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Zermelo, Schrödinger, Rasch

Durch Einkleidung in einen von Zermelo überlieferten Kontext (Bewertung der Spielstärke im Schach) wird versucht besser zu verstehen, welche spezifische Funktion die Rasch-Modellierung für die Messung mathematischer Leistung hat und welche Normen man mit diesem Modell an mathematische Leistung heranträgt. Für mit Begriffen wie "Lösungswahrscheinlichkeit" und "Stichprobenunabhängigkeit" verbundene epistemologische Untiefen werden Parallelen zur "Kopenhagener Deutung" gezogen (Schrödinger). Zugehöriger Volltext: https://www.scribd.com/doc/254549173/Zermelo-Rasch-Schrodinger

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Zermelo – Rasch – Schrödinger
Ein stoffdidaktischer Zugang zur probabilistischen
Modellierung mathematischer Leistung
Assoz. Prof. Dr. Andreas Vohns
Institut für Didaktik der Mathematik
49. GDM Jahrestagung
FHNW Basel, 12.02.2015
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Einführung und Motivation
Einführung und Motivation
Problemlage:
• Zunehmende Bedeutung probabilistischer Testmodelle
(v. a. Rasch-Modell) für mathematische Leistungsmessungen
• Seltene Thematisierung des Modellcharakters
• Kaum Beschäftigung mit dem „math. Kern der Sache“(Kirsch 1977)
• In Kritik wie Verteidigung Vermischung der eigentlichen Modellierung
mit davon unabhängigen Ergänzungen
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Einführung und Motivation
Einführung und Motivation
Problemlage:
• Zunehmende Bedeutung probabilistischer Testmodelle
(v. a. Rasch-Modell) für mathematische Leistungsmessungen
• Seltene Thematisierung des Modellcharakters
• Kaum Beschäftigung mit dem „math. Kern der Sache“(Kirsch 1977)
• In Kritik wie Verteidigung Vermischung der eigentlichen Modellierung
mit davon unabhängigen Ergänzungen
Zielsetzungen:
• Präsentation einer Einkleidung (Spielstärke im Schach)
• Kontrastierung mit mathematikdid. Anwendungsfall (Leistungsmessung)
• Diskussion epistemologischer Hürden (Stichprobenunabhängigkeit,
Lösungswahrscheinlichkeit)
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier
Zermelos Schach-Turnier: Problem
Ein Schach-Verein mit 14 Mitgliedern will die 5 spielstärksten Mitglieder zu
einem internationalen Turnier schicken.
Mitglieder: Unterteilt in zwei Teilmengen:
5 Vorjahresteilnehmer des Turniers (Teilmenge , „Meister“),
9 weitere Mitglieder (Teilmenge P, „Stümper“).
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier
Zermelos Schach-Turnier: Problem
Ein Schach-Verein mit 14 Mitgliedern will die 5 spielstärksten Mitglieder zu
einem internationalen Turnier schicken.
Mitglieder: Unterteilt in zwei Teilmengen:
5 Vorjahresteilnehmer des Turniers (Teilmenge , „Meister“),
9 weitere Mitglieder (Teilmenge P, „Stümper“).
Vorauswahl-Turnier:
Alle Meister () treten gegen jeden Stümper (P) an (1. Runde),
Meister und Stümper treten untereinander an (2. Runde).
Zum internationalen Turnier fahren die mit den meisten Siegen
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier
Zermelos Schach-Turnier: Problem
Ein Schach-Verein mit 14 Mitgliedern will die 5 spielstärksten Mitglieder zu
einem internationalen Turnier schicken.
Mitglieder: Unterteilt in zwei Teilmengen:
5 Vorjahresteilnehmer des Turniers (Teilmenge , „Meister“),
9 weitere Mitglieder (Teilmenge P, „Stümper“).
Vorauswahl-Turnier:
Alle Meister () treten gegen jeden Stümper (P) an (1. Runde),
Meister und Stümper treten untereinander an (2. Runde).
Zum internationalen Turnier fahren die mit den meisten Siegen
Vorauswahl-Turnier muss nach 1. Runde abgebrochen werden
Wie gelangt man zu einem zuverlässigen Maß für die Spielstärke
sämtlicher Mitglieder?
Gesucht: Anordnung (auch: Prognose nicht realisierter Partien)
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier
Zermelos Schach-Turnier: Lösungsidee
Vier Regeln zur Sortierung: (Remis-Partien vernachlässigt)
1 Personen aus Menge P gleich spielstark, wenn
gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge )
2 Personen aus Menge  gleich spielstark, wenn
gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge P)
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier
Zermelos Schach-Turnier: Lösungsidee
Vier Regeln zur Sortierung: (Remis-Partien vernachlässigt)
1 Personen aus Menge P gleich spielstark, wenn
gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge )
2 Personen aus Menge  gleich spielstark, wenn
gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge P)
3 Teilmenge Pn gleichstarker Personen besser als Person k ∈ ,
wenn Anteil Siege gegen k ∈  in Pn größer als 50%
4 Person k ∈  besser als Teilmenge gleichstarker Personen Pn,
wenn Anteil Siege k ∈  gegen Pn größer als 50%
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier
Zermelos Schach-Turnier: Lösungsidee
Vier Regeln zur Sortierung: (Remis-Partien vernachlässigt)
1 Personen aus Menge P gleich spielstark, wenn
gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge )
2 Personen aus Menge  gleich spielstark, wenn
gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge P)
3 Teilmenge Pn gleichstarker Personen besser als Person k ∈ ,
wenn Anteil Siege gegen k ∈  in Pn größer als 50%
4 Person k ∈  besser als Teilmenge gleichstarker Personen Pn,
wenn Anteil Siege k ∈  gegen Pn größer als 50%
Problem: Erlaubt i. A. keine eindeutige Sortierung
Lösung: Glättung durch probabilistische Modellierung
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Problem
Gegeben:
• Wiederum: Zwei Mengen  (5 Aufgaben), P (9 Personen)
• Paarvergleich: p beantwortet  korrekt (zustimmend)
• Interner Paarvergleich hier per se ausgeschlossen
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Problem
Gegeben:
• Wiederum: Zwei Mengen  (5 Aufgaben), P (9 Personen)
• Paarvergleich: p beantwortet  korrekt (zustimmend)
• Interner Paarvergleich hier per se ausgeschlossen
Gesucht:
• Anordnung Personen nach „Fähigkeit“ (Zustimmungsgrad)
• Anordnung Aufgaben nach „Schwierigkeit“ (Ablehnungsgrad)
• Gemeinsame Anordnung Personen und Aufgaben (Wonach?)
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Lösungsidee
Vier Regeln zur Sortierung: (teilweise richtige Lsg. vernachlässigt)
1 Personen aus Menge P gleich fähig, wenn
gleiche Anzahl an richtigen Lösungen aus Aufgabenmenge 
2 Aufgaben aus Menge  gleich schwer, wenn
gleiche Anzahl an falschen Lösungen in Personenmenge P
3 Teilmenge Pn gleich fäh. Personen „besser“ als Aufgabe k ∈ ,
wenn Anteil korrekter Lösungen von k ∈  in Pn größer als 50%
4 Aufgabe k ∈  „besser“ als Teilmenge gleich fäh. Personen Pn,
wenn Anteil falscher Lösungen von k ∈  in Pn größer als 50%
Problem: Erlaubt i. A. keine eindeutige Sortierung
Lösung: Glättung durch probabilistische Modellierung
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Ein Zahlenbeispiel
Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix)
1 2 3 4 5
p1 0 1 1 1 1
p2 1 1 1 1 0
p3 0 1 1 0 1
p4 0 1 1 0 1
p5 1 0 1 1 0
p6 0 0 0 1 1
p7 0 0 0 1 1
p8 0 0 0 1 0
p9 0 0 0 0 1
(Tabelle bereits vorsortiert)
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Ein Zahlenbeispiel
Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix)
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
Ordnung auf P: Zeilensumme p
Einkleidung Schach: Anzahl Siege des Stümpers gegen 5 Meister
Anwendung Test: Anzahl von einer Person korrekt gelöster Aufgaben
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Ein Zahlenbeispiel
Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix)
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
 2 4 5 6 6
Ordnung auf : Spaltensumme 
Einkleidung Schach: Anzahl Niederlagen 9 Stümper gegen den Meister
Anwendung Test: Anzahl eine Aufgabe falsch lösender Personen
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Ein Zahlenbeispiel
Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix)
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
 2 4 5 6 6
Ordnung auf G = P ∪ : i. A. nicht eindeutig (Paarvergleiche nicht transitiv)
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Ein Zahlenbeispiel
Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix)
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
 2 4 5 6 6
Reihenfolge {p1, p2} > {p3, p4, p5} > 3 > {p6, p7} > {p8, p9} eindeutig
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Ein Zahlenbeispiel
Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix)
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
 2 4 5 6 6
Reihenfolge zwischen pk und 5 nicht eindeutig
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Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Ein Zahlenbeispiel
Glättung 1 (Ohne Rasch-Modellierung):
Zusammenfassung: Teilmengen gleich oft gewinnender  bzw. p,
Übergang zu relativen Anteilen gewonnener Paarvergleiche
Rel. Anteile {1} {2} {3} {4, 5} p (%)
{p1, p2} 0,5 1,00 1,00 0,75 4 (80%)
{p3, p4, p5} 0,33 0,67 1,00 0,50 3 (60%)
{p6, p7} 0,00 0,00 0,00 1,00 2 (40%)
{p8, p9} 0,00 0,00 0,00 0,50 1 (20%)
 (%) 2 (22%) 4 (44%) 5 (56%) 6 (66%)
Problem: Relative Anteile nicht zwingend monoton
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Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Ein Zahlenbeispiel
Glättung 2 (Mit Rasch-Modellierung):
Zusammenfassung: Teilmengen gleich oft gewinnender  bzw. p,
ML-Schätzung der Rasch-Argumente ( p), y( )
Übergang zu ƒ(, y) als geschätzten relativen Anteilen
Schätzer {1} {2} {3} {4, 5} ( p)
{p1, p2} 0,57 0,78 0,85 0,90 1,54
{p3, p4, p5} 0,31 0,54 0,65 0,75 0,44
{p6, p7} 0,15 0,32 0,43 0,55 -0,47
{p8, p9} 0,06 0,14 0,21 0,30 -1,53
y( ) 1,258 0,27 -0,188 -0,67
Lösung (Rasch-Modell): ƒ(, y) = e−y
1+e−y Werte sind immer monton
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Das Rasch Modell
. . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit
ƒ(, y) =
e−y
1 + e−y
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Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Das Rasch Modell
. . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit
ƒ(, y) =
e−y
1 + e−y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
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0.4
0.6
0.8
1
ƒ(, y)

y
ƒ(, y)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Das Rasch Modell
. . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit
ƒ(, y) =
e−y
1 + e−y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Das Rasch Modell
. . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit
ƒ(, y) =
e−y
1 + e−y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
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0.8
0.9
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ƒ(,y)

y=-2
y=-1
y=0
y=1
y=2
0
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0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
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0.8
0.9
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ƒ(,y)
y
x=-2
x=-1
x=0
x=1
x=2
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung: Interpretation beim Schachspiel
−1.5
−1.0
−0.5
0
0.5
1.0
1.5 {p1, p2}
{1}
{p3, p4, p5}
{2}
{p6, p7}
{3}
{4, 5}
{p8, p9}
Gewinnwahrscheinlichkeiten (Spielstärke)
(p) = y(): P(„p gewinnt gegen “ ) = 0, 5
Qualitativ:  oder p ist egal
(p) < y(): P(„p gewinnt gegen “ ) < 0, 5
Qualitativ::  ist „spielstärker“ als p
(p) > y(): P(„p gewinnt gegen “ ) > 0, 5
Qualitativ: p ist „spielstärker“ als 
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung: Interpretation beim Leistungstest
−1.5
−1.0
−0.5
0
0.5
1.0
1.5 {p1, p2}
{1}
{p3, p4, p5}
{2}
{p6, p7}
{3}
{4, 5}
{p8, p9}
Lösungswahrscheinlichkeiten (Kompetenzen?)
(p) = y(): P(„p löst Aufgabe “ ) = 0, 5
Qualitativ: Völlig offen, ob p  beherrscht oder nicht
(p) < y(): P(„p löst Aufgabe “ ) < 0, 5
Qualitativ: p „beherrscht nicht“ 
(p) > y(): P(„p löst Aufgabe “ ) > 0, 5
Qualitativ: p „beherrscht“ 
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Konsequenzen der Rasch-Modellierung
Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Konsequenzen der Rasch-Modellierung
Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala
Erfüllungsnorm: Eindimensionalität
1 Fähigkeit Person: nur wie viele, nicht welche Aufgaben richtig gelöst
2 Schwierigkeit Aufgabe: nur wie viele, nicht welche Personen lösen falsch
Passt, wenn gleiche Anzahl ehedem i. W. selbe Aufgaben/Personen bedeutet
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Konsequenzen der Rasch-Modellierung
Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala
Erfüllungsnorm: Eindimensionalität
1 Fähigkeit Person: nur wie viele, nicht welche Aufgaben richtig gelöst
2 Schwierigkeit Aufgabe: nur wie viele, nicht welche Personen lösen falsch
Passt, wenn gleiche Anzahl ehedem i. W. selbe Aufgaben/Personen bedeutet
Abweichende Lösungsmuster („Pattern“) als Residuen, d. h.
