aspekten zu beschäftigen oder sich in übermäßigen Vorplanungen zu verlieren. I.4 Bemerkungen Eine umfassende Darstellung des Mindmapping bieten Tony und Barry Buzan (Buzan/Buzan 1999). 2
  • 3. Es gibt eine wachsende Zahl von Computer-Programmen für das Mindmapping. Zumindest eines dieser Programme (mit Namen „Freemind“) kann kostenlos im Internet heruntergeladen werden; zu anderen Programmen gibt es kostenlose Testversionen. Internet-Suchmaschinen liefern einen raschen Überblick über das Angebot an Mindmapping-Programmen. II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps II.1 Grundidee und Bezeichnungen Die Grundidee besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden. 1. Das gegebene Problem wird in der so genannten Problem-Map (PM) bearbeitet. 2. Unterstützt wird die Bearbeitung durch eine Reihe von Werkzeug-Maps (WMs). Diese WMs enthalten Operatoren, also Strategien und Techniken, die die Lösung von Problemen unterstützen. Die gleichzeitige Verwendung von PM und WMs wird im folgenden Werkzeug-Mapping genannt. II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps Im Folgenden werden die drei wesentlichen Aspekte der Arbeit mit WMs untersucht: (a) Zusammenstellung der WMs, (b) Verwendung der WMs beim Bearbeiten von Problemen und (c) Anpassung der WMs. (a) Zusammenstellung der WMs Es gibt mehrere Ausgangspunkte für die Zusammenstellung von WMs: - Der Benutzer organisiert die heuristischen Kenntnisse, die er bereits besitzt, in WMs und entwickelt dieses System weiter. - Der Benutzer organisiert heuristische Empfehlungen aus der einschlägigen Literatur in WMs. - Der Benutzer arbeitet mit WMs, die er von einem Lehrer erhalten hat. Ein bloßes Aufhäufen von Operatoren in den WMs ist in jedem Fall nur wenig sinnvoll. Die Operatoren sollten vielmehr so angeordnet werden, dass diejenigen Operatoren, die in einer Bearbeitungssituation von Nutzen sind, leicht gefunden werden können. Damit stellt sich die Frage nach den Prinzipien für die Gliederung der WMs. Einige werden nun vorgestellt. Gliederung nach Bearbeitungsphasen: Die Bearbeitung eines Problems lässt sich aufteilen in verschiedene Phasen, wie etwa Orientierungsteil, Ausführungsteil und Kontrollteil (vgl. Sell/Schimweg 2002, Kap. 4; ähnlich Polya 1988, S. 5ff). Gliederung nach Operatorgruppen: Beispiele für Operatorgruppen sind etwa Analysetechniken oder Kreativitätstechniken. Gliederung nach Bearbeitungssituationen: Eine Bearbeitungssituation kann etwa darin bestehen, dass noch unklar ist, worin das Problem überhaupt besteht, welche Lösungsansätze in Frage kommen, welcher von mehreren Lösungswegen eingeschlagen werden soll oder darin, dass bei der Verfolgung eines Lösungsansatzes Hindernisse auftreten. In den WMs kann es Operatoren zur Untersuchung solcher Schwierigkeiten geben. Diesen „Diagnose- Operatoren“ können dann „Therapie-Operatoren“ zugeordnet werden, mit denen die Schwierigkeiten bewältigt werden können. Beispiel: Der Benutzer merkt, dass er einen Ansatz augenblicklich nicht weiter voranbringen kann. Mit einem Fragenkatalog kann er prüfen, - ob die verwendeten Begriffe unklar sind, - ob unsichere Hypothesen die weitere Arbeit stören, - ob die Beziehungen von Bestandteilen des Problems unübersichtlich sind oder - ob er nicht weiß, was als nächstes zu tun ist. Abhängig vom Ergebnis dieser Prüfung kann er gezielt Operatoren benutzen, um die Schwierigkeiten zu beseitigen. Gliederung nach fachlichen Aspekten: Bei der Gliederung nach fachlichen Aspekten lassen sich Operatoren danach zusammenfassen, zu welcher Teildisziplin sie gehören oder auf welche Objekte sie sich anwenden lassen. Diese Gliederungen überlappen sich teilweise; dabei hat jede einzelne ihre sinnvollen Anwendungen. Es empfiehlt sich daher, sie parallel zu verwenden. Ein gewisses Maß an Redundanzen und Querverweisen zwischen den verschiedenen Gliederungen ist dabei vorteilhaft. 3
