Symmetrieerkennung in Theorie und PraxisMarcus Riemer
FH Wedel Entwicklung trifft FU Berlin Forschung
Symmetrien sind ästhetisch, eindrucksvoll - und praktisch? Viele alltägliche Produkte weisen Symmetrien auf. Lässt sich diese Eigenschaft beispielsweise für die Qualitätssicherung nutzen? Dazu müsste eine Maschine Symmetrien erkennen. Doch wie erklärt man einem Computer, was er sieht?
Ein solches Erkennungsverfahren wird derzeit an der FH Wedel in Kooperation mit der FU Berlin getestet. Die beiden Studierenden der Informatik stellen auf der einen Seite die praktischen Herausforderungen bei der Implementierung eines solchen Verfahrens vor. Auf der anderen Seite soll aber auch die von der Forschungsgruppe der FU Berlin erarbeitete Theorie nicht zu kurz kommen.
Dieses Projekt erfolgt im Rahmen der langjährigen Kooperation zwischen der FH Wedel und dem Fachbereich Mathematik und Informatik der FU Berlin. Die FU Berlin bietet Masterabsolventen hervorragende Bedingungen für eine Promotion. Im Austausch mit den Professoren der FU Berlin haben diese in Wedel bereits mehrfach Vorlesungen und Vorträge gehalten.
Zu den Referenten:
Marcus Riemer und Timm Hoffmann sind beide Studierende des Masterstudiengangs Informatik an der FH Wedel. Darüber hinaus sind beide als wissenschaftliche Mitarbeiter an der FH tätig.
El documento describe los rasgos deseables para un nuevo maestro. Busca alguien que pueda argumentar con claridad, corrección y sencillez, y que sea capaz de analizar, resolver problemas y plantear preguntas para mejorar continuamente aplicando estas habilidades intelectuales.
Este documento presenta los lineamientos para la formación y atención de los adolescentes en la educación secundaria en México en 2011. Describe el trayecto formativo de los alumnos en la educación básica, reconociendo que la secundaria profundiza las competencias desarrolladas en preescolar y primaria a través de asignaturas académicas. También identifica los retos actuales de la educación secundaria como promover el desarrollo integral de los estudiantes. Finalmente, presenta la tutoría como un espacio curricular clave
Asesoría y Tutoría en Educación Especialnarda ávila
El documento describe las funciones principales de un maestro de educación especial según la ley de educación, incluyendo atender a estudiantes con discapacidades, promover su integración a escuelas regulares o especializadas, y aplicar métodos y materiales específicos. También explica que la orientación implica guiar a personas para potenciar su desarrollo integral a lo largo de la vida, y que los maestros de educación especial deben realizar funciones de asesoramiento y tutoría para promover el aprendizaje integral de los estudiantes.
Florida se localiza en el sureste de Estados Unidos, limita al oeste con el Golfo de México y al este con el Océano Atlántico. Su clima es templado la mayor parte del año con lluvias torrenciales en verano. La economía de Florida se basa principalmente en el turismo debido a sus playas y parques temáticos como Disney World.
El documento describe los flujos y polos económicos. Explica que hay dos tipos de flujos: el flujo de factores (flujo real) entre empresas y familias, que incluye bienes, servicios y recursos; y el flujo financiero (flujo nominal) entre empresas y familias, que incluye remuneraciones y gastos. También describe las interacciones entre empresas, que son unidades de producción, y familias, que son unidades de consumo.
Symmetrieerkennung in Theorie und PraxisMarcus Riemer
FH Wedel Entwicklung trifft FU Berlin Forschung
Symmetrien sind ästhetisch, eindrucksvoll - und praktisch? Viele alltägliche Produkte weisen Symmetrien auf. Lässt sich diese Eigenschaft beispielsweise für die Qualitätssicherung nutzen? Dazu müsste eine Maschine Symmetrien erkennen. Doch wie erklärt man einem Computer, was er sieht?
Ein solches Erkennungsverfahren wird derzeit an der FH Wedel in Kooperation mit der FU Berlin getestet. Die beiden Studierenden der Informatik stellen auf der einen Seite die praktischen Herausforderungen bei der Implementierung eines solchen Verfahrens vor. Auf der anderen Seite soll aber auch die von der Forschungsgruppe der FU Berlin erarbeitete Theorie nicht zu kurz kommen.
Dieses Projekt erfolgt im Rahmen der langjährigen Kooperation zwischen der FH Wedel und dem Fachbereich Mathematik und Informatik der FU Berlin. Die FU Berlin bietet Masterabsolventen hervorragende Bedingungen für eine Promotion. Im Austausch mit den Professoren der FU Berlin haben diese in Wedel bereits mehrfach Vorlesungen und Vorträge gehalten.
Zu den Referenten:
Marcus Riemer und Timm Hoffmann sind beide Studierende des Masterstudiengangs Informatik an der FH Wedel. Darüber hinaus sind beide als wissenschaftliche Mitarbeiter an der FH tätig.
El documento describe los rasgos deseables para un nuevo maestro. Busca alguien que pueda argumentar con claridad, corrección y sencillez, y que sea capaz de analizar, resolver problemas y plantear preguntas para mejorar continuamente aplicando estas habilidades intelectuales.
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Asesoría y Tutoría en Educación Especialnarda ávila
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Florida se localiza en el sureste de Estados Unidos, limita al oeste con el Golfo de México y al este con el Océano Atlántico. Su clima es templado la mayor parte del año con lluvias torrenciales en verano. La economía de Florida se basa principalmente en el turismo debido a sus playas y parques temáticos como Disney World.
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The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms for those who already suffer from conditions like anxiety and depression.
Este documento presenta un módulo de una unidad de aprendizaje sobre biología celular. El módulo se enfoca en explicar la estructura y composición de las unidades celulares. Incluye objetivos de aprendizaje, contenidos temáticos, habilidades, actitudes y valores que los estudiