Musterlösung Lineare Programmierung

1. Klausur-Training
Die Aufgabe
Eine Möbelfabrik fertigt Regale (X1) und Schreibtische (X2), wobei der Deckungsbetrag der
Regale 200 EUR, der der Schreibtische 300 EUR beträgt. Ein Tischler schafft pro Stunde 6
Regale oder 16 Schreibtische, ein Lackierer schafft 10 Regale oder 5 Schreibtische. Zur
Verfügung stehen pro Woche 480 Tischlerstunden und 300 Lackiererstunden.
Wieviel Regale und Schreibtische werden produziert, wenn der Deckungsbeitrag maximiert
werden soll?
Die Lösung:
Unser Ausgangstableau:
1. Zielfunktion: DB = 200 X1 + 300 X2 -> Maximum!
2. Restriktionen:
1 1
a) RT = X1 + X2 ≤ 480
6 16
1 1
b) RL = X1 + X2 ≤ 300
10 5
3. Nichtnegativität:
X1, X2, DB ≥ 0
Unser Simplextableau
I. DB - 200 X1 - 300 X2 = 0
1 1
II. Y1 + X1 + X2 = 480
6 16
1 1
III. Y2 + X1 + X2 = 300
10 5
1. Wir starten im Nullpunkt des Koordinatensystems: Die Schlupfvariablen Y1 und Y2 betragen
480 bzw. 300. für X1 = 0 und X2 = 0.
2. Wir wählen eine Nichtbasisvariable, also aus X1 oder X2. Wir wählen die mit dem höchsten
Betrag des Faktors vor der Variable, hier X2 (weil Faktor = 300). Denn die Erhöhung von X2
um eine Einheit bewirkt die stärkste Änderung im Zielkriterium, unserer DB. Wir wollen,
daß X2 möglichst groß wird, ohne allerdings die Restriktionen zu verletzen.
3. Wir wählen die Pivotspalte aus. Das ist die Spalte mit der Nichtbasisvariablen, die in die
Basis gelangen soll. (In die Basis heißt, daß sie nur mit dem Faktor 1 in unserem Tableau
auftaucht!) In unserem Falle ist das X2.
1
1

2. Klausur-Training
4. Wir wählen nun die Pivotzeile aus. Diese kann nur eine von den Zeilen sein, die unsere
Restriktionen darstellen (Zeilen II und III). Es ist jene Zeile mit der engsten Restriktion.
Diese ermitteln wir, indem wir alle Variablen außer X2 (unsere Nichtbasisvariable, die wir in
die Basis bringen wollen!) = 0 setzen und dann jeweils X2 ermitteln. Jene Zeile mit dem
geringsten Wert ist unsere Pivotzeile:
In unserem Falle sieht es so aus:
1 1
II. 0+ *0 + X2 =480  7680
6 16
1 1
III. 0+ *0 + X2=300  1500 -> engste Restriktion, weil wir nur 1500 von X2 erhalten
10 5
Unsere Pivotzeile ist demnach Zeile III.
5. Diese kennzeichnen wir besonders. Wir ermitteln nun das Pivotelement. Dies ist der Faktor
vor unserer Nichtbasisvariable X2 im Schnittpunkt von Pivotzeile und Pivotspalte. In
1
unserem Falle ist das Pivotelement .
5
6. Wir dividieren die gesamte Pivotzeile III. durch das Pivotelement und erhalten Zeile III.'
5 5
III.' 5 Y2 + X1 + X2 = 300*5
10 5
Übersichtlicher sieht es so aus:
1
III.' X2 + 5 Y2 + X1 = 1500
2
7. Mit Hilfe dieser Zeile III.' bearbeiten wir nunmehr unser Simplextableau: Unser Ziel ist die
Eliminierung von X2 in allen anderen Gleichungen außer III.' Wir subtrahieren von oder
addieren zu den anderen beiden Zeilen I. und II. die veränderte Pivotzeile, also III.' , so oft,
wie es notwendig ist, um X2 in beiden Gleichungen mitsamt Faktor zu eliminieren.
8. Zur Zeile I. sind 300 * X2 zu addieren, d.h. zu Zeile I. muß 300 * III.' ( es muß unbedingt die
neu gewonnene Zeile III., also III' sein! ) addiert werden. Dadurch wäre X2 in der Gleichung
I.' eliminiert.
1 1
9. In Zeile II. sind * X2 abzuziehen, d.h. von Zeile II muß * III.' (es muß unbedingt die
16 16
neu gewonnene Zeile III., also III' sein! ) abgezogen werden. Nun ist X2 in Gleichung II.'
eliminiert.
2
2

