1. EJERCICIOS:
I) Calcular la suma de las series:
1 1 1 1
1) ∑n=1 2) ∑n=3 3) ∑n =3
∞ ∞ ∞
=1 = 2
n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 4 4n − 1
∞  1 1  1 2n −1 1 1
4) ∑n= 2  n −1 + n −1  = 5) ∑ n=3 6) ∑ k =1
∞ ∞
=
3 4  6 4n 2k ( k + 1) 2
3 10 2 3 n + 4 n 15
7) ∑n =0 8) ∑n = 0 9) ∑n= 0
∞ ∞ ∞
= =3 =
10 n
3 3 n −1 5n 2
1 1 1 − 2n − 3 ∞  25 6 
10) ∑n=1 11) ∑n= 0 12) ∑ n= 0  n −
∞ ∞
= =
n(n + 1)(n + 2) 4 3n 2 10 100 n 

1 1 1 1 2 n +3
13) ∑ n= 0 14) ∑n =0 15) ∑n = 0
∞ ∞ ∞
= =
2 n +1 2 2 n+3 4 3n
n
2n + 1  n  ∞  e 
16) ∑ n=1 17) ∑n =1 Ln 18) ∑n=1  
∞ ∞
=1 
n ( n + 1) 2
2
 n +1 π 
1− n  n +1
19) 1 + e −1 + e −2 + ... + e − n + ... 20) ∑n =1
∞
( 2) 21) ∑n =1 Ln
∞

 n 
n
4 π 
22) ∑n= 0 23) ∑n=1  
∞ ∞
2
16n − 8n − 3 e
II) Estudiar la convergencia de las series:
n 2 +1
n! Ln(n + 1)  n+5 
1) ∑ n =1 2) ∑n =1 3) ∑n=1  
∞ ∞ ∞
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1) (n + 1)3  4n + 2 
 
n + Ln(n) 1 + 2n Ln (n)
4) ∑n =1 5) ∑n =1 6) ∑n=2
∞ ∞ ∞
n 3 + 2n − 1 1 + 3n en
n2
  1  1 1
7) ∑n = 2  nSen   8) ∑n=2 ∑
∞ ∞ ∞
  9)
n[Ln (n )] n[Ln(n )]
k 5 k −1
  n  n= 2
n2
 n + 1 2 + Sen(n ) 3 − Cos (n )
10) ∑n = 2  ∑ ∑
∞ ∞ ∞
 11) 12)
 n −1 n=0 3 4
n +1
n=0 5
5n 8 + 3n 2 + 1

2. −3n
 1 2n 2 + 1 − 3 n 2 + 1
13) ∑n =1 1 −  14) ∑n=1 ne −n 15) ∑n =1
∞ ∞ 2 ∞
 n n5 + 3
3
5 n (n!) n2 +1 3n + 5
16) ∑n=1 17) ∑n = 2 18) ∑n =1
∞ ∞ ∞
(n + 1)n+1 (n + 2)n+3 nLn(n ) 4n + n 2
n2
2 n + 2n n+ 2 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1)
19) ∑n =1 2 n 20) ∑n = 2  21) ∑n=1
∞ ∞ ∞

e +n  n +1  n!
2n + 1 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 2 ) n!
22) ∑n = 2 23) ∑n =1 ∑
∞ ∞ ∞
24)
nLn(n ) 3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ ⋅ ⋅ (3n ) n =1
nn
n2 +2n 2 n 2 + n +1
n+ 2  n   π 
25) ∑n =1  26) ∑n=1  27) ∑n=1 Cos 2
∞ ∞ ∞
  
 n−3  2n + 1   2n − 1 
28) ∑n=1
∞
n + 1 ⋅ Sen 1 ( n) 29) ∑n=1
∞ n n (1 ⋅ 6 ⋅ 11 ⋅ ⋅ ⋅ (5n − 4 )) 
30) ∑n=1 Ln1 +
∞ 1  
n!e (4 ⋅ 8 ⋅ 12 ⋅ ⋅ ⋅ (4n ))
n  Sen(n ) 
3
n2 +1  
3
n 1 (n!) 2
31) ∑n=1 32) ∑n=1 33) ∑n=1
∞ ∞ ∞
(2n − 1)(53 n −1 ) n3 n − n 2n!
n 2 − n +1
n +1 1  n 2 − 4n + 5 
34) ∑n= 2 35) ∑n =1 Tag   36) ∑n=1  2
∞ ∞ ∞
n[Ln(n )]
n  n + 5n − 3  
n  
37) ∑n=1
1  n + 1 Sen 2 1( n)  1 
∑ 39) ∑n =1 ArcSen
∞ ∞ ∞
⋅ Ln  38)  

n  n −1 n =1
n  n
1  n2 +1
40) ∑n= 2 41) ∑n=1 Ln 2 
∞ ∞
 n 
nLn(n ) + Ln 3 (n )  
III) Estudiar si la serie converge absolutamente, condicionalmente o si diverge:
 8n 2 − 7  (− 1)n (n − 1)2
∑n=1 (− 1)n+1   2) ∑ 2 3) ∑n =1 (− 1)
∞ ∞ ∞ n +1
1)  2 
 e (n + 1) 
n
n Ln(n ) n3
(− 1)n ⋅ 7 n (n + 1) Ln (n )
∑ ∑ (− 1) n n 6) ∑ n=1 (− 1)
∞ ∞ n +1 ∞ n +1
4) 5)
n =0
2 3n n =1
[
n Ln 2 (n ) + 1 ]
n 2 + n +1
(− 1)n ⋅ tag  π  Ln(n + 1)  n+2 
∑ ∑ (− 1) 9) ∑n =1 − 1 ( )  
∞ ∞ n −1 ∞ n
7)  n 8)  2n + 1 
n =1
2n 2  n =1
n +1  

3. n
 1 
10) ∑ n=1 (− 1) arctag 
∞ (− 1) 10
11) ∑ n=1
2n
(− 1)n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1)
∑n=1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 1)
∞ n ∞
 12)
 2n + 1  (2n − 1)!
13) ∑n =1
(− 1)n 3n (n!)2 14) ∑n =1
(− 1)n 3n + 1 (− 1)n−1 n
∑
∞ ∞ ∞
(n + 2 ) 15)
n (n +1) (n + 1) 5n + 3 n =1
n +1
16) ∑ n=1
(− 1)n−11 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 2) 17) ∑n = 2
(− 1)n n (− 1)n−1 Ln(n)
∑
∞ ∞ ∞
18)
7 ⋅ 9 ⋅ 11 ⋅ ⋅ ⋅ (2n + 5) Ln (n) n =1
n +1
19) ∑n =1
∞ (− 1)n−1 5n 31 20) ∑n =1
∞ (− 1)n 21) ∑ n=1
∞ (− 1)n 3n
3n 2 + 2 n
1
n (
n 2n + 1 )
22) ∑n =1
∞ (− 1)n n 2 + 3 23) ∑n =1
∞ (− 1)n n! 24) ∑ n= 0
∞ (− 1)n 1 + 4 n
(2n − 5)2 (n + 1)3 1 + 3n
IV) Encontrar el intervalo o dominio de convergencia:
(− 1)n−1 n!(3 2 ) x n (− 1)n (3 2 ) (x − 1)n
n n
1
1) ∑ n=1 2) ∑n=1 3) ∑n =2
∞ ∞ ∞
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1) Ln(3n ) n[Ln(n )]
x
4) ∑ n=1
∞ (− 1)n 3 n + 2 ⋅ (x − 2)n 5) ∑ n=1
(− 1)n−1 n!(x − 1)n
∞
6) ∑n =1
∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ 2n
( x − 2 )n
(n + 1) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1) n!
7) ∑n=1
∞ (− 1)n−1 n!(x − 2)n 8) ∑ n=1
∞ (− 1)n+1 (x − 2)n 9) ∑ n= 2
∞ (− 1)n x n
2 n (2n )! n n nLnn
(− 1)n +1 x n 11) ∑ n=1
x n +1
12) ∑n =0
xn
∑n=5 e n (n + 1)Ln 3 (n + 1)
∞ ∞ ∞
10)
(x + 1)n n!
n n −1
Ln(n + 1)3 n ( x − 1) ∞ (− 1) Ln(n ) ⋅ 2 n ⋅ x n 3 n x n +1
13) ∑ n=1 14) ∑ n=1 15) ∑ n= 2
∞ ∞
(n + 1) 3n ⋅ n 2 n( x + 1)
n
3 n x n +1 (Lnx )n (Lnx )n −1
∑ 17) ∑n =1 18) ∑ n=1
∞ ∞ ∞
16) n =1
n( x + 1)
n
n ⋅ 2n n ⋅ 3 n Ln(n )
19) ∑ n=1
∞ (4arcsenx)n 20) ∑n= 0 (− 1)
∞ n ( x − 3) n 21) ∑ n= 0 (− 1)
∞ n −1
3
n + 1( x − 3)
n
n ⋅π n (2n + 1) n + 1 (2n + 1)
Ln(n ) ∞  3n + n 
2
1
22) ∑n=1 23) ∑n=1  2 24) ∑n =1
∞ ∞
( x − 5 )n  (x − 2)
n
n
n +1  3n + 1  n ⋅ (Lnx )

