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Statistik
Teil 2 - Empirische Kenngrößen

         Ulrich Schrader
  http://info.ulrich-schrader.de
Empirische Kenngrößen
dienen der zusammenfassendenBeschreibung
der Ergebnisse einer Stichprobe.

   x1 , x 2 ,  , x n
seien n Beobachtungen eines quantitativen
Merkmals X.
Üblich: n für Anzahl der Beobachtungen
Lagemaße – Lokalisationsmaße (1)
• Minimum – kleinster beobachteter Wert
   x min
• Maximum – größter beobachteter Wert
  x max
• Modalwert - häufigst auftretende Werte
  x mod
  (bei mehreren häufigsten Werten kann es auch mehrere
  Modalwerte geben.)
Summenzeichen
Endwert

            Regel für die Bildung                     der Summanden
Startwert

       5
                2
            i        1   4    9        16        25
       i1


   5                                                    Summe der ersten
           xi       x1   x2       x3        x4    x5    fünf beobachteten
                                                        Werte
  i1
Lagemaße – Lokalisationsmaße (2)
• Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt)
                n
          1
   x                xi
          n    i1


   Beobachtet: 1, 3, 2, 5, 5, 2
          1                                18
    x          1    3    2    5   5   2            3
          6                                 6
   Problem: Ausreißer, einzelne sehr große Werte
   verschieben das Mittel
Lagemaße – Lokalisationsmaße (3)
• (Empirischer) Median
               x(2) 
 Seien x ( 1 )            x(n)
 der Größe nach angeordnete Beobachtungen
  x1 , x 2 ,  , x n

          1
              (x                    x                 )    falls n gerade
  ~                (n                   (n
                            )                    1)
  x       2             2                    2
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                                1       )
                                    2
Median - Beispiel
• Ungerade Anzahl von Beobachtungen

  1,1,2,4,5     6      6,7,8,8,9

• Gerade Anzahl von Beobachtungen
  1,1,2,4,6             7,7,8,8,9

                6,5
Streuungs- oder Dispersionsmaße (1)
• Spannweite oder Variationsbreite

  x max     x min     x(n)     x (1 )

 (Breite des Intervalls, in das alle beobachteten
 Werte passen)
Streuungs- oder Dispersionsmaße (2)
• Empirische Varianz                                                               2
                      n                                n                 n
              1                                1                     1
                                                                 2
      2                                2
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          n       1                        n       1                 n
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• Empirische Standardabweichung
              2
  s       s
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Statistik - Teil 2

  • 1. Statistik Teil 2 - Empirische Kenngrößen Ulrich Schrader http://info.ulrich-schrader.de
  • 2. Empirische Kenngrößen dienen der zusammenfassendenBeschreibung der Ergebnisse einer Stichprobe. x1 , x 2 ,  , x n seien n Beobachtungen eines quantitativen Merkmals X. Üblich: n für Anzahl der Beobachtungen
  • 3. Lagemaße – Lokalisationsmaße (1) • Minimum – kleinster beobachteter Wert x min • Maximum – größter beobachteter Wert x max • Modalwert - häufigst auftretende Werte x mod (bei mehreren häufigsten Werten kann es auch mehrere Modalwerte geben.)
  • 4. Summenzeichen Endwert Regel für die Bildung der Summanden Startwert 5 2 i 1 4 9 16 25 i1 5 Summe der ersten xi x1 x2 x3 x4 x5 fünf beobachteten Werte i1
  • 5. Lagemaße – Lokalisationsmaße (2) • Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt) n 1 x xi n i1 Beobachtet: 1, 3, 2, 5, 5, 2 1 18 x 1 3 2 5 5 2 3 6 6 Problem: Ausreißer, einzelne sehr große Werte verschieben das Mittel
  • 6. Lagemaße – Lokalisationsmaße (3) • (Empirischer) Median x(2)  Seien x ( 1 ) x(n) der Größe nach angeordnete Beobachtungen x1 , x 2 ,  , x n 1 (x x ) falls n gerade ~ (n (n ) 1) x 2 2 2 x( n falls n ungerade 1 ) 2
  • 7. Median - Beispiel • Ungerade Anzahl von Beobachtungen 1,1,2,4,5 6 6,7,8,8,9 • Gerade Anzahl von Beobachtungen 1,1,2,4,6 7,7,8,8,9 6,5
  • 8. Streuungs- oder Dispersionsmaße (1) • Spannweite oder Variationsbreite x max x min x(n) x (1 ) (Breite des Intervalls, in das alle beobachteten Werte passen)
  • 9. Streuungs- oder Dispersionsmaße (2) • Empirische Varianz 2 n n n 1 1 1 2 2 2 s ( xi x) xi xi n 1 n 1 n i1 i1 i1 • Empirische Standardabweichung 2 s s