  • 4. Wenn die Zahl benutzter Gliederungen eine gewisse Grenze überschreitet, ist es sinnvoll, mehrere WMs zu erstellen. Der Nutzen eines derartigen Satzes von WMs hängt entscheidend von seiner Gesamtstruktur ab; eine Reduktion auf die einzelnen Techniken, die in den Blättern der Baumstruktur einer WM zu finden sind, ist nicht möglich. Sinnvoll ist es stattdessen, den gesamten Satz von WMs selbst als einen Super-Operator mit einer Hierarchie von Sub-Operatoren aufzufassen. (b) Verwendung der Werkzeug-Maps beim Bearbeiten von Problemen Der Benutzer kann aus den verschiedenen Gliederungen diejenigen auswählen, die zu seinen Zielen und der augenblicklichen Bearbeitungssituation passen. Sofern die WMs, wie oben beschrieben, Operatoren zur Diagnose und Therapie von Schwierigkeiten in einer Bearbeitungssituation enthalten, kann sich der Benutzer hiervon leiten lassen. Die Verwendung von WMs ist ebenso wie die sonstige Bearbeitung eines Problems stark von der Intuition des Benutzers beeinflusst. Es erscheint deshalb nicht sinnvoll, die Verwendung von WMs in ein enges Korsett von Regeln zu zwängen. Wenn die WMs dem Benutzer bei der Bearbeitung nur wenig nutzen, so können ihre Mängel bei der Rückschau untersucht und beseitigt werden. (c) Anpassen der Werkzeug-Maps und die Bedeutung der Rückschau Die WMs sind nicht als statische Objekte gedacht. Der Benutzer soll sie laufend seinen Erfahrungen, Kenntnissen, Bedürfnissen und Vorlieben anpassen können.1 Die Anpassung der WMs kann wiederum unterstützt werden durch Operatoren in der WM, mit denen das Vorgehen beim Bearbeiten eines Problems ausgewertet werden kann. 2 Zu diesen Operatoren können etwa die folgenden Fragen gehören: - An welchen Stellen und aus welchen Gründen war die Bearbeitung des Problems gestört? - Durch welche Operatoren hätte sich das vermeiden lassen? - Welche neuen Operatoren sollten in die WMs aufgenommen werden, und wie sollten sie eingegliedert werden? - Was war ausschlaggebend für den Erfolg? - Wie lässt sich das auf andere Probleme übertragen? Bei der laufenden Anpassung der WMs sollte eine Überfrachtung mit Operatoren, die allzu selten genutzt werden können, sorgfältig vermieden werden. II.3 Diskussion Vorteile: - Werkzeug-Mapping regt dazu an, sich mit dem eigenen Verhalten bei der Bearbeitung von Problemen zu beschäftigen. - Werkzeug-Mapping kann angepasst werden an verschiedene Problemtypen und an die Erfahrungen, Kenntnisse, Bedürfnisse und Vorlieben des Benutzers. Insbesondere ist eine laufende Weiterentwicklung der WMs während einer längeren Lernphase sinnvoll. - Werkzeug-Mapping kann als ein sich selbst verbessernder Prozess konstruiert werden: Spezielle Operatoren für die Nachbereitung einer Problembearbeitung können helfen, Schwachstellen in der eigenen Vorgehensweise und im Aufbau der WMs aufzudecken und zu beheben. - Werkzeug-Mapping nutzt alle Vorteile des gewöhnlichen Mindmapping. Insbesondere bei den WMs ist die Darbietung heuristischer Operatoren in einer Mindmap günstiger als Darbietungen etwa in Form von Listen3: Die flächige, grafische und hierarchische Anordnung erleichtert die Orientierung und das Auffinden relevanter Operatoren, und weitere Operatoren lassen sich leicht sachgerecht hinzufügen. - WMs können eine große Zahl von Operatoren darbieten. Dadurch können WMs insbesondere weniger erfahrenen Problemlösern nützliche Operatoren ins Gedächtnis rufen. - Die selbstständige Erstellung eigener WMs verankert heuristische Operatoren im Arbeitsgedächtnis. - Durch die Verbindung von Diagnose- mit Therapie-Operatoren kann der Benutzer sehr gezielt Abhilfe für seine Schwierigkeiten finden. 1 Eine Phase der Rückschau ist enorm wichtig, wenn die Fähigkeit, Probleme zu lösen, verbessert werden soll. Dies wird von zahlreichen Autoren betont, z.B. Mason 1985, S.57ff; Polya 1988, S.14ff. 2 Bei der Erstellung und nachfolgenden Anpassung der WMs ist Mindmapping-Software nützlich. 3 Ein prominentes Beispiel einer derartigen Liste findet sich in Polya 1988, S. xvi-xvii. 4
