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Sind regul¨are B¨aume immer
Tief- oder Flachwurzler?
Fragen und Ideen ¨uber die mittlere H¨ohe
von regul¨aren Baumsprachen
Raphael Reitzig @ FORMAT 2014
t¨uftelt mit Eric Noeth (Universit¨at Siegen)
FACHBEREICH
INFORMATIK
FACHBEREICH
INFORMATIK
&Algorithmen
Komplexität
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Mitteln ¨uber alle
B¨aume mit n Knoten
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Mitteln ¨uber alle
B¨aume mit n Knoten
z. B. Bin¨arb¨aume
und viele
”
simple varieties“
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Mitteln ¨uber alle
B¨aume mit n Knoten
z. B. Bin¨arb¨aume
und viele
”
simple varieties“
z. B. lineare Liste u. ¨a.
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Mitteln ¨uber alle
B¨aume mit n Knoten
z. B. Bin¨arb¨aume
und viele
”
simple varieties“
z. B. lineare Liste u. ¨a.
Nota bene: Random Permutation auf BSTs ist nicht uniform;
H¨ohenbalancierung ist nicht regul¨ar.
Warum die Frage?
B¨aume sind ein
”
nat¨urlicher“ Formalismus.
H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
Warum die Frage?
B¨aume sind ein
”
nat¨urlicher“ Formalismus.
H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele
”
klassische“ Familien.
Warum die Frage?
B¨aume sind ein
”
nat¨urlicher“ Formalismus.
H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele
”
klassische“ Familien.
Mittlere H¨ohe bisher nur f¨ur Spezialf¨alle bekannt.
Warum die Frage?
B¨aume sind ein
”
nat¨urlicher“ Formalismus.
H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele
”
klassische“ Familien.
Mittlere H¨ohe bisher nur f¨ur Spezialf¨alle bekannt.
Enger Zusammenhang zur mittleren Kompressionsg¨ute von
B¨aumen via DAGs.
Regul¨are Baumgrammatiken
Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R)
Regul¨are Baumgrammatiken
Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle
Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben:
A →
a
A1
. . . Ak
oder A → a
Regul¨are Baumgrammatiken
Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle
Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben:
A →
a
A1
. . . Ak
oder A → a
Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ¨ublich.
Regul¨are Baumgrammatiken
Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle
Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben:
A →
a
A1
. . . Ak
oder A → a
normalisierte
Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ¨ublich.
Reduziertheit, Normalform und Eindeutigkeit gibt es o. B. d. A.
Beispiel: Bin¨arb¨aume
Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit
S →
◦
S S
◦
erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume.
Beispiel: Bin¨arb¨aume
Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit
S →
◦
S S
◦
erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume.
S ⇒
◦
S S
S
⇒
◦
◦
S S
S ⇒
◦
◦
S ◦
S ⇒
◦
◦
S ◦
◦ ⇒
◦
◦
◦ ◦
◦
Beispiel: Bin¨arb¨aume
Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit
S →
◦
S S
◦
erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume.
S ⇒
◦
S S
S
⇒
◦
◦
S S
S ⇒
◦
◦
S ◦
S ⇒
◦
◦
S ◦
◦ ⇒
◦
◦
◦ ◦
◦
Nota bene: L(G) = Lsg B = Σ × B × B + Σ
TREG vs. CFDT
CFDT ⊆ TREG.
TREG vs. CFDT
CFDT ⊆ TREG.
yield(TREG) ⊆ CFL.
TREG vs. CFDT
CFDT ⊆ TREG.
yield(TREG) ⊆ CFL.
TREG  CFDT = ∅.
Denn: in CFDT erzwingt gleiches Label gleiches Nichtterminal.
TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
L =



s
c
a
c
b



TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
L =



s
c
a
c
b



s → cc c → a | b
TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
L =



s
c
a
c
b



s → cc c → a | b
|L | = 4
TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
L =



s
c
a
c
b



s → cc c → a | b
|L | = 4
Macht das hier einen Unterschied?
Mehr Beispiele
Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß
T = T × SEQΩ(T )
ist regul¨ar!
Mehr Beispiele
Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß
T = T × SEQΩ(T )
ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞.
Mehr Beispiele
Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß
T = T × SEQΩ(T )
ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞.
