Das Dokument behandelt verschiedene Zahlensysteme und mathematische Konzepte, beginnend mit den natürlichen und ganzen Zahlen, gefolgt von Brüchen, rationalen und irrationalen Zahlen. Es diskutiert Gesetze der Algebra, einschließlich dem Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz und die Verwendung von Potenzen, sowie die Grundlagen der Prozentrechnung und Zinsberechnung. Darüber hinaus wird auf geometrische Konzepte, Flächen- und Volumenberechnungen sowie wichtige Sätze wie den Satz des Pythagoras eingegangen.

1. natürliche Zahlen Die Zahlen 0;1; Z 3;4, ... werden als natürliche
01234567
Zahlen bezeichnet. Für die Menge der natürlichen 1.3 7r5
Zahlen schreibt man [',1 = {O;1;2;3; ---}-
ganze zahlen Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;1;2i3; ... werden als
ganze Zahlen bezeichnet. Zu ieder Zahl gibt es eine
-4-3-2-101234
Gegenzahl. Für die Menge der ganzen Zahlen schreibt
man Z = t..; -2; -1;0;1i 2; ...].
Brüche Gebrochene Zahlen können als Brüche oder DezimaF |= o,tst 0,1=t
brüche geschrieben werden' feden Bruch kann man in 1232
einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehrt. 2464
Der Wert eines Bruches ändert sich durch Küzen und
Erweitern nicht.
rationale Zahlen Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen
einschließlich der Null zusammen nimmt, erhält man
die rationalen Zahlen Q.
-2fr -0,5 'i '21
Potenzen Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfe 5-5.5=53
von Potenzen schreiben:
a'a'...'a = an
n Faktoren
Zehnerpotenz- Sehr große Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt 50OOOO0O = 5'107
man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer 0,000023 =23-10-6
schreibweise
Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10).
Wurzeln Die Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die ./u=s
oositive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die ,'lo,+g = o,l
2ahl b ergibt: a2 = b, also: V5 = a v27=3
Die dritte Wuzel einer Zahl b ist die Zahl a, {eren
dritte Potenz die Zahl b ergibu a3 = b, also: ',lb = a 't/qo« = o,+
^/7 =:,Atqzls
gibt auf der Zahlengeraden tunkte, denen keine ...
irrationale Zahlen Es
rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kön- n = 3X41592 ...
nen nicht als Bruch geschrieben werden. Fs handelt
sich um nicht abbrechende und nicht periodische
Dezimalbrüche. Sie werden als irrationale Zahlen
bezeichnet und vervollständigen' die Zahlengerade-
reelle Zahlen Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu-
sammen die reellen ählen lR. Zu iedem Punkt auf der
Zahlengeraden gehört eine reelle Zahl und zu ieder
reellen Zahl gehört ein bestimmter Punkt.
wenn man diese Rechengesetze
Beim Rechnen gelten für die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze.
geschickt anwendet, können sie einem das Rechnen erleichtern'
Kommutativgesetz Beim Addieren und Multiplizieren können die Sum- 3,2+2,8=2,9+3,2
manden und Faktoren vertauscht werden: 2x .7,5 = 7,5 ' 2x
3+§=§+a
a.b=b'a
Jn Summen mit drei oder mehr Summanden und in 11,3 + 2,7 + 1,8 = (11,3 + ),7) + 1,8
Assoziativgesetz
Produkten mit drei oder mehr Faktoren dürfen be- = 11,3 + (2,7 + 1,8)
liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden. 2'2,3 '11 = (2'2,3) '11 = 2' (2,3 '11)
a+b +c = (3 + b) a g = 3 + (b+c)
a .b .c = (a .b) .c = a .(b'c)
Distributivgesetz Das Distributivgesetz erlaubt das Ausklammern und 6a(2a +4b) = 6a' 2a + 6a' 4b = 12a2 + 24ab
Ausmultiplizieren in Rechenausdrücken. 4a(3b - 2a) = 4a' 3b - 4a' 2a = 12ab - 8a2
a.(b+c)=3[+ac
a'(b-c)=ab-ac
20 lnhaltsbezogeneKompetenzen

2. Klammern zuerst, ln Rechenausdrücken müssen Klammern zuerst be- ((6,5 -21,5) :(-5» - 1,s . 8
Punktrechnung rechnet werden. Dann folgen die funkt- und dann = ((-15):(-5» - 1,5.8
vor Strichrechnung die Strichrechenarten. Die Anwendung der Rechen- = 3-1,5-8
gesetze erleichtert häufig das Rechnen. = 3-12
=-9
binomische Formeln Es gelten die drei binomischen Formeln:
(a+b)2 =a2+Zab+b2
(a-b)2=62-2s§+§2
(a+b)(a-b)=s2-62
Rechnen mit Für das Rechnen mit Potenzen gilt:
Potenzen und an. am = an+m a2.a3=as
Wurzeln an:am = an-m mit a * 0 2s.22=22=4
(an)m = 3 n'm 13213 = 3s =r*
,n.gn=(a.b)n 24 .34 = Q.i4 = 6a =1296
Für das Rechnen mit Wurzeln gilt entsprechend:
Vä./5 = 6 -E für a, b = o
./Er{6 =.'616 für a>o,b>o
,/7. b= /F. Vb = a -y'u" tur a, b o
=
Prozent Brüche mit dem Nenner 100 werden auch als Prozent
ffi=zsu"
bezeichnet. p% ist also eine andere Schreibweise
D' 62,50/o = 0,625
rur 1oo'
Prozentsatz, ln der Prozentrechnung bezeichnet man die Be- Von 200 Schülern kommen 125 mit dem Bus.
