Einkopplung in Leitungen

Übersicht und Motivation
Einkoppelmechanismen und Berechnungskonzepte
Berechnung mit Hilfe der BLT-Gleichungen
Simulation der transienten Einkopplung
Einkopplung in Leitungen
Mathias Magdowski
Lehrstuhl für Elektromagnetische Verträglichkeit
Institut für Medizintechnik
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Mathias Magdowski Einkopplung in Leitungen

Inhaltverzeichnis
Motivation
1 Einkoppelmechanismen und Berechnungskonzepte
2 Berechnung mit Hilfe der BLT-Gleichungen
3 Simulation der transienten Einkopplung

Inhaltverzeichnis
Motivation
Motivation
im Rahmen der elektromagnetischen Verträglichkeit
Untersuchung der gestrahlten Störfestigkeit
wichtige Koppelpfade

Inhaltverzeichnis
Motivation
Motivation
im Rahmen der elektromagnetischen Verträglichkeit
Untersuchung der gestrahlten Störfestigkeit
wichtige Koppelpfade
Antennen
Aperturen
Kabel

Inhaltverzeichnis
Motivation
Skizze
Quelle AbstrahlungAbstrahlung „Opfer“ mit Kabeln
Abbildung: Eine elektromagnetische Quelle beeinﬂusst ein anderes
elektronisches Gerät.

grundlegende Berechnungskonzepte
mögliche Quellen der Einkopplung
Anwendbarkeit der Leitungstheorie
Formulierung der Leitungsgleichungen
Lösung der Leitungsgleichungen
Zwischenübersicht

Zeitbereich vs. Frequenzbereich
Berechnung im Zeitbereich:
für transiente (vorübergehende) Anregungen
z. B. für Pulse, Einschwingvorgänge, . . .
Berechnung im Frequenzbereich:

für harmonische Anregungen
sinusförmig, mit einer Frequenz
eingeschwungener Zustand

für harmonische Anregungen
sinusförmig, mit einer Frequenz
eingeschwungener Zustand
Anwendung:
beide Verfahren besitzen Vor- und Nachteile

Berechnung im Frequenzbereich
harmonische Schwingung a(t) charakterisiert durch:

Amplitude A0
Kreisfrequenz ω
Phasenwinkel φ

Amplitude A0
Kreisfrequenz ω
Phasenwinkel φ
als zeitabhängige Größe:
a(t) = A0 · cos (ωt + φ) = A0 · ej(ωt+φ)
= A · ejωt
(1)
als Zeiger:
A = A0 · ejφ
(2)

Vereinfachungen im Frequenzbereich
Ableitung:
da(t)
dt
=

Ableitung:
da(t)
dt
= jωA0 · ej(ωt+φ)
(3)

Ableitung:
da(t)
dt
(3)
Integration:
a(t) dt =

Ableitung:
da(t)
dt
(3)
Integration:
a(t) dt =
A0
jω
· ej(ωt+φ)
+ C (4)

Ableitung:
da(t)
dt
(3)
Integration:
a(t) dt =
A0
jω
· ej(ωt+φ)
+ C (4)
im Allgemeinen gilt:
A0 = A0(ω) φ = φ(ω) −→ A = A(ω)

Fourier-Transformation
vom Frequenzbereich in den Zeitbereich:
a(t) =
1
2π
∞
−∞
A(ω) ejωt
dω (5)
vom Zeitbereich in den Frequenzbereich:
A(ω) =
∞
−∞
a(t) e−jωt
dt (6)
numerische Transformation:

Fourier-Transformation
vom Frequenzbereich in den Zeitbereich:
a(t) =
1
2π
∞
−∞
A(ω) ejωt
dω (5)
vom Zeitbereich in den Frequenzbereich:
A(ω) =
∞
−∞
a(t) e−jωt
dt (6)
numerische Transformation:
mittels FFT (Fast Fourier Transform) und iFFT

Quelle: https://xkcd.com/26/

numerische Verfahren
Grundlagen:
basieren auf numerischer Feldberechnung
z. B. mittels Momentenmethode (MoM) im Frequenzbereich
z. B. mittels ﬁniter Differenzen (FDTD) im Zeitbereich
Softwarepakete:

numerische Verfahren
Grundlagen:
basieren auf numerischer Feldberechnung
z. B. mittels Momentenmethode (MoM) im Frequenzbereich
z. B. mittels ﬁniter Differenzen (FDTD) im Zeitbereich
Softwarepakete:
Numerical Electromagnetic Code (NEC), basiert auf MoM
CONCEPT-II, basiert ebenfalls auf MoM
. . .

analytische Verfahren
Leitungstheorie:
wohlbekannt
relativ einfach
aber viele Vereinfachungen und Einschränkungen
andere Verfahren:
BLT-Gleichungen (Baum, Liu & Tesche)
TLST (Transmission Line Super Theory)
Pertubation Theory

Lösung mit dem Ersatzschaltbild der Leitung
Z1
Ut1
L · ∆l
Etan · ∆l
L · ∆l
Etan · ∆l
Ut2
Z2
C · ∆l C · ∆l
Abbildung: Ersatzschaltbild einer Leitung
basiert auf der Leitungstheorie
geeignet für Rechnungen im Zeit- und Frequenzbereich
darauf aufbauend: PEEC-Methode (Partial Element
Equivalent Circuit)

Felder von Antennen und anderen Störquellen
Nahfelder
Fernfelder
Näherung durch ebene Wellen
Felder von anderen Leitungen
Crosstalk, Übersprechen
direkte, galvanische Einkopplung eines Störstromes

Fernfeld und Nahfeld
Nahfeld:

Nahfeld:
stark inhomogenes Feld
Rückwirkung zwischen Feld und Quelle
Abfall mit 1
rn mit n > 1