Beweis:
S →
a
S . . . S
k ×
⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω
Mehr Beispiele
Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß
T = T × SEQΩ(T )
ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞.
Beweis:
S →
a
S . . . S
k ×
⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω
Wissen: hier ist Hn ∈ Θ(
√
n) ∪ Θ(n).
Probleme
Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar.
Probleme
Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar.
H¨ohe ist immer unangenehm – keine additive Gr¨oße!
Probleme
Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar.
H¨ohe ist immer unangenehm – keine additive Gr¨oße!
Nichtterminale k¨onnen sich beliebig vermischen
– wie ihre Beitr¨age zur H¨ohe isolieren?
Idee
Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale:
a
a
a
a a a
a
a a
a a
a
Idee
Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale:
a
a
a
a a a
a
a a
a a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a a a a
Idee
Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale:
a
a
a
a a a
a
a a
a a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a a a a
Das sind gerade (A- bzw. B-) Minoren!
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(t)
Idee
Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale:
a
a
a
a a a
a
a a
a a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a a a a
4
≥ 3
≤ 3 + 2 = 5
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(t)
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(t)
=⇒
1
|N|
· max
A∈N
HA,n ≤ Hn ≤
A∈N
HA,n.
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(t)
=⇒
1
|N|
· max
A∈N
HA,n ≤ Hn ≤
A∈N
HA,n.
A∈N
HA,n ∈ Θ
1
|N|
· max
A∈N
HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich.
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(t)
=⇒
1
|N|
· max
A∈N
HA,n ≤ Hn ≤
A∈N
HA,n.
A∈N
HA,n ∈ Θ
1
|N|
· max
A∈N
HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich.
Also ist das Problem gel¨ost!
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(t)
=⇒
1
|N|
· max
A∈N
HA,n ≤ Hn ≤
A∈N
HA,n.
A∈N
HA,n ∈ Θ
1
|N|
· max
A∈N
HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich.
Also ist das Problem gel¨ost?
Probleme mit der Idee
Verschiedene
”
Mittel“ bei SVA und HA
– uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)!
S = A →
a
A A
a
A
a
B
B → a | b
Probleme mit der Idee
Verschiedene
”
Mittel“ bei SVA und HA
– uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)!
S = A →
a
A A
a
A
a
B
B → a | b
Nicht jede Minorensprache dominiert:
S →
s
A B
A →
Σ1
A A
Σ1 B →
Σ2
B
Σ2
– H¨ohe in Θ
√
n oder Θ(n)?
Probleme mit der Idee
Verschiedene
”
Mittel“ bei SVA und HA
– uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)!
S = A →
a
A A
a
A
a
B
B → a | b
Nicht jede Minorensprache dominiert:
S →
s
A B
A →
Σ1
A A
Σ1 B →
Σ2
B
Σ2
– H¨ohe in Θ
√
n oder Θ(n)?
Und selbst wenn:
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
Ausflug: Knotenzahlen
Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab:
HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . .
– lohnt es sich, nA zu untersuchen?
Ausflug: Knotenzahlen
Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab:
HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . .
– lohnt es sich, nA zu untersuchen?
nA =
An
WA,n
=
# A-Knoten in Ln
# A-Minorenb¨aume in Ln
Ausflug: Knotenzahlen
Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab:
HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . .
– lohnt es sich, nA zu untersuchen?
nA =
An
WA,n
=
# A-Knoten in Ln
# A-Minorenb¨aume in Ln
Damit k¨onnen wir umgehen!
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
=
n≥0 i≥0
#t ∈ Ln : |t|A = i · ai
zn
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
=
n≥0 i≥0
#t ∈ Ln : |t|A = i · ai
zn
∂
∂a
A(a, z) =
n≥0 i≥0
i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1
zn
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
=
n≥0 i≥0
#t ∈ Ln : |t|A = i · ai
zn
∂
∂a
A(a, z) =
n≥0 i≥0
i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1
zn
A(1, z) =
n≥0 i≥0
i · #t ∈ Ln : |t|A = i · zn
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
=
n≥0 i≥0
#t ∈ Ln : |t|A = i · ai
zn
∂
∂a
A(a, z) =
n≥0 i≥0
i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1
zn
A(1, z) =
n≥0 i≥0
i · #t ∈ Ln : |t|A = i · zn
[zn
]A(1, z) = An
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
A = azA2
+ azB
B = bzB + bz
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
S(a, b, z) =
1 − bz − (1 − bz)(1 − bz − 4a2bz3)
2az(1 − bz)
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
S(1, 1, z) =
1 − z − (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2)
2z(1 − z)
A(1, 1, z) =
2z2
(1 − 2z)(1 + z + 2z2) + (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2)
B(1, 1, z) =
z2
(1 − z) · (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2)
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
. . . Singularit¨atenanalyse . . .