Prozentwert und zugsgröße bzw. das Ganze als den Grundwert G. Das sind 62,50/o.
Grundwert Den Anteil, mit dem man sich beschäftigt, nennt man Die 200 Schüler bilden den Grundwert,
Prozentwert W und der daraus resultierende Bruchteil 125 den Prozentwert.
heißt ProzentsaE p. 62,50/o sind der Prozentsatz.
Prozentrechnung Der Zusammenhang zwischen Prozentwert, Gr:und- 640/o der 25 Teilnehmer kamen ins Ziel.
wert und Prozentsatz wird beschrieben durch ilie pYo=640/o;G=25,W=?
Formel w=25.0,64=16
W=G.p% bzw. w=G.* 16 Teilnehmer kamen ins Ziel.
Diese Formel kann nach jeder Variablen umgefomtt
werden, wodurch iede gesuchte Größe aus den
beiden anderen Größen berechnet werden kann.
Zins Wenn man ein Kapitat K für ein fahr zu einem Zins- Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz
satz von p% anlegt, erhält man für dieses nach Ab- von 3,25o/o angelegt.
lauf des lahres p% von G als fahreszins Z z=2000€.0,0325=35€
Z- K. p% Das Geld wird nach 2 Monaten abgehoben:
Wenn man das Guthaben nur für t Tage zu einem z, = 2000€ .0,0325.1= rc,Alg
Jahreszinssatz von p% anlegt, erhält man nur fi
der Jahreszinsen.
Zt = K' puÄ'*..
Für Monate gilt das Entsprechende:
Z. - K' p%'E
Zinseszins Wenn man die gewonnenen Zinsen am lahresende
dem Guthaben hinzufügt, erbringen diese im
kommenden Jahr auch Zinsen. Man nennt sie
Zinseszinsen.
lnhaltsbezogeneKompetenzen 21

3. Zur Berechnung von Flächeninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V)
und Oberfläche (O) von Flächen und Körpern sollten alle Größen-
angaben zunächst auf die gleiche Maßeinheit gebracht werden.
Für den Umfang des Dreiecks ABC gilt: u = 3 + § + c
Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der
Grundseite a und der Höhe h, gilt: A =:+
Viereck Für den Umfang des Rechtecks ABCD gilt:
u = 2a + 2b bztx. für das Quadrat: u = 4a,
da alle Seiten gleich lang sind.
Für den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD gilt:
A = a. b bzw. für das Quadrat: A = a2.
Für den Umfang des Parallelogramms ABCD gilt:
u = 2a + 2b bnu. für die Raute u = 4a, da alle Seiten
gleich lang sind.
Für den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mit
der Grundseite g und der Höhe h gilt: A = g' h
Für den Umfang des Trapezes ABC gilt:
g=s+§+6+d
Für den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt:
A= +'h"
Kreis Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser
d bzw. dem Radius r gllt: u = n'd = 2'n'r
Für den Flächeninhalt des Kreises gilt A= n'l
Kreisbogen Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel a
gilt für die Länge des Kreisbogens b:
b = 2nr 's5oos = flr'#
Kreisausschnitt Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel s
gilt für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A:
A=flr2.r*-=T
zusammengesetzte Der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen be-
Flächen rechnet sich aus der Summe der Einzelflächen.