  • 5. - Werkzeug-Mapping unterstützt den Transfer heuristischer Kenntnisse: Ratschläge aus der Literatur können in WMs aufbereitet werden; Experten können Teile ihrer Erfahrungen in WMs darstellen und so für Anfänger nutzbar machen; Gruppen können gemeinsame WMs erstellen und damit die Erfahrungen der Einzelnen für die Gruppe verfügbar machen. Nachteile: - Werkzeug-Mapping ist wie jede neue Methode gewöhnungsbedürftig. - Werkzeug-Mapping ist für Menschen mit einer stark intuitiven Denkweise, die weder ausgeprägt sprachlich noch bildlich ist, weniger geeignet. - Der Benutzer braucht zu Beginn Augenmaß, um die WMs nicht mit einer Überfülle nur scheinbar nützlicher Operatoren zu überfrachten. Eine geringere Zahl sinnvoll ausgewählter und strukturierter Operatoren führt zu besseren Ergebnissen. III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme III.1 Gliederung der Problem-Map Erfasst werden sollten in der PM alle Schritte, die bei der Bearbeitung des Problems wesentlich sind, insbesondere - Operatoren, deren Anwendung versucht werden soll, und - Ideen, die durch die Anwendung der Operatoren entstanden sind. Die folgende Grafik gibt einen sinnvollen Aufbau einer PM wieder. Abb. 1: Allgemeiner Aufbau einer PM Ansatz Ansatz ... ... ... Ansatz Ansatz ... Hauptansatz Ansatz ... Ansatz Ziel ... Ansatz Ansatz Ansatz Thema Hauptansatz Ansatz Ansatz Hauptansatz Erläuterungen: - Der Gesamtüberblick fällt u.U. leichter, wenn man das Thema der PM am linken Rand notiert. - Eine scharfe Trennung von Zielen, Hauptansätzen und Ansätzen ist für Anwendungen nicht notwendig. - Im Lauf der Bearbeitung können weitere Ziele hinzukommen. - In dem Diagramm steht jeder Ansatz oder Hauptansatz für ein Element einer möglichen Lösung: Ein solches Element kann etwa ein Operator sein, eine Idee, die bei der Anwendung eines Operators entstanden ist oder ein spontaner Einfall für einen Lösungsversuch. - Der Benutzer kann entscheiden, bis zu welchem Auflösungsgrad die PM die Bearbeitung des Problems abbilden soll: Ein erfahrener Problemlöser kann auf die Dokumentation einzelner Zwischenschritte verzichten. Die obige Darstellung ist aus folgenden Gründen günstig: - Sie dokumentiert sinnvoll die einzelnen Bearbeitungsschritte. Insbesondere gibt sie wieder, welche Ansätze untersucht worden sind und was dabei herausgekommen ist. Die Bearbeitungsversuche sind gemäß ihren Abhängigkeiten gegliedert. (In Wirklichkeit stehen die Gedanken natürlich nicht in strikt hierarchischer Beziehung zueinander. Dennoch gibt die vorgeschlagene Struktur die Verhältnisse gut wieder. Verfeinerungen durch Querverweise sind leicht möglich.) - Sie kann flexibel verschiedene heuristische Vorgehensweisen abbilden, insbesondere Vorwärts- und Rückwärtssuche. 5
