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Zufallsgesteuerte Algorithmen,
       g            g        ,
    der Natur abgeschaut

                      Roland Mittermeir
                Institut für Informatik Systeme
                             Informatik-Systeme
                     Universität Klagenfurt




Gliederung
• Algorithmische Komplexität und NP-vollständige
  Probleme
• Optimal oder gut genug –
               Heuristiken und Metaheuristiken
• Swarm Intelligence und Stigmerie
• Kooperationsstrategien von Ameisen
• Wie künstliche Ameisen das Traveling Salesman
  Problem lösen


R. Mittermeir                 -2-                          © Mittermeir
                                                  Universität Klagenfurt




                             Seite 1
Algorithmische Komplexität
Frage:
  Wie lange dauert es im schlechtesten Fall, bis dieser
  Algorithmus das Ergebnis berechnet hat?


Antwort:
         • Das hängt von der Anzahl n der zu verarbeitenden
           Daten ab!
         • Das hängt davon ab, wie oft der Algorithmus ein
           einzelnes Datum „anschauen“ muss.
                          ⇒ Dauer ist eine Funktion von n.


R. Mittermeir                                 -3-                                       © Mittermeir
                                                                               Universität Klagenfurt




Komplexitätsklassen
• Die (maximale) Bearbeitungsdauer ist durch ein Polynom in n beschreibbar.
            ⇒ Polynomielle Komplexität:
                           C = a*nk + b*nk-1 + … + c*n2 + d*n1 + e
                         ⇒ O(f(n)) = O(nk)


• Behandelbare Probleme (tractable problems) haben niedere polynomielle
  Komplexität
         z.B.: kürzeste Wege … O(n2),     Bubblesort … O(n2),    Quicksort … (O(n*ld n)


• Ni ht b h d lb
  Nicht-behandelbare P bl
                     Probleme (i t t bl problems) h b exponentielle
                              (intractable bl   ) haben      ti ll
  Komplexität.
                         . C = O(constn)
                z.B.: Traveling Salesman… O(n!),    Teilmengensumme (Rucksackproblem)… O(2i),


R. Mittermeir                                 -4-                                       © Mittermeir
                                                                               Universität Klagenfurt




                                            Seite 2
Besichtigungs-Rundreise
Sie wollen Ihrem Gast die Sehenswürdigkeiten Kärntens zeigen.


Dabei wollen Sie
         – nichts auslassen,
         – nichts doppelt besuchen,
         – insgesamt möglichst wenig Zeit für die Reise zwischen den einzelnen
           Sehenswürdigkeiten vergeuden.


 In welcher Reihenfolge sollten Sie Kärntens Highlights besuchen?




R. Mittermeir                          -5-                                     © Mittermeir
                                                                      Universität Klagenfurt




R. Mittermeir                          -6-                                     © Mittermeir
                                                                      Universität Klagenfurt




                                      Seite 3
Metnitz
           Heiligenblut
                                                                                                                               Friesach
                                   Obervellach


                                                                                                                 Gurk                                                Wolfs
                                                                                                                                                                     berg
                                                           Spittal                       Kleinkirchheim
Lienz
                                                                       Millstatt
                                                                       Mill t tt                                                     Hochosterwitz.
                                                                                                                                     Hochosterwitz
                                   Greifenburg
                                                                                                                                                                        St.
                                          Weissensee                                                                                                                   Paul
    M-Luggau
                                                                                                       Ossiach


                                                Hermagor                                    Villach
                                                                                                                        Klagenfurt                                 Bleiburg
                                                                      Nötsch
                                                                                                 Faak


                                                                                                                                              B.Eisenkappel




             R. Mittermeir                                                         -7-                                                           © Mittermeir
                                                                                                                                        Universität Klagenfurt




             Ein Netz von Straßen
                                                                                                                    Metnitz
         Heiligenblut
                                                                                                                               Friesach
                                  Obervellach

                                                                                                                                                                 Wolfsberg

                                                                                                                 Gurk
                                                           Spittal                       Kleinkirchh
 Lienz
                                                                      Millstatt                                                       Hochosterw.
                                       Greifenburg
                                                                                                                                                                      St.
                          Weissensee
    M-Luggau                                                                                                                                                         Paul
                                                                                                       Ossiach
                                              Hermagor
                                                                                            Villach                     Klagenfurt                                 Bleiburg
                                                                     Nötsch
                                                                                              Faak
                                                                                                                                            Eisenkappel




             R. Mittermeir                                                         -8-                                                           © Mittermeir
                                                                                                                                        Universität Klagenfurt




                                                                               Seite 4
Reisedauer in Viertelstunden

    Heiligenblut                                                                                                                           Metnitz
                        4                                                                                                                              Friesach
                                     O.Vell                                                                                                    1
                                                                                                                                    3
    2                                             3                                                                                                                                      Wolfsberg
                                                                                                                 6                        2
                                                            Spittal
                                                                                                                                        Gurk                                  5
                                                                                  2              Kleinkirchheim
                                                                                                                                                         1
Lienz                                         3                    2                                                                           3
                                                                           Millstatt                                                                           Hochosterw.
                    4                                                                                                                                                                       2
2                                     Greifenburg
                                                                                                     4           5                  6
                                 1                                     2                                                  3                                                                     St.
    M-Luggau                Weissensee                                                4                                         7                  3                                           Paul
                                      2                          10                                                  Ossiach
                        6                     Hermagor                                                                                                                            3        2
                                                                                                             2              6                                      6
                                                                                                     Villach                                   Klagenfurt
                                                        2                              1                 1                                                                               Bleiburg
                                                                       Nötsch                                                   7                                               2
                                                                                       2                 Faak
                                                                                                                                                     5
                                                                                                                                9
                                                                                                                                                                  Eisenkappel




          Graph mit 22 Knoten (Städten) … 22! Wege wären zu berechnen!
                                         ~ 1,124 * 1021 Wege
           R. Mittermeir                                                                   -9-                                                                           © Mittermeir
                                                                                                                                                                Universität Klagenfurt




           Zentralkärnten
                                                                                                                                Metnitz
                                                                                                                                           1
                                                                                                                                                         Friesach
                                                                                                                            3
                                                                                                                     Gurk           2
                                                                                       6                                                                   1
          Spittal
                                              2                 Kleinkirchheim                                                  4
                        2
                                  Millstatt                                                                                               3                     Hochosterwitz

                                                                       4                   5
                            2                                                                            3             6
                                                  4                                                                                                  3
                                                                                                                            7
                                                                                          Ossiach
                                                                              2
                                                                                                             6
                                                      Villach                                                                           Klagenfurt
                                                                                                 2
                                                                  1                                                   7
                                                                                                                                                       5

                                                                       Faak
                                                                                                                          9
        Graph mit 12 Knoten (Städten) … „nur mehr 12! Wege zu berechnen
                                                                                = 479.001.600 Wege                                                                        Eisenkappel
           R. Mittermeir                                                                   - 10 -                                                                        © Mittermeir
                                                                                                                                                                Universität Klagenfurt




                                                                                      Seite 5
Mögliche Besichtigungsfolgen
Rundreise: (Kl, .. Liste aller anderen Städte .. , Kl)                                                      Dauer:

(Kl, Vi, Fa, Ei,
(Kl Vi Fa Ei ---                       )                                                                    bleibe stecken


(Kl, Ho, Fr, Gu, Kk, … )                                                                                    ?? Metnitz verpasst !!


