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Statistik
Teil 5 - Statistisches Schließen
           Ulrich Schrader
    http://info.ulrich-schrader.de
Statistisches Schätzen
• Situation
  – Aus einer Population wird eine Stichprobe
    gezogen. Ein Merkmal X wird beobachtet.
• Frage
  – Wie kann der Erwartungswert E(X) des Merkmals
    aus der Stichprobe geschätzt werden?
Aufgabenstellung


Population
                        Stichprobe

              gezogen

   E(X)                    x
             schätzen          2
  Var(X)                   s
                           n
Konfidenzintervall
• Beim statistischen Schätzen wird ein (zufälliges)
  Intervall bestimmt, in dem der Erwartungswert
  E(X) mit einer vorgegebenen Sicherheit 1-α
  enthalten ist.
   – α : Irrtumswahrscheinlichkeit
     Wahrscheinlichkeit, dass der Erwartungswert E(X)
     nicht in dem Intervall ist. Wird festgelegt.
• Synonyme
   – Vertrauensbereich
   – Vertrauensintervall
Konfidenzintervalle im täglichen Leben
• "Im Mittel brauche ich für den Weg von der
  Wohnung zur Fachhochschule zwischen 75 und
  105 Minuten. Ich bin mir dabei 95% sicher,
  dass das stimmt."
• "Der Kuchen braucht immer zwischen 60 und
  75 Minuten bis er fertig ist."
• Umgangssprachlich nennt man meist nicht die
  Sicherheit der Aussage.
Konfidenzintervalle
• Für die Konfidenzintervalle des Erwartungswertes
  (es gibt auch andere!) gilt ...
   – Schätzer ist das arithmetische Mittel der Stichprobe
• Allgemein gilt:
   – Konfidenzintervalle werden kleiner bei wachsendem
     Stichprobenumfang (n größer).
   – Konfidenzintervalle werden kleiner bei geringerer
     Streuung der beobachteten Werte.
   – Konfidenzintervalle werden um so größer je mehr
     Sicherheit man haben möchte.
Berechnung des Konfidenzintervalls
                                    s                           s
    1-    KI    x   tn   1 ,1
                                        ,   x   tn   1 ,1
                                2   n                       2   n
                linke Grenze                         rechte Grenze

• α: Irrtumswahrscheinlichkeit. Festgelegt aus dem
  Kontext (Was sind die Folgen eines Fehlers?)
• x , s , n : Kennzahlen der Stichprobe
• t n 1,1 2 : berücksichtigt die Stichprobengröße, die
  Irrtumswahrscheinlichkeit α und die Schätzung
  der unbekannten Streuung in der Population
  durch die Standardabweichung in der Stichprobe.
t-Verteilung mit k Freiheitsgraden
          Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Student_densite_best.JPG
Konfidenzintervall (Beispiel)
Eine Person benötigt zur Durchführung
einer bestimmten Aufgabe (Knöpfen)           x            75 . 14 ;              s     19 . 52 ;              n           7;                0 . 05
an verschiedenen Tagen jeweils:              t             0 , 05
                                                                             t 6 , 0 .975            2 . 45        (aus Tabelle)
                                                 7 1 ,1
92, 90, 89, 85, 51, 74, 45 Sekunden                                 2




                                                                                     s                                               s
                               1-       KI         x        tn      1 ,1
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                                                                             2        n                                        2      n
                                                                                     19 . 52                                                 19 . 52
                                                   75 . 14                 2 . 45                      ,      75 . 14              2 . 45
                                                                                                 7                                                   7

Der Erwartungswert für die Dauer zur                                       47 . 82                                  47 . 82
                                                   75 . 14                               ,       75 . 14
Durchführung der Aufgabe (Knöpfen)                                          2 . 65                                   2 . 65
bewegt sich mit 95% Sicherheit                    75 . 14               18 . 05 ,            75 . 14           18 . 05
zwischen 57,86 und 90,42 Sekunden.
                                                  57 . 09 ,                93 . 19
Anwendungsbeispiel
• Ein neues Verfahren zur Senkung der
  Körpertemperatur ist nur klinisch relevant, wenn
  die Senkung mindestens 1.5°C beträgt.
  – 1. Fall: 95%-KI = [1.7°C; 2.4°C]
    Mit 95% Sicherheit kann davon ausgegangen
    werden, dass der Erwartungswert für die
    Temperatursenkung klinisch relevant ist. Im
    schlimmsten Fall beträgt sie nur 1.7°C, im besten Fall
    2.4°C.
  – 2. Fall: 95%-KI = [1.2°C, 2.9°C]
    Es kann nicht mit 95% Sicherheit davon ausgegangen
    werden, dass der Erwartungswert für die
    Temperatursenkung klinisch relevant ist. Im
    schlimmsten Fall beträgt sie nur 1.2°C.