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
. . . Singularit¨atenanalyse . . .
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n
Bn ∼ 1/2 · n
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n WA,n = 1
Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n
Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n
Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2
HA,n ∈ Θ
√
n und HB,n ∈ O(1)
mit weiteren Argumenten
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n
Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2
HA,n ∈ Θ
√
n und HB,n ∈ O(1)
Hn ∈ Θ
√
n
mit weiteren Argumenten
Ausflug: Knotenzahlen
M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden):
HA ∼
√
n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
Ausflug: Knotenzahlen
M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden):
HA ∼
√
n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
HB ∼ n4/5
∧ nB ∼ n3/4
HB,n ∼ n3/5
Ausflug: Knotenzahlen
M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden):
HA ∼
√
n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
HB ∼ n4/5
∧ nB ∼ n3/4
HB,n ∼ n3/5
Ausflug: Knotenzahlen
M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden):
HA ∼
√
n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
HB ∼ n4/5
∧ nB ∼ n3/4
HB,n ∼ n3/5
Was f¨ur HA, nA und Verkn¨upfungen derer kann es geben?
Ausflug: Knotenzahlen
Wissen von Banderier/Drmota (2014):
|Ln| ∼ α · βn
· nγ
f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k
}
k≥1
∪ {m · 2−k
− 1}
k≥0,m≥1
m¨oglich
Ausflug: Knotenzahlen
Wissen von Banderier/Drmota (2014):
|Ln| ∼ α · βn
· nγ
f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k
}
k≥1
∪ {m · 2−k
− 1}
k≥0,m≥1
m¨oglich – also
”
beliebig“ unangenehm!
Ausflug: Knotenzahlen
Wissen von Banderier/Drmota (2014):
|Ln| ∼ α · βn
· nγ
f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k
}
k≥1
∪ {m · 2−k
− 1}
k≥0,m≥1
m¨oglich – also
”
beliebig“ unangenehm!
Aber ist An vielleicht
”
passend“ unangenehm und An
”
h¨ubsch“?
Ausflug: Knotenzahlen
Wissen von Banderier/Drmota (2014):
|Ln| ∼ α · βn
· nγ
f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k
}
k≥1
∪ {m · 2−k
− 1}
k≥0,m≥1
m¨oglich – also
”
beliebig“ unangenehm!
Aber ist An vielleicht
”
passend“ unangenehm und An
”
h¨ubsch“?
Andererseits: was sind nA und nB in
S →
s
A B
,
wenn
|LA,n| ∼ . . . · nγ1
und |LB,n| ∼ . . . · nγ2
?
Protoidee: Simple Varieties erweitern
Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch
φΩ(z) =
k∈Ω
zk
.
Protoidee: Simple Varieties erweitern
Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch
φΩ(z) =
k∈Ω
zk
.
K¨onnen wir die Beweise sinnvoll etwa auf
φn(z) =
k≥0
# Knoten in Ln mit Grad k
n · Tn
· zk
¨ubertragen? Was passiert dann f¨ur n → ∞?
Protoidee: Nichtterminale eliminieren
Induktion ¨uber |N|?
I. A. |N| = 1: simple variety
Protoidee: Nichtterminale eliminieren
Induktion ¨uber |N|?
I. A. |N| = 1: simple variety
I. S. |N| = k + 1: konstruiere
h¨ohen-Θ-¨aquivalente Grammatik mit
k Nichtterminalen.
Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume
K¨onnen wir eine
Basis von Sprachen und
Operationen
finden, die TREG erzeugen?
Es gibt
”
regular tree expressions“ in TATA!
Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume
K¨onnen wir eine
Basis von Sprachen und
Operationen
finden, die TREG erzeugen?