Nahfeld:
Abfall mit 1
rn mit n > 1
Fernfeld:

Nahfeld:
Abfall mit 1
rn mit n > 1
Fernfeld:
ebenfalls inhomogenes Feld
Feld hat sich von der Quelle gelöst
Abfall mit 1
r
kann als homogenes Feld aufgefasst werden

Grenze zwischen Nah- und Fernfeld
allgemein bei r ≈ λ
bei Antennen mit L > λ gilt r ≈ L2
λ
Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge:

λ
c = λ · f

λ
c = λ · f
Beispiele
bei 30 MHz liegt die Grenze bei etwa

λ
c = λ · f
Beispiele
bei 30 MHz liegt die Grenze bei etwa 10 m

λ
c = λ · f
Beispiele
bei 2,4 GHz (WLAN) liegt die Grenze bei etwa

λ
c = λ · f
Beispiele
bei 2,4 GHz (WLAN) liegt die Grenze bei etwa 12,5 cm

Übersprechen
engl. Crosstalk oder Cross-Coupling
Kopplung zwischen Leitungen mit geringem Abstand
Effekt, der ursprünglich aus der Telefonie bekannt ist und
durch den man am Telefon ein anderes Gespräch leise
mithören konnte
wichtig auf Leiterplattenebene

When Cables do Crosstalk . . .
I’m so lonely, lo-lo-lo-lo-lonely, you’re the one
and only, to make my current return . . .

Okay, let’s look into a brighter future together.

Galvanische Kopplung
zwei Leitungen teilen gemeinsamen Rückleiter
in der ersten Leitung ﬂießt ein Strom
erzeugt einen Spannungsabfall im Rückleiter
diese Spannung erzeugt wiederum einen Strom in der
zweiten Leitung
ebenfalls wichtig auf Leiterplattenebene

Näherung mit ebenen Wellen
Voraussetzungen:
Anregung ist eine entfernte Quelle (Fernfeld)
das Feld kann als homogen aufgefasst werden
Wellenfront ist eine Ebene → ebene Wellen
mathematische Beschreibung:
ergibt sich aus dem Maxwellschen Gleichungen
Medium ist dabei quellenfrei, linear, homogen und isotrop
als Lösung der komplexen Wellengleichung
als komplexer Vektor in kartesischen Koordinaten

elektrisches Feld
Epw(r) = E0(exˆx + eyˆy + ezˆz) e−j(k·r)
(7)
komplexe elektrische Feldstärke E in Abhängigkeit des
Ortes r
Faktor E0 bestimmt die Amplitude der Welle
ex, ey und ez bezeichnen die Anteile in Richtung der
Einheitsvektoren ˆx, ˆy und ˆz
Wellenvektor k bestimmt die Ausbreitungsrichtung

magnetisches Feld
Hpw(r) =
1
η
ˆk × Epw(r) (8)
η = µ
ε ist die Wellenimpedanz
Permeabilität µ und Permittivität ε des Mediums
Richtung von k, E und H bilden ein orthogonales Dreibein
Zeitabhängigkeit der Welle:
durch inverse Fouriertransformation
harmonische Wellen, die von f(ωt − k · r) abhängen

Geometrie
x
y
z
k
Epw
ϕ
ϑ
(a) Wellenvektor
k ˆϕ
ˆϑ
Epw
α
(b) Polarisation
Abbildung: Deﬁnition des Wellenvektors und der Polarisation in
Kugelkoordinaten mit dem Polarwinkel ϑ, dem Azimutwinkel ϕ und
dem Polarisationswinkel α

Darstellung in kartesischen Koordinaten
Wellenvektor:
kx = k sin ϑ cos ϕ (9a)
ky = k sin ϑ sin ϕ (9b)
kz = k cos ϑ (9c)
E-Feldvektor:
ex = cos α cos ϑ cos ϕ − sin α sin ϕ (10a)
ey = cos α cos ϑ sin ϕ + sin α cos ϕ (10b)
ez = − cos α sin ϑ (10c)

linear polarisierte Welle
linear polarisierte Welle

zirkular polarisierte Welle, rechtsdrehend
zirkular polarisierte Welle

elektrisch kurze und elektrisch lange Leitung
elektrisch kurze Leitung:
statischer Zustand
Strom und Spannung entlang der Leitung sind konstant
Beschreibung mit konzentrierten Elementen
Leitungstheorie nicht notwendig
elektrisch lange Leitung:
nicht statischer Zustand
Strom und Spannung ändern sich entlang der Leitung
Beschreibung mit verteilten Elementen
Leitungstheorie ist notwendig

Grenze zwischen elektrisch kurzer und langer Leitung
im Zeitbereich:
Anstiegszeiten und Pulsbreiten von Signalen liegen in der
gleichen Größenordnung wie die Laufzeit der Signale auf
der Leitung tpuls ≈ 100 · tlaufzeit
Zusammenhang zwischen Laufzeit und Länge: v = l
tlaufzeit

im Zeitbereich:
tlaufzeit
Beispiel: bei 10 ns Pulsbreite liegt die Grenze bei

im Zeitbereich:
tlaufzeit
Beispiel: bei 10 ns Pulsbreite liegt die Grenze bei 3 cm

im Zeitbereich:
tlaufzeit
im Frequenzbereich:
Wellenlänge des Signals liegt in der gleichen
Größenordnung wie die Länge der Leitung l ≈ 1
100 λ

im Zeitbereich:
tlaufzeit
im Frequenzbereich:
100 λ
Beispiel: bei 3 GHz liegt die Grenze bei etwa

im Zeitbereich:
tlaufzeit
im Frequenzbereich:
100 λ
Beispiel: bei 3 GHz liegt die Grenze bei etwa 1 mm
Beispiel: bei 50 Hz liegt die Grenze bei etwa

im Zeitbereich:
tlaufzeit
im Frequenzbereich:
100 λ
Beispiel: bei 3 GHz liegt die Grenze bei etwa 1 mm
Beispiel: bei 50 Hz liegt die Grenze bei etwa 60 km

