1. Aufgabe 3.4
a)
(i)
f convex:
µ · f(λx + (1 − λ)y)
f convex
≤ µ · (λf(x) + (1 − λ)f(y)) = λ(µ · f(x)) + (1 − λ)(µ · f(y))
f strikt convex:
µ · f(λx + (1 − λ)y)
f strikt convex
≤ µ · (λf(x) + (1 − λ)f(y)) = λ(µ · f(x)) + (1 − λ)(µ · f(y))
(ii)
f,g convex:
(f + g)(λx + (1 − λ)y) = f(λx + (1 − λ)y) + g(λx + (1 − λ)y)
f,g convex
≤ (λf(x) + (1 − λ)f(y)) + (λg(x) + (1
Damit f + g strikt convex muss entweder f oder g strikt convex sein. Sei o.B.d.A f
strikt convex:
(f + g)(λx + (1 − λ)y) = f(λx + (1 − λ)y) + g(λx + (1 − λ)y)
g convex
≤ f(λx + (1 − λ)y) + (λg(x) + (1 − λ)g(y))
f strikt convex
< (λf(x) + (1 − λ)f(y)) + (λg(x) + (1 − λ)g(y))
= λ(f(x) + g(x)) + (1 − λ)(f(y) + g(y)
(iii)
f convex, τ steigend:
z.z.: τ ◦ f convex
τ ◦ f)(λx + (1 − λ)y) = τ(f(λx + (1 − λ)y))
f convex, τ steigend
≤ τ(λf(x) + (1 − λ)f(y))
τconvex
≤ λ(τ(f(x)) + (1 − λ)τ(f(y))
= λ((τ ◦ f)(x)) + (1 − λ)(τ ◦ f)(y))
f strikt convex, τ strikt steigend:
z.z.: τ ◦ f strikt convex
(τ ◦ f)(λx + (1 − λ)y) = τ(f(λx + (1 − λ)y))
f convex, τ stiktsteigend
< τ(λf(x) + (1 − λ)f(y))
τconvex
≤ λ(τ(f(x)) + (1 − λ)τ(f(y))
= λ((τ ◦ f)(x)) + (1 − λ)(τ ◦ f)(y))
1

2. b)
z.z.: h : C → R, x → supi∈Ifi(x) convex
Unsere erste Beobachtung ist, dass epi(h) = ∩i∈Iepi(fi).
Begr¨undung:
epi(h) = {(x, y) ∈ C × R : supi∈Ifi(x) ≤ y}
= {(x, y) ∈ C × R : maxi∈I{fi(x)} ≤ y}
= ∩i∈Iepi(fi)
Auserdem wissen wir, dass alle fi, i ∈ I convex sind.
Aufgabe1.2
⇒ epi(fi) sind convex.
Aufgabe2.1a
⇒ ∩i∈Iepi(fi) ist convex.
⇒ epi(h) ist convex.
⇒ h ist convex.
2