Es gibt
”
regular tree expressions“ in TATA!
K¨onnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern?
Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume
K¨onnen wir eine
Basis von Sprachen und
Operationen
finden, die TREG erzeugen?
Es gibt
”
regular tree expressions“ in TATA!
K¨onnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern?
Welchen Effekt h¨atten diese Operationen auf die mittlere H¨ohe?

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Sind reguläre Bäume immer Tief- oder Flachwurzler?

  • 1. Sind regul¨are B¨aume immer Tief- oder Flachwurzler? Fragen und Ideen ¨uber die mittlere H¨ohe von regul¨aren Baumsprachen Raphael Reitzig @ FORMAT 2014 t¨uftelt mit Eric Noeth (Universit¨at Siegen) FACHBEREICH INFORMATIK FACHBEREICH INFORMATIK &Algorithmen Komplexität
  • 2. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ?
  • 3. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs
  • 4. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs Mitteln ¨uber alle B¨aume mit n Knoten
  • 5. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs Mitteln ¨uber alle B¨aume mit n Knoten z. B. Bin¨arb¨aume und viele ” simple varieties“
  • 6. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs Mitteln ¨uber alle B¨aume mit n Knoten z. B. Bin¨arb¨aume und viele ” simple varieties“ z. B. lineare Liste u. ¨a.
  • 7. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs Mitteln ¨uber alle B¨aume mit n Knoten z. B. Bin¨arb¨aume und viele ” simple varieties“ z. B. lineare Liste u. ¨a. Nota bene: Random Permutation auf BSTs ist nicht uniform; H¨ohenbalancierung ist nicht regul¨ar.
  • 8. Warum die Frage? B¨aume sind ein ” nat¨urlicher“ Formalismus. H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
  • 9. Warum die Frage? B¨aume sind ein ” nat¨urlicher“ Formalismus. H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter. Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele ” klassische“ Familien.
  • 10. Warum die Frage? B¨aume sind ein ” nat¨urlicher“ Formalismus. H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter. Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele ” klassische“ Familien. Mittlere H¨ohe bisher nur f¨ur Spezialf¨alle bekannt.
  • 11. Warum die Frage? B¨aume sind ein ” nat¨urlicher“ Formalismus. H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter. Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele ” klassische“ Familien. Mittlere H¨ohe bisher nur f¨ur Spezialf¨alle bekannt. Enger Zusammenhang zur mittleren Kompressionsg¨ute von B¨aumen via DAGs.
  • 13. Regul¨are Baumgrammatiken Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben: A → a A1 . . . Ak oder A → a
  • 14. Regul¨are Baumgrammatiken Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben: A → a A1 . . . Ak oder A → a Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ¨ublich.
  • 15. Regul¨are Baumgrammatiken Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben: A → a A1 . . . Ak oder A → a normalisierte Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ¨ublich. Reduziertheit, Normalform und Eindeutigkeit gibt es o. B. d. A.
  • 16. Beispiel: Bin¨arb¨aume Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit S → ◦ S S ◦ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume.
  • 17. Beispiel: Bin¨arb¨aume Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit S → ◦ S S ◦ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume. S ⇒ ◦ S S S ⇒ ◦ ◦ S S S ⇒ ◦ ◦ S ◦ S ⇒ ◦ ◦ S ◦ ◦ ⇒ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
  • 18. Beispiel: Bin¨arb¨aume Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit S → ◦ S S ◦ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume. S ⇒ ◦ S S S ⇒ ◦ ◦ S S S ⇒ ◦ ◦ S ◦ S ⇒ ◦ ◦ S ◦ ◦ ⇒ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Nota bene: L(G) = Lsg B = Σ × B × B + Σ
  • 19. TREG vs. CFDT CFDT ⊆ TREG.
  • 20. TREG vs. CFDT CFDT ⊆ TREG. yield(TREG) ⊆ CFL.
  • 21. TREG vs. CFDT CFDT ⊆ TREG. yield(TREG) ⊆ CFL. TREG CFDT = ∅. Denn: in CFDT erzwingt gleiches Label gleiches Nichtterminal.
  • 22. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b
  • 23. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b L =    s c a c b   
  • 24. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b L =    s c a c b    s → cc c → a | b
  • 25. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b L =    s c a c b    s → cc c → a | b |L | = 4
  • 26. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b L =    s c a c b    s → cc c → a | b |L | = 4 Macht das hier einen Unterschied?