Querschnittsmaße und Wellenlänge
die Querschnittsmaße müssen klein gegenüber der
Wellenlänge sein
h λ
k · h 1
Grund:
mathematische Vereinfachungen
sin(kh) ≈ kh
cos(kh) ≈ 1 − (kh)2
2
ejkh ≈ 1

Einfachleitung und Mehrfachleitung
Einfachleitung:
Hin- und Rückleiter
Doppelleitung im Freiraum
Einzelleitung über leitender Ebene (die leitende Ebene
dient als Rückleiter)
Mehrfachleitung:
n Hinleiter und 1 Rückleiter ergeben n + 1 Leiter
Leitungstheorie aufwendig, aber möglich
elegante Beschreibung mit Supermatrizen

Gleichtaktstrom und Gegentaktstrom
allgemein hat der Strom zwei Komponenten
Gleichtaktstrom:

Gleichtaktstrom:
antenna mode, common mode
Abstrahlung
hebt sich an den Enden auf

Gleichtaktstrom:
Abstrahlung
Gegentaktstrom:

Gleichtaktstrom:
Abstrahlung
Gegentaktstrom:
transmission line mode, differential mode
sehr geringe Abstrahlung
kann mit Leitungstheorie berechnet werden

Umrechnung:
I1 = Iam + Itl I2 = Iam − Itl (11)
Iam =
I1 + I2
2
Itl =
I1 − I2
2
(12)
I1
Iam Itl
I2
Abbildung: Gesamtstrom als Superposition zweier Modalströme

gleichförmige und ungleichförmige Leitung
gleichförmige Leitung:
Querschnittsabmaße ändern sich entlang der Leitung nicht
Parameter wie Kapazitätsbelag, Induktivitätsbelag,
Ausbreitungskonstante und Wellenwiderstand sind
ortsunabhängig
einfache Beschreibung
ungleichförmige Leitung:
Querschnittsabmaße ändern sich entlang der Leitung
Parameter wie C und L werden ortsabhängig
komplizierte Beschreibung

TEM-Mode und Quasi-TEM-Mode
TEM-Mode:
transversal-elektro-magnetisch
Richtung von k, E und H bilden ein orthogonales Dreibein,
Feld wird entlang der Leitung geführt, Poynting-Vektor S
parallel zur Leitung
theoretisch nur bei der verlustlosen Leitung
Quasi-TEM-Mode:
praktisch bei einer Leitung mit geringen Verlusten
S hat geringen Anteil, der in den Leiter zeigt

Dünndrahtnäherung
Strom ﬂießt nur entlang der Querschnittsachse der Leiters
Querschnitt der Drähte ist klein gegenüber dem
Querschnitt der Leitung
macht die mathematische Herleitung einfacher
3D Volumenintegrale → 1D Linienintegrale

Verluste
Ursachen:

Verluste
Ursachen:
endliche Leitfähigkeit
Proximity-Effekt
Skin-Effekt, Skintiefe δ = 2
ω σ µ
Verluste im Dielektrikum
Verluste durch Oberﬂächenrauigkeit
Verluste durch Abstrahlung

Zusammenfassung
analytische Lösung mittels Leitungstheorie
Anregung ist eine ebene Welle
die Leitung ist elektrisch lange, verlustlose und
gleichförmige Doppelleitung im quellenfreien, linearen,
homogenen, isotropen und zeitinvarianten Freiraum
Lösung ist der Gegentaktstrom

Geometrie
x
y
z
h
−h
d0
l
k
E
H
Abbildung: Geometrie der Doppelleitung und einer einfallenden Welle

homogene Leitungsgleichungen
d?(z)
dz
+ jωL ?(z) = 0 (13a)
d?(z)
dz
+ jωC ?(z) = 0 (13b)
gekoppelte Differentialgleichungen 1. Ordnung
keine Anregung durch ein äußeres Feld

dU(z)
dz
+ jωL I(z) = 0 (13a)
dI(z)
dz
+ jωC U(z) = 0 (13b)

dU(z)
dz
+ jωL I(z) = 0 (13a)
dI(z)
dz
+ jωC U(z) = 0 (13b)
Lösung sind

dU(z)
dz
+ jωL I(z) = 0 (13a)
dI(z)
dz
+ jωC U(z) = 0 (13b)
Lösung sind hin- und rücklaufende Wellen

Aufteilung der Felder
gesamtes Feld (engl. total) besteht aus zwei Anteilen:
einfallendes Feld (engl. incident)
von fernen Quellen erzeugtes Feld
so als wenn die Leitung nicht da wäre
Streufeld (engl. scattered)
von den auf der Leitung induzierten Strömen und
Spannungen erzeugtes Feld
analoge Aufteilung für die Gesamtströme und -spannungen
Superscripts t für „total“, i und „incident“ und s für
„scattered"

Formulierung nach Taylor
dUt(z)
dz
+ jωL It
(z) = jω
h
−h
Bi
y dx (14a)
dIt(z)
dz
+ jωC Ut
(z) = −jωC
h
−h
Ei
x dx (14b)
Beschreibung der anregenden Welle durch:
normal zur Leitung einfallendes B-Feld
transversal zur Leitung einfallendes E-Feld
sehr weit verbreitete Darstellung

Formulierung nach Agrawal
dUs(z)
dz
+ jωL It
(z) = Ei
z(h, z) − Ei
z(−h, z) (15a)
dIt(z)
dz
+ jωC Us
(z) = 0 (15b)
tangential zur Leitung einfallendes E-Feld
einfach und efﬁzient
Nachteil: Streuspannung

