Logik, Mengen, Relationen

1. Methodenlehre Logik, Mengen, Relationen Klaus Frieler Musikwissenschaftliches Institut Universität Hamburg 17.11.2009

2. Aussagenlogik • Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von zusammengesetzten Aussagen • Die Aussagenlogik sagt nichts über die Wahrheit atomarer Aussagen. • Atomare Aussagen können durch Junktoren (=„Verbindern“) zu neuen Aussagen verbunden werden • Die klassische Aussagenlogik geht von zwei möglichen Wahrheitswerten aus: „Wahr“ (true, T, W, 1) oder „Falsch“ (false, F, 0) (Zweiwertigkeit) • Menge der Wahrheitswerte Ω = {W , F }

7. Aussagenlogik • Die klassische Aussagenlogik besitzt 5 klassische Junktoren Negation, Konjunktion, Disjunktion, materiale Implikation (Subjunktion, Konditional), Bikonditional • Junktoren sind einstellige (Negation) oder zweistellige Funktionen der Wahrheitswerte in die Wahrheitswerte f1 : Ω → Ω f2 : Ω × Ω → Ω • Traditionell und am einfachsten durch Wahrheitstafeln darstellt

10. Aussagenlogik • Der Wahrheitswert ω(P) von zusammengesetzten Aussagen ergibt sich aus den Wahrheitswerten der Einzelaussagen und den Funktionswerten der beteiligten Junktoren (Extensionalität) • Zwei Aussagen P, Q heißen äquivalent (P ⇒ Q, P = Q), wenn sie bei jeder Interpretation denselben Wahrheitswert ergeben

11. Aussagenlogik • Der Wahrheitswert ω(P) von zusammengesetzten Aussagen ergibt sich aus den Wahrheitswerten der Einzelaussagen und den Funktionswerten der beteiligten Junktoren (Extensionalität) • Zwei Aussagen P, Q heißen äquivalent (P ⇒ Q, P = Q), wenn sie bei jeder Interpretation denselben Wahrheitswert ergeben

12. Aussagenlogik • Negation (¬P): Umkehrung des Wahrheitswertes ¬W = F ¬F = W • Idempotent: ¬¬P = P • Beispiel: P = „2147483647 ist eine Primzahl“, ¬P = „2147483647 ist keine Primzahl“

15. Aussagenlogik • Konjunktion (P ∧ Q): Umgangsprachlich „und“. Wahr, wenn beide Aussagen wahr sind ∧ W F W W F F F F • Kommutativ und Assoziativ: P ∧ Q = Q ∧ P, (P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R) • Beispiel: P = „4 ist eine gerade Zahl“ (W), Q =“4 ist eine Primzahl“ (F), P ∧ Q = „4 ist eine gerade Primzahl“ (F)

18. Aussagenlogik • Disjunktion (P ∨ Q): Umgangsprachlich „oder“. Wahr, wenn mindesten eine der Aussagen wahr ist (nicht „entweder- oder“!) ∨ W F W W W F W F • Kommutativ und Assoziativ: P ∨ Q = Q ∨ P, (P ∨ Q) ∨ R = P ∨ (Q ∨ R) • Beispiel: P = „4 ist eine gerade Zahl“ (W), Q =“4 ist eine Primzahl“ (F), P ∨ Q = „4 ist eine Primzahl oder 4 ist gerade“ (W)

21. Aussagenlogik • Konditional, materiale Implikation (P → Q): Umgangsprachlich „(schon) wenn - dann“. Falsch, wenn aus einer wahren Aussagen etwas Falsches „folgt“. P Q P→Q W W W W F F F W W ex falso sequitur quodlibet F F W ex falso sequitur quodlibet • Nicht assoziativ, nicht kommutativ. • Beispiel: P = „Es regnet“, Q =“Die Straße ist nass“, P → Q = „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“