  • 27. Mehr Beispiele Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß T = T × SEQΩ(T ) ist regul¨ar!
  • 28. Mehr Beispiele Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß T = T × SEQΩ(T ) ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞.
  • 29. Mehr Beispiele Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß T = T × SEQΩ(T ) ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞. Beweis: S → a S . . . S k × ⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω
  • 30. Mehr Beispiele Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß T = T × SEQΩ(T ) ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞. Beweis: S → a S . . . S k × ⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω Wissen: hier ist Hn ∈ Θ( √ n) ∪ Θ(n).
  • 31. Probleme Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar.
  • 32. Probleme Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar. H¨ohe ist immer unangenehm – keine additive Gr¨oße!
  • 33. Probleme Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar. H¨ohe ist immer unangenehm – keine additive Gr¨oße! Nichtterminale k¨onnen sich beliebig vermischen – wie ihre Beitr¨age zur H¨ohe isolieren?
  • 34. Idee Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale: a a a a a a a a a a a a
  • 35. Idee Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
  • 36. Idee Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Das sind gerade (A- bzw. B-) Minoren!
  • 37. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA.
  • 38. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t)
  • 39. Idee Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 4 ≥ 3 ≤ 3 + 2 = 5
  • 40. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t)
  • 41. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t) =⇒ 1 |N| · max A∈N HA,n ≤ Hn ≤ A∈N HA,n.
  • 42. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t) =⇒ 1 |N| · max A∈N HA,n ≤ Hn ≤ A∈N HA,n. A∈N HA,n ∈ Θ 1 |N| · max A∈N HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich.
  • 43. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t) =⇒ 1 |N| · max A∈N HA,n ≤ Hn ≤ A∈N HA,n. A∈N HA,n ∈ Θ 1 |N| · max A∈N HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich. Also ist das Problem gel¨ost!
  • 44. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t) =⇒ 1 |N| · max A∈N HA,n ≤ Hn ≤ A∈N HA,n. A∈N HA,n ∈ Θ 1 |N| · max A∈N HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich. Also ist das Problem gel¨ost?
  • 45. Probleme mit der Idee Verschiedene ” Mittel“ bei SVA und HA – uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)! S = A → a A A a A a B B → a | b
  • 46. Probleme mit der Idee Verschiedene ” Mittel“ bei SVA und HA – uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)! S = A → a A A a A a B B → a | b Nicht jede Minorensprache dominiert: S → s A B A → Σ1 A A Σ1 B → Σ2 B Σ2 – H¨ohe in Θ √ n oder Θ(n)?
  • 47. Probleme mit der Idee Verschiedene ” Mittel“ bei SVA und HA – uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)! S = A → a A A a A a B B → a | b Nicht jede Minorensprache dominiert: S → s A B A → Σ1 A A Σ1 B → Σ2 B Σ2 – H¨ohe in Θ √ n oder Θ(n)? Und selbst wenn: S = A → a A A a B B → b B b
  • 48. Ausflug: Knotenzahlen Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab: HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . . – lohnt es sich, nA zu untersuchen?
  • 49. Ausflug: Knotenzahlen Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab: HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . . – lohnt es sich, nA zu untersuchen? nA = An WA,n = # A-Knoten in Ln # A-Minorenb¨aume in Ln
  • 50. Ausflug: Knotenzahlen Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab: HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . . – lohnt es sich, nA zu untersuchen? nA = An WA,n = # A-Knoten in Ln # A-Minorenb¨aume in Ln Damit k¨onnen wir umgehen!
  • 52. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t| = n≥0 i≥0 #t ∈ Ln : |t|A = i · ai zn
  • 53. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t| = n≥0 i≥0 #t ∈ Ln : |t|A = i · ai zn ∂ ∂a A(a, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1 zn
  • 54. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t| = n≥0 i≥0 #t ∈ Ln : |t|A = i · ai zn ∂ ∂a A(a, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1 zn A(1, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · zn
  • 55. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t| = n≥0 i≥0 #t ∈ Ln : |t|A = i · ai zn ∂ ∂a A(a, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1 zn A(1, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · zn [zn ]A(1, z) = An
  • 56. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b
  • 57. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b A = azA2 + azB B = bzB + bz
  • 58. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b S(a, b, z) = 1 − bz − (1 − bz)(1 − bz − 4a2bz3) 2az(1 − bz)
  • 59. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b S(1, 1, z) = 1 − z − (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2) 2z(1 − z) A(1, 1, z) = 2z2 (1 − 2z)(1 + z + 2z2) + (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2) B(1, 1, z) = z2 (1 − z) · (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2)
  • 60. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b . . . Singularit¨atenanalyse . . .