Der Umfang wird durch die Summe der Länge der
Einzelstrecken ermittelt, die die Gesamtfläche be-
grenzen.
nicht geradlinig Den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flä-
begrenzte Flächen chen kann man schätzen, indem man sie mit einem
Gitter unterlegt und die Gitterflächen abzählt.
Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Fläche mit
einer passenden Fläche (wie Rechteck oder Paralle-
logramm) zu hinterlegen.
26 lnhaltsbezogeneKompetenzen

4. Für das Volumen des Quaders gilt: V = a 'b .c
Für die Oberfläche des Quaders gilt:
0 = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc+ ac) c
a
E
Zylinder Filr das Volumen des Zylinders mit Grundkreis k und
Höhe h gilt: Y = Ak. h = TIr2. h
Für die Oberfläche des Zylinders mit Grundfläche G,
Mantelfläche M und Höhe h gilt:
O=2G +M=2nr2+2nr.h
fr
Prisma FüY das Volumen des Prismas mit Grundfläche G und
Höhe h gilt: V = G.h
fiii die Oberfläche des Prismas mit Grundfläche G
und Mantelfläche M gilu O = 2G + M
Kegel Für das Volumen des Kegels mit Radius r und Höhe
'A
h
gilt: V={nr2.h
Pyramide
Für die Oberfläche des Kegels mit Radius r und
Mantellinie s gilt: 0 = TIr2 + rlrs
Für das Volumen der foramide mit Grundfläche G und
@
Höhehgilt: V=lG.h
Für die quadratische hyramide mit Seitenlänge a gilt:
V = Ja2. tr
Für die Oberfläche der quadratischen Pyramide mit
Seitenlänge a und der Höhe h, einer Seitenfläche
eilt:
ö=a'*a*
Kugel Für das Volumen der Kugel mit Radius r gilt:
V=fn13
Für die Obedläche der Kugel mit Radius r gilt:
O*4nl
zusammengesetzte Das Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlter
Körper Körper berechnet man aus der Summe oder der Diffä-
renz der Einzelkörper.
Die Oberfläche solcher Körper besteht aus der
Summe aller Einzelflächen.
trigonometrische ln einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
. Gesenkathete von q
Beziehungen stnu = -:HveoG;re
cosq, = ArffiH"
Gerenkathete vm q
tancr = --i-
AnGrnere von d
ln beliebigen Dreiecken gelten der Sinussatz
a sinc a sing 6 sinB
b=sinß;Z=rinV;Z=sinf
ii:tä:irmxl"i+'w4*ru
6z=1!1gz-2ac.cosp l' nrln4
c2= a2+b2-2ab. cosy
) "tkt*l
Ahnlichkeit Werden Flächen und Körper um den StrecHaktor
, m
und
zentrische
k=;=ffi Länge der BildstHke
gestreckt,gilt:
ähnliche Streckenlängen: fi =
Streckung fi; a2 = k. a.1
ähnliche Flächen:
X=*,Az = kz'&
ähnliche Volumina:
V=*, ,,= k3'Vr
lnhaltsbezogeneKompetenzen 27

5. Koordinatensystem Das Koordinatensystem untefteilt die Ebene in vier
Quadranten und macht die eindeutige Bestimmung
der Lage eines Punktes möglich.
Man schreibt: P(xly).
Winkel Ein Winkel wird von zwei Schenkeln mit gemeinsa-
men Scheitelpunkt S eingeschlossen. Die Größe eines
Winkels s wird in Grad (kuz: ") angegeben.
Es gibt spitze (a . 90"), rcchte (q = 90"), stumpfe
(90"< q . 180") gestreckte (q = 180'), überstumpfe
(180'< s < 3601 und volle (q = 360") Winkel.
Winkelsätze Scheitelwinkel sind gleich groß.
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180".
Stufenwinkel sind gleich groß.
mffi
Wechselwinkel sind gleich groß.
Symmetrien Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sle
durch eine geeignete Achse (Symmetrieachse) in
zwei spiegelbildliche:Teile zerlegen kann. Sie ist
punktsymmetrisch, wenn man sie durch eine halbe
Drehung um den Symmetriepunkt in sich selbst
überführen kann.
ilhntictrkeit Zwei Figuren sind dann ähnlich, wenn sie in den ent-
sprechenden Seitenverhältnissen und Winkeln über-
einstimmen.
Strahlensätze Werden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zwei
parallelen Geraden in den Punkten A und B bzw. lY
und B'geschnitten, so sind die Dreiecke ZAB und
ZAB'ähnlich. Es gelten die beiden Strahlensätze:
1. Strahlensatr,'#=#,
2. Strahlensatz, {$ = #
Dreiecke Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180'
(u + p + y =180"). Man unterscheidet Dreiecke nach
ihren Winkeln und nach ihren Seiten. So klassifiziert
man die Dreiecke in rechtwinklige, spitzwinklige und
stumpfwinklige und in gleichseitigg gleichschenklige
2aa
und allgemeine Dreiecke.
Dreiecke Zwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich,
konstruieren wenn sie übereinstimmen in
- kongruente - drei Seiten (SSS).
Dreiecke - einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln
(wsvv).
- zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
(sws).
- zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren
Seite gegenüberl iegt (SSW).
Solche Dreiecke können durch die jeweiligen Vorga-
ben eindeutig konstruiert werden.
Besondere Linien Auf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, die
im Dreieck von den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand
haben. Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks
schneiden sich im lnkreismittelpunkt.
Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke
hat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten.
Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneiden
sich im Umkreismittelpunkt. Der Schnittpunkt
der Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunkt
des Dreiecks, die Höhen schneiden sich im
Höhenschnittpunkt.
32 lnhaltsbezogeneKompetenzen

6. Satz des Pythagoras ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel
bei C gilt: a2 + b2 = c2. Gilt bei einem Dreieck az + b2
= c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Vierecke Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 360"
(a + B + y + ö = 360").Es gibt achsensymmetrische
Vierecke (Drachen, symmetrisches Trapez), dreh-
symmetrische Vierecke (Parallelogramm) und solche,
die beides sind (Raute, Rechteck, Quadrat). Ein Vier-
eck ohne Symmetrien heißt allgemeines Viereck
Vielecke Man unterscheidet zwischen unregelmäßigen und
regelmäßigen Vielecken. lm regelmäßigen Vieleck
sind alle Seiten gleich lang und alle lnnenwinkel
gleich groß. Der Mittelpunktswinkel eines n-Ecks hat
die Größe ö =360:n und der lnnenwinkel a =180 - ö.
Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt
(n - 2).180'.
Kreis Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunkt
dieselbe Entfernung. Diese bezeichnet man als
Radius r. Der Durchmesser d ist doppelt so lang
wie der Radius. Ein von zwei Punkten begrenztes
Stück des Kreises heißt Kreisbogen. Ein von zwei
Radien begrenztes Stück der Kreisfläche heißt
Kreisausschnitt.
Satz des Thales Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf dem
Halbkreis über der Strecke AB, so ist y ein rechter
Winkel. Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei C
dann lie6 C auf dem Halbkreis über der Strecke fb.
Würfel und Quader Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen.
Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich groß. Je
vier Kanten sind parallel und gleich lang. Der Quader
hat acht Ecken, sechs Flächen und zwölf Kanten.
Ein Würfel ist ein besonderer Quader: er besteht aus Quader
sechs Quadraten.
ffi
Prisma Ein Prisma wird begrenzt durch Grund- und
Deckfläche und den Mantel. Der Mantel besteht
aus Rechtecken; die Grund- und Deckfläche sind
kongruent und bestimmen den Namen des prismas.
Pyramide Ein über seiner Grundfläche spitz zulaufender Körper
heißt foramide. Er ist begrenzt durch die Grundfläche
und dem aus Dreiecken zusammengesetzten Mantel.
Die Manteldreiecke treffen sich in der Spitze.
Die Grundfläche bestimmt den Namen der pyramide.
Zylinder
Kegel
Schrägbilder
Ein Zylinder wird begrenzt durch den Grundkreis, den
Deckkreis und das zum Mantel aufgerollte Rechteck.
Der Kegel besteht aus einem Grundkreis und einem
aufgerollten Kreisausschnitt als Mantel.
ru
Körper kann man in Form von Schrägbildern, Netzen
und Netze und Modellen darstellen. lm Schrägbild blejben alle
Kanten und Winkel unverändert, die parallel zur
Zeichenebene liegen. Senkrecht zu ihr laufende Linien
Zylinder
werden unter einem 45'-Winkel und auf die Hälfte
verküat gezeichnet. Aus Netzen lassen sich Körper
herstellen.