24. Aussagenlogik • Bikonditional (P ↔ Q): Umgangsprachlich „genau wenn - dann“. P ↔ Q ⇔ P → Q ∧ Q → P P Q P↔Q W W W W F F F W F F F W • Kommutativ und assoziativ • Beispiel: P = „x besitzt nur sich selbst und 1 als Teiler“, Q =“x ist eine Primzahl“, P ↔ Q = „x ist genau dann eine Primzahl, wenn es nur sich selbst und 1 als Teiler besitzt“

27. Aussagenlogik • Tautologie: Logische Form, die immer „Wahr“ ist, unabhängig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B. P ∨ ¬P (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur ) P ¬P P ∨¬ P W F W F W W

28. Aussagenlogik • Widerspruch: Logische Form, die immer „Falsch“ ist, unabhängig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B. P ∧ ¬P (Verneinung des Satz vom Widerspruch) P ¬P P ∧¬ P W F F F W F • Paradoxon: Logische Form, der kein (sinnvoller) Wahrheitswert zugeordnet werden kann (in der einfachen klassischen Aussagenlogik nicht möglich, da dort jeder Satz einen Wahrheitswert haben muss. Erscheint bei Selbstreferentialität, z. B. in der Prädikatenlogik 2. Stufe)

29. Aussagenlogik • Widerspruch: Logische Form, die immer „Falsch“ ist, unabhängig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B. P ∧ ¬P (Verneinung des Satz vom Widerspruch) P ¬P P ∧¬ P W F F F W F • Paradoxon: Logische Form, der kein (sinnvoller) Wahrheitswert zugeordnet werden kann (in der einfachen klassischen Aussagenlogik nicht möglich, da dort jeder Satz einen Wahrheitswert haben muss. Erscheint bei Selbstreferentialität, z. B. in der Prädikatenlogik 2. Stufe)

30. Aussagenlogik • Es gelten die de Morgan’schen Gesetze (P ∨ Q) = ¬(¬P ∧ ¬Q) (P ∧ Q) = ¬(¬P ∨ ¬Q) • Distributivgesetze (P ∨ Q) ∧ R = (P ∧ R) ∨ (Q ∧ R) (P ∧ Q) ∨ R = (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R) • Absorptionsgesetze P ∨ (P ∧ Q) = P P ∧ (P ∨ Q) = P

33. Aussagenlogik • Junktoren lassen sich durch durch andere Junktoren ausdrücken, z. B. de Morgan’sche Gesetze. • Für die Aussagenlogik reicht in der Tat ein einziger Junktor, z. B. Nicht-Oder (NOR, P ↓ Q := ¬(P ∨ Q), Peirce-Funktion). ¬P = P ↓ P P ∨ Q = (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q) P ∧ Q = (P ↓ P) ↓ (Q ↓ Q)

34. Aussagenlogik • Junktoren lassen sich durch durch andere Junktoren ausdrücken, z. B. de Morgan’sche Gesetze. • Für die Aussagenlogik reicht in der Tat ein einziger Junktor, z. B. Nicht-Oder (NOR, P ↓ Q := ¬(P ∨ Q), Peirce-Funktion). ¬P = P ↓ P P ∨ Q = (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q) P ∧ Q = (P ↓ P) ↓ (Q ↓ Q)

35. Prädikatenlogik • In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere Struktur von Aussagen • Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik • Elemente: • Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable) • Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable) • Aussagen: P, Q, R • Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“ • Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔ • ∀ (Allquantor, „Für alle “) • ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")

45. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen • ∀x : F (x) bedeutet „Für alle x gilt die Aussage F(x)“ • ∃x : F (x) bedeutet “Es gibt ein x für das die Aussage F(x) gilt“ • Dies sind wiederum Aussagen, die die Wahrheitswerte „Wahr“ und „Falsch“ annehmen können. Der Wertebereich für gebunde Variablen ist ein meist nicht explizit angegebenes „Universum“.

48. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen • Das x in ∀x : F (x) ist eine an die Quantoren gebundene Variable. • In ∀x : x ∧ y ist x gebunden, y frei, d. h. der ganze Term ist eine Aussageform G(y ). • Jeder Quantor hat eine Reichweite bis zum Ende der Formel, bzw. einer Klammer. (Achtung: Es gibt auch andere Konventionen.) Zwei Quantoren in einem Term können also nicht denselben Variablennamen verwenden. • Bsp.: In ∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist das zweite y gebundene Variable, in (∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist es frei.

52. Prädikatenlogik • Beispiel: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates ist sterblich • Deﬁniere F (x) = „x ist ein Mensch“, G(x) = „x ist sterblich“ • ∀x : F (x) → G(x) (Sprich: „Für alle x gilt: F(x) impliziert G(x)“ oder „Wenn x ein Mensch ist, ist x sterblich“) • Spezialisierung: a = „Sokrates“, ω(F (a)) = W ⇒ ω(G(a)) = W

56. Prädikatenlogik - Einige Regeln • ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x) • ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y ) • ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y ) • ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y ) • ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x) • ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x) • ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x)) • ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))

65. Mengenlehre • Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen (Cantor, 1895) • Doch: „Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten“ (Russel’sche Antinomie)

66. Mengenlehre • Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen (Cantor, 1895) • Doch: „Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten“ (Russel’sche Antinomie)

67. Mengenlehre • Grundlegendes Prädikat ist das Elementprädikat ∈, z. B. 1∈N • Menge werden mit geschweiften Klammern geschrieben. Elemente können aufgezählt werden, z. B. M = {1, „Auto“, Hugo“, 10003, . . . } • Bildung von Mengen durch Prädikate. Sei D eine Deﬁnitionsmenge und P ein Prädikat, dann kann man eine Menge durch M = {x ∈ D|P(x)} deﬁnieren • Trifft die Aussage P(x) auf kein Element zu, hat man die leere Menge ∅

71. Mengenlehre • Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten • Die Anzahl der Elemente einer Menge M, ist die Mächtigkeit der Menge, notiert |M| • Teilmenge: M ⊂ N ⇔ ∀x : (x ∈ M ⇒ x ∈ N) • Echte Teilmenge: M N =M ⊂N ∧M =N

75. Mengenlehre • Mengenoperationen • Schnittmenge: M ∩ N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N} • Vereinigungsmenge: M ∪ N = {x|x ∈ M ∨ x ∈ N} • Differenzmenge: M N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N} / • Potenzmenge: ℘(M) = {N|N ⊂ M} • Kartesisches Produkt: M × N = {(x, y )|x ∈ M ∧ x ∈ N}

81. Mengenlehre • Vereinung und Schnitt von Mengen sind assoziativ, kommutativ und distributiv • A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (Kommutativgesetz) • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Assoziativgesetz) • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetz)

85. Relationen und Funktionen • Eine Relation R zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge des Kartesischen Produktes R ⊂ M × N • Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation R ⊂ M × M, für die gilt • x ∈ M ⇒ (x, x) ∈ R (Reﬂexiv) • (x, y ) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R (Symmetrisch) • (x, y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (Transitiv)

90. Relationen und Funktionen • Eine Relation F ⊂ X × Y heißt Funktion, falls jedem Element aus X genau ein Element aus Y zugeordnet wird: (x, y ) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F ⇒ y = z • Schreibweise F :X → Y x → y • X heißt Deﬁnitionsbereich, Y Wertebereich, F (X ) Bild von F. • Funktionsgraph: Γ(F ) = {(x, F (x)) ⊂ M × N}

94. Relationen und Funktionen • Eine Funktion heißt injektiv, falls jedes Element aus M ein anderes Element aus N zugeordnet wird. F (x) = F (y ) ⇒ x = y • Eine Funktion heißt surjektiv, falls der Wertebereich ausgeschöpft wird. ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : F (x) = y • Eine Funktion heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. Es existiert eine eineindeutige Beziehung zwischen den Mengen. Dann gibt es eine Umkehrfunktion F −1 : Y → X mit F −1 (F (x)) = x

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