3. Klausur-Training
10. Zum neuen Tableau kommen wir so:
1
I.' = I. + 300 * III.'DB - 200 X1 - 300 X2 + 300 * 5 Y1 + 300* X1+300*X2=0 + 300*1.500
2
I.' DB - 50 X1 + 1500Y1 = 450.000
1 1 1 1 1 1 1 1
II.' = II. - * III.' Y1 + X1 + X2 - 5 Y2 - * X1 - X2 =480 - * 1500
16 6 16 16 16 2 16 16
13 5
II.' Y1 + X1 - Y2 = 386,25
96 16
11. Das neue Tableau sieht so aus:
I.' DB - 50 X1 + 1500Y1 = 450.000
13 5
II.' Y1 + X1 - Y2 = 386,25  X1 = 2852,3
96 16
1
III.' X 2 + X1 + 5 Y2 + = 1.500  X1 = 3.000
2
12. Interpretation:
Dieses Tableau beschreibt nun die Situation am Eckpunkt auf der X2-Achse. Dort ist
X2=1500 und der DB=450.000. Nun sehen wir aber anhand der Gleichung I', daß sich der
Deckungsbeitrag noch weiter erhöhen ließe, indem wir X1 um eine Einheit erhöhen. Dadurch
würde sich der DB um 50 erhöhen. Das kommt dadurch zustande, daß sich der DB durch die
Erhöhung von X1 um eine Einheit um 200 erhöht, der DB andererseits aber durch die
1 1
Reduzierung von X2 um Einheiten (der Faktor vor X1 in Gleichung II.') um *300 = 150
2 2
abnimmt.
Erläuterung:
1
Wir erhalten die für X1 aus der Gleichung III.', nicht aus II.', da nur in III.' eine Erhöhung von
2
X1 eine Reduzierung von X2 erfordert!!
13. Wir bestimmen nun erneut die Pivotspalte: es ist die mit der Nichtbasisvariablen X1.
14. Die neue Pivotzeile ist Zeile II.', wegen X1 = 2852,3 (für X2 = 0 und Y2 = 0), während in III.'
für X2 = 0 und Y2=0 X1 = 3000 wäre.
13
15. Das neue Pivotelement ist demnach .
96
16. Nun durchlaufen wir erneut die gesamte Prozedur der Schritte 6 - 12.
3
3

4. Klausur-Training
13
17. Wir ermitteln die Zeile II.'' indem wir II.' durch dividieren. Wir erhalten dann folgende
96
Zeile II.'':
96 96 30
II.'' = II.' * : X1 + Y1 - Y2 = 2852,3
13 13 13
18. Zu Zeile I.' addieren wir 50*II.''.
1
19. Von Zeile III.' ziehen wir II.'' ab:
2
Dann erhalten wir folgendes neues Tableau:
14.700 1500
I.'' DB + Y1 - Y2 = 592.615
13 13
96 30
II.' X1 + Y1 - Y2 = 2852,3
13 13
48 50
III.'' X2 + Y1 + Y2 = 73,85
13 13
Ergebnis: Wir haben nun alle Zielvariablen in die Basis gebracht. Da die Schlupfvariablen Y1
und Y2 jeweils = 0 sind, können wir das deckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm direkt
ablesen.
Für X1 = 2852,3 und X2 = 73, 83 ist unser Deckungsbeitrag maximal und beträgt 592.615.
Eine Kontrollmöglichkeit oder auch ein einfacherer Weg
(allerdings nicht für die Klausur zu empfehlen, wenn nach Simplex gefragt wird!!!!!)
Aus der graphischen Methode wissen wir, daß unsere Lösung einer der drei Eckpunkte des
Lösungsraumes ist. Diese können wir einfach ermitteln:
1. Lösung für Eckpunkt auf der X1 Achse: X1 = 2880 und X2 = 0
2. Lösung für Eckpunkt auf der X2 Achse: X1 = 0 und X2 = 1500
3. Lösung für Eckpunkt = Schnittpunkt der Restriktionsgeraden: einfaches Gleichungssystem
1 1
Gleichung 1: X1 + X2 = 480
6 16
1 1
Gleichung 2: X1 + X2 = 300
10 5
Gleichung 2 nach X1 auflösen: => X1 = 3000-2X2
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4

5. Klausur-Training
Einsetzen in erste Gleichung und auflösen ergibt: X2 = 2852,3
daraus folgt: X1 = 73,85
Nun wollen wir aber wissen, welches Programm uns den höchsten DB liefert.
Wir setzen unsere Werte für X1 und X2 einfach in unsere Zielfunktion ein und errechnen den
jeweiligen DB:
Für Lösung 1: DB = 200*2880 + 0*300 = 576.000
Für Lösung 2: DB = 200*0 + 300*1500 = 450.000
Für Lösung 3: DB = 200*2852,3 + 300*73,85 = 592.615
Für Lösung 3 ist unser DB maximal!
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