  • 61. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b . . . Singularit¨atenanalyse . . .
  • 62. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n Bn ∼ 1/2 · n
  • 63. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n
  • 64. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2
  • 65. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2 HA,n ∈ Θ √ n und HB,n ∈ O(1) mit weiteren Argumenten
  • 66. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2 HA,n ∈ Θ √ n und HB,n ∈ O(1) Hn ∈ Θ √ n mit weiteren Argumenten
  • 67. Ausflug: Knotenzahlen M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden): HA ∼ √ n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
  • 68. Ausflug: Knotenzahlen M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden): HA ∼ √ n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2 HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5
  • 69. Ausflug: Knotenzahlen M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden): HA ∼ √ n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2 HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5
  • 70. Ausflug: Knotenzahlen M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden): HA ∼ √ n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2 HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5 Was f¨ur HA, nA und Verkn¨upfungen derer kann es geben?
  • 71. Ausflug: Knotenzahlen Wissen von Banderier/Drmota (2014): |Ln| ∼ α · βn · nγ f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k } k≥1 ∪ {m · 2−k − 1} k≥0,m≥1 m¨oglich
  • 72. Ausflug: Knotenzahlen Wissen von Banderier/Drmota (2014): |Ln| ∼ α · βn · nγ f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k } k≥1 ∪ {m · 2−k − 1} k≥0,m≥1 m¨oglich – also ” beliebig“ unangenehm!
  • 73. Ausflug: Knotenzahlen Wissen von Banderier/Drmota (2014): |Ln| ∼ α · βn · nγ f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k } k≥1 ∪ {m · 2−k − 1} k≥0,m≥1 m¨oglich – also ” beliebig“ unangenehm! Aber ist An vielleicht ” passend“ unangenehm und An ” h¨ubsch“?
  • 74. Ausflug: Knotenzahlen Wissen von Banderier/Drmota (2014): |Ln| ∼ α · βn · nγ f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k } k≥1 ∪ {m · 2−k − 1} k≥0,m≥1 m¨oglich – also ” beliebig“ unangenehm! Aber ist An vielleicht ” passend“ unangenehm und An ” h¨ubsch“? Andererseits: was sind nA und nB in S → s A B , wenn |LA,n| ∼ . . . · nγ1 und |LB,n| ∼ . . . · nγ2 ?
  • 75. Protoidee: Simple Varieties erweitern Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch φΩ(z) = k∈Ω zk .
  • 76. Protoidee: Simple Varieties erweitern Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch φΩ(z) = k∈Ω zk . K¨onnen wir die Beweise sinnvoll etwa auf φn(z) = k≥0 # Knoten in Ln mit Grad k n · Tn · zk ¨ubertragen? Was passiert dann f¨ur n → ∞?
  • 77. Protoidee: Nichtterminale eliminieren Induktion ¨uber |N|? I. A. |N| = 1: simple variety
  • 78. Protoidee: Nichtterminale eliminieren Induktion ¨uber |N|? I. A. |N| = 1: simple variety I. S. |N| = k + 1: konstruiere h¨ohen-Θ-¨aquivalente Grammatik mit k Nichtterminalen.
  • 79. Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume K¨onnen wir eine Basis von Sprachen und Operationen finden, die TREG erzeugen? Es gibt ” regular tree expressions“ in TATA!
  • 80. Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume K¨onnen wir eine Basis von Sprachen und Operationen finden, die TREG erzeugen? Es gibt ” regular tree expressions“ in TATA! K¨onnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern?
  • 81. Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume K¨onnen wir eine Basis von Sprachen und Operationen finden, die TREG erzeugen? Es gibt ” regular tree expressions“ in TATA! K¨onnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern? Welchen Effekt h¨atten diese Operationen auf die mittlere H¨ohe?