Formulierung nach Rachidi
dUt(z)
dz
+ jωL Is
(z) = 0 (16a)
dIs(z)
dz
+ jωC Ut
(z) = −
1
L
h
−h
dBi
z
dy
dx (16b)
räumliche Ableitung des tangential zur Leitung einfallenden
B-Feldes
reine magnetische Kopplung, nur Streustrom
nicht sehr weit verbreitet

Umrechnung zwischen Streuspannung und
Gesamtspannung
Gesamtspannung ist eine messbare Größe
Streuspannung ist eine reine Rechengröße
mathematischer Zusammenhang:
Ut
(z) = Us
(z) −
h
−h
Ei
x(z) dx
Ui(z)
= Us
(z) + Ui
(z) (17)

Diskussion der Randbedingungen
jede Formulierung benötigt eigene RB zur Lösung der DGL
ergeben sich aus den Abschlüssen der Leitung
Randbedingungen nach Taylor:
Z1Ut(0) Z2 Ut(l)
It(0) It(l)

Diskussion der Randbedingungen
jede Formulierung benötigt eigene RB zur Lösung der DGL
ergeben sich aus den Abschlüssen der Leitung
Randbedingungen nach Taylor:
Z1Ut(0) Z2 Ut(l)
It(0) It(l)
Ut
(0) = −Z1 · It
(0) Ut
(l) = Z2 · It
(l) (18)

Randbedingungen nach Agrawal
Z1Ut(0)
Ui(0) Ui(l)
Z2 Ut(l)
Ut1 Ut2
Us(0) Us(l)
It(0) It(l)

Z1Ut(0)
Ui(0) Ui(l)
Z2 Ut(l)
Ut1 Ut2
Us(0) Us(l)
It(0) It(l)
Us
(0) = Ut1 − Z1 · It
(0) Us
(l) = Ut2 + Z2 · It
(l) (19a)
(19c)Mathias Magdowski Einkopplung in Leitungen

Z1Ut(0)
Ui(0) Ui(l)
Z2 Ut(l)
Ut1 Ut2
Us(0) Us(l)
It(0) It(l)
Us
(0) = Ut1 − Z1 · It
(0) Us
(l) = Ut2 + Z2 · It
(l) (19a)
Ut1 =
h
−h
Ei
x(0) dx Ut2 =
h
−h
Ei
x(l) dx (19b)
(19c)Mathias Magdowski Einkopplung in Leitungen

Umformung in Wellengleichungen
Leitungsgleichungen nach Agrawal ein weiteres Mal nach z
ableiten und ineinander einsetzen
der Term ω2L C ist das Quadrat der Wellenzahl k
d2Us(z)
dz2
+ k2
Us
(z) =
d
dz
Ee
z(h, z) (20a)
d2It(z)
dz2
+ k2
It
(z) = −jωC Ee
z(h, z) (20b)

Quellterme
anregendes (engl. exciting) E-Feld:
Ee
z(h, z) = E0ez e−jkxh
e−jkzz
−E0ez ejkxh
e−jkzz
(21)
Ee
z(h, z) = E0ez e−jkxh
− ejkxh
e−jkzz
(22)
Ee
z(h, z) = −j2E0ez sin(kxh) e−jkzz
(23)
durch Einsetzen der Polarisationsterme erhält man:
Ee
z(h, z) = 2jE0 cos α sin ϑ sin (kh sin ϑ cos φ)
Ee
z (h)
e−jk cos ϑz
(24)
Ee
z(h, z) = Ee
z(h) e−jk cos ϑz
(25)

Lösung für Strom und Spannung entlang der Leitung
It
(z) = −
jωC Ee
z(h)
k2 − k2
z
I0
· e−jkzz
+I1 · e−jkz
+I2 · ejkz
(26a)
Us
(z) = −
jkzEe
z(h)
k2 − k2
z
U0
· e−jkzz
+U1 · e−jkz
+U2 · ejkz
(26b)
e−jkzz ist die aufgezwungene Welle
e−jkz ist die hinlaufende Eigenwelle
ejkz ist die rücklaufende Eigenwelle

Beziehung zwischen Strom und Spannung
U0 = Zc · I0 ·
kz
k
U1 = Zc · I1 U2 = −Zc · I2 (27)
Zc = L /C ist die charakteristische Impedanz der Leitung
Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen
Us
(0) = Ut1 − Z1 · It
(0) (28a)
Us
(l) = Ut2 + Z2 · It
(l) (28b)

ausformulierte Randbedingungen
U0 + U1 + U2 = Ut1 − Z1 · (I0 + I1 + I2) (29a)
U0 e−jkzl
+U1 e−jkl
+U2 ejkl
= Ut2 + Z2 · (I0 e−jkzl
+I1 e−jkl
+I2 ejkl
)
(29b)
Ersetzen von U0, U1 und U2
Umstellen nach I1 und I2

Bestimmung der Konstanten I1 und I2
I1 =
I0 · C1 − A1C2 e−j(k+kz)l + Ut1 · 1
Z1+Zc
+ Ut2 · A1 e−jkl
Z2+Zc
1 − A1A2 e−j2kl
(30a)
I2 =
I0 · C2 e−j(k+kz)l −A2C1 e−j2kl − Ut1 · A2 e−j2kl
Z1+Zc
− Ut2 · e−jkl
Z2+Zc
1 − A1A2 e−j2kl
(30b)
Lösung für die Spannung:

Bestimmung der Konstanten I1 und I2
I1 =
I0 · C1 − A1C2 e−j(k+kz)l + Ut1 · 1
Z1+Zc
+ Ut2 · A1 e−jkl
Z2+Zc
1 − A1A2 e−j2kl
(30a)
I2 =
I0 · C2 e−j(k+kz)l −A2C1 e−j2kl − Ut1 · A2 e−j2kl
Z1+Zc
− Ut2 · e−jkl
Z2+Zc
1 − A1A2 e−j2kl
(30b)
Lösung für die Spannung:
U1 = Zc · I1 (31a)
U2 = −Zc · I2 (31b)