(Kl, Os, Ho, Fr, Me, Gu, Kk, Mi, Sp, Vi, Fa, Ei, Kl)
     6 + 6 + 1 + 1 + 3 + 6 + 2 + 2 + 2 +1 + 9 + 5                                                       Dauer: 44
(Kl, Ho, Fr, Me, Gu, Os, Kk, Mi, Sp, Vi, Fa, Ei, Kl)
    3 +1+1+3 +3+4+2+2+2+1+9+5                                                                               Dauer: 36
(Kl, Ei, Fa, Vi, Sp, Mi, Kk, Os, Gu, Me, Fr, Ho, Kl)
    5 +9+1+2+2+2+4+3+ 3+1+1+3                                                                               Dauer: 36

R. Mittermeir                                                   - 11 -                                                             © Mittermeir
                                                                                                                          Universität Klagenfurt




verbotene Kanten/Wege                                                                                        1000

                                                                                              Metnitz

Ergänzter Graph:                                                                                        1
                                                                                                                      Friesach
                                                                                          3
                                                                                   Gurk          2
Spittal                                                        6
                                                                                                                  1
                                              Kleinkirchheim                                    4
                2
                                2                                                                       3
                    Millstatt                                                                                              Hochosterwitz

                                                    4              5
                2                                                          3
                                                                                          6
                                4                                                                              3
                                                                                          7
                                                                Ossiach
                                                         2
                                                                               6
                                    Villach                                                          Klagenfurt
                                                                       2
                                                1                                         7
                                                                                                                  5
                                                  Faak

                                                                                          9                                             Eisenkappl

R. Mittermeir                                                   - 12 -                                                             © Mittermeir
                                                                                                                          Universität Klagenfurt




                                                               Seite 6
Kürzester Rundweg (Kreis)
•      Initialisiere
         – bilde Liste aller Sehenswürdigkeiten
         – berechne die Reisedauer, nimm an sie sei die Kleinste
•      Verbessere
         – berechne Permutation der Sehenswürdigkeitenliste
         – berechne zugehörige Reisedauer
         – ist diese kleiner als die bisher berechnete (kleinste) Reisedauer
           dann
                * merke Dir die Reihenfolge der eben berechneten Sehenswürdigkeitenliste
                * merke Dir die zugehörige Reisedauer

      solange bis alle Permutationen durchprobiert sind!
               Liefert mit Sicherheit die optimale Lösung!
       Aber das dauert noch immer zu lang! (12*11*10*…*3*2*1 Durchläufe).
R. Mittermeir                                - 13 -                                     © Mittermeir
                                                                               Universität Klagenfurt




Systematische Vorgangsweise
Permutiere (L, anf, end)
 von i := anf bis end mache:
    tausche (L[anf], L[i]);
    wenn anf < end
                 dann
                       Permutiere(L, anf+1, end)
                 sonst
                       gib aktuelle Lösung aus;
    tausche(L[i], L[anf])
    tausche(L[i] L[anf]).

Aufruf mit Permutiere (Sehenswürdigkeitenliste, 1, 12)
                                           Prüfe auf Zulässigkeit der Lösung
R. Mittermeir                                - 14 -                                     © Mittermeir
                                                                               Universität Klagenfurt




                                           Seite 7
Permutiere ([ A, B, C, D]; 1, 4)
anf i           A B C D
1 1             a B C D
                  permutiere([B, C, D]; 2, 4)
                          anf i         B C D
                          2     2     b C D
                                           permutiere [C, D]; 3, 4)
                                                   anf i         B C D
                                                   3     3          c D
                                                                     permutiere [D]; 4, 4)   A B C D
                                                   3     4          d c
                                                                     permutiere [C]; 4, 4)   A B D C
                          2     3     c b D
                                           permutiere [b, D]; 3, 4)
                                                   3    3           b D
                                                                     permutiere [D]; 4, 4)   A C B D
                                                   3     4          d b
                                                                     permutiere [C]; 4, 4)   A C D B
                          2     4     d C b
                                           permutiere [C, b]; 3, 4)
                                                   3    3           C b
                                                                     permutiere [b]; 4, 4)   A D C B
                                                   3     4          b c
                                                                     permutiere [C]; 4 4)
                                                                                     4,      A D B C
1    2          b a C D
                  permutiere([a, C, D]; 2, 4)
                  …
1    3          c B a D
                  permutiere([B, a, D]; 2, 4)
                  …
1    4          d B C d
                  permutiere([a, C, D]; 2, 4)
                  …
Aufwand: 2 => 2; 3 => 3x2 = 6; 4 => 4x(3x2) = 4x6 = 24; …; 100 => 100x99x .. x 2 = 100 !                also n!
R. Mittermeir                                                 - 15 -                                            © Mittermeir
                                                                                                       Universität Klagenfurt




                           Heuristischer Ansatz




                                                            Seite 8
Heuristiken

• Da intractable problems bei entsprechender Größenordnung
      in
      i vernünftiger Z it nicht exakt lö b sind, b
            ü fti    Zeit i ht     kt lösbar i d begnügt man sich
                                                     ü t      i h
      mit Näherungslösungen (Approximationsalgorithmen,
      Heuristiken).


• Diese liefern in der Regel Ergebnisse in der Nähe der
  optimalen Lösung.
          – Unklar, ob das berechnete Ergebnis tatsächlich optimal ist.
          – Unbekannt, wie weit das berechnete Ergebnis vom Optimum abweicht.

R. Mittermeir                                                       - 17 -                                                        © Mittermeir
                                                                                                                         Universität Klagenfurt




Minimaler spannender Baum 1
                                                                                                  Metnitz
                                                                                                            1
                                                                                                                    Friesach
                                                                                              3
                                                                                       Gurk           2
Spittal
S itt l
                                                                   6
                                                                                                                    1
                                2                 Kleinkirchheim                                  4
           2
                    Millstatt                                                                               3           Hochosterwitz

                                                        4              5
                2                                                              3
                                                                                        6
                                    4                                                                           3
                                                                                              7
                                                                    Ossiach
                                                             2

                                                                                   6
                                        Villach                                                       Klagenfurt
                                                                           2
                                                    1                                  7
                                                                                                                    5

                                                         Faak
                                                                                              9                                      Eisenkappel


R. Mittermeir                                                       - 18 -                                                        © Mittermeir
                                                                                                                         Universität Klagenfurt




                                                                   Seite 9
Minimaler spannender Baum 1,2
                                                                                                              Metnitz
                                                                                                                        1
                                                                                                                                    Friesach
                                                                                                          3
                                                                                                 Gurk             2
     Spittal
     S itt l
                                                                         6
                                                                                                                                   1
                                     2                 Kleinkirchheim                                         4
                2
                         Millstatt                                                                                      3              Hochosterwitz

                                                             4               5
                     2                                                               3
                                                                                                  6
                                         4                                                                                   3
                                                                                                          7
                                                                         Ossiach
                                                                  2

                                                                                             6
                                             Villach                                                              Klagenfurt
                                                                                 2
                                                         1                                       7
                                                                                                                                   5

                                                              Faak
                                                                                                        9                                            Eisenkappel


     R. Mittermeir                                                       - 19 -                                                                   © Mittermeir
                                                                                                                                         Universität Klagenfurt




     Minimaler spannender Baum 1,2,3,++
                                                                                                              Metnitz
                                                                                                                        1
                                                                                                                                   Friesach
                                                                                                          3
                                                                                                 Gurk             2
                                                                         6
     Spittal                                                                                                                       1
                                     2                 Kleinkirchheim                                         4
                2
                         Millstatt                                                                                      3              Hochosterwitz

                                                             4               5
                     2                                                                   3              6
                                         4                                                                                   3
                                                                                                          7
                                                                         Ossiach
                                                                  2

                                                                                             6
                                             Villach                                                                  Klagenfurt
                                                                                 2
                                                         1                                            7
                                                                                                                                   5

                                     Faak
Gewicht:                                                                                                9                                             Eisenkappel
  ((((1)+2+2+2)+2)+2)+3+5)+(2+(1+1)) = 23
     R. Mittermeir                                                       - 20 -                                                                   © Mittermeir
                                                                                                                                         Universität Klagenfurt