Kugel Eine Kugel ist ein Körperi der sich nicht aus ebenen Kugel
Flächenstücken zusammensetzen lässt.
lnhaltsbezogene Kompetenzen 33

7. '1700 t?
Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ." 12OO t Öl kosten 600€. Wie viel kosten
Dreisatz
einer Eingabegröße das Zweifache; Dreifache; Vier-
fache ... der Ausgabegröße gehöG kann man Heizölmenge in I Preis in €
gesuchte Werte der Ausgabegröße mit dem Dreisatz
bestimmen. 'rzoo
( 120! 600
0,5 ,) :1200
.rzoo
Man schließt zuerst durch Division auf die Einheit und
.1700 ( 170; 850 ,,)
dann durch Multiplikation auf das Vielfache. 1700t Heizöl kosten 850€.
Wenn zu einem Drittel; zur Hälfte; zum Zweifachen; Eine Radtour ist mit 7 Etappen zu je 60km
umgekehrter
zum Dreifachen, ... einer Eingabegröße das geplant. Die Gruppe hat aber nur 5 Tage Zeit.
Dreisatz
Dreifache; Doppelte; die Hälfte; ein Drittel; ... der
Anzahl derTage Strecke in km I
Ausgabegröße gehört, kann man gesuchte Werte
der Ausgabegröße mit dem umgekehrten Dreisatz 50
bestimmen. Der Division der Eingabegröße entspricht ,11 420 )'t
die Multiplikation der Ausgabegröße und umgekehrt' 's( 5 84 ),s
Die Tagesstrecke muss 84km betragen.
proportionale Bei einer proportionalen Zuordnung x -y sind die
Zuordnungen Quotienten zugeordneter Größen gleich.
lit dieser Quotient 2.8.2, so lässt sich der y-Wert mit
der Gleichung ,! = 2'x berechnen.
Der Graph liegt auf einer Geraden'
antiproportionale Bei einer antiproportionalen Zuordnung x y sind
*
Zuordnungen die Produkte zugeordneter Größen gleich.
lst dieses Produkt z.B. 4, so lässt sich der y-Weft mit
f
derGleichung y = berechnen.
Der Graph lieg auf einer HYPerbel.
b - Graph der Zuordnung Y = 2x + 2
lineare Gleichungen Man nennt Gleichungen wie y = mx
+ lineare
Gleichungen. (1 | 4) ist Lösung der Gleichung,
Der Graph liegt auf einer Geraden. dennz.1+2=4
lineare Gleichungen Für lineare Gleichungen wie -2x +Y= 2 mit den
mit zwei Variablen VariablenxundYgilt:
1. lede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar. 123 4
(-2 | -2) ist Lösung der Gleichung,
2. Es gibt unendlich viele Lösungen.
der.nz'(-2) + 2= -2
3. Die grafische Darstellung der Lösungen ist eine
Gerade.
lineare Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden
(1) x-2y =2;y=!x-1
GleichungssYsteme ein lineares Gleichungssystem (LGS). (2) x+y=§' y=-x+5
(LGS) Eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen
mit zwei Variablen heißt Lösung des LGS. Ein LGS hat entweder genau
eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
gsverf ahren Gleichsetzungsverfähren:
lösen von LGS Gleichsetzu n
Man löst beide Gleichungen des LGS nach derselben ]x-1=-x+5 Einsetzen ergibt:
Variablen auf. Durch Gleichsetzen derTerme erhält
1*= 6 y=-+l=l
man eine Gleichung mit einer Variablen. r-=(411»
x=4
Additionsverfahren Additionsverfahren:
Man formt beide Gleichungen so um, dass beim (1) 3x+5y=10
Addieren beider Gleichungen eine Variable wegfällt. (2) 4x-5y=4
(1) + (2):7x=14
Einsetzungsverfahren x=2
Man löst eine Gleichung nach einer Variablen auf y=0,8
und setzt diesen Wert der Variablen in die andere r-=(210,8»
Gleichung ein.
38 lnhaltsbezogeneKomPetenzen

8. Funktion Eine Zuordnung die ledem x-Wert jeweils nur einen
y-Wert zuordnet, heißt Funktion.