Vereinfachungen
A1 =
Z1 − Zc
Z1 + Zc
C1 = −
Z1 + Zc
kz
k
Z1 + Zc
Ut1 =
h
−h
Ei
x(0) dx (32a)
A2 =
Z2 − Zc
Z2 + Zc
C2 = −
Z2 − Zc
kz
k
Z2 + Zc
Ut2 =
h
−h
Ei
x(l) dx (32b)
A1 und A2 sind

Vereinfachungen
A1 =
Z1 − Zc
Z1 + Zc
C1 = −
Z1 + Zc
kz
k
Z1 + Zc
Ut1 =
h
−h
Ei
x(0) dx (32a)
A2 =
Z2 − Zc
Z2 + Zc
C2 = −
Z2 − Zc
kz
k
Z2 + Zc
Ut2 =
h
−h
Ei
x(l) dx (32b)
A1 und A2 sind die bekannten Reﬂexionsfaktoren

Vereinfachungen
A1 =
Z1 − Zc
Z1 + Zc
C1 = −
Z1 + Zc
kz
k
Z1 + Zc
Ut1 =
h
−h
Ei
x(0) dx (32a)
A2 =
Z2 − Zc
Z2 + Zc
C2 = −
Z2 − Zc
kz
k
Z2 + Zc
Ut2 =
h
−h
Ei
x(l) dx (32b)
A1 und A2 sind die bekannten Reflexionsfaktoren
C1 und C2 sind modifizierte Reflexionsfaktoren
Ut1 und Ut2 sind die transversalen Spannungen

Integrale zur Berechnung der transversalen
Spannungen
Ut1 = 2E0
ex
kx
sin(kxh) (33a)
Ut2 = 2E0
ex
kx
e−jkzl
sin(kxh) = Ut1 · e−jkzl
(33b)
Probleme bei streifendem Einfall (engl. grazing indidence):
Wellenvektor parallel zur Leitung
Nenner in I0, U0 und Ut1, Ut2 werden Null
Grenzwertbetrachtung notwendig

Ursache von Resonanzen
treten auf, wenn der Nenner 1 − A1A2 e−j2kl sehr klein oder
Null wird
Fehlanpassung an den Abschlüssen der Leitung
Mehrfachreﬂexionen der Wellen

Null wird
Deﬁnition

Null wird
Deﬁnition
Resonanz tritt auf, wenn die Frequenz einer Anregung mit einer
Eigenfrequenz des System übereinstimmt.

Auftreten von Resonanzen
beidseitig gleichmäßig fehlangepasste Leitung:
beidseitiger Leerlauf → A1 = A2 = 1
beidseitiger Kurzschluss → A1 = A2 = −1
Resonanzen bei l = λ/2, λ, 3/2λ, . . .
beidseitig ungleichmäßig fehlangepasste Leitung:
Leerlauf am Anfang → A1 = 1
Kurzschluss am Ende → A2 = −1
oder umgekehrt
Resonanzen bei l = 1/4λ, 3/4λ, 5/4λ, . . .

Vorbetrachtungen
Lösung für die endlich lange Leitung mit beliebigen Abschlüssen
Formulierung der BLT-Gleichungen
Berechnungsbeispiele
Ausblick
Zwischenübersicht
Vorbetrachtungen
Lösung für die endlich lange Leitung mit beliebigen
Abschlüssen
Ausblick

Vorbetrachtungen
Ausblick
die unendlich lange Leitung
Ee
z(h, zs) · ∆zs
zs z
Abbildung: eine unendlich lange Leitung mit einer konzentrierten
Spannungsquelle

Vorbetrachtungen
Ausblick
Richtung der Spannungsquelle
erste Leitungsgleichung:
dUs(z)
dz
+ jωL It
(z) = Ee
z(h, z) (34)
Umformung zu einer Differenzengleichung:
Us(z + ∆z) − Us(z)
∆z
+ jωL It
(z) = Ee
z(h, z) (35)
Interpretation als Maschensatz:
Us
(z) = jωL ∆zIt
(z) − Ee
z(h, z)∆z + Us
(z + ∆z) (36)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Formulierung der Lösung der Leitungsgleichungen
anregende Spannungsquelle: Us = Ee
z(h, zs) · ∆zs
links der Quelle:
Us
1(z) = Ur
1 ejkz
It
1(z) = −
Ur
1
Zc
ejkz



für z < zs (37)
rechts der Quelle:
Us
2(z) = Uh
2 e−jkz
It
2(z) =
Uh
2
Zc
e−jkz



für z > zs (38)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Interpretation der Lösung
allgemein:
es gibt nur Wellen, die aus Richtung der Quelle kommen
es gibt keine Reﬂexionen
Zusammenhang zwischen Strom- und Spannungswellen
über die charakteristische Impedanz Zc
links der Quelle:
nur eine Welle in Rückwärtsrichtung
rechts der Quelle:
nur eine Welle in Vorwärtsrichtung

Vorbetrachtungen
Ausblick
Rand- und Übergangsbedingungen
Randbedingungen:
keine vorhanden
Grund: Leitung ist unendlich
Übergangsbedingungen:
werden durch die Quelle bestimmt
der Strom

Vorbetrachtungen
Ausblick
Randbedingungen:
keine vorhanden
der Strom ist stetig
It
1(zs) = It
2(zs) (39)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Randbedingungen:
keine vorhanden
It
1(zs) = It
2(zs) (39)
die Spannung

