1. Verkehrstheorie
Wartesysteme (Übung)
Kapitel 4.4
Netze und Protokolle
Dipl.-Wirtsch.-Ing. Kim Bartke
Institut für Kommunikationstechnik
www.ikt.uni-hannover.de
2. Verlustsysteme / Wartesysteme (1)
Nachrichtensysteme können in Verlustsysteme und
Wartesysteme unterteilt werden.
Erläutern Sie die Begriffe und geben Sie Beispiele!
(2)
3. Verlustsysteme / Wartesysteme (2)
Verlustsystem
ein einfallender Belegungswunsch wird sofort bearbeitet, wenn
die Ressourcen dafür zur Verfügung stehen. Sind alle
Ressourcen belegt, wird der Belegungswunsch abgewiesen, er
geht zu Verlust.
Beispiel: Fernsprechnetz
Wartesystem
ein einfallender Bearbeitungswunsch wird in eine Warteschlange
geschrieben und bearbeitet, sobald freie Ressourcen dafür zur
Verfügung stehen. Ein Verlust tritt auf, wenn alle Warteplätze in
der Warteschlange belegt sind und ein weiterer
Bearbeitungswunsch eintrifft.
Beispiel: Daten-Endgeräte (paketorientiert), Hotline eines Call-
Centers mit Warteplätzen
(3)
5. Charakteristische Qualitätsparameter (2)
Verlustsystem
Verlust (Blockierungswahrscheinlichkeit), d.h. der
Anteil der Anforderungen, der nicht vom System bearbeitet werden kann
Wartesystem
theoretisches (reines) Wartesystem
Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit > T
mittlere Wartezeit
realen Wartesystems (Warte-Verlust-System)
wie theoretisches Wartesystem
Verlustwahrscheinlichkeit (Paketverlust)
(5)
6. Markov-Ketten (1)
Welcher Verteilung folgen die Aufenthaltsdauern in einem
Zustand in einer Markov-Kette?
Die Aufenthaltsdauern folgen einer Exponentialverteilung.
Welche besondere Eigenschaft hat der Markov-Prozess?
Der Markov-Prozess zeichnet sich durch seine
Gedächtnislosigkeit aus.
Was sind Geburts- und Sterbeprozesse und in welcher
Beziehung stehen sie zu Markov-Prozessen?
Der Zustand k kann nur von seinem Vorgänger k-1 oder
Nachfolger k+1 erreicht werden.
Der Zustand k kann nur zu seinem Vorgänger k-1 oder
Nachfolger k+1 verlassen werden.
(6)
8. Little’s Law
Nennen und erläutern Sie Little‘s Law!
Little’s Law lautet
Die mittlere Einfallrate von
Bedienwünschen
k = λ ⋅ Tv
Der mittlere Die mittlere
Füllgrad einer Verweildauer in der
Warteschlange Warteschlange
!!!Wichtig!!! Alle Werte sind Durchschnittswerte !!!Wichtig!!!
Der Satz von Little gilt für beliebige Ankunfts- und Bedienprozesse!
(8)
9. M/M/1-Systeme
Pakete der mittleren Länge 1500 Byte kommen im Mittel
alle 0.2 Sekunden in der Warteschlange eines Routers an.
Wie hoch ist die Ankunftsrate?
Ankunftsrate λ = 5 Pakete / Sekunde
Wie hoch ist die Auslastung bei einer Bedienrate von
36 Kbps?
Auslastung (ρ) = Ankunftsrate (λ) / Bedienrate (µ)
µ = 3 Pakete / Sekunde
ρ = 5 [Pakete/Sek] / 3 [Pakete/Sek] = 1.67
Was für Folgen hat diese Auslastung für das System?
Die Länge der Warteschlange steigt ins Unendliche.
Das System wird instabil.
(9)
10. M/M/1-Systeme
Wie groß muss die Bedienrate mindestens sein, um das
vorherige Problem zu umgehen?
Die Auslastung muss < 1 sein, daher gilt:
Bedienrate > Ankunftsrate µ > 5 Pakete/Sek
Wie groß ist die Anzahl der Pakete in der Warteschlange
im Mittel bei einer Bedienrate von 66 kbps?
ρ2
N Q = λW =
1− ρ
λ 5 5 10
ρ= = = = ≈ 0.91
μ 66000 5.5 11
1500 * 8
2
⎛ 10 ⎞
⎜⎟
NQ = ⎝ ⎠ =
100
11
≈ 9.09
10 11
1−
11
(10)
11. M/M/1-Systeme
Zur Verringerung der Wartezeit soll in einem M/M/1-
System die Bedienrate eines Kanals, auf dem Datenpakete
der mittleren Größe von 1500 Byte übertragen werden, von
ursprünglich 66 kbps so verändert werden, dass die
mittlere Wartezeit um 20% reduziert wird. Ankommende
Pakete treten mit einem mittleren Abstand von 0.2s in das
Wartesystem ein.
Welche Bedienrate muss gewählt werden?
(11)
13. M/M/1-Systeme
Berechnung (Fortsetzung)
2
ρ2
80
N Q2 =λW2 = ≈ 7.27 =
1−ρ2
11
ρ2 ≈ 0.89
λ
μ 2 = ≈ 67350bps
ρ2
Es muss folglich eine Erhöhung der Übertragungsrate um
1.35 Kbps durchgeführt werden.
(13)
14. M/M/m-Systeme
Was ist ein M/M/m-System?
Bei einem M/M/m-System sind die Zwischenankunftszeiten und
die Bearbeitungszeiten exponentialverteilt (M = Markov-Prozess).
Das System besitzt m Bedieneinheiten.
Das System besitzt unendlich viele Warteplätze.
(14)
15. M/M/m-Systeme
Zum Zeitpunkt t = 0 kommt ein Paket an einem M/M/4-
System Router an. Alle Ausgangsinterfaces sind belegt
und n = 19 weitere Pakete befinden sich im Wartesystem.
Die Übertragung der Pakete erfolgt entsprechend der
Ankunftsreihenfolge. Außerdem gilt, dass ab dem
Zeitpunkt t = 0 keine weiteren Pakete in das System
eintreten. Die Übertragungszeiten seien
exponentialverteilt mit µ = 2.5 Pakete/Sekunde.
Bestimmen Sie die Zeit, die das letzte Paket wartet!
Bestimmen Sie die erforderliche Zeit bis das System quot;leerquot; ist,
ausgehend von t = 0!
(15)
16. M/M/m-Systeme
Für den Fall, dass alle m Interfaces des Routers belegt
sind, gilt für die Zeit zwischen den
Abfertigungszeitpunkten:
1 1 1
ts = = = s = 0.1s
mμ 4 * 2.5 10
Das letzte Paket muss so lange warten, bis n+1
Abfertigungen erfolgt sind:
n + 1 19 + 1
WletztesPaket = = = 2s
mμ 4 * 2.5
(16)
17. M/M/m-Systeme
Die Summe der Wartezeit des letzten Paketes und der
Bedienzeit sämtlicher Pakete bestimmt sich durch:
λτ λτ
λτ λτ
λτ
0 1 2 m-1 m m+1
μτ (m-1)μτ
2μτ mμτ
mμτ
λpn −1 = nμpn n < m
λpn −1 = mμpn n ≥ m
n +1 1 1 19 + 1 1 1 1 1
ΔTSystemleer = + + ... + = + + + +
mμ mμ μ 4 * 2.5 4 * 2.5 3 * 2.5 2 * 2.5 1* 2.5
17
ΔTSystemleer = ≈ 2.83s
6
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