  • 6. - Sie ermöglicht es, rasch die kritischen Punkte bei der Bearbeitung eines Problems zu erkennen: - Ziele und Hauptansätze – hier werden grundsätzliche Entscheidungen über Lösungswege getroffen; - sonstige Verzweigungspunkte – hier werden weitere Entscheidungen über den Lösungsweg getroffen; evtl. wurden an diesen Stellen alternative Ansätze noch nicht berücksichtigt; - Endpunkte, in denen die Verfolgung eines Ansatzes zumindest vorläufig abbricht. An diesen Punkten ergeben sich oft charakteristische Schwierigkeiten bei der Bearbeitung eines Problems. Die WMs können gemäß diesen Schwierigkeiten gegliedert werden und sodann gezielt Operatoren für deren Bewältigung zur Verfügung stellen. III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps Es folgt eine Auswahl aus einem Satz von WMs. Dabei geht es mir weit weniger um einzelne Operatoren und ihre Anordnung, sondern um eine Illustration der Grundideen des Werkzeug-Mapping. Auswahl und Anordnung der Operatoren orientieren sich teilweise an zwei Büchern zur mathematischen Heuristik, in denen es um Aufgaben aus nationalen und internationalen Mathematik-Wettbewerben geht (Engel 1998; Zeitz 1999). Der gesamte Satz von WMs ist baumartig gegliedert. Die folgende Map bildet die Wurzel dieses Baums und dient zur allgemeinen Orientierung während der Bearbeitung eines Problems. Die Pfeile „>>“ verweisen auf andere WMs. Wegen ihrer besonderen Bedeutung ist die Rückschau getrennt aufgeführt. Abb. 2: Mathematische Probleme lösen (WM) >> Problem erfassen Problem >> Ansätze erzeugen bearbeiten >> Ansätze verfolgen >> Wissen beschaffen Mathematische Probleme lösen >> Ergebnisse darstellen >> Rückschau Abb. 3: Problem erfassen (WM) Skizze anfertigen Bezeichnungen einführen Erste Schritte Spezialfälle betrachten Systematisieren Vereinfachtes Problem Verwandte Probleme Geometrisch Algebraisch Algorithmisch Problem-Repräsentation Dynamisch/statisch Verschiedene Blickwinkel Koordinatensystem wählen Problem Gegebene Größen erfassen Problem modifizieren Gesuchte Größen Bedingungen Problem zerlegen Ziel festlegen 6
  • 7. Haupt-Anwendungsbereich der folgenden WM: Die Inhalte der WM „Ansätze erzeugen“ sind von besonderer Bedeutung bei der Suche nach Hauptansätzen und bei der Suche nach alternativen Ansätzen an Verzweigungspunkten. An dieser WM lassen sich einige allgemeine Eigenschaften zeigen: - Die knappen Einträge in der WM können nur dann sinnvoll genutzt werden, wenn sie zuvor erläutert und durch Beispiele verdeutlicht worden sind: WMs können Erfahrungen im Bearbeiten von Problemen nicht ersetzen. - Die Orientierung in der WM fällt umso leichter, je genauer man ihre Organisation kennt. Der Benutzer kann deshalb großen Nutzen daraus ziehen, wenn er die WMs selbst erarbeitet. - Sobald ein Ast eine gewisse Größe erreicht, können seine Inhalte in eine separate WM ausgelagert werden. - Die WM weist Überlappungen mit der WM „Problem erfassen“ auf. Abb. 3: Ansätze erzeugen (WM) >>Problem erfassen Widerspruch Beweisverfahren Induktion Fragestellungen Verwandtes suchen Methoden Vorwärts Suchrichtung Rückwärts Vorletzten Schritt planen Vorgehensweisen Zerlegen in Teilprobleme Zwischenziele festlegen Wunschdenken Gegebene Größen Modifizieren Gesuchte Größen Bedingungen Extremale Elemente untersuchen Extremalprinzip Monotonisieren Geometrische Symmetrien Symmetrie Algebraische Symmetrien Paare bilden Prinzipien Monovarianten Ansätze Mit Abständen erzeugen Durch Parität Invarianten Konstruktion Summen Durch Hilfsobjekte Produkte Passende Größen definieren Konstruktionen Funktionen definieren Substitutionen Reihen Erzeugende Funktionen Werkzeuge Graphen ... >> Algebra Disziplinen >> Zahlentheorie >> ... 7