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Statistik - Teil 5

  • 1. Statistik Teil 5 - Statistisches Schließen Ulrich Schrader http://info.ulrich-schrader.de
  • 2. Statistisches Schätzen • Situation – Aus einer Population wird eine Stichprobe gezogen. Ein Merkmal X wird beobachtet. • Frage – Wie kann der Erwartungswert E(X) des Merkmals aus der Stichprobe geschätzt werden?
  • 3. Aufgabenstellung Population Stichprobe gezogen E(X) x schätzen 2 Var(X) s n
  • 4. Konfidenzintervall • Beim statistischen Schätzen wird ein (zufälliges) Intervall bestimmt, in dem der Erwartungswert E(X) mit einer vorgegebenen Sicherheit 1-α enthalten ist. – α : Irrtumswahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit, dass der Erwartungswert E(X) nicht in dem Intervall ist. Wird festgelegt. • Synonyme – Vertrauensbereich – Vertrauensintervall
  • 5. Konfidenzintervalle im täglichen Leben • "Im Mittel brauche ich für den Weg von der Wohnung zur Fachhochschule zwischen 75 und 105 Minuten. Ich bin mir dabei 95% sicher, dass das stimmt." • "Der Kuchen braucht immer zwischen 60 und 75 Minuten bis er fertig ist." • Umgangssprachlich nennt man meist nicht die Sicherheit der Aussage.
  • 6. Konfidenzintervalle • Für die Konfidenzintervalle des Erwartungswertes (es gibt auch andere!) gilt ... – Schätzer ist das arithmetische Mittel der Stichprobe • Allgemein gilt: – Konfidenzintervalle werden kleiner bei wachsendem Stichprobenumfang (n größer). – Konfidenzintervalle werden kleiner bei geringerer Streuung der beobachteten Werte. – Konfidenzintervalle werden um so größer je mehr Sicherheit man haben möchte.
  • 7. Berechnung des Konfidenzintervalls s s 1- KI x tn 1 ,1 , x tn 1 ,1 2 n 2 n linke Grenze rechte Grenze • α: Irrtumswahrscheinlichkeit. Festgelegt aus dem Kontext (Was sind die Folgen eines Fehlers?) • x , s , n : Kennzahlen der Stichprobe • t n 1,1 2 : berücksichtigt die Stichprobengröße, die Irrtumswahrscheinlichkeit α und die Schätzung der unbekannten Streuung in der Population durch die Standardabweichung in der Stichprobe.
  • 8. t-Verteilung mit k Freiheitsgraden Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Student_densite_best.JPG
  • 9. Konfidenzintervall (Beispiel) Eine Person benötigt zur Durchführung einer bestimmten Aufgabe (Knöpfen) x 75 . 14 ; s 19 . 52 ; n 7; 0 . 05 an verschiedenen Tagen jeweils: t 0 , 05 t 6 , 0 .975 2 . 45 (aus Tabelle) 7 1 ,1 92, 90, 89, 85, 51, 74, 45 Sekunden 2 s s 1- KI x tn 1 ,1 , x tn 1 ,1 2 n 2 n 19 . 52 19 . 52 75 . 14 2 . 45 , 75 . 14 2 . 45 7 7 Der Erwartungswert für die Dauer zur 47 . 82 47 . 82 75 . 14 , 75 . 14 Durchführung der Aufgabe (Knöpfen) 2 . 65 2 . 65 bewegt sich mit 95% Sicherheit 75 . 14 18 . 05 , 75 . 14 18 . 05 zwischen 57,86 und 90,42 Sekunden. 57 . 09 , 93 . 19
  • 10. Anwendungsbeispiel • Ein neues Verfahren zur Senkung der Körpertemperatur ist nur klinisch relevant, wenn die Senkung mindestens 1.5°C beträgt. – 1. Fall: 95%-KI = [1.7°C; 2.4°C] Mit 95% Sicherheit kann davon ausgegangen werden, dass der Erwartungswert für die Temperatursenkung klinisch relevant ist. Im schlimmsten Fall beträgt sie nur 1.7°C, im besten Fall 2.4°C. – 2. Fall: 95%-KI = [1.2°C, 2.9°C] Es kann nicht mit 95% Sicherheit davon ausgegangen werden, dass der Erwartungswert für die Temperatursenkung klinisch relevant ist. Im schlimmsten Fall beträgt sie nur 1.2°C.