Vorbetrachtungen
Ausblick
Randbedingungen:
keine vorhanden
It
1(zs) = It
2(zs) (39)
die Spannung springt um den Wert der Quelle
Us
1(zs) + Us = Us
2(zs) (40)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Bestimmung der Amplituden
Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten
für die Spannung:
Ur
1 = −
Us
2
e−jkzs
(41a)
Uh
2 =
Us
2
ejkzs
(41b)
für den Strom:
Ir
1 = −
Ur
1
Zc
Ih
2 =
Uh
2
Zc
(42)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Spannungswellen (Streuspannung):
Us
1(z) = −
Us
2
ejk(z−zs)
für z < zs (43a)
Us
2(z) =
Us
2
e−jk(z−zs)
für z > zs (43b)
Stromwellen (Gesamtstrom):
It
1(z) =
Us
2Zc
ejk(z−zs)
für z < zs (44a)
It
2(z) =
Us
2Zc
e−jk(z−zs)
für z > zs (44b)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Integration über verteilte Quellen
für den Strom (analog für die Spannung):
It
(z) =
1
2Zc
·


z
−∞
Ee
z(h, zs) e−jk(z−zs)
dzs +
∞
z
Ee
z(h, zs) ejk(z−zs)
dzs


(45a)
= −
j2E0ez sin(kxh)
2Zc
·


z
−∞
e−jkzzs
e−jk(z−zs)
dzs +
∞
z
e−jkzzs
ejk(z−zs)
dzs


(45b)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Lösung der Integrale
für Strom und Spannung:
It
(z) = 2
E0
Zc
ez sin(kxh) e−jkzz k
k2
z − k2
(46)
Us
(z) = 2E0ez sin(kxh) e−jkzz kz
k2
z − k2
(47)
Ut
(z) = 2E0ez sin(kxh) e−jkzz kz
k2
z − k2
− 2E0
ex
kx
sin(kxh) e−jkzz
(48)
= 2E0 sin(kxh) e−jkzz ezkz
k2
z − k2
−
ex
kx
(49)

Vorbetrachtungen
Ausblick
die halb-unendliche Leitung
Ee
z(h, zs) · ∆zs
Z1
0 zs z
Abbildung: eine halb-unendlich lange Leitung mit einer konzentrierten
Spannungsquelle

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle
Us
1(z) = Uh
1 e−jkz
+Ur
1 ejkz
It
1(z) =
Uh
1
Zc
e−jkz
−
Ur
1
Zc
ejkz



für z < zs (50)
rechts der Quelle
Us
2(z) = Uh
2 e−jkz
It
2(z) =
Uh
2
Zc
e−jkz



für z > zs (51)

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle
Reﬂexionen an der Last Z1
es gibt vorwärts und rückwärts laufende Wellen
Reﬂexionsfaktor

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle
Reﬂexionsfaktor A1 =
Uh
1
Ur
1
= Z1−Zc
Z1+Zc

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle
Uh
1
Ur
1
= Z1−Zc
Z1+Zc
rechts der Quelle

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle
Uh
1
Ur
1
= Z1−Zc
Z1+Zc
rechts der Quelle
es gibt keine Reﬂexionen
nur eine Welle in Vorwärtsrichtung

Vorbetrachtungen
Ausblick
Randbedingung
wird durch den Abschlusswiderstand bestimmt

Vorbetrachtungen
Ausblick
Randbedingung
Us
1(0) = Ut1 − Z1 · It
1(0) (52)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Randbedingung
Us
1(0) = Ut1 − Z1 · It
1(0) (52)
Übergangsbedingungen
wie bei der unendlich langen Leitung
It
1(zs) = It
2(zs)
Us
1(zs) + Us = Us
2(zs)

Vorbetrachtungen
Ausblick
für die Spannung
Uh
1 = −A1
Us
2
e−jkzs
+
1 − A1
2
Ut1 (53a)
Ur
1 = −
Us
2
e−jkzs
(53b)
Uh
2 = ejkzs
−A1 e−jkzs
Us
2
+
1 − A1
2
Ut1 (53c)
für den Strom
Ir
1 = −
Ur
1
Zc
Ih
2 =
Uh
2
Zc
Ir
2 = −
Ur
2
Zc
(54)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Spannungswellen (Streuspannung)
Us
1(z) = −
Us
2
e−jkzs
A1 e−jkz
+ ejkz
+
1 − A1
2
Ut1 e−jkz
(55a)
Us
2(z) =
Us
2
e−jkz
ejkzs
−A1 e−jkzs
+
1 − A1
2
Ut1 e−jkz
(55b)
Stromwellen (Gesamtstrom)
It
1(z) = −
Us
2Zc
e−jkzs
A1 e−jkz
− ejkz
+
1 − A1
2Zc
Ut1 e−jkz
(56a)
It
2(z) =
Us
2Zc
e−jkz
ejkzs
−A1 e−jkzs
+
1 − A1
2Zc
Ut1 e−jkz
(56b)

Vorbetrachtungen
Ausblick
für den Gesamtstrom am Anfang der Leitung
It
(0) =
1 − A1
2Zc
0
−∞
Ee
z(h, zs) e−jkzs
dzs +
1 − A1
2Zc
Ut1 (57a)
= −jE0ez sin(kxh)
1 − A1
Zc
0
−∞
e−j(k+kz)zs
dzs +
1 − A1
2Zc
Ut1
(57b)

Vorbetrachtungen
Ausblick
für die Streuspannung am Anfang der Leitung
Us
(0) = −
1 + A1
2
0
−∞
Ee
z(h, zs) e−jkzs
dzs +
1 − A1
2
Ut1 (58a)
= jE0ez sin(kxh)(1 + A1)
0
−∞
e−j(k+kz)zs
dzs +
1 − A1
2
Ut1
(58b)