  • 8. Haupt-Anwendungsbereich der folgenden WM: Aus der Struktur der PM ist unmittelbar ersichtlich, welche Ansätze bislang nicht weiter verfolgt worden sind: Dies sind die oben genannten Endpunkte, von denen keine weiteren Verzweigungen ausgehen. An diesen und evtl. weiteren Stellen können Operatoren zum Thema „Ansätze verfolgen“ die Bearbeitung voranbringen. Die Map zeigt, wie Diagnose- und Therapie-Operatoren zusammenwirken: Der Ast „Blockaden beseitigen“ führt zu verschiedenen Typen von Blockaden (Diagnose).4 Zu jedem Typ findet man dann eine Reihe von Operatoren, die beim Auflösen dieser Blockade helfen (Therapie). Die Möglichkeit, Hilfestellungen auch bei emotionalen Schwierigkeiten anzubieten, ist durch den Ast „Frustration“ nur knapp angedeutet. Dieser Ansatz ist sehr entwicklungsfähig. Abb. 4: Ansätze verfolgen (WM) Unklarheit benennen Unklarheit Klärung der Unklarheit als Zwischenziel formulieren Teilprobleme untersuchen Komplexität Spezialfälle untersuchen >> Ansätze erzeugen Blockaden Neuartigkeit >> Wissen beschaffen beseitigen Identifizieren Unsichtbare Elemente Informationen über Elemente sammeln >> Wissen beschaffen Identifizieren Unsichere Hypothesen Überprüfen Sich an frühere Erfolge erinnern Frustration Sich selbst Ratschläge geben Was spricht für/gegen Abbruch? Ansätze Abbruch sinnvoll? Alternativen zum Abbruch? verfolgen Verbalisieren Visualisieren Was würde X jetzt tun? Was würde X mir jetzt raten? Allgemeine Tricks Zwischenstand zusammenfassen Abstand zum Pause machen Problem gewinnen Perspektive eines Beobachters einnehmen Einer anderen Person das Problem schildern 4 Die Klassifikation der Blockaden benutzt Ideen aus Dörners Theorie der „Unbestimmtheit“ (vgl. Dörner 1998, S. 351ff), sofern mir diese für mathematische Fragestellungen relevant erschienen. 8
  • 9. Die folgende WM umfasst Teile des Kapitels über Algebra aus dem Buch von Paul Zeitz über mathematisches Problemlösen (Zeitz 1999, Kap. 5). Sie soll vor allem zeigen, wie nicht nur heuristische Prinzipien in WMs organisiert werden können, sondern auch mathematisches Wissen. Mathematische Terme lassen sich leicht in handgeschriebene WMs einfügen; sie fehlen hier aus Gründen der technischen Darstellbarkeit. Abb. 5: Algebra (WM) Faktorisierungen Binomische Formeln Quadrate benutzen Symmetrien ausnutzen Substituieren und Geeignete Vereinfachen Ergänzungen Faktoren einführen Summanden Summen Teleskop- Produkte Faktorisierung Fundamentalsatz Divisionsalgorithmus Restsatz Algebra Polynome Koeffizienten und Nullstellen Elementarsymmetrische Polynome Lemma von Gauß Rationale Nullstellen Satz über rationale Nullstellen ... Die folgende WM erfasst einige Methoden zur Beschaffung mathematischen Wissens. Abb. 6: Wissen beschaffen (WM) Inhaltsverzeichnisse Standardwerke Register Lexika und Handbücher Datenbank- Zentralblatt für Mathematik Recherche Mathematical Reviews ... Suche Internet Diskussionsgruppen Persönlich Wissen Experten E-Mail beschaffen befragen Literatur Fragen nach ... Ansprechpartnern Inhaltlichen Hinweisen 9
  • 10. Die vorletzte der vorgestellten WMs soll die Darstellung der Ergebnisse unterstützen. Wesentliche Ideen stammen aus dem Buch von Beutelspacher zur Formulierung mathematischer Gedanken (Beutelspacher 2002). Abb. 7: Ergebnisse darstellen In der Problemstellung In eigenen Hilfs- konstruktionen Welche Gegenstände treten auf? Zahlen Folgen Abbildungen ... Skizzen anfertigen Allgemeines Geeignete Bezeichnungen Vorgehen einführen Eigenschaften fordern Eigenschaften Eigenschaften der Gegenstände nachweisen Gegenstände mit besonderen Eigenschaften Extremale Gegenstände Manipulation an Gegenständen Durch Abbildungen mathematisch beschreiben ... Was soll bewiesen werden? Schritt 1, Schritt 2 ... Beweis gliedern Fallunterscheidung Zwischenbehauptungen formulieren Beweis-Ende deutlich machen Formulierung einer Annahme Ergebnisse Beweise Widerspruchs- aufschreiben Widerspruch zur darstellen beweis Schlussfolgerung Annahme ziehen Standard- Widerspruch zu gültiger Beweis- mathematischer Aussage verfahren Gegenbeispiel Induktionsanfang Induktionsbeweis Induktionsvoraussetzung Induktionsschluss ... Vollständige Sätze! Klare, überschaubare Sätze! Ähnliche Bezeichnungen für ähnliche Gegenstände Gute Bezeichnungen Hierarchien der Gegenstände Mathematische Stilistik in Bezeichnungen deutlich machen Standardbezeichnungen benutzen Nicht am Anfang! Symbole in Sätzen I.d.R. durch mindestens ein Wort trennen! ... 10