                                                                        Seite 10
Minimaler Weg über
     minimalem spannendem Baum
                                                                                                        Metnitz
                                                                                                                  1
                                                                                                                             Friesach
                                                                                                    3
                                                                                             Gurk           2
                                                                         6
     Spittal                                                                                                                 1
                                     2                 Kleinkirchheim                                   4
                2
                         Millstatt                                                                                3              Hochosterwitz

                                                             4               5
                     2                                                               3              6
                                         4
                                                                                                    7                  3
                                                                         Ossiach
                                                                  2

                                                                                         6
                                             Villach                                                            Klagenfurt
                                                                                 2
                                                         1
                                                                                              7                              5

                                                          Faak
Gewicht:                                                           9                                                                           Eisenkappel
((((1)+2+2+2)+2)+2)+3+5)+(2+(1+1)) = 23 - (2+2+2) + (4+9+3)+3 = 36
     R. Mittermeir                                                       - 21 -                                                            © Mittermeir
                                                                                                                                  Universität Klagenfurt




                                              Metaheuristiken




                                                                        Seite 11
Metaheuristiken

• Eine Metaheuristik ist ein Satz algorithmischer Konzepte,
      der
      d verwendet werden k
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                                Heuristiken, di auf ein
                                             die f i
      breites Problemfeld anwendbar sind, zu definieren.



• Durch Parametrisierung wird das metaheuristische
      Konzept für konkrete Problemlösungen zugeschnitten.




R. Mittermeir                 - 23 -                           © Mittermeir
                                                      Universität Klagenfurt




Von Natur inspirierte Metaheuristiken

• Genetische Algorithmen

• Evolutionary Programming

• Simulated Annealing



• Bakteriologische Algorithmen

• Bienenstock-Algorithmen

• Ant Systems / Ant Colony Systems
R. Mittermeir                 - 24 -                           © Mittermeir
                                                      Universität Klagenfurt




                             Seite 12
Wie lösen Ameisen
         das Problem „kurze Reisen“?




Futtersuche von Ameisen
Deneubourg‘s 1. Brückenexperiment mit Iridomyrex humilis:
 [1987 – 1990]

          Futter




                   • Auf welchem der beiden Wege
                     wird sich eine Ameisenstraße bilden?

                   • Warum bildet sie sich?
        Bau


R. Mittermeir                 - 26 -                          © Mittermeir
                                                     Universität Klagenfurt




                            Seite 13
Futtersuche von Ameisen
Deneubourg‘s Brückenexperiment mit Lasius Niger:
       Futter         4 min     Futter              8 min   Futter




        Bau                     Bau                         Bau
R. Mittermeir                     - 27 -                                 © Mittermeir
                                                                Universität Klagenfurt




Der Ameisen-Trick:
Kommunikation über Stigmerie
• Duftstoff Pheromon markiert die eigene Spur.
• Rasch gefundenes Futter ⇒ rasch am (eigenen !) Rückweg.
• Dies verstärkt die Pheromonspur.


• Dies lockt andere Ameisen an, der schon markierten Spur zu folgen.
• Auf verlassenen Spuren verdunstet das Pheromon mit der Zeit.
ABER
• Eine Futterstelle ist ja irgendwann erschöpft
             (oder vielleicht gibt es noch eine nähere/bessere):
• Daher wird nicht strikt der stärksten Pheromonspur gefolgt,
            sondern auch zufällig andere Wege erprobt.


R. Mittermeir                     - 28 -                                 © Mittermeir
                                                                Universität Klagenfurt




                               Seite 14
Algorithmische Simulation des
         Verhaltens von Ameisen




Simulation des
Deneubourg Experiments
            Futter   Wahrscheinlichkeit pkurz bzw. plang
                     dass Ameise a
                     zum Zeitpunkt t
                               p
                     den kurzen bzw. langen Weg wählt,
                     hängt von der aktuellen Pheromon-Intensität
                     PhIa,w(t) ab:


                     pa,kurz(t) = PhIv,kurz(t)α / (PhIa,kurz(t)α + PhIa,lang(t)α )

       pk
        kurz plang
                     pa,lang(t) = PhIa,lang(t)α / (PhIa,kurz(t)α + PhIa,lang(t)α )


          Bau
                     Pheromon-Ablagerung auf Hin- und Rückweg!

R. Mittermeir                - 30 -                                        © Mittermeir
                                                                  Universität Klagenfurt




                          Seite 15
Problemlösungsprinzip
• Verstehe das Problemlösungsverhalten des biologischen Systems
• Baue ein entsprechendes mathematisches/algorithmisches Modell
• Prüfe, ob dieses das biologische System darstellen kann


• Wende das so erlernte Problemlösungsverhalten auf klassisch schwer
  lösbare Probleme an
• Verbessere diese
         – durch geeignete Parameter-Wahl
         – durch Variation von Details der Problemlösungsstrategie
         – durch algorithmische Optimierung

      Dies kann zu einer Entfremdung von der biologischen Analogie führen.

R. Mittermeir                            - 31 -                                 © Mittermeir
                                                                       Universität Klagenfurt




Anwendung: Rundreiseproblem
• Modelliere Städte und Verbindungen dazwischen als Graph
• Stelle Städte-Graph als Distanzmatrix D(i,j) dar
• Platziere Ameisen in Ausgangsstädten
• Belege Graphen mit einer Ausgangsmenge von Pheromon t0
• Lass Ameisen laufen:
       Diese wählen die noch nicht besuchte nächste Stadt nach
         – Pheromonkonzentration auf der Wegstrecke dorthin ti,j und
         – „Erfolgserwartung eines kurzen Weges hii,jj
            Erfolgserwartung“
         – unter Berücksichtigung grundsätzlicher Randbedingung Ω aus.
• Sichere, dass
         – keine Kreise begangen werden,
         – Pheromon entsprechend der Nutzung und Güte der Wege aktualisiert wird.
R. Mittermeir                            - 32 -                                 © Mittermeir
                                                                       Universität Klagenfurt




                                      Seite 16
Matrix d. Distanzen zw. Städten
                          j           1           2           3           4           5           6           7           8           9          10           11          12

   i     Städte               Fa          Fr          Gu          Ho          Kl          Kk          Me          Mi          Ob          Os          Sp           Vi

   1     Faak                         0        1000        1000        1000          7         1000        1000        1000          9         1000        1000           1

   2     Friesach                  1000           0          2           1           3         1000          1         1000        1000        1000        1000         1000

   3     Gurk                      1000          2            0        1000        1000          6           3         1000        1000          3         1000           5

   4     Hochosterwitz             1000          1         1000           0          3         1000        1000        1000        1000          6         1000           7

   5     Klagenfurt                  7           3         1000          3            0        1000        1000        1000          5           6         1000           2

   6     Kleinkirchheim            1000        1000          6         1000        1000           0        1000          2         1000          4         1000         1000

   7     Metnitz                   1000          1           3         1000        1000        1000           0        1000        1000        1000        1000         1000

   8     Millstatt                 1000        1000        1000        1000        1000          2         1000           0        1000        1000            2          4

   9     Obirhöhle                   9         1000        1000        1000          5         1000        1000        1000           0        1000        1000         1000

  10     Ossiach                   1000        1000          3           6           6           4         1000        1000        1000           0        1000           2

  11     Spittal                   1000        1000        1000        1000        1000        1000        1000          2         1000        1000            0          2

  12     Villach                     1         1000          5           7           2         1000        1000          4         1000          2             2           0



R. Mittermeir                                                             - 33 -                                                                                    © Mittermeir
                                                                                                                                                           Universität Klagenfurt




Erstes mathematisches Modell
Grundmodell: AS – Ant System                                                                                                        [Dorigo 1992]
• Rundreiseproblem wird als Suchproblem aufgefaßt.
• Optimierungsziel (Suchziel) des Rundreiseproblems ist Weg mit
  geringsten Kosten C (kürzester Weg) .
• Randbedingung Ω:
   – Alle Sehenswürdigkeiten müssen besucht werden.
   – Letztlich muss man zum Ausgangspunkt zurückkehren.