4. (− 1)n−1 (2 3 ) (1 x )
n n
n
(− 1)n  n + 2  
25) ∑ n=1 26) ∑n = 2 27) ∑n =1 
∞ ∞ ∞
 x
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1) [Lnx]n  n + 1  
Ln(n ) 2n + 1 n
28) ∑n =1 ( x + 1) 29) ∑ n= 0 30) ∑ n=1
∞ n ∞ ∞
[
n Ln 2 ( n) + 1 ] [n + 1] 5
⋅x 2n
[x − 2]n
2 2 n +1
∞  3n + n 
2n
xn 2 n ⋅ ( x − 3) 2
31) ∑n =1 n −1 n 32) ∑n =1 33) ∑ n=1  2
∞ ∞ 2
 ( x − 2 )n
2 ⋅n (n + 1)Ln(n + 1)  3n + 1 
34) ∑n =1
∞ (n!)2 (x + 4)n 35) ∑n=1
∞ Ln(n )
( x − e )n 36) ∑n =1
∞ nn n
⋅x
[2n!] e n
n!
1 n2 xn 3n
37) ∑ n= 0
∞
(− 4) n
⋅ x 2 n +1
∞
(
38) ∑n=1 1 + 1
n
) ⋅
n!
39) ∑n =1
∞
5n!
⋅ (Lnx )
n
3n
40) ∑n =1 41) ∑n=1 e −nx
∞ ∞
⋅ Lnx n
5n
V) Desarrollo en serie de potencias.
x x2 x3 x4 xn
a) e x = 1 + + + + + LL + converge para x < ∞
1! 2! 3! 4! n!
x3 x5 x7 x9 x 2 n +1
b) senx = x − + − + − LL + (−1) n converge para x < ∞
3! 5! 7! 9! (2n + 1)!
x2 x4 x6 n x
2n
c) cos x = 1 − + − + LL + (− 1) converge para x < ∞
2! 4! 6! (2n )!
x3 x5 x7 x9 x 2 n +1
d) Arctgx = x − + − + − LL + ( −1) n
3 5 7 9! 2n + 1
x2 x3 x4 n −1 x
n
e) Ln(1 + x ) = x − + − + LL + (− 1) converge para x < 1
2 3 4 n
f) Binomial
(1 + x ) p = 1 + px + p ( p − 1)x + p ( p − 1)( p − 2 )x + L + p ( p − 1)( p − 2 )L ( p − n + 1)x
2 3 n
2! 3! n!
Converge para x < 1