• zufällige Abweichungen (Messfehler) und/oder
• nicht modellierte Mehrdimensionalität (Passungsprobleme)
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Konsequenzen der Rasch-Modellierung
Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala
Erfüllungsnorm: Eindimensionalität
1 Fähigkeit Person: nur wie viele, nicht welche Aufgaben richtig gelöst
2 Schwierigkeit Aufgabe: nur wie viele, nicht welche Personen lösen falsch
Passt, wenn gleiche Anzahl ehedem i. W. selbe Aufgaben/Personen bedeutet
Zur Itemselektion (Goldstein 2008)
Indeed, much of the ‘item analysis’ activity in the test development stage is concerned
with rejecting items that do not conform to this assumption, so creating a test structure
in terms of dimensionality that is largely self-fulfilling.
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Gründe für eine Rasch-Modellierung
Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala?
• Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen?
(Ermessenssache)
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Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Gründe für eine Rasch-Modellierung
Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala?
• Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen?
(Ermessenssache)
• Itemselektion: Lässt sich „repräsentative“ Aufgabenauswahl finden, die
für Population hinreichend homogen? (Ermessenssache)
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Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Gründe für eine Rasch-Modellierung
Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala?
• Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen?
(Ermessenssache)
• Itemselektion: Lässt sich „repräsentative“ Aufgabenauswahl finden, die
für Population hinreichend homogen? (Ermessenssache)
Wollen: Aufgaben und Personen sollen auf eindimensionaler Skala landen
1 Aufgabengeheimhaltung, „Anforderungsmerkmale“ typischerweise
gelöster Aufgaben beschreiben Personengruppen (Kompetenzstufen)
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
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Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Gründe für eine Rasch-Modellierung
Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala?
• Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen?
(Ermessenssache)
• Itemselektion: Lässt sich „repräsentative“ Aufgabenauswahl finden, die
für Population hinreichend homogen? (Ermessenssache)
Wollen: Aufgaben und Personen sollen auf eindimensionaler Skala landen
1 Aufgabengeheimhaltung, „Anforderungsmerkmale“ typischerweise
gelöster Aufgaben beschreiben Personengruppen (Kompetenzstufen)
2 nicht alle Personen bearbeiten alle Aufgaben (Rasch-Modell auch
für unvollständige Daten möglich)
3 zu verschiedenen Testzeitpunkten können/sollen nicht genau dieselben
Aufgaben gestellt werden (siehe 2.)
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung: Multi-Matrix-Design
Einfacher Fall:
Block 1 Block 2 Block 3
Testheft 1 x x
Testheft 2 x x
Testheft 3 x x
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung: Multi-Matrix-Design
Einfacher Fall:
Block 1 Block 2 Block 3
Testheft 1 x x
Testheft 2 x x
Testheft 3 x x
Wichtige Änderungen:
• Rasch-Werte treffen auch Aussagen zu Aufgaben-Personen-Paaren, die
nicht aufeinander getroffen sind (für alle Aufgaben/Personen)
• Testhefte dürfen unterscheidlich schwer sein (Gleiche Anzahl Lösungen
in verschiedenen Testheften = gleicher Rasch-Wert)
• Passungsprobleme (nicht modellierte Mehrdimensionalität) noch
problematischer (Verzerrung der Schätzwerte)
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Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung: Multi-Matrix-Design
Realistischer Fall (TIMSS 2011):
Wichtige Änderungen:
• Rasch-Werte treffen auch Aussagen zu Aufgaben-Personen-Paaren, die
nicht aufeinander getroffen sind (für alle Aufgaben/Personen)
• Testhefte dürfen unterscheidlich schwer sein (Gleiche Anzahl Lösungen
in verschiedenen Testheften = gleicher Rasch-Wert)
• Passungsprobleme (nicht modellierte Mehrdimensionalität) noch
problematischer (Verzerrung der Schätzwerte)
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Spezifische Objektivität = Stichprobenunabhängigkeit?
Spezifische Objektivität (wikipedia 2014)
Im Rasch-Modell erfolgt eine Trennung des Einflusses der Personenfähigkeit
 vom Einfluss der Testaufgabe y. Damit wird eine Messung gemäß der
Messtheorie etabliert.
Vergleiche von Personen (bzw. Aufgaben), die von den Aufgaben (bzw.
Personen) unabhängig sind, werden möglich.
(Auch in „seriöseren“ Quellen so zu finden.)
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Spezifische Objektivität = Stichprobenunabhängigkeit?
Spezifische Objektivität (Kubinger 1999)
Der Unterschied in den Fähigkeiten  und  zwischen je zwei Personen 
und  kann unabhängig davon bestimmt werden, welche Items des Tests
dafür herangezogen werden;
bzw. umgekehrt und wichtiger: der Vergleich je zweier Aufgaben  und j
bezüglich der Schwierigkeiten y und yj ist unabhängig davon, welche
Stichprobe dafür verwendet wird.
„Stichprobenunabhängigkeit“ meint im Idealfall
Invarianz gegenüber jeglicher Teilmengenbildung
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Stichprobenunabhängigkeit = Teilmengeninvarianz
Für einen Datensatz, für den das Rasch-Modell nicht verworfen werden
kann, gilt näherungsweise
• Schätzung der „Fähigkeit“  für Personengruppe in jeder Teilmenge von
Aufgaben näherungsweise gleich
• bzw.: „Fähigkeitsreihenfolge“ der Personen in jeder Teilmenge von
Aufgaben näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch)
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Stichprobenunabhängigkeit = Teilmengeninvarianz
Für einen Datensatz, für den das Rasch-Modell nicht verworfen werden
kann, gilt näherungsweise
• Schätzung der „Fähigkeit“  für Personengruppe in jeder Teilmenge von
Aufgaben näherungsweise gleich
• bzw.: „Fähigkeitsreihenfolge“ der Personen in jeder Teilmenge von
Aufgaben näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch)
• Schätzung der „Schwierigkeit“ y für Aufgaben in jeder Teilmenge von
Personen näherungsweise gleich
• bzw.: „Schwierigkeitsreihenfolge“ der Aufgaben in jeder Teilmenge von
Personen näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch)
→ i. W. wieder Homogenitäts-/Eindimensionalitätsanforderung
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Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Teilmengeninvarianz = Stichprobenunabhängigkeit?
. . . is an illusion. Item parameters and subject abilities are always
estimated relative to a population, even if this fact may be
obscured by the mathematical properties of the models used.
Holland (1990)
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Teilmengeninvarianz = Stichprobenunabhängigkeit?
. . . is an illusion. Item parameters and subject abilities are always
estimated relative to a population, even if this fact may be
obscured by the mathematical properties of the models used.
Holland (1990)
Epistemologische Hürde: Lösungswahrscheinlichkeit
• eine Person löst eine einzelne Aufgabe oder nicht
• eine Gruppe von Personen hat einen relativen Lösungsanteil für eine
einzelne Aufgabe
• eine Gruppe von Aufgaben hat einen relativen Lösungsanteil bei einer
einzelnen Person
• Personen/Aufgaben sind überhaupt erst gruppierbar durch gleichen
Lösungsanteil bei mehreren Aufgaben/Personen
• „Lösungswahrscheinlichkeit“ einzelner Person für einzelne Aufgabe
ohne weitere Aufgaben/Personen weder schätzbar noch interpretierbar
(→ Schrödingers Katze, Kopenhagener Deutung (?))
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Lösungswahrscheinlichkeit: Interpretationen
Rasch ca. 1960 (cit. acc. to Wainer 2010)
Certain human acts can be described by a model of chance. [...] Even if we
know a person to be very capable, we cannot be sure he will solve a certain
difficult problem, nor even a much easier one. There is always a possibility
that he fails.
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Lösungswahrscheinlichkeit: Interpretationen
Rasch ca. 1960 (cit. acc. to Wainer 2010)
Certain human acts can be described by a model of chance. [...] Even if we
know a person to be very capable, we cannot be sure he will solve a certain
difficult problem, nor even a much easier one. There is always a possibility
that he fails.
Knoche & Lind 2000
Bei der Modellierung von Testsituationen kann man unterstellen, dass die
Bearbeitung einer Testaufgabe unter Zeitdruck ein Zufallsexperiment ist, in
dem der Proband und die Aufgabe zusammen ein Zufallsgerät bilden, das
die Bewertung der gezeigten Reaktionen als Ergebnis hat.
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Lösungswahrscheinlichkeit: Interpretationen
Rasch ca. 1960 (cit. acc. to Wainer 2010)
Certain human acts can be described by a model of chance. [...] Even if we
know a person to be very capable, we cannot be sure he will solve a certain
difficult problem, nor even a much easier one. There is always a possibility
that he fails.
Knoche & Lind 2000
Bei der Modellierung von Testsituationen kann man unterstellen, dass die
Bearbeitung einer Testaufgabe unter Zeitdruck ein Zufallsexperiment ist, in
dem der Proband und die Aufgabe zusammen ein Zufallsgerät bilden, das
die Bewertung der gezeigten Reaktionen als Ergebnis hat.
Birnbaum 1968 (cit. acc. to Wainer 2010)
Item scores [...] are related to an ability  by functions that give the
probability of each possible score on an item for a randomly selected
examinee of given ability.
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Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Kognitive Dissonanz: Subskalen-Bildung
oder: Den Kuchen essen und behalten wollen?
Gesamt
Zahlen und 
Operationen
Raum und Form
Muster und 
Strukturen
Größen und 
Messen
Daten, 
Häufigkeiten und 
Wahrschein.
Bayern 519 515 538 516 509 510
Sachsen 517 511 528 506 513 513
Sachsen‐Anhalt 517 511 524 500 517 516
Baden‐Württemberg 512 510 510 506 518 511
Thüringen 502 501 504 493 503 500
Nordrhein‐Westfalen 497 505 482 508 498 501
Niedersachsen 496 495 494 497 498 498
Mecklenburg‐Vorpommern 494 489 500 482 497 494
Rheinland‐Pfalz 494 489 497 491 496 493
Saarland 492 495 470 492 509 493
Brandenburg 491 483 505 481 488 494
Schleswig‐Holstein 487 484 487 486 491 490
Hessen 484 486 476 484 491 485
Hamburg 470 474 476 481 464 475
Bremen 452 454 464 459 448 459
Berlin 451 451 459 455 448 461
Korrelation mit "Gesamt" 0,979 0,888 0,926 0,959 0,992
Datenquelle: IQB-Ländervergleich 2011
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur
Literatur
Goldstein, H. (2008). How may we use international comparative studies to
inform education policy? http://goo.gl/rhshqi
Holland, P. W. (1990). On the sampling theory foundations of item response theory
models. Psychometrika, 55, 577–601.
Kirsch, A. (1977). Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht. Didaktik
der Mathematik, 5, 87–101.
Knoche, N. & Lind, D. (2000). Eine Analyse der Aussagen und Interpretationen
von TIMSS unter Betonung methodologischer Aspekte. Journal
für Mathematik-Didaktik, 21 (1), 3–27.
Kubinger, K. D. (1999). Replik auf Jürgen Rost: „Was ist aus dem Rasch-Modell
geworden?“ http://goo.gl/XMFffn
Rost, J. (1996). Lehrbuch Testtheorie Testkonstruktion. Bern: Hans Huber.
Schreiber, A. (1980). Idealisierungsprozesse – ihr logisches Verständnis und ihre
didaktische Funktion. Journal für Mathematik-Didaktik, 1 (1-2),
42-61.
Stanat, P. et al. (2012). Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern am Ende
der vierten Jahrgangsstufe in den Fächern Deutsch und
Mathematik. Ergebnisse des IQB-Ländervergleichs 2011.
Münster: Waxmann.
Wainer, H. (2010). Schrödinger’s Cat and the Conception of Probability in Item
Response Theory. Chance, 23 (19), 53-56.
Zermelo, E. (1929). Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein
Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Mathematische Zeitschrift, 29 (1), 436–460.