Vorbetrachtungen
Ausblick
für den Gesamtstrom und die Streupannung
It
(0) = E0ez sin(kxh)
1 − A1
Zc
1
k + kz
+
1 − A1
2Zc
Ut1 (59)
= E0 sin(kxh)
1 − A1
Zc
ez
k + kz
+
ex
kx
(60)
Us
(0) = −E0ez sin(kxh)(1 + A1)
1
k + kz
+ (1 − A1)E0
ex
kx
sin(kxh)
(61)

Vorbetrachtungen
Ausblick
für die Gesamtspannung
Ut
(0) = Us
(0) + Ui
(0) (62)
= −E0ez sin(kxh)(1 + A1)
1
k + kz
− (1 + A1)E0
ex
kx
sin(kxh)
(63)
= −E0 sin(kxh)(1 + A1)
ez
k + kz
+
ex
kx
(64)
Probe

Vorbetrachtungen
Ausblick
für die Gesamtspannung
Ut
(0) = Us
(0) + Ui
(0) (62)
= −E0ez sin(kxh)(1 + A1)
1
k + kz
− (1 + A1)E0
ex
kx
sin(kxh)
(63)
= −E0 sin(kxh)(1 + A1)
ez
k + kz
+
ex
kx
(64)
Probe
Ut
(0) = −Z1 · It
(0)
Z1
Zc
=
1 + A1
1 − A1
(65)

Vorbetrachtungen
Ausblick
die endliche lange Leitung
Z1
Us
Z2Is
0 zs l z
Abbildung: eine endlich lange Leitung mit einer konzentrierten
Spannungs- und Stromquelle

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle:
Ut
1(z) = Uh
1 e−jkz
+Ur
1 ejkz
It
1(z) =
Uh
1
Zc
e−jkz
−
Ur
1
Zc
ejkz



für z < zs (66)
rechts der Quelle:
Ut
2(z) = Uh
2 e−jkz
+Ur
2 ejkz
It
2(z) =
Uh
2
Zc
e−jkz
−
Ur
2
Zc
ejkz



für z > zs (67)

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle:
Uh
1
Ur
1
= Z1−Zc
Z1+Zc
rechts der Quelle:
Reﬂexionsfaktor

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle:
Uh
1
Ur
1
= Z1−Zc
Z1+Zc
rechts der Quelle:
Ur
2
Uh
2
ej2kl = Z2−Zc
Z2+Zc

Vorbetrachtungen
Ausblick
Randbedingungen:
werden durch die Abschlussimpedanzen bestimmt
Ut
1(0) = −Z1 · It
1(0) Ut
2(l) = Z2 · It
2(l) (68)
werden durch die konzentrierten Quellen bestimmt
der Strom springt um den Wert der Quelle
It
1(zs) + Is = It
2(zs) (69)
Ut
1(zs) + Us = Ut
2(zs)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Gleichungssystem mit ? Gleichungen und ? Unbekannten

Vorbetrachtungen
Ausblick

Vorbetrachtungen
Ausblick
links der Quelle für die Spannung:
Ur
1 =
e−jkl
2
·
A2 e−jk(l−zs)(Us + IsZc) − ejk(l−zs)(Us − IsZc)
1 − A1A2 e−2jkl
(70a)
Uh
1 = A1 · Ur
1 (70b)
links der Quelle für den Strom:
Ih
1 =
Uh
1
Zc
Ir
1 = −
Ur
1
Zc

Vorbetrachtungen
Ausblick
rechts der Quelle für die Spannung:
Uh
2 =
1
2
·
ejkzs (Us + ZcIs) − A1 e−jkzs (Us − ZcIs)
1 − A1A2 e−2jkl
(71a)
Ur
2 = Uh
2 · A2 e−j2kl
(71b)
rechts der Quelle für den Strom:
Ih
2 =
Uh
2
Zc
Ir
2 = −
Ur
2
Zc

Vorbetrachtungen
Ausblick
Formulierung als Greensche Funktionen
Deﬁnition

Vorbetrachtungen
Ausblick
Deﬁnition
Hilfsmittel zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen
„propagiert die Inhomogenität“

Vorbetrachtungen
Ausblick
Deﬁnition
Hilfsmittel zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen
„propagiert die Inhomogenität“
Anwendung:
für den Strom
It
(z) = GU
I (z, zs) · Us + GI
I(z, zs) · Is (72)
die Spannung
Ut
(z) = GU
U(z, zs) · Us + GI
U(z, zs) · Is (73)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Greensche Funktion für den Strom
GU
I (z, zs) =
e−jkl
2Zc(1 − A1A2 e−j2kl)
· ejkz<
−A1 e−jkz<
· e−jk(z>−l)
−A2 ejk(z>−l)
(74)
GI
I(z, zs) =
δ e−jkl
2(1 − A1A2 e−j2kl)
· ejkz<
−δA1 e−jkz<
· e−jk(z>−l)
−δA2 ejk(z>−l)
(75)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Greensche Funktion für die Spannung
GU
U(z, zs) =
δ e−jkl
2(1 − A1A2 e−j2kl)
· ejkz<
−δA1 e−jkz<
· e−jk(z>−l)
+δA2 ejk(z>−l)
(76)
GI
U(z, zs) =
Zc e−jkl
2(1 − A1A2 e−j2kl)
· ejkz<
+A1 e−jkz<
· e−jk(z>−l)
+A2 ejk(z>−l)
(77)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Vereinfachungen
allgemein:
z> ist das Größere von z und zs
z< ist das Kleinere von z und zs
δ ist eine Hilfsfunktion mit δ = 2 · H(z − zs) − 1, wobei
H(z − zs) der Heaviside-Sprung ist
δ = 1 für z > zs und δ = −1 für z < zs
Reﬂexionsfaktoren:
A1 =
Z1 − Zc
Z1 + Zc
A2 =
Z2 − Zc
Z2 + Zc