• Ameisen machen sich auf den Weg, um den kürzesten zu finden.
• Sie wählen in Stadt i die jeweils nächste Stadt j zufällig
   – in Abhängigkeit von Pheromon τij auf den Ausgangswegen
   – und heuristischer Attraktivität ηij.

R. Mittermeir                                                             - 34 -                                                                                    © Mittermeir
                                                                                                                                                           Universität Klagenfurt




                                                                       Seite 17
Umsetzung der Routenoptimierung
  Konstruktionsgraph:
                  Problemgraph, erweitert um „teure“ verbotene Kanten fl vollständiger Graph,
                  Distanzmatrix zwischen Städten

  Randbedingung:
                  Alle Städte müssen besucht werden fl vollständiges Durchwandern,
                  Liste noch zu besuchender Städte oder Tabuliste

  Auswahlhilfe für Ameise:
          ti,j .. Pheromonspur zwischen Knoten (Stadt) i und j
          hi,j .. lokale Attraktivität von Knoten (Stadt) i nach j zu gehen
                             Meist: hi,j = 1/di,j … Kehrwert der Distanz zwischen zwei Städten.

  Lösungsansatz:
       g
          – Jede Ameise wird initial in eine zufällig gewählte Stadt gesetzt.
          – In jedem Verfahrensschritt besucht sie eine von ihr noch nicht besuchte Stadt.
          – Nachdem alle Städte besucht wurden, läuft sie ihren Weg zurück und aktualisiert die
            Pheromonwerte.

  Abbruch des Verfahrens:
                  Wenn sich längere Zeit keine Verbesserungen der besten Lösung mehr ergeben.
 R. Mittermeir                                                     - 35 -                                                        © Mittermeir
                                                                                                                        Universität Klagenfurt




Heuristische Attraktivität ηij
                                                                                              Metnitz
                                                                                                        1/1
                                                                                                                  Friesach
                                                                                      1/3
                                                                                     Gurk       1/2
                                                                  1/6                                             1/1
Spittal
                              1/2              Kleinkirchheim
          1/2
                                                                                                   1/3
                       Millstatt                                                                                        Hochosterw.

                                                     1/4           1/5
                 1/2                                                          1/3     1/6
                               1/4                                                                              1/3
                                                                                        1/7
                                                                   Ossiach
                                                            1/2
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 R. Mittermeir                                                     - 36 -                                                        © Mittermeir
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                                                                  Seite 18
Gerüst des AS Algorithmus
  Prozedur AS {
  Initialisiere das System;
  über tmax Zyklen do {
        berechne für jede Ameise zufällig deren Weg;
        ist einer davon kürzer als bisher gefundener Kürzester,
                    dann merk in dir;
        akutalisiere Pheromon-Matrix
        }
  gib beste Lösung aus
  }




  R. Mittermeir                                        - 37 -                                         © Mittermeir
                                                                                             Universität Klagenfurt




 Auswahl und Pheromon-Update
• lokale Auswahlentscheidung für nächste Stadt
            pijjk = [ti,j]a x [hi,j ]b / S <l e Jik> ([ti,l]a x [hi,l ]b)
                       ,j        ,j                      ,         ,        wenn j e Jik ; sonst 0
              Jik ⊆ Nik … Jene Städte in der Nachbarschaft von Stadt i, die von Ameise k
                                                                noch nicht besucht wurden.
            a, b     ...    Parameter

• Pheromon-Initialisierung:
              t0 = # Ameisen / CTour_nächsterNachbar                             C .. Kosten der Rundreise
   (Tour)


• Pheromon-Aktualisierung:
      ti,j(t‘) ≠ (1 - r) ti,j (t)                          für alle Kanten (i, j) im Graph (Verdunstung)
            ti,j(t+1) ≠ ti,j(t‘) + S    k Dti,j (t‘)
                                               k          für alle Kanten (i, j) im Graph (Aktualisierung)
            Dti,jk (t‘) = 1/ Ck                          wenn (i,j) auf der Tour Tk von Ameise k; liegt;
  R. Mittermeir
                          sonst 0                      - 38 -                                         © Mittermeir
                                                                                             Universität Klagenfurt




                                                   Seite 19
AS Algorithmus
{ Initialisiere jede Kante (i,j) mit ti,j(0) = t0};
  for k = 1 to m do {platziere Ameise k in eine zufällig gewählte Stadt};
  {initialisiere L+ als Länge der bisher g
  {                        g                 gefundenen kürzesten Tour T+}
    for t = 1 to tmax do {
      for k = 1 to m do
         while Stadt # Ausgangsstadt do
                {konstruiere Tour Tk(t) durch Wanderung von Ameise k in die
                nächste noch nicht besuchte Stadt gemäß pijk};
        for k = 1 to m do {berechne Länge Lk(t) der Tour Tk(t) von Ameise k}
        wenn Minimum der Längen Lk(t) < L+ dann {L+ := Lk(t)min; T+ := Tk(t)min};
        for jede Kante (i,j) do {aktualisiere Pheromon-Markierung mittels
                  ti,j (t+1) ≠ (1-ρ)ti,j + S1..m Dti,jk (t) + Dti,je (t) }
    }
    drucke kürzeste Tour T+ und ihre Länge L+
}
    R. Mittermeir                       - 39 -                                 © Mittermeir
                                                                      Universität Klagenfurt




    Verbessertes Modell
    ACS – Ant Colony System                        [Dorigo, Gambardella 1997]



    • Ziel:
      Vermeiden von Konvergenz zu lokalen Optimum.


    • Zur Lösung von Konvergenzproblemen bei großen
      Problemstellungen Änderungen bei
                    g          g
             – Tour-Konstruktion, Wahl der nächsten Stadt
             – geänderte (lokale) Pheromon-Aktualisierung
             – globale Pheromon-Aktualisierung durch globalen Dämonen

    R. Mittermeir                       - 40 -                                 © Mittermeir
                                                                      Universität Klagenfurt




                                      Seite 20
Tour-Konstruktion bei ACS
 Lokale Auswahlentscheidung in i für nächste Stadt j hängt von neuem
 Parameter q0 [0 ≤ q0 ≤ 1] ab.
 An Stelle von:
            pijk = [ti,j]a x [hi,j ]b / S <l e Jik> ([ti,l]a x [hi,l ]b)        wenn j e Jik ; sonst 0
                 Jik ⊆ Nik … Jene Städte in der Nachbarschaft von Stadt i, die von Ameise k
                                                              noch nicht besucht wurden.
                 a, b     ...     Parameter


 gilt:
         j = argmax l ∈ Nik{tii,ll x [hi,l ]b } wenn Zufallszahl q ≤ q0
               g           {
         sonst
         j = J gemäß pijk = [ti,j]1x [hi,j ]b / S <l e Jik> ([ti,l]1 x [hi,l ]b)                  wenn j e Jik ;
                                      sonst 0


 R. Mittermeir                                       - 41 -                                         © Mittermeir
                                                                                           Universität Klagenfurt




 Pheromon-Update bei ACS
• Bereits nach jeder Verwendung einer Kante führen die Ameisen eine lokale
  Pheromon-Aktualisierung durch:
                  ti,j‘ ≠ (1 - ξ) ti,j + ξ t0 mit P
                                               it Parameter 0 < ξ < 1
                                                        t
          Konsequenz: Verwendung einer Kante reduziert ihre Attraktivität für künftige
          Ameisen.


• Nachdem alle Ameisen die aktuelle Tour beendet haben, führt ein Dämon
  eine globale Pheromon-Aktualisierung durch:
                  tii,jj‘ ≠ tii,jj + Dtii,jjbeste
          mit Dti,jbeste = 1/Cbs oder Dti,jbeste = 1/Cbi
          wobei Cbs bzw, Cbi die günstigsten Kosten seit Start der Analyse bzw. innerhalb
          der aktuellen Tour sind.

• Gesamtkonseqenz: bessere Streuung und geringere algorithm. Komplexität
 R. Mittermeir                                       - 42 -                                         © Mittermeir
                                                                                           Universität Klagenfurt




                                                    Seite 21
Struktur der ACS Metaheuristik
ACS – Ant Colony System                       [Dorigo, Gambardella 1997]



Prozedur ACS_Metaheuristik
      definiere Lösungsansatz
                konstruiere Ameisen-Lösung;
                aktualisiere Pheromonwerte;
                setze Aktionen globaler Dämonen
      beende Optimierungsverfahren.


R. Mittermeir                       - 43 -                             © Mittermeir
                                                              Universität Klagenfurt




Grundprinzipien von AS/ACS
• Finde Problemrepräsentation, die Ameisen den schrittweisen
  Aufbau (Modifikation) einer Lösung auf Grundlage einer
  wahrscheinlichkeitsgesteuerten Übergangsregel erla ben und
   ahrscheinlichkeitsgeste erten                 erlauben nd
  der indirekten Kommunikation über Pheromon erhalten.
• Bestimme ein Maß für die heuristische Wünschbarkeit η von
  Übergängen.
• Bestimme eine wahrscheinlichkeitsgesteuerte Übergangsregel.
• Finde eine Constraint-Satisfaction-Methode um die Zulässigkeit
             Constraint Satisfaction Methode,
  von Lösungen zu erzwingen.
• Definiere Pheromon-Aktualisierungs-Regel.


R. Mittermeir                       - 44 -                             © Mittermeir
                                                              Universität Klagenfurt




                                  Seite 22
Things to Remember
• Generalisierung von Problemen führt oft erst zur
  effizienten Lösbarkeit.
• Wahrscheinlichkeitsbasierte Algorithmen sind nicht
  „exakt“, aber bei NP-vollständigen Problemen sehr
  effizient und effektiv.
• Kooperationsstrategie schlägt Einzelkämpfertum.
• Biologische Lösung diente der Inspiration,
  realer (Simulations-)Algorithmus weicht von der
           (Simulations )Algorithmus
  Initiallösung ab.
• Zu starker Fokus auf rasche Konvergenz führt zu
  suboptimalen Lösungen.

R. Mittermeir              - 45 -                             © Mittermeir
                                                     Universität Klagenfurt




                 Danke für die
                Aufmerksamkeit !




R. Mittermeir              - 46 -                             © Mittermeir
                                                     Universität Klagenfurt




                         Seite 23
Referenzen
[BoDoTh 99]     Bonabeau E., Dorigo M., Theraulaz G.: Swarm Intelligence –
                From Natural to Artificial Systems; Oxford University Press, 1999.
[
[BlRo 03]
        ]       Blum C., Roli A.: Metaheuristics in combinatorial optimization:
                       ,                                           p
                Overview and conceptual comparison. ACM Computing
                Surveys, 35(3), pp. 268 – 308.
[DeAGP 90]      Deneubourg J.-L., Aron S., Goss S., Pasteels J.-M.: The Self-
                Organizing Exploratory Pattern of the Argentine Ant. Journal of
                Insect Behavior, 3, (1990), pp. 159 - 168.
[Dorigo 92]     Dorigo M.: Optimization, Learning and Natural Algorithms. PhD
                thesis, Dipartimento di Elettronica, Politechnico di Milano, Milan.
[DoGa 97a]      Dorigo M., Gambardella L.M.: Ant colonies for the traveling
                salesman problem. BioSystems, 43 (2)pp 73 – 81.
[DoGa 97b]       Dorigo M., Gambardella L.M.: Ant Colony System: A cooperative
                learning approach to the traveling salesman problem. IEEE Trans
                on Evolutionary Computation, 6(4), pp. 31- 365.
[DoSt 04]       Dorigo M, Stützle T.: Ant Colony Optimization, MIT Press, 2004.

R. Mittermeir                          - 47 -                                       © Mittermeir
                                                                           Universität Klagenfurt




R. Mittermeir                          - 48 -                                       © Mittermeir
                                                                           Universität Klagenfurt




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Zufallsgesteuerte Algorthmen - der Natur abgeschaut