5. A) Desarrollar en serie de potencias de “x” y hallar su intervalo de
convergencia:
1) f ( x ) = x ⋅ e −2 x 2) f ( x ) = senx ⋅ cos x 3) f ( x ) = cos 2 x 4) f ( x ) = 3 8 + x
1 − cos x 1
5) f ( x ) = Ln(2 + x ) 6) f ( x ) = e x 1 + x 2 7) f ( x ) = 8) f ( x ) =
x 1− x2
9) f ( x ) = x 2 ⋅ e x 10) f ( x ) = x 2 senx 11 f ( x ) = cos x 2 12) f ( x ) = senhx
1  1  1+ x  
2
−2
13) f ( x ) = x ⋅ (1 + 2 x ) 14) f ( x ) = (1 + x ) ⋅ e −x
15) f ( x ) = 1 + Ln  
x  x  1 + 2x  
 
B) Calcular usando series de potencias:
1 1 + x2  x − Arcsenx − 1
1) Lim Ln =2 2) Lim =
x →0 x2 1− x2


 x→0 sen 3 x 6
e x − e − x − 2x Arctgx − x − 1
3) Lim =1 4) Lim =
x →0 x − Arctagx x→0 x 2 Ln( x + 1) 3
sen(x 2 − 1)
1
5) Lim =2 6) Lim
(1 + x ) 2 − 1
x →1 x −1 x →0 Ln ( x + 1) + senx
Arcsenx − x x2 + 9 − 3
7) Lim 8) Lim =4
x →0
3 2
2x + 8 − 2 x →0
2
x + 16 − 4 3
2x + 4 − 2 1 Ln(cos x ) − 1
9) Lim = 10) Lim =
x →0 Arctgx 2 x →0 x2 2
Ln(1 + x ) − Arcsenx
11) Lim
x→∞
(
3
x3 + x2 − x3 − x2 ) 12) Lim
x→0 (
x ⋅ ex −1 )
2
Tagx − senhx 1 senx(2 + cos x ) − 3 x + x 3 e x
13) Lim = 14) Lim
x →0 x3 4 x →0 x5
senx − Arctgx 1 Tagx − sec x
15) Lim = 16) Lim = −∞
x →0 x 3 Ln( x + 1) 6 x →0 x3

6. 1 1
− 2 Artg  
17) Lim
x − senhx
18) Lim
x  x
= +∞
x →0 (1 − cosh x )2 x →∞ 1
x
1  12 − 5 x 2   1 1 
19) Lim 
 12 − x 2 − cosh x 
 20) Lim  − 
x →0 x6   x →0  1 − x cos x 
x2 − 4 π  1− x
21) Lim 2
tag  x  22) Lim
x→2 x 4  x →1 1− x
e x − cos x
23) Lim
x →0 sen x( )
2
C) Resolver las siguientes integrales:
x t x x
sent Ln(1 + t )
1) ∫
t
dt 2) ∫ e −t dt
2
3) ∫
t
dt ( )
4) ∫ Ln 1 + t 2 dt
0 0 0 0
x x 2 x x
et − 1 et − 1 dt
5) ∫ dt 6) ∫ dt 7) ∫ 8) ∫ e −t cos t dt
0
t 0
t 0 1− t4 0
D) Aplicando desarrollos en series de potencias, encontrar el valor aproximado
de: (con 3 cifras decimales).
1 1
1 1
1 − e −x
2 2
Arctgx senx
1) ∫ dx 2) ∫ dx 3) ∫ dx = 0,621 4) ∫ 3 x cos xdx = 0,608
0
x 0
x 0 x 0
1 1
1 1
1 − cos x Ln(1 + x )
2 2
5) ∫ 6) ∫ dx 7) ∫ 1 + x 3 dx = 0,508 8) ∫ x 2 e − x = 0,189
2
dx
0 x2 0
x 0 0