  • 11. Die abschließende WM zur Rückschau hat drei wesentliche Funktionen: 1. Sie soll die Prüfung von Resultaten und Methoden bei der Bearbeitung eines Problems unterstützen. 2. Sie soll helfen, die WMs laufend den inhaltlichen und methodischen Anforderungen anzupassen. 3. Schließlich soll sie helfen, das eigene Verhalten beim Bearbeiten von Problemen zu verbessern. Die folgende WM sollte als eine erste Annäherung an das komplexe Thema Rückschau aufgefasst werden. Die Operatoren zur Verbesserung des allgemeinen Problemlöseverhaltens können losgelöst von einer unmittelbaren Bearbeitung eines Problems benutzt werden. Auswahl und Gliederung dieser Operatoren ist teilweise beeinflusst von Überlegungen Csikszentmihalyis (Csikszentmihalyi 2001). Abb. 6: Rückschau (WM) Wissenslücken aufspüren >> Wissen beschaffen Prüfung der Einzelschritte Resultate prüfen Extremfälle Ergebnisse plausibel? Spezialfälle Andere Herleitung? Methoden prüfen Weitere Einsatzmöglichkeiten? Welche Störungen gab es? Ursache der Störungen? Bearbeitungsvorgang prüfen Behebung der Störungen? Anpassung von HMMs Neue Operatoren? sinnvoll? Gliederungen verändern? Arbeitsbedingungen Arbeitsverhalten Was stört die Konzentration? Geringe Motivation Sonstige Ablenkungen Motivation Welchen Wert hat es, prüfen das Problem zu bearbeiten? Wie sind die Erfolgsaussichten? Herausforderungen Problem ggf. angemessen? vereinfachen Erfolgsmaßstäbe bedenken Rückschau Deutliche Ziele Ziele setzen Allgemeine Erreichbare Ziele Zwischenziele setzen Vorgehensweise verbessern Umgang mit Gefühlslage quot;Unbehagenquot; während der Wahrnehmen Rückmeldungen beachten auffinden und Bearbeitung Benennen verarbeiten Klären Rückmeldungen Vermutungen formulieren aus dem Problem Vermutungen überprüfen Allgemein: Schwächen Ursachen der Schwächen? analysieren Verbesserungen? Untersuchen Vorbilder Nachahmen Konstruktion nützlicher Operatoren? 11
  • 12. III.3 Diskussion Vorteile: - Die PM liefert eine sinnvolle Dokumentation der Bearbeitungsschritte. - Kritische Punkte in der Bearbeitung des Problems lassen sich anhand der PM leicht identifizieren. Zu diesen kritischen Punkten lassen sich dann gezielt Hilfsoperatoren in den WMs finden. Nachteile: - Wenn Probleme umfangreiche Nebenrechnungen oder platzraubende Skizzen benötigen, so kann es Probleme mit dem Layout der PM geben. Dies lässt sich durch Querverweise in den Griff bekommen; Nebenrechnungen und Skizzen können auf gesonderten Blättern angefertigt werden. IV. Literaturverzeichnis Beutelspacher, Albrecht (2002) “Das ist o.B.d.A. trivial” Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken. 6. Auflage, Vieweg, Braunschweig. Buzan, Tony; Buzan Barry (1999) Das Mind-Map-Buch. 4. Auflage, Mvg, Landsberg. Csikszentmihalyi, Mihaly (2001) Flow – Das Geheimnis des Glücks. 9. Auflage, Klett-Cotta, Stuttgart. Dörner, Dietrich (1998) Bauplan für eine Seele. Rowohlt, Reinbek. Engel, Arthur (1998) Problem-Solving Strategies. Springer, New York. Mason, John (1985) Hexeneinmaleins. Oldenbourg, München. Polya, George (1988) How to Solve it. Princeton University Press, Princeton. Sell, Robert; Schimweg, Ralf (2002) Probleme lösen. Springer, Berlin. Zeitz, Paul (1999) The Art and Craft of Problem Solving. Wiley, New York. Die Mindmapping-Software FreeMind ist zugänglich unter www.sourceforge.net (zuletzt aufgerufen Anfang November 2005) 12