  • 1. Zufallsgesteuerte Algorithmen, g g , der Natur abgeschaut Roland Mittermeir Institut für Informatik Systeme Informatik-Systeme Universität Klagenfurt Gliederung • Algorithmische Komplexität und NP-vollständige Probleme • Optimal oder gut genug – Heuristiken und Metaheuristiken • Swarm Intelligence und Stigmerie • Kooperationsstrategien von Ameisen • Wie künstliche Ameisen das Traveling Salesman Problem lösen R. Mittermeir -2- © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 1
  • 2. Algorithmische Komplexität Frage: Wie lange dauert es im schlechtesten Fall, bis dieser Algorithmus das Ergebnis berechnet hat? Antwort: • Das hängt von der Anzahl n der zu verarbeitenden Daten ab! • Das hängt davon ab, wie oft der Algorithmus ein einzelnes Datum „anschauen“ muss. ⇒ Dauer ist eine Funktion von n. R. Mittermeir -3- © Mittermeir Universität Klagenfurt Komplexitätsklassen • Die (maximale) Bearbeitungsdauer ist durch ein Polynom in n beschreibbar. ⇒ Polynomielle Komplexität: C = a*nk + b*nk-1 + … + c*n2 + d*n1 + e ⇒ O(f(n)) = O(nk) • Behandelbare Probleme (tractable problems) haben niedere polynomielle Komplexität z.B.: kürzeste Wege … O(n2), Bubblesort … O(n2), Quicksort … (O(n*ld n) • Ni ht b h d lb Nicht-behandelbare P bl Probleme (i t t bl problems) h b exponentielle (intractable bl ) haben ti ll Komplexität. . C = O(constn) z.B.: Traveling Salesman… O(n!), Teilmengensumme (Rucksackproblem)… O(2i), R. Mittermeir -4- © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 2
  • 3. Besichtigungs-Rundreise Sie wollen Ihrem Gast die Sehenswürdigkeiten Kärntens zeigen. Dabei wollen Sie – nichts auslassen, – nichts doppelt besuchen, – insgesamt möglichst wenig Zeit für die Reise zwischen den einzelnen Sehenswürdigkeiten vergeuden. In welcher Reihenfolge sollten Sie Kärntens Highlights besuchen? R. Mittermeir -5- © Mittermeir Universität Klagenfurt R. Mittermeir -6- © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 3
  • 4. Metnitz Heiligenblut Friesach Obervellach Gurk Wolfs berg Spittal Kleinkirchheim Lienz Millstatt Mill t tt Hochosterwitz. Hochosterwitz Greifenburg St. Weissensee Paul M-Luggau Ossiach Hermagor Villach Klagenfurt Bleiburg Nötsch Faak B.Eisenkappel R. Mittermeir -7- © Mittermeir Universität Klagenfurt Ein Netz von Straßen Metnitz Heiligenblut Friesach Obervellach Wolfsberg Gurk Spittal Kleinkirchh Lienz Millstatt Hochosterw. Greifenburg St. Weissensee M-Luggau Paul Ossiach Hermagor Villach Klagenfurt Bleiburg Nötsch Faak Eisenkappel R. Mittermeir -8- © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 4
  • 5. Reisedauer in Viertelstunden Heiligenblut Metnitz 4 Friesach O.Vell 1 3 2 3 Wolfsberg 6 2 Spittal Gurk 5 2 Kleinkirchheim 1 Lienz 3 2 3 Millstatt Hochosterw. 4 2 2 Greifenburg 4 5 6 1 2 3 St. M-Luggau Weissensee 4 7 3 Paul 2 10 Ossiach 6 Hermagor 3 2 2 6 6 Villach Klagenfurt 2 1 1 Bleiburg Nötsch 7 2 2 Faak 5 9 Eisenkappel Graph mit 22 Knoten (Städten) … 22! Wege wären zu berechnen! ~ 1,124 * 1021 Wege R. Mittermeir -9- © Mittermeir Universität Klagenfurt Zentralkärnten Metnitz 1 Friesach 3 Gurk 2 6 1 Spittal 2 Kleinkirchheim 4 2 Millstatt 3 Hochosterwitz 4 5 2 3 6 4 3 7 Ossiach 2 6 Villach Klagenfurt 2 1 7 5 Faak 9 Graph mit 12 Knoten (Städten) … „nur mehr 12! Wege zu berechnen = 479.001.600 Wege Eisenkappel R. Mittermeir - 10 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 5
  • 6. Mögliche Besichtigungsfolgen Rundreise: (Kl, .. Liste aller anderen Städte .. , Kl) Dauer: (Kl, Vi, Fa, Ei, (Kl Vi Fa Ei --- ) bleibe stecken (Kl, Ho, Fr, Gu, Kk, … ) ?? Metnitz verpasst !! (Kl, Os, Ho, Fr, Me, Gu, Kk, Mi, Sp, Vi, Fa, Ei, Kl) 6 + 6 + 1 + 1 + 3 + 6 + 2 + 2 + 2 +1 + 9 + 5 Dauer: 44 (Kl, Ho, Fr, Me, Gu, Os, Kk, Mi, Sp, Vi, Fa, Ei, Kl) 3 +1+1+3 +3+4+2+2+2+1+9+5 Dauer: 36 (Kl, Ei, Fa, Vi, Sp, Mi, Kk, Os, Gu, Me, Fr, Ho, Kl) 5 +9+1+2+2+2+4+3+ 3+1+1+3 Dauer: 36 R. Mittermeir - 11 - © Mittermeir Universität Klagenfurt verbotene Kanten/Wege 1000 Metnitz Ergänzter Graph: 1 Friesach 3 Gurk 2 Spittal 6 1 Kleinkirchheim 4 2 2 3 Millstatt Hochosterwitz 4 5 2 3 6 4 3 7 Ossiach 2 6 Villach Klagenfurt 2 1 7 5 Faak 9 Eisenkappl R. Mittermeir - 12 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 6
  • 7. Kürzester Rundweg (Kreis) • Initialisiere – bilde Liste aller Sehenswürdigkeiten – berechne die Reisedauer, nimm an sie sei die Kleinste • Verbessere – berechne Permutation der Sehenswürdigkeitenliste – berechne zugehörige Reisedauer – ist diese kleiner als die bisher berechnete (kleinste) Reisedauer dann * merke Dir die Reihenfolge der eben berechneten Sehenswürdigkeitenliste * merke Dir die zugehörige Reisedauer solange bis alle Permutationen durchprobiert sind! Liefert mit Sicherheit die optimale Lösung! Aber das dauert noch immer zu lang! (12*11*10*…*3*2*1 Durchläufe). R. Mittermeir - 13 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Systematische Vorgangsweise Permutiere (L, anf, end) von i := anf bis end mache: tausche (L[anf], L[i]); wenn anf < end dann Permutiere(L, anf+1, end) sonst gib aktuelle Lösung aus; tausche(L[i], L[anf]) tausche(L[i] L[anf]). Aufruf mit Permutiere (Sehenswürdigkeitenliste, 1, 12) Prüfe auf Zulässigkeit der Lösung R. Mittermeir - 14 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 7
  • 8. Permutiere ([ A, B, C, D]; 1, 4) anf i A B C D 1 1 a B C D permutiere([B, C, D]; 2, 4) anf i B C D 2 2 b C D permutiere [C, D]; 3, 4) anf i B C D 3 3 c D permutiere [D]; 4, 4) A B C D 3 4 d c permutiere [C]; 4, 4) A B D C 2 3 c b D permutiere [b, D]; 3, 4) 3 3 b D permutiere [D]; 4, 4) A C B D 3 4 d b permutiere [C]; 4, 4) A C D B 2 4 d C b permutiere [C, b]; 3, 4) 3 3 C b permutiere [b]; 4, 4) A D C B 3 4 b c permutiere [C]; 4 4) 4, A D B C 1 2 b a C D permutiere([a, C, D]; 2, 4) … 1 3 c B a D permutiere([B, a, D]; 2, 4) … 1 4 d B C d permutiere([a, C, D]; 2, 4) … Aufwand: 2 => 2; 3 => 3x2 = 6; 4 => 4x(3x2) = 4x6 = 24; …; 100 => 100x99x .. x 2 = 100 ! also n! R. Mittermeir - 15 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Heuristischer Ansatz Seite 8
  • 9. Heuristiken • Da intractable problems bei entsprechender Größenordnung in i vernünftiger Z it nicht exakt lö b sind, b ü fti Zeit i ht kt lösbar i d begnügt man sich ü t i h mit Näherungslösungen (Approximationsalgorithmen, Heuristiken). • Diese liefern in der Regel Ergebnisse in der Nähe der optimalen Lösung. – Unklar, ob das berechnete Ergebnis tatsächlich optimal ist. – Unbekannt, wie weit das berechnete Ergebnis vom Optimum abweicht. R. Mittermeir - 17 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Minimaler spannender Baum 1 Metnitz 1 Friesach 3 Gurk 2 Spittal S itt l 6 1 2 Kleinkirchheim 4 2 Millstatt 3 Hochosterwitz 4 5 2 3 6 4 3 7 Ossiach 2 6 Villach Klagenfurt 2 1 7 5 Faak 9 Eisenkappel R. Mittermeir - 18 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 9
  • 10. Minimaler spannender Baum 1,2 Metnitz 1 Friesach 3 Gurk 2 Spittal S itt l 6 1 2 Kleinkirchheim 4 2 Millstatt 3 Hochosterwitz 4 5 2 3 6 4 3 7 Ossiach 2 6 Villach Klagenfurt 2 1 7 5 Faak 9 Eisenkappel R. Mittermeir - 19 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Minimaler spannender Baum 1,2,3,++ Metnitz 1 Friesach 3 Gurk 2 6 Spittal 1 2 Kleinkirchheim 4 2 Millstatt 3 Hochosterwitz 4 5 2 3 6 4 3 7 Ossiach 2 6 Villach Klagenfurt 2 1 7 5 Faak Gewicht: 9 Eisenkappel ((((1)+2+2+2)+2)+2)+3+5)+(2+(1+1)) = 23 R. Mittermeir - 20 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 10
  • 11. Minimaler Weg über minimalem spannendem Baum Metnitz 1 Friesach 3 Gurk 2 6 Spittal 1 2 Kleinkirchheim 4 2 Millstatt 3 Hochosterwitz 4 5 2 3 6 4 7 3 Ossiach 2 6 Villach Klagenfurt 2 1 7 5 Faak Gewicht: 9 Eisenkappel ((((1)+2+2+2)+2)+2)+3+5)+(2+(1+1)) = 23 - (2+2+2) + (4+9+3)+3 = 36 R. Mittermeir - 21 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Metaheuristiken Seite 11
  • 12. Metaheuristiken • Eine Metaheuristik ist ein Satz algorithmischer Konzepte, der d verwendet werden k d t d kann, um H i tik Heuristiken, di auf ein die f i breites Problemfeld anwendbar sind, zu definieren. • Durch Parametrisierung wird das metaheuristische Konzept für konkrete Problemlösungen zugeschnitten. R. Mittermeir - 23 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Von Natur inspirierte Metaheuristiken • Genetische Algorithmen • Evolutionary Programming • Simulated Annealing • Bakteriologische Algorithmen • Bienenstock-Algorithmen • Ant Systems / Ant Colony Systems R. Mittermeir - 24 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 12
  • 13. Wie lösen Ameisen das Problem „kurze Reisen“? Futtersuche von Ameisen Deneubourg‘s 1. Brückenexperiment mit Iridomyrex humilis: [1987 – 1990] Futter • Auf welchem der beiden Wege wird sich eine Ameisenstraße bilden? • Warum bildet sie sich? Bau R. Mittermeir - 26 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 13
  • 14. Futtersuche von Ameisen Deneubourg‘s Brückenexperiment mit Lasius Niger: Futter 4 min Futter 8 min Futter Bau Bau Bau R. Mittermeir - 27 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Der Ameisen-Trick: Kommunikation über Stigmerie • Duftstoff Pheromon markiert die eigene Spur. • Rasch gefundenes Futter ⇒ rasch am (eigenen !) Rückweg. • Dies verstärkt die Pheromonspur. • Dies lockt andere Ameisen an, der schon markierten Spur zu folgen. • Auf verlassenen Spuren verdunstet das Pheromon mit der Zeit. ABER • Eine Futterstelle ist ja irgendwann erschöpft (oder vielleicht gibt es noch eine nähere/bessere): • Daher wird nicht strikt der stärksten Pheromonspur gefolgt, sondern auch zufällig andere Wege erprobt. R. Mittermeir - 28 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 14
  • 15. Algorithmische Simulation des Verhaltens von Ameisen Simulation des Deneubourg Experiments Futter Wahrscheinlichkeit pkurz bzw. plang dass Ameise a zum Zeitpunkt t p den kurzen bzw. langen Weg wählt, hängt von der aktuellen Pheromon-Intensität PhIa,w(t) ab: pa,kurz(t) = PhIv,kurz(t)α / (PhIa,kurz(t)α + PhIa,lang(t)α ) pk kurz plang pa,lang(t) = PhIa,lang(t)α / (PhIa,kurz(t)α + PhIa,lang(t)α ) Bau Pheromon-Ablagerung auf Hin- und Rückweg! R. Mittermeir - 30 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 15
  • 16. Problemlösungsprinzip • Verstehe das Problemlösungsverhalten des biologischen Systems • Baue ein entsprechendes mathematisches/algorithmisches Modell • Prüfe, ob dieses das biologische System darstellen kann • Wende das so erlernte Problemlösungsverhalten auf klassisch schwer lösbare Probleme an • Verbessere diese – durch geeignete Parameter-Wahl – durch Variation von Details der Problemlösungsstrategie – durch algorithmische Optimierung Dies kann zu einer Entfremdung von der biologischen Analogie führen. R. Mittermeir - 31 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Anwendung: Rundreiseproblem • Modelliere Städte und Verbindungen dazwischen als Graph • Stelle Städte-Graph als Distanzmatrix D(i,j) dar • Platziere Ameisen in Ausgangsstädten • Belege Graphen mit einer Ausgangsmenge von Pheromon t0 • Lass Ameisen laufen: Diese wählen die noch nicht besuchte nächste Stadt nach – Pheromonkonzentration auf der Wegstrecke dorthin ti,j und – „Erfolgserwartung eines kurzen Weges hii,jj Erfolgserwartung“ – unter Berücksichtigung grundsätzlicher Randbedingung Ω aus. • Sichere, dass – keine Kreise begangen werden, – Pheromon entsprechend der Nutzung und Güte der Wege aktualisiert wird. R. Mittermeir - 32 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 16
  • 17. Matrix d. Distanzen zw. Städten j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 i Städte Fa Fr Gu Ho Kl Kk Me Mi Ob Os Sp Vi 1 Faak 0 1000 1000 1000 7 1000 1000 1000 9 1000 1000 1 2 Friesach 1000 0 2 1 3 1000 1 1000 1000 1000 1000 1000 3 Gurk 1000 2 0 1000 1000 6 3 1000 1000 3 1000 5 4 Hochosterwitz 1000 1 1000 0 3 1000 1000 1000 1000 6 1000 7 5 Klagenfurt 7 3 1000 3 0 1000 1000 1000 5 6 1000 2 6 Kleinkirchheim 1000 1000 6 1000 1000 0 1000 2 1000 4 1000 1000 7 Metnitz 1000 1 3 1000 1000 1000 0 1000 1000 1000 1000 1000 8 Millstatt 1000 1000 1000 1000 1000 2 1000 0 1000 1000 2 4 9 Obirhöhle 9 1000 1000 1000 5 1000 1000 1000 0 1000 1000 1000 10 Ossiach 1000 1000 3 6 6 4 1000 1000 1000 0 1000 2 11 Spittal 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 2 1000 1000 0 2 12 Villach 1 1000 5 7 2 1000 1000 4 1000 2 2 0 R. Mittermeir - 33 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Erstes mathematisches Modell Grundmodell: AS – Ant System [Dorigo 1992] • Rundreiseproblem wird als Suchproblem aufgefaßt. • Optimierungsziel (Suchziel) des Rundreiseproblems ist Weg mit geringsten Kosten C (kürzester Weg) . • Randbedingung Ω: – Alle Sehenswürdigkeiten müssen besucht werden. – Letztlich muss man zum Ausgangspunkt zurückkehren. • Ameisen machen sich auf den Weg, um den kürzesten zu finden. • Sie wählen in Stadt i die jeweils nächste Stadt j zufällig – in Abhängigkeit von Pheromon τij auf den Ausgangswegen – und heuristischer Attraktivität ηij. R. Mittermeir - 34 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 17
  • 18. Umsetzung der Routenoptimierung Konstruktionsgraph: Problemgraph, erweitert um „teure“ verbotene Kanten fl vollständiger Graph, Distanzmatrix zwischen Städten Randbedingung: Alle Städte müssen besucht werden fl vollständiges Durchwandern, Liste noch zu besuchender Städte oder Tabuliste Auswahlhilfe für Ameise: ti,j .. Pheromonspur zwischen Knoten (Stadt) i und j hi,j .. lokale Attraktivität von Knoten (Stadt) i nach j zu gehen Meist: hi,j = 1/di,j … Kehrwert der Distanz zwischen zwei Städten. Lösungsansatz: g – Jede Ameise wird initial in eine zufällig gewählte Stadt gesetzt. – In jedem Verfahrensschritt besucht sie eine von ihr noch nicht besuchte Stadt. – Nachdem alle Städte besucht wurden, läuft sie ihren Weg zurück und aktualisiert die Pheromonwerte. Abbruch des Verfahrens: Wenn sich längere Zeit keine Verbesserungen der besten Lösung mehr ergeben. R. Mittermeir - 35 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Heuristische Attraktivität ηij Metnitz 1/1 Friesach 1/3 Gurk 1/2 1/6 1/1 Spittal 1/2 Kleinkirchheim 1/2 1/3 Millstatt Hochosterw. 1/4 1/5 1/2 1/3 1/6 1/4 1/3 1/7 Ossiach 1/2 1/6 Villach Klagenfurt 1/2 1/1 1/7 1/5 Faak 1/9 Obirhöhle R. Mittermeir - 36 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 18
  • 19. Gerüst des AS Algorithmus Prozedur AS { Initialisiere das System; über tmax Zyklen do { berechne für jede Ameise zufällig deren Weg; ist einer davon kürzer als bisher gefundener Kürzester, dann merk in dir; akutalisiere Pheromon-Matrix } gib beste Lösung aus } R. Mittermeir - 37 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Auswahl und Pheromon-Update • lokale Auswahlentscheidung für nächste Stadt pijjk = [ti,j]a x [hi,j ]b / S <l e Jik> ([ti,l]a x [hi,l ]b) ,j ,j , , wenn j e Jik ; sonst 0 Jik ⊆ Nik … Jene Städte in der Nachbarschaft von Stadt i, die von Ameise k noch nicht besucht wurden. a, b ... Parameter • Pheromon-Initialisierung: t0 = # Ameisen / CTour_nächsterNachbar C .. Kosten der Rundreise (Tour) • Pheromon-Aktualisierung: ti,j(t‘) ≠ (1 - r) ti,j (t) für alle Kanten (i, j) im Graph (Verdunstung) ti,j(t+1) ≠ ti,j(t‘) + S k Dti,j (t‘) k für alle Kanten (i, j) im Graph (Aktualisierung) Dti,jk (t‘) = 1/ Ck wenn (i,j) auf der Tour Tk von Ameise k; liegt; R. Mittermeir sonst 0 - 38 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 19
  • 20. AS Algorithmus { Initialisiere jede Kante (i,j) mit ti,j(0) = t0}; for k = 1 to m do {platziere Ameise k in eine zufällig gewählte Stadt}; {initialisiere L+ als Länge der bisher g { g gefundenen kürzesten Tour T+} for t = 1 to tmax do { for k = 1 to m do while Stadt # Ausgangsstadt do {konstruiere Tour Tk(t) durch Wanderung von Ameise k in die nächste noch nicht besuchte Stadt gemäß pijk}; for k = 1 to m do {berechne Länge Lk(t) der Tour Tk(t) von Ameise k} wenn Minimum der Längen Lk(t) < L+ dann {L+ := Lk(t)min; T+ := Tk(t)min}; for jede Kante (i,j) do {aktualisiere Pheromon-Markierung mittels ti,j (t+1) ≠ (1-ρ)ti,j + S1..m Dti,jk (t) + Dti,je (t) } } drucke kürzeste Tour T+ und ihre Länge L+ } R. Mittermeir - 39 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Verbessertes Modell ACS – Ant Colony System [Dorigo, Gambardella 1997] • Ziel: Vermeiden von Konvergenz zu lokalen Optimum. • Zur Lösung von Konvergenzproblemen bei großen Problemstellungen Änderungen bei g g – Tour-Konstruktion, Wahl der nächsten Stadt – geänderte (lokale) Pheromon-Aktualisierung – globale Pheromon-Aktualisierung durch globalen Dämonen R. Mittermeir - 40 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 20
  • 21. Tour-Konstruktion bei ACS Lokale Auswahlentscheidung in i für nächste Stadt j hängt von neuem Parameter q0 [0 ≤ q0 ≤ 1] ab. An Stelle von: pijk = [ti,j]a x [hi,j ]b / S <l e Jik> ([ti,l]a x [hi,l ]b) wenn j e Jik ; sonst 0 Jik ⊆ Nik … Jene Städte in der Nachbarschaft von Stadt i, die von Ameise k noch nicht besucht wurden. a, b ... Parameter gilt: j = argmax l ∈ Nik{tii,ll x [hi,l ]b } wenn Zufallszahl q ≤ q0 g { sonst j = J gemäß pijk = [ti,j]1x [hi,j ]b / S <l e Jik> ([ti,l]1 x [hi,l ]b) wenn j e Jik ; sonst 0 R. Mittermeir - 41 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Pheromon-Update bei ACS • Bereits nach jeder Verwendung einer Kante führen die Ameisen eine lokale Pheromon-Aktualisierung durch: ti,j‘ ≠ (1 - ξ) ti,j + ξ t0 mit P it Parameter 0 < ξ < 1 t Konsequenz: Verwendung einer Kante reduziert ihre Attraktivität für künftige Ameisen. • Nachdem alle Ameisen die aktuelle Tour beendet haben, führt ein Dämon eine globale Pheromon-Aktualisierung durch: tii,jj‘ ≠ tii,jj + Dtii,jjbeste mit Dti,jbeste = 1/Cbs oder Dti,jbeste = 1/Cbi wobei Cbs bzw, Cbi die günstigsten Kosten seit Start der Analyse bzw. innerhalb der aktuellen Tour sind. • Gesamtkonseqenz: bessere Streuung und geringere algorithm. Komplexität R. Mittermeir - 42 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 21
  • 22. Struktur der ACS Metaheuristik ACS – Ant Colony System [Dorigo, Gambardella 1997] Prozedur ACS_Metaheuristik definiere Lösungsansatz konstruiere Ameisen-Lösung; aktualisiere Pheromonwerte; setze Aktionen globaler Dämonen beende Optimierungsverfahren. R. Mittermeir - 43 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Grundprinzipien von AS/ACS • Finde Problemrepräsentation, die Ameisen den schrittweisen Aufbau (Modifikation) einer Lösung auf Grundlage einer wahrscheinlichkeitsgesteuerten Übergangsregel erla ben und ahrscheinlichkeitsgeste erten erlauben nd der indirekten Kommunikation über Pheromon erhalten. • Bestimme ein Maß für die heuristische Wünschbarkeit η von Übergängen. • Bestimme eine wahrscheinlichkeitsgesteuerte Übergangsregel. • Finde eine Constraint-Satisfaction-Methode um die Zulässigkeit Constraint Satisfaction Methode, von Lösungen zu erzwingen. • Definiere Pheromon-Aktualisierungs-Regel. R. Mittermeir - 44 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 22
  • 23. Things to Remember • Generalisierung von Problemen führt oft erst zur effizienten Lösbarkeit. • Wahrscheinlichkeitsbasierte Algorithmen sind nicht „exakt“, aber bei NP-vollständigen Problemen sehr effizient und effektiv. • Kooperationsstrategie schlägt Einzelkämpfertum. • Biologische Lösung diente der Inspiration, realer (Simulations-)Algorithmus weicht von der (Simulations )Algorithmus Initiallösung ab. • Zu starker Fokus auf rasche Konvergenz führt zu suboptimalen Lösungen. R. Mittermeir - 45 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Danke für die Aufmerksamkeit ! R. Mittermeir - 46 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 23
  • 24. Referenzen [BoDoTh 99] Bonabeau E., Dorigo M., Theraulaz G.: Swarm Intelligence – From Natural to Artificial Systems; Oxford University Press, 1999. [ [BlRo 03] ] Blum C., Roli A.: Metaheuristics in combinatorial optimization: , p Overview and conceptual comparison. ACM Computing Surveys, 35(3), pp. 268 – 308. [DeAGP 90] Deneubourg J.-L., Aron S., Goss S., Pasteels J.-M.: The Self- Organizing Exploratory Pattern of the Argentine Ant. Journal of Insect Behavior, 3, (1990), pp. 159 - 168. [Dorigo 92] Dorigo M.: Optimization, Learning and Natural Algorithms. PhD thesis, Dipartimento di Elettronica, Politechnico di Milano, Milan. [DoGa 97a] Dorigo M., Gambardella L.M.: Ant colonies for the traveling salesman problem. BioSystems, 43 (2)pp 73 – 81. [DoGa 97b] Dorigo M., Gambardella L.M.: Ant Colony System: A cooperative learning approach to the traveling salesman problem. IEEE Trans on Evolutionary Computation, 6(4), pp. 31- 365. [DoSt 04] Dorigo M, Stützle T.: Ant Colony Optimization, MIT Press, 2004. R. Mittermeir - 47 - © Mittermeir Universität Klagenfurt R. Mittermeir - 48 - © Mittermeir Universität Klagenfurt Seite 24