Die Gleichung Y = ax + b, mit der sich die
Funktionswerte y berechnen lassen, heißt
Funktionsgleichung einer linearen Funktion.
Quadratische Funktionen, die eine Funktionsgleichung in der Form
Funktion y = ax2 + bx + c haben, heißen quadratische
Funktionen.
Der dazugehörige Graph heißt Parabel.
lhren kleinsten bzw. größten Wert nimmt eine
quadratische Funktion im Scheitelpunkt an.
Die Parabel der Funktion y = 0,5(x - 2)2 + 3 ist
gegenüber der Parabel der Funktion y = 0,5x2 um 2
nach rechts und um 3 nach oben verschoben.
Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion
kann in der Scheitelform y = 2- (x + 3)2 + 4 oder
in der Normalform y= 2x2 +12x + 22 dargestellt
werden.
Sinus- und Die Funktionen sin und cos werden so für alle Winkel
Kosinusfunktion s definiert:
Jeder Winkel u mit der positiven x-Achse als erstem
Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel
einen Punkt Po auf dem Einheitskreis. Man legt fest:
Die x-Koordinate des Punktes Po ist cos(s).
Die y-Koordinate des Punktes Po ist sin(a).
Exponential- FunktionenderForm x-ax für a>0 und a+1
funktionen nennt man Exponentialfunktionen.
Sie sind für alle reellen Zahlen x definier!, ihre
Funktionswerte sind stets positiv.
Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 l1).
Lineares Wachstum Nimmt die erste Größe um I zu, so wächst die zweite Lineares Wachstum mit Wachstumsrate 4:
Größe ieweils um den gleichen festen Wert. +1 +1 +1
/'; ,t; ,,1
+
Exponentielles Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweite Exponentielles Wachstum mit
Wachstum Größe jeweils um einen festen Faktor. Wachstumsfaktor 1,5:
+1 +1 +1
-r-; /',
L,r
lnhaltsbezogeneKompetenzen 39

9. Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung können ln einer 10. Klasse mit 25 Schülerinnen und
in einer Liste notiert werden, der sogenannten Urliste' Schülern wird ermittelt, wie viele Bücher
(außer für den Unterricht) jeder im letzten
Sie ist in der Regel ungeordnet.
lahr gelesen hat.
Urliste: 0; 3; 3;17; 5; 6;9; 4;1; 4;3;
1;
0; 0; 4;1;3; 12; 3; 6i 8;1;3
5;
Rangliste Eine Liste, in der die Ergebnisse der Größe nach Rangliste: 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 3; 3; 3;
sortiert sind, heißt Rangliste. 3;3; 4; 4; 4;5; 5; 6; 6; 8; 9;12;17
Häufigkeitsliste Gibt man zu jedem möglichen Wert der Liste an, wie Häufigkeitsliste:
oft er vorkommt, so erhält man eine Häufigkeitsliste. Bücher absolute relative relative
Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit
in o/o
0 3 012 12o/o
1 4 0,16 160/o
2 1 0,04 4o/o
3 6 0,24 24o/o
4 3 0x2 12o/o
5 2 0,08 8o/o
6 2 0,08 8o/o
8 1 0,04 4o/o
9 1 0,04 4o/o
12 1 0,04 4o/o
17 1 0,04 4o/o
Die Anzahl, mit der ein bestimmter Wert vorkommt, Sechs Schüler lasen im letzten lahr 3 Bücher.
Häufigkeiten
heißt absolute Häufigkeit des wertes. Die absolute Häufigkeit des Wertes ,,3 Bücher"
Der Anteil, den die absolute Häufigkeit an der Ge- ist also 6.
samtzahl der erhobenen Daten hat, heißt relative Die relative Häufigkeit dieses Wertes
Häufigkeit' beträgt fi = o,z+ -- 24o/o.
- .. absoruteHäufigkeit
relative Häufigkeit = - *ffit "ht
Diagramme Mit Diagrammen kann man die edassten Werte
veranschaulichen.
ln Säulendiagrammen kann man die absoluten
Häufigkeiten der Werte der zugrunde liegenden Liste
ablesen.
Kreis- oder Streifendiagramme machen deutlich,
welchen Anteil ein Wert der zugründe liegenden
Häufigkeitsliste am Ganzen hat'
Kennwerte (1) Der kleinste Wert einer Rangliste heißt Minimum, der 0 Bücher sind das Minimum.
größte Maximum. Die Differenz von Maximum und 17 Bücher sind das Maximum.
