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  1. 1. Tutorium: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2013/2014 Aufgabenblatt 4 Funktionen von zwei Variablen und partielle Ableitungen Aufgabe 1: a) Welche der folgenden Funktionen sind homogen? Bestimmen Sie den entsprechenden Homogenitätsgrad. 2 5 2 3 2 2 ) ( , ) 5 ) ( , ) 3 1 2 ) ( , ) i f x y x y ii f u v u v ab iii f a b a b      b) Gegeben sei eine Nutzenfunktion U mit der Gleichung 0,5 1 2 1 2( , )U x x x x . Wie ändert sich der Nutzenindex U, wenn man - ausgehend von einer Güterkombination x1, x2 – die Konsummengen der Güter jeweils verdoppelt?
  2. 2. Tutorium: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2013/2014 Aufgabe 2: Schraffieren Sie in der folgenden Graphik den Definitionsbereich der Funktion ( , ) .f x y xy x y
  3. 3. Tutorium: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2013/2014 Aufgabe 3: a) Sei ( , ) 4 4 2 .f x y x y   Zeichnen Sie die Höhenlinie von f zum Niveau c = 0 als gestrichelte Linie und zum Niveau c = 4 als durchgezogene Linie in das unten gegebene Koordinatensystem. b) Betrachten Sie die Höhenlinie zum Niveau c = 60 der Produktionsfunktion 1/2 1/2 ( , ) 3Q F K L K L  . Wie groß muss der Arbeitsinput L0 sein, wenn der y x
  4. 4. Tutorium: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2013/2014 Kapitalinput K0 = 10 ist, damit der Punkt 0 0 0( , ) (10, )K L L auf der Höhenlinie ( , ) 60F K L  liegt? Aufgabe 4: Bilden Sie sämtliche partielle Ableitungen erster Ordnung: 3 2 0,85 0,3 a) ( , ) ( ) b) ( , ) 120 f x y xy xy x A K A K     0,3 0,7 c) ( , , ) 8 (200 6 5 )L x y x y x y    
  5. 5. Tutorium: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2013/2014 Aufgabe 5: Für zwei Güter seien die möglichen Absatzmengen x1, x2 in Abhängigkeit der Marktpreise p1, p2 durch die folgenden Preis-Absatz-Funktionen gegeben: 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2( , ) 0,5 2 10; ( , ) 0,8 1,5 15x p p p p x p p p p       a) Untersuchen Sie mit Hilfe der vier partiellen Ableitungen ( , 1,2)i k x i k p    , wie sich die Nachfrage xi nach Gut i ändert bei Änderung des Preises pk des Gutes k (i,k = 1,2). b) Ermitteln Sie für jedes Gut die individuelle Erlösfunktion und interpretieren Sie die partiellen Grenzerlöse bzgl. der Preise bei einer Preiskombination 1 28, 5p p  .
  6. 6. Tutorium: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2013/2014 Aufgabe 6: Bestimmen Sie die Hesse-Matrix für: 2 2 a) ( , ) b) ( , ) x y xy f x y e e f x y x y e    2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 c) ( , , ) d) ( , ) ln f x x x x x x f x y x y     Aufgabe 7: Zeichnen Sie die mit z = 6 – 2x – y gegebene Ebene in das linke dreidimensionale Koordinatensystem. Hinweis: Markieren Sie zunächst die Schnittpunkte mit den Achsen und verbinden Sie diese. Zeichnen Sie die Ebene ausschließlich im ersten Oktanten, d.h. 0, 0 und z 0x y   . Zeichen Sie die Höhenlinien zum Niveau c = 2, c = 4 und c = 6 in das rechte zweidimensionale Koordinatensystem.
  7. 7. Tutorium: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2013/2014

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