Folien:
http://goo.gl/y2sifb
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns

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Zermelo, Schrödinger, Rasch

  • 1. Zermelo – Rasch – Schrödinger Ein stoffdidaktischer Zugang zur probabilistischen Modellierung mathematischer Leistung Assoz. Prof. Dr. Andreas Vohns Institut für Didaktik der Mathematik 49. GDM Jahrestagung FHNW Basel, 12.02.2015
  • 2. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Einführung und Motivation Einführung und Motivation Problemlage: • Zunehmende Bedeutung probabilistischer Testmodelle (v. a. Rasch-Modell) für mathematische Leistungsmessungen • Seltene Thematisierung des Modellcharakters • Kaum Beschäftigung mit dem „math. Kern der Sache“(Kirsch 1977) • In Kritik wie Verteidigung Vermischung der eigentlichen Modellierung mit davon unabhängigen Ergänzungen Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 3. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Einführung und Motivation Einführung und Motivation Problemlage: • Zunehmende Bedeutung probabilistischer Testmodelle (v. a. Rasch-Modell) für mathematische Leistungsmessungen • Seltene Thematisierung des Modellcharakters • Kaum Beschäftigung mit dem „math. Kern der Sache“(Kirsch 1977) • In Kritik wie Verteidigung Vermischung der eigentlichen Modellierung mit davon unabhängigen Ergänzungen Zielsetzungen: • Präsentation einer Einkleidung (Spielstärke im Schach) • Kontrastierung mit mathematikdid. Anwendungsfall (Leistungsmessung) • Diskussion epistemologischer Hürden (Stichprobenunabhängigkeit, Lösungswahrscheinlichkeit) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 4. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier Zermelos Schach-Turnier: Problem Ein Schach-Verein mit 14 Mitgliedern will die 5 spielstärksten Mitglieder zu einem internationalen Turnier schicken. Mitglieder: Unterteilt in zwei Teilmengen: 5 Vorjahresteilnehmer des Turniers (Teilmenge , „Meister“), 9 weitere Mitglieder (Teilmenge P, „Stümper“). Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 5. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier Zermelos Schach-Turnier: Problem Ein Schach-Verein mit 14 Mitgliedern will die 5 spielstärksten Mitglieder zu einem internationalen Turnier schicken. Mitglieder: Unterteilt in zwei Teilmengen: 5 Vorjahresteilnehmer des Turniers (Teilmenge , „Meister“), 9 weitere Mitglieder (Teilmenge P, „Stümper“). Vorauswahl-Turnier: Alle Meister () treten gegen jeden Stümper (P) an (1. Runde), Meister und Stümper treten untereinander an (2. Runde). Zum internationalen Turnier fahren die mit den meisten Siegen Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 6. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier Zermelos Schach-Turnier: Problem Ein Schach-Verein mit 14 Mitgliedern will die 5 spielstärksten Mitglieder zu einem internationalen Turnier schicken. Mitglieder: Unterteilt in zwei Teilmengen: 5 Vorjahresteilnehmer des Turniers (Teilmenge , „Meister“), 9 weitere Mitglieder (Teilmenge P, „Stümper“). Vorauswahl-Turnier: Alle Meister () treten gegen jeden Stümper (P) an (1. Runde), Meister und Stümper treten untereinander an (2. Runde). Zum internationalen Turnier fahren die mit den meisten Siegen Vorauswahl-Turnier muss nach 1. Runde abgebrochen werden Wie gelangt man zu einem zuverlässigen Maß für die Spielstärke sämtlicher Mitglieder? Gesucht: Anordnung (auch: Prognose nicht realisierter Partien) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 7. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier Zermelos Schach-Turnier: Lösungsidee Vier Regeln zur Sortierung: (Remis-Partien vernachlässigt) 1 Personen aus Menge P gleich spielstark, wenn gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge ) 2 Personen aus Menge  gleich spielstark, wenn gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge P) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 8. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier Zermelos Schach-Turnier: Lösungsidee Vier Regeln zur Sortierung: (Remis-Partien vernachlässigt) 1 Personen aus Menge P gleich spielstark, wenn gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge ) 2 Personen aus Menge  gleich spielstark, wenn gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge P) 3 Teilmenge Pn gleichstarker Personen besser als Person k ∈ , wenn Anteil Siege gegen k ∈  in Pn größer als 50% 4 Person k ∈  besser als Teilmenge gleichstarker Personen Pn, wenn Anteil Siege k ∈  gegen Pn größer als 50% Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 9. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier Zermelos Schach-Turnier: Lösungsidee Vier Regeln zur Sortierung: (Remis-Partien vernachlässigt) 1 Personen aus Menge P gleich spielstark, wenn gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge ) 2 Personen aus Menge  gleich spielstark, wenn gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge P) 3 Teilmenge Pn gleichstarker Personen besser als Person k ∈ , wenn Anteil Siege gegen k ∈  in Pn größer als 50% 4 Person k ∈  besser als Teilmenge gleichstarker Personen Pn, wenn Anteil Siege k ∈  gegen Pn größer als 50% Problem: Erlaubt i. A. keine eindeutige Sortierung Lösung: Glättung durch probabilistische Modellierung Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 10. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Problem Gegeben: • Wiederum: Zwei Mengen  (5 Aufgaben), P (9 Personen) • Paarvergleich: p beantwortet  korrekt (zustimmend) • Interner Paarvergleich hier per se ausgeschlossen Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 11. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Problem Gegeben: • Wiederum: Zwei Mengen  (5 Aufgaben), P (9 Personen) • Paarvergleich: p beantwortet  korrekt (zustimmend) • Interner Paarvergleich hier per se ausgeschlossen Gesucht: • Anordnung Personen nach „Fähigkeit“ (Zustimmungsgrad) • Anordnung Aufgaben nach „Schwierigkeit“ (Ablehnungsgrad) • Gemeinsame Anordnung Personen und Aufgaben (Wonach?) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 12. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Lösungsidee Vier Regeln zur Sortierung: (teilweise richtige Lsg. vernachlässigt) 1 Personen aus Menge P gleich fähig, wenn gleiche Anzahl an richtigen Lösungen aus Aufgabenmenge  2 Aufgaben aus Menge  gleich schwer, wenn gleiche Anzahl an falschen Lösungen in Personenmenge P 3 Teilmenge Pn gleich fäh. Personen „besser“ als Aufgabe k ∈ , wenn Anteil korrekter Lösungen von k ∈  in Pn größer als 50% 4 Aufgabe k ∈  „besser“ als Teilmenge gleich fäh. Personen Pn, wenn Anteil falscher Lösungen von k ∈  in Pn größer als 50% Problem: Erlaubt i. A. keine eindeutige Sortierung Lösung: Glättung durch probabilistische Modellierung Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 13. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Ein Zahlenbeispiel Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix) 1 2 3 4 5 p1 0 1 1 1 1 p2 1 1 1 1 0 p3 0 1 1 0 1 p4 0 1 1 0 1 p5 1 0 1 1 0 p6 0 0 0 1 1 p7 0 0 0 1 1 p8 0 0 0 1 0 p9 0 0 0 0 1 (Tabelle bereits vorsortiert) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 14. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Ein Zahlenbeispiel Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix) 1 2 3 4 5 p p1 0 1 1 1 1 4 p2 1 1 1 1 0 4 p3 0 1 1 0 1 3 p4 0 1 1 0 1 3 p5 1 0 1 1 0 3 p6 0 0 0 1 1 2 p7 0 0 0 1 1 2 p8 0 0 0 1 0 1 p9 0 0 0 0 1 1 Ordnung auf P: Zeilensumme p Einkleidung Schach: Anzahl Siege des Stümpers gegen 5 Meister Anwendung Test: Anzahl von einer Person korrekt gelöster Aufgaben Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 15. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Ein Zahlenbeispiel Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix) 1 2 3 4 5 p p1 0 1 1 1 1 4 p2 1 1 1 1 0 4 p3 0 1 1 0 1 3 p4 0 1 1 0 1 3 p5 1 0 1 1 0 3 p6 0 0 0 1 1 2 p7 0 0 0 1 1 2 p8 0 0 0 1 0 1 p9 0 0 0 0 1 1  2 4 5 6 6 Ordnung auf : Spaltensumme  Einkleidung Schach: Anzahl Niederlagen 9 Stümper gegen den Meister Anwendung Test: Anzahl eine Aufgabe falsch lösender Personen Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 16. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Ein Zahlenbeispiel Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix) 1 2 3 4 5 p p1 0 1 1 1 1 4 p2 1 1 1 1 0 4 p3 0 1 1 0 1 3 p4 0 1 1 0 1 3 p5 1 0 1 1 0 3 p6 0 0 0 1 1 2 p7 0 0 0 1 1 2 p8 0 0 0 1 0 1 p9 0 0 0 0 1 1  2 4 5 6 6 Ordnung auf G = P ∪ : i. A. nicht eindeutig (Paarvergleiche nicht transitiv) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 17. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Ein Zahlenbeispiel Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix) 1 2 3 4 5 p p1 0 1 1 1 1 4 p2 1 1 1 1 0 4 p3 0 1 1 0 1 3 p4 0 1 1 0 1 3 p5 1 0 1 1 0 3 p6 0 0 0 1 1 2 p7 0 0 0 1 1 2 p8 0 0 0 1 0 1 p9 0 0 0 0 1 1  2 4 5 6 6 Reihenfolge {p1, p2} > {p3, p4, p5} > 3 > {p6, p7} > {p8, p9} eindeutig Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 18. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Ein Zahlenbeispiel Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix) 1 2 3 4 5 p p1 0 1 1 1 1 4 p2 1 1 1 1 0 4 p3 0 1 1 0 1 3 p4 0 1 1 0 1 3 p5 1 0 1 1 0 3 p6 0 0 0 1 1 2 p7 0 0 0 1 1 2 p8 0 0 0 1 0 1 p9 0 0 0 0 1 1  2 4 5 6 6 Reihenfolge zwischen pk und 5 nicht eindeutig Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 19. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Ein Zahlenbeispiel Glättung 1 (Ohne Rasch-Modellierung): Zusammenfassung: Teilmengen gleich oft gewinnender  bzw. p, Übergang zu relativen Anteilen gewonnener Paarvergleiche Rel. Anteile {1} {2} {3} {4, 5} p (%) {p1, p2} 0,5 1,00 1,00 0,75 4 (80%) {p3, p4, p5} 0,33 0,67 1,00 0,50 3 (60%) {p6, p7} 0,00 0,00 0,00 1,00 2 (40%) {p8, p9} 0,00 0,00 0,00 0,50 1 (20%)  (%) 2 (22%) 4 (44%) 5 (56%) 6 (66%) Problem: Relative Anteile nicht zwingend monoton Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 20. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Ein Zahlenbeispiel Glättung 2 (Mit Rasch-Modellierung): Zusammenfassung: Teilmengen gleich oft gewinnender  bzw. p, ML-Schätzung der Rasch-Argumente ( p), y( ) Übergang zu ƒ(, y) als geschätzten relativen Anteilen Schätzer {1} {2} {3} {4, 5} ( p) {p1, p2} 0,57 0,78 0,85 0,90 1,54 {p3, p4, p5} 0,31 0,54 0,65 0,75 0,44 {p6, p7} 0,15 0,32 0,43 0,55 -0,47 {p8, p9} 0,06 0,14 0,21 0,30 -1,53 y( ) 1,258 0,27 -0,188 -0,67 Lösung (Rasch-Modell): ƒ(, y) = e−y 1+e−y Werte sind immer monton Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 21. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Das Rasch Modell . . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit ƒ(, y) = e−y 1 + e−y Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 22. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Das Rasch Modell . . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit ƒ(, y) = e−y 1 + e−y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ƒ(, y)  y ƒ(, y) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 23. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Das Rasch Modell . . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit ƒ(, y) = e−y 1 + e−y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 24. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Das Rasch Modell . . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit ƒ(, y) = e−y 1 + e−y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ƒ(,y)  y=-2 y=-1 y=0 y=1 y=2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ƒ(,y) y x=-2 x=-1 x=0 x=1 x=2 Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 25. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Rasch-Modellierung: Interpretation beim Schachspiel −1.5 −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 1.5 {p1, p2} {1} {p3, p4, p5} {2} {p6, p7} {3} {4, 5} {p8, p9} Gewinnwahrscheinlichkeiten (Spielstärke) (p) = y(): P(„p gewinnt gegen “ ) = 0, 5 Qualitativ:  oder p ist egal (p) < y(): P(„p gewinnt gegen “ ) < 0, 5 Qualitativ::  ist „spielstärker“ als p (p) > y(): P(„p gewinnt gegen “ ) > 0, 5 Qualitativ: p ist „spielstärker“ als  Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 26. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Rasch-Modellierung: Interpretation beim Leistungstest −1.5 −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 1.5 {p1, p2} {1} {p3, p4, p5} {2} {p6, p7} {3} {4, 5} {p8, p9} Lösungswahrscheinlichkeiten (Kompetenzen?) (p) = y(): P(„p löst Aufgabe “ ) = 0, 5 Qualitativ: Völlig offen, ob p  beherrscht oder nicht (p) < y(): P(„p löst Aufgabe “ ) < 0, 5 Qualitativ: p „beherrscht nicht“  (p) > y(): P(„p löst Aufgabe “ ) > 0, 5 Qualitativ: p „beherrscht“  Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 27. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Konsequenzen der Rasch-Modellierung Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 28. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Konsequenzen der Rasch-Modellierung Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala Erfüllungsnorm: Eindimensionalität 1 Fähigkeit Person: nur wie viele, nicht welche Aufgaben richtig gelöst 2 Schwierigkeit Aufgabe: nur wie viele, nicht welche Personen lösen falsch Passt, wenn gleiche Anzahl ehedem i. W. selbe Aufgaben/Personen bedeutet Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 29. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Konsequenzen der Rasch-Modellierung Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala Erfüllungsnorm: Eindimensionalität 1 Fähigkeit Person: nur wie viele, nicht welche Aufgaben richtig gelöst 2 Schwierigkeit Aufgabe: nur wie viele, nicht welche Personen lösen falsch Passt, wenn gleiche Anzahl ehedem i. W. selbe Aufgaben/Personen bedeutet Abweichende Lösungsmuster („Pattern“) als Residuen, d. h. • zufällige Abweichungen (Messfehler) und/oder • nicht modellierte Mehrdimensionalität (Passungsprobleme) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 30. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Konsequenzen der Rasch-Modellierung Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala Erfüllungsnorm: Eindimensionalität 1 Fähigkeit Person: nur wie viele, nicht welche Aufgaben richtig gelöst 2 Schwierigkeit Aufgabe: nur wie viele, nicht welche Personen lösen falsch Passt, wenn gleiche Anzahl ehedem i. W. selbe Aufgaben/Personen bedeutet Zur Itemselektion (Goldstein 2008) Indeed, much of the ‘item analysis’ activity in the test development stage is concerned with rejecting items that do not conform to this assumption, so creating a test structure in terms of dimensionality that is largely self-fulfilling. Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 31. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Gründe für eine Rasch-Modellierung Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala? • Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen? (Ermessenssache) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 32. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Gründe für eine Rasch-Modellierung Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala? • Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen? (Ermessenssache) • Itemselektion: Lässt sich „repräsentative“ Aufgabenauswahl finden, die für Population hinreichend homogen? (Ermessenssache) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 33. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Gründe für eine Rasch-Modellierung Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala? • Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen? (Ermessenssache) • Itemselektion: Lässt sich „repräsentative“ Aufgabenauswahl finden, die für Population hinreichend homogen? (Ermessenssache) Wollen: Aufgaben und Personen sollen auf eindimensionaler Skala landen 1 Aufgabengeheimhaltung, „Anforderungsmerkmale“ typischerweise gelöster Aufgaben beschreiben Personengruppen (Kompetenzstufen) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 34. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Gründe für eine Rasch-Modellierung Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala? • Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen? (Ermessenssache) • Itemselektion: Lässt sich „repräsentative“ Aufgabenauswahl finden, die für Population hinreichend homogen? (Ermessenssache) Wollen: Aufgaben und Personen sollen auf eindimensionaler Skala landen 1 Aufgabengeheimhaltung, „Anforderungsmerkmale“ typischerweise gelöster Aufgaben beschreiben Personengruppen (Kompetenzstufen) 2 nicht alle Personen bearbeiten alle Aufgaben (Rasch-Modell auch für unvollständige Daten möglich) 3 zu verschiedenen Testzeitpunkten können/sollen nicht genau dieselben Aufgaben gestellt werden (siehe 2.) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 35. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Rasch-Modellierung: Multi-Matrix-Design Einfacher Fall: Block 1 Block 2 Block 3 Testheft 1 x x Testheft 2 x x Testheft 3 x x Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 36. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Rasch-Modellierung: Multi-Matrix-Design Einfacher Fall: Block 1 Block 2 Block 3 Testheft 1 x x Testheft 2 x x Testheft 3 x x Wichtige Änderungen: • Rasch-Werte treffen auch Aussagen zu Aufgaben-Personen-Paaren, die nicht aufeinander getroffen sind (für alle Aufgaben/Personen) • Testhefte dürfen unterscheidlich schwer sein (Gleiche Anzahl Lösungen in verschiedenen Testheften = gleicher Rasch-Wert) • Passungsprobleme (nicht modellierte Mehrdimensionalität) noch problematischer (Verzerrung der Schätzwerte) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 37. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten Rasch-Modellierung: Multi-Matrix-Design Realistischer Fall (TIMSS 2011): Wichtige Änderungen: • Rasch-Werte treffen auch Aussagen zu Aufgaben-Personen-Paaren, die nicht aufeinander getroffen sind (für alle Aufgaben/Personen) • Testhefte dürfen unterscheidlich schwer sein (Gleiche Anzahl Lösungen in verschiedenen Testheften = gleicher Rasch-Wert) • Passungsprobleme (nicht modellierte Mehrdimensionalität) noch problematischer (Verzerrung der Schätzwerte) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 38. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Spezifische Objektivität = Stichprobenunabhängigkeit? Spezifische Objektivität (wikipedia 2014) Im Rasch-Modell erfolgt eine Trennung des Einflusses der Personenfähigkeit  vom Einfluss der Testaufgabe y. Damit wird eine Messung gemäß der Messtheorie etabliert. Vergleiche von Personen (bzw. Aufgaben), die von den Aufgaben (bzw. Personen) unabhängig sind, werden möglich. (Auch in „seriöseren“ Quellen so zu finden.) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 39. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Spezifische Objektivität = Stichprobenunabhängigkeit? Spezifische Objektivität (Kubinger 1999) Der Unterschied in den Fähigkeiten  und  zwischen je zwei Personen  und  kann unabhängig davon bestimmt werden, welche Items des Tests dafür herangezogen werden; bzw. umgekehrt und wichtiger: der Vergleich je zweier Aufgaben  und j bezüglich der Schwierigkeiten y und yj ist unabhängig davon, welche Stichprobe dafür verwendet wird. „Stichprobenunabhängigkeit“ meint im Idealfall Invarianz gegenüber jeglicher Teilmengenbildung Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 40. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Stichprobenunabhängigkeit = Teilmengeninvarianz Für einen Datensatz, für den das Rasch-Modell nicht verworfen werden kann, gilt näherungsweise • Schätzung der „Fähigkeit“  für Personengruppe in jeder Teilmenge von Aufgaben näherungsweise gleich • bzw.: „Fähigkeitsreihenfolge“ der Personen in jeder Teilmenge von Aufgaben näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 41. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Stichprobenunabhängigkeit = Teilmengeninvarianz Für einen Datensatz, für den das Rasch-Modell nicht verworfen werden kann, gilt näherungsweise • Schätzung der „Fähigkeit“  für Personengruppe in jeder Teilmenge von Aufgaben näherungsweise gleich • bzw.: „Fähigkeitsreihenfolge“ der Personen in jeder Teilmenge von Aufgaben näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch) • Schätzung der „Schwierigkeit“ y für Aufgaben in jeder Teilmenge von Personen näherungsweise gleich • bzw.: „Schwierigkeitsreihenfolge“ der Aufgaben in jeder Teilmenge von Personen näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch) → i. W. wieder Homogenitäts-/Eindimensionalitätsanforderung Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 42. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Teilmengeninvarianz = Stichprobenunabhängigkeit? . . . is an illusion. Item parameters and subject abilities are always estimated relative to a population, even if this fact may be obscured by the mathematical properties of the models used. Holland (1990) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 43. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Teilmengeninvarianz = Stichprobenunabhängigkeit? . . . is an illusion. Item parameters and subject abilities are always estimated relative to a population, even if this fact may be obscured by the mathematical properties of the models used. Holland (1990) Epistemologische Hürde: Lösungswahrscheinlichkeit • eine Person löst eine einzelne Aufgabe oder nicht • eine Gruppe von Personen hat einen relativen Lösungsanteil für eine einzelne Aufgabe • eine Gruppe von Aufgaben hat einen relativen Lösungsanteil bei einer einzelnen Person • Personen/Aufgaben sind überhaupt erst gruppierbar durch gleichen Lösungsanteil bei mehreren Aufgaben/Personen • „Lösungswahrscheinlichkeit“ einzelner Person für einzelne Aufgabe ohne weitere Aufgaben/Personen weder schätzbar noch interpretierbar (→ Schrödingers Katze, Kopenhagener Deutung (?)) Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 44. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Lösungswahrscheinlichkeit: Interpretationen Rasch ca. 1960 (cit. acc. to Wainer 2010) Certain human acts can be described by a model of chance. [...] Even if we know a person to be very capable, we cannot be sure he will solve a certain difficult problem, nor even a much easier one. There is always a possibility that he fails. Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 45. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Lösungswahrscheinlichkeit: Interpretationen Rasch ca. 1960 (cit. acc. to Wainer 2010) Certain human acts can be described by a model of chance. [...] Even if we know a person to be very capable, we cannot be sure he will solve a certain difficult problem, nor even a much easier one. There is always a possibility that he fails. Knoche & Lind 2000 Bei der Modellierung von Testsituationen kann man unterstellen, dass die Bearbeitung einer Testaufgabe unter Zeitdruck ein Zufallsexperiment ist, in dem der Proband und die Aufgabe zusammen ein Zufallsgerät bilden, das die Bewertung der gezeigten Reaktionen als Ergebnis hat. Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 46. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Lösungswahrscheinlichkeit: Interpretationen Rasch ca. 1960 (cit. acc. to Wainer 2010) Certain human acts can be described by a model of chance. [...] Even if we know a person to be very capable, we cannot be sure he will solve a certain difficult problem, nor even a much easier one. There is always a possibility that he fails. Knoche & Lind 2000 Bei der Modellierung von Testsituationen kann man unterstellen, dass die Bearbeitung einer Testaufgabe unter Zeitdruck ein Zufallsexperiment ist, in dem der Proband und die Aufgabe zusammen ein Zufallsgerät bilden, das die Bewertung der gezeigten Reaktionen als Ergebnis hat. Birnbaum 1968 (cit. acc. to Wainer 2010) Item scores [...] are related to an ability  by functions that give the probability of each possible score on an item for a randomly selected examinee of given ability. Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 47. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit Kognitive Dissonanz: Subskalen-Bildung oder: Den Kuchen essen und behalten wollen? Gesamt Zahlen und  Operationen Raum und Form Muster und  Strukturen Größen und  Messen Daten,  Häufigkeiten und  Wahrschein. Bayern 519 515 538 516 509 510 Sachsen 517 511 528 506 513 513 Sachsen‐Anhalt 517 511 524 500 517 516 Baden‐Württemberg 512 510 510 506 518 511 Thüringen 502 501 504 493 503 500 Nordrhein‐Westfalen 497 505 482 508 498 501 Niedersachsen 496 495 494 497 498 498 Mecklenburg‐Vorpommern 494 489 500 482 497 494 Rheinland‐Pfalz 494 489 497 491 496 493 Saarland 492 495 470 492 509 493 Brandenburg 491 483 505 481 488 494 Schleswig‐Holstein 487 484 487 486 491 490 Hessen 484 486 476 484 491 485 Hamburg 470 474 476 481 464 475 Bremen 452 454 464 459 448 459 Berlin 451 451 459 455 448 461 Korrelation mit "Gesamt" 0,979 0,888 0,926 0,959 0,992 Datenquelle: IQB-Ländervergleich 2011 Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns
  • 48. Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reflexion: Schrödinger Literatur Literatur Goldstein, H. (2008). How may we use international comparative studies to inform education policy? http://goo.gl/rhshqi Holland, P. W. (1990). On the sampling theory foundations of item response theory models. Psychometrika, 55, 577–601. Kirsch, A. (1977). Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht. Didaktik der Mathematik, 5, 87–101. Knoche, N. & Lind, D. (2000). Eine Analyse der Aussagen und Interpretationen von TIMSS unter Betonung methodologischer Aspekte. Journal für Mathematik-Didaktik, 21 (1), 3–27. Kubinger, K. D. (1999). Replik auf Jürgen Rost: „Was ist aus dem Rasch-Modell geworden?“ http://goo.gl/XMFffn Rost, J. (1996). Lehrbuch Testtheorie Testkonstruktion. Bern: Hans Huber. Schreiber, A. (1980). Idealisierungsprozesse – ihr logisches Verständnis und ihre didaktische Funktion. Journal für Mathematik-Didaktik, 1 (1-2), 42-61. Stanat, P. et al. (2012). Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern am Ende der vierten Jahrgangsstufe in den Fächern Deutsch und Mathematik. Ergebnisse des IQB-Ländervergleichs 2011. Münster: Waxmann. Wainer, H. (2010). Schrödinger’s Cat and the Conception of Probability in Item Response Theory. Chance, 23 (19), 53-56. Zermelo, E. (1929). Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mathematische Zeitschrift, 29 (1), 436–460. Folien: http://goo.gl/y2sifb Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns