Das Dokument behandelt die Laplace-Transformation, ein wichtiges Werkzeug zur Analyse von LTI-Systemen und zur Lösung von Differentialgleichungen. Es wird erklärt, warum Transformationen nützlich sind, indem sie die Problemanalyse im Bildbereich erleichtern, und es werden Beispiele aus der Akustik und Musik verwendet. Zudem werden die Grundideen und Eigenschaften der Laplace-Transformation erläutert, einschließlich ihrer Anwendungsmöglichkeiten.

1. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Kybernetik
Laplace Transformation
08. 05. 2012
Mohamed Oubbati
Institut für Neuroinformatik
Tel.: (+49) 731 / 50 24153
mohamed.oubbati@uni-ulm.de

2. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Laplace Transformation
Was ist eine Transformation?

3. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Problem im
Originalbereich
Problem im
„Bildbereich“
Lösung im
„Bildbereich“
Lösung im
Originalbereich
Transformation
Rück-transformation
Was ist eine Transformation?

4. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Warum macht man eine Transformation?
Weil die Lösung (Untersuchung) eines Problems in einem anderen Bereich
(Bildbereich) manchmal sehr viel einfacher als im Originalbereich ist.
Problem im
Originalbereich
Problem im
„Bildbereich“
Lösung im
„Bildbereich“
Lösung im
Originalbereich
Transformation
Rück-transformation
Was ist eine Transformation?

5. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Warum macht man eine Transformation?
Was ist eine Transformation?
• Weil die Untersuchung eines Problems in dem Bildbereich sehr viel einfacher als
im Originalbereich ist.
oder
• Weil die Untersuchung des Problems im Originalbereich nicht möglich ist.

6. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Im Frequenzbereich können akustische Signale (Zeitbereich)
leichter analysiert werden.
Warum macht man eine Transformation?
Beispiel: Musik
Bass: 20 Hz < f < 250 Hz
Mitten: 250 Hz < f < 4000 Hz
Höhen: 4000 Hz < f < 20000 Hz
Beispiel

7. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Warum macht man eine Transformation?
Die Musik liegt in Frequenzen und nicht in Amplituden
Beispiel: Musik
261,63 Hz 294,33 Hz 331,13 Hz 348,84 Hz 392,44 Hz 441,50 Hz 496,69 Hz
Tonhöhe
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1
-0.5
0
0.5
1
T
t
SiLaSolFaMiReDoTon
T
f
1
=
][Hzf

8. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Warum klingt derselbe Ton auf einer Gitarre anders als auf einer Flöte?
Das liegt daran, dass ein Klang aus einer Grundfrequenz (Ton)
sowie Mehrfachem dieser Frequenz zusammengesetzt ist. Je
nachdem, wie stark diese Mehrfachen sind, ergibt sich ein anderer Klang.
Warum macht man eine Transformation?
Die Musik liegt in Frequenzen und nicht in Amplituden
Beispiel: Musik

9. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Grundidee: da wir nur Frequenzen zwischen 20HZ – 20 kHz
wahrnehmen, können alle Signale außerhalb dieses hörbaren
Bereichs weggelassen werden (Kompression).
MP3 Format
(MP3 Format wurde bei der FHG www.iis.fraunhofer.de entwickelt)
Beispiel: Musik
Warum macht man eine Transformation?

10. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Warum macht man eine Transformation?
Laplace-Transformation ist ein wichtiges Werkzeug
zur Analyse von LTI-Systemen

11. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Die Laplace Transformation

12. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
Pierre Simon Laplace (Mathematiker)
(1749–1827)
∫
+∞
−
=
0
)()( dtetfsF st
Schreibweise
( ))()( tfLsF = die Laplace–Transformation von )(tf
die inverse Laplace–Transformation von( ))()( 1
sFLtf −
= )(sF
•
•
Cs ∈
[ ]∞+,0:f•
•
Kausal stetig.
Die Laplace Transformation
Die Laplace Transformation wurde von P. Simon Laplace entwickelt.

13. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
( ) )()()()( sGbsFatgbtfaL +=+
)(
1
)(
0
sF
s
dttfF =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
∞
Die Laplace Transformation
Wichtige Eigenschaften
( ))()( tgLsG =( ))()( tfLsF =Sei und
• Linearität
• Ableitung
( ) )0()()( fssFtfL −=&
( ) ( ) )0()0()()( ffssFstfL &&& −−=
• Integral

14. Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Laplace Transformation SoSe12
( ) )()( asFtfeL at
+=−
Ca ∈
• Verschiebung
( ) )()(* sGsFgfF =
• Faltung
Die Laplace Transformation
Wichtige Eigenschaften
( ))()( tgLsG =( ))()( tfLsF =Sei und

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Eine Korrespondenztabelle
cos(wt)
sin(wt)
t
1
1
F(s)f(t)
)(tδ
s
1
2
1
s
at
e−
as +
1
22
ws
w
+
22
ws
s
+
Die Laplace Transformation

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Beispiel
Es soll die folgende Funktion und Differentialgleichungen mit Hilfe der
Laplacetransformation gelöst werden:
)5)(2(
1
)(
++
=
ss
sF
t
etyty 3
)(2)( =−& y(0)=0
f(t) ?
y(t)?
Die Laplace-Transformation
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