Vorbetrachtungen
Ausblick
Lösung an den Abschlüssen der Leitung
Lösung:
Strom am Anfang IL1 = −It(0)
Spannung am Anfang UL1 = Ut(0)
Strom am Ende IL2 = It(l)
Spannung am Ende UL2 = Ut(l)
Anregung:
ist eine konzentrierte Spannungs- und Stromquelle bei zs

Vorbetrachtungen
Ausblick
Lösung am Anfang der Leitung
IL1 =
1
2Zc
(1 − A1) e−jkl
(1 − A1A2 e−j2kl)
· − ejk(l−zs)
−A2 e−jk(l−zs)
Us + ejk(l−zs)
+A2 e−jk(l−zs)
ZcIs
(78)
UL1 =
1
2
(1 + A1) e−jkl
(1 − A1A2 e−j2kl)
· − ejk(l−zs)
−A2 e−jk(l−zs)
Us + ejk(l−zs)
+A2 e−jk(l−zs)
ZcIs
(79)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Lösung am Ende der Leitung
IL2 =
1
2Zc
(1 − A2) e−jkl
(1 − A1A2 e−j2kl)
· ejkzs
−A1 e−jkzs
Us + ejkzs
+A1 e−jkzs
ZcIs
(80)
UL2 =
1
2
(1 + A2) e−jkl
(1 − A1A2 e−j2kl)
· ejkzs
−A1 e−jkzs
Us + ejkzs
+A1 e−jkzs
ZcIs
(81)

Vorbetrachtungen
Ausblick
Zusammenfassung
unendliche Leitung → 2 Unbekannte und 2 Gleichungen
halb-unendliche Leitung → 3 Unbekannte
und 3 Gleichungen
endliche Leitung → 4 Unbekannte und 4 Gleichungen
Herleitung mit konzentrierten Quellen
Integration über verteilte Quellen analytisch möglich
Gleichungen werden zunehmend komplexer
Nachteile: unübersichtlich und fehleranfällig

Vorbetrachtungen
Ausblick
Herkunft der BLT-Gleichungen
nach Carl E. Baum, Tom K. Liu und Frederick M. Tesche
entwickelt 1978 an der Kirtland Air Force Base in
Albuquerque, New Mexico, USA
(a) C. E. Baum (b) T. K. Liu (c) F. M. Tesche
Abbildung: Die Entwickler der BLT-Gleichungen

Vorbetrachtungen
Ausblick
Nicht zu verwechseln mit:

Vorbetrachtungen
Ausblick
Nicht zu verwechseln mit:
Abbildung: BLT-Sandwich aus den Zutaten Bacon (Speck), Lettuce
(Salat) und Tomato (Tomate)

Vorbetrachtungen
Ausblick
BLT-Gleichung für konzentrierte Quellen
IL1
IL2
=
1
Zc
·
(1 − A1) 0
0 (1 − A2)
·
−A1 ejkl
ejkl −A2
−1
·
ejkzs
2 (Us + ZcIs)
− ejk(l−zs)
2 (Us − ZcIs)
(82)
UL1
UL2
=
(1 + A1) 0
0 (1 + A2)
·
−A1 ejkl
ejkl −A2
−1
·
ejkzs
2 (Us + ZcIs)
− ejk(l−zs)
2 (Us − ZcIs)
(83)

Vorbetrachtungen
Ausblick
BLT-Gleichung für konzentrierte Quellen
Vorteile:
einfachere, kompaktere Darstellung
jede Matrix hat eine bestimmte Bedeutung
Modularisierung der Gleichung
Bedeutung der einzelnen Matrizen:
1. Matrix gibt an, ob ein Strom oder eine Spannung
berechnet werden soll
2. Matrix enthält die Leitungsresonanzen
3. Matrix enthält die Quellen zur Anregung der Leitung

Vorbetrachtungen
Ausblick
allgemeine Lösung für verteilte Quellen entlang der
Leitung
für den Strom:
I(z) =
l
0
GU
I (z, zs)Us dzs +
l
0
GI
I(z, zs)Is dzs (84)
für die Spannung:
U(z) =
l
0
GU
U(z, zs)Us dzs +
l
0
GI
U(z, zs)Is dzs (85)

Vorbetrachtungen
Ausblick
allgemeine Lösung nach Agrawal
für den Gesamtstrom:
It
(z) =
l
0
GU
I (z, zs)Ee
z(h, zs) dzs + GU
I (z, 0)Ut1 − GU
I (z, l)Ut2 (86)
für die Streuspannung:
Us
(z) =
l
0
GU
U(z, zs)Ee
z(h, zs) dzs + GU
U(z, 0)Ut1 − GU
U(z, l)Ut2 (87)
Anmerkung: Das Minuszeichen vor Ut2 resultiert aus der
Richtung der Quelle.

Vorbetrachtungen
Ausblick
BLT-Gleichung für verteilte Quellen
IL1
IL2
=
1
Zc
(1 − A1) 0
0 (1 − A2)
−A1 ejkl
ejkl −A2
−1
S1
S2
(88)
UL1
UL2
=
(1 + A1) 0
0 (1 + A2)
−A1 ejkl
ejkl −A2
−1
S1
S2
(89)
S1
S2
= −
1
2


Ee
z (h)
j(k−kz) − Ut1 1 − ej(k−kz)l
ejkl Ee
z (h)
j(k+kz) + Ut1 1 − e−j(k+kz)l

 (90)

Vorbetrachtungen
Ausblick
beispielhafte Leitung
Abmaße:
Länge der Leitung l = 30 m
Abstand der Leiter s = 20 cm
Durchmesser der Leiter d0 = 3 mm
Leitungsparameter:
Kapazitätsbelag C = πε 1
arcosh s
d0
= 5,685 pF
m
Induktivitätsbelag L = µ
π · arcosh s
d0
= 1,957 µH
m
charakteristische Impedanz Zc = L
C = 586,7 Ω

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