Minimum heißt SPannweite.
Die Spannweite ist ein Maß dafür; wie weit die Werte 17 Bücher- 0 Bücher = 17 Bücher
der Erhebung auseinander liegen, gelegentlich sorgt Die Spannweite beträgt 17 Bücher.
aber ein Ausreißer für eine große Spannweite.
Die Summe aller Werte dividien durch die Anzahl der
(3. 0 + 4 .1 +1' 2+ 6'3 +3' 4 +2' 5 + 2' 6
Werte heißt Mittelwert oder arithmetisches Mittel. +1.8+1-g+ 1. 12 + 1' 17) : 25 =ff =+rc
Der Mittelwert ist ein Durchschnittswert. lm Durchschnitt wurden rund 4 Bücher
gelesen.
44 lnhaltsbezogeneKomPetenzen

10. Kennwerte (2) Der Wert in der Mitte einer Rangliste heißt Zentral- Da die Liste 25 Werte enthält, liegt der
wert oder Median. Hat die Rangliste eine ungerade Median an der 13. Stelle.
Anzahl von Werten, so ist der mittlere Wert der Das entspricht 3 Büchern:13 Schüler haben
Zentralwert. Hat die Rangliste eine gerade Anzahl 3 Bücher oder weniger gelesen, und
von Werten, so bildet man den Mittelwert der beiden 13 Schüler haben 3 Bücher oder mehr gelesen.
Werte in der Mitte.
Mindestens die Hälfte aller Werte liegt unterhalb des
Zentralwertet mindestens die Hälfte oberhalb.
Tritt ein Ergebnis häufiger auf als alle anderen Der Modalwert ist hier derselbe wie der
Ergebnisse der Erhebung, so ist dieser Wert der Zentralweft:
häufigste Wert oder Modalwert." 3 Bücher wurden am häufigsten gelesen.
Der Modalwert ist ein guter Ersatz für den Mittel-
wert in Erhebungen, für die ein Mittelwert nicht
sinnvoll bestimmt werden kann. (Wenn z. B. nach
der Lieblingsfarbe gefragt wird: Der Mittelwert von
Farben ist nicht sinnvoll anzugeben.)
Ergebnis Bei einem Zufallsversuch werden die möglichen
Ausgänge als Ergebnisse bezeichnet.
Der Münzwurf mit zwei Münzen stellt einen
Zufallsversuch dar.
mögliche Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuch Es gibt vier mögliche Ergebnisse: (WW), (WZ),
Ergebnisse auftauchen können, heißen mögliche Ergebnisse. (ZW), (U), wobei Z für Zahl, W für Wappen
steht.
günstige Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ereignis
Für das Ereignis,,mindestens ein Wappen
Ergebnisse führen, heißen günstige Ergebnisse.
werfen" gibt es die drei günstigen Ergebnisse
Ereignis Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereignis (WW), (Wz) und (ZW).
zusammenfassen.
Laplace- Sind alle n möglichen Ergebnisse eines Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich und
Wahrscheinlichkeit Zufallsversuchs gleich wahrscheinlich, so spricht hat die Wahrscheinlichkeftlo = 25o1o.
man von einem Laplace-Versuch und berechnet
die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch die Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
Formel p = d. ,,mindestens ein Wappen werfen"
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit m beträ5 1,,
=75Yo.
günstigen Ergebnissen ist dann p(E) = *.
Baumdiagramm Besteht ein Zufallsversuch aus mehreren Teilversu- E1
chen, so spricht man von einem mehrstufigen
-
Zufallsversuch. Ein Baumdiagramm veranschaulicht E2
die möglichen mehrstufigen Ergebnisse. Mithilfe des
Baumdiagramms lässt sich die Wahrscheinlichkeit
E3-
jedes mehrstufigen Ergebnisses bestlmmen.
E4
ffadregel Die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Summen-
Ergebnisses ist gleich dem Produkt aus allen E5
regel
Wahrscheinlichkeiten entlang des ffades, der im
E
Baumdiagramm zu diesem mehrstufigen Ergebnis
führt. E7-
Summenregel Mehrstufige Ergebnisse können wieder zu Ereignissen
E8
zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses ist dann die Summe der zugehörigen E^
Ergebniswahrscheinlichkeiten.
lnhaltsbezogeneKompetenzen 45