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Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Kybernetik
Stabilität
22. 05. 2012
Mohamed Oubbati
Institut für Neuroinformatik
Tel.: (+49) 731 / 50 24153
mohamed.oubbati@uni-ulm.de
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Ein System, das nach einer Anregung in seinen ursprünglichen
Zustand von selbst zurückkehrt, heißt stabil.
Definition 1
Definitions
Stabilität
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
System
u y
Ein System heißt stabil, wenn für jedes begrenztes Eingangssignal u das
entsprechende Ausgangssignal y ebenfalls begrenzt bleibt.
ℜ∈21 , kkdie Konstanten
1ku ≤ 2ky ≤⇒
Definition 2 (BIBO-stability) (BIBO= Bounded Input Bounded Output)
Definitions
Stabilität
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Definition 3
Ein System, das nach
einer Anregung in
seinen ursprünglichen
Zustand von selbst
zurückkehrt, heißt
asymptotisch Stabil.
(asymptotically stable) (instable) (marginally stable)
Ein System, das nach
einer Anregung nicht in
seinen ursprünglichen
Zustand zurückkehrt, aber
begrenzt bleibt, heißt
grenzstabil.
Ein System, das nach
einer Anregung nicht
begrenzt bleibt, heißt
instabil.
Definitions
Stabilität
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Stabilitätskriterium im Zeitbereich
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
asymptotisch Stabil: 0)(lim =∞→ tht
grenzstabil: ∞<≠=∞→ cundcctht 0,)(lim
Instabil: ∞=∞→ )(lim tht
System
h(t)
Impulsfunktion Impulsantwort
)(tδ
Stabilitätskriterium im Zeitbereich
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Stabilitätskriterium im Laplace-Bereich
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
H(s)U Y
System
Stabilitätskriterium im Laplace-Bereich
H(s): Übertragungsfunktion
H(s)=
Zählerpolynom
Nennerpolynom
- Nennerpolynom heißt auch das charakteristische Polynom.
- Polstellen der Übertragungsfunktion sind die Nullstellen des Nennerpolynoms.
- Polstellen können komplex oder reell sein.
- die Polstellen der Übertragungsfunktion beeinflussen die Stabilität
und das Verhalten des LTI-Systems insgesamt.
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
asymptotisch Stabil: wenn alle Realteile der Polstellen absolut Negative sind.
isi ∀< ,0)Re(
grenzstabil: wenn mindestens eine Polstelle imaginär ist, bzw. das
Realteil=0.
Instabil: wenn mindestens eine Polstelle einen positiven Realteil hat.
si sind die Polstellen
( ) isi ∀≤ ,0Re
Stabilitätskriterium im Laplace-Bereich
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Grenzstabil Instabil
σ
jw
S-Ebene
Poles
σ
jw
S-Ebene
Poles
σ
jw
S-Ebene
Poles
asymptotisch Stabil
wenn alle Polstellen in der
linken S-Halbebene
liegen
wenn mindestens eine
Polstelle auf der j- Achse
liegt, und keine Polstelle in
der rechten s-Halbebene
liegt.
wenn mindestens
eine Polstelle auf der
rechten s-Halbebene
liegt
Stabilitätskriterium im Laplace-Bereich
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Routh Test
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Routh Test
Using the Routh test it is possible to find out whether the poles are in the right-
half plane, without knowing their exact values.
Routh Test
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Routh Theorem. The number of roots of p(s) in the right-
half plane equals the number of sign changes in the first
column.
Routh Test
Paper
Ming-Tzu Ho, Aniruddha Datta, and S. P. Bhattacharyya, An Elementary Derivation of the Routh–
Hurwitz Criterion, IEEE Transactions on Automatic Control vol. 43, no. 3, 1998, pp. 405-409.
Routh Test
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Beispiel
There are two sign changes in column one, so the polynomial has two unstable roots.
Routh Test
Routh Test
Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12
Treffen Sie eine Aussage über die Stabilität der folgenden Systeme:
88
1
)( 235
−−+
=
sss
sH
sss
sH
134
1
)( 23
++
=
2420105
1
)( 234
++++
=
ssss
sH
Routh Test

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Oubbati Stabilität

  • 1. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Kybernetik Stabilität 22. 05. 2012 Mohamed Oubbati Institut für Neuroinformatik Tel.: (+49) 731 / 50 24153 mohamed.oubbati@uni-ulm.de
  • 2. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Ein System, das nach einer Anregung in seinen ursprünglichen Zustand von selbst zurückkehrt, heißt stabil. Definition 1 Definitions Stabilität
  • 3. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 System u y Ein System heißt stabil, wenn für jedes begrenztes Eingangssignal u das entsprechende Ausgangssignal y ebenfalls begrenzt bleibt. ℜ∈21 , kkdie Konstanten 1ku ≤ 2ky ≤⇒ Definition 2 (BIBO-stability) (BIBO= Bounded Input Bounded Output) Definitions Stabilität
  • 4. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Definition 3 Ein System, das nach einer Anregung in seinen ursprünglichen Zustand von selbst zurückkehrt, heißt asymptotisch Stabil. (asymptotically stable) (instable) (marginally stable) Ein System, das nach einer Anregung nicht in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt, aber begrenzt bleibt, heißt grenzstabil. Ein System, das nach einer Anregung nicht begrenzt bleibt, heißt instabil. Definitions Stabilität
  • 5. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Stabilitätskriterium im Zeitbereich
  • 6. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 asymptotisch Stabil: 0)(lim =∞→ tht grenzstabil: ∞<≠=∞→ cundcctht 0,)(lim Instabil: ∞=∞→ )(lim tht System h(t) Impulsfunktion Impulsantwort )(tδ Stabilitätskriterium im Zeitbereich
  • 7. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Stabilitätskriterium im Laplace-Bereich
  • 8. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 H(s)U Y System Stabilitätskriterium im Laplace-Bereich H(s): Übertragungsfunktion H(s)= Zählerpolynom Nennerpolynom - Nennerpolynom heißt auch das charakteristische Polynom. - Polstellen der Übertragungsfunktion sind die Nullstellen des Nennerpolynoms. - Polstellen können komplex oder reell sein. - die Polstellen der Übertragungsfunktion beeinflussen die Stabilität und das Verhalten des LTI-Systems insgesamt.
  • 9. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 asymptotisch Stabil: wenn alle Realteile der Polstellen absolut Negative sind. isi ∀< ,0)Re( grenzstabil: wenn mindestens eine Polstelle imaginär ist, bzw. das Realteil=0. Instabil: wenn mindestens eine Polstelle einen positiven Realteil hat. si sind die Polstellen ( ) isi ∀≤ ,0Re Stabilitätskriterium im Laplace-Bereich
  • 10. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Grenzstabil Instabil σ jw S-Ebene Poles σ jw S-Ebene Poles σ jw S-Ebene Poles asymptotisch Stabil wenn alle Polstellen in der linken S-Halbebene liegen wenn mindestens eine Polstelle auf der j- Achse liegt, und keine Polstelle in der rechten s-Halbebene liegt. wenn mindestens eine Polstelle auf der rechten s-Halbebene liegt Stabilitätskriterium im Laplace-Bereich
  • 11. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Routh Test
  • 12. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Routh Test Using the Routh test it is possible to find out whether the poles are in the right- half plane, without knowing their exact values. Routh Test
  • 13. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Routh Theorem. The number of roots of p(s) in the right- half plane equals the number of sign changes in the first column. Routh Test Paper Ming-Tzu Ho, Aniruddha Datta, and S. P. Bhattacharyya, An Elementary Derivation of the Routh– Hurwitz Criterion, IEEE Transactions on Automatic Control vol. 43, no. 3, 1998, pp. 405-409. Routh Test
  • 14. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Beispiel There are two sign changes in column one, so the polynomial has two unstable roots. Routh Test Routh Test
  • 15. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Stabilität SoSe12 Treffen Sie eine Aussage über die Stabilität der folgenden Systeme: 88 1 )( 235 −−+ = sss sH sss sH 134 1 )( 23 ++ = 2420105 1 )( 234 ++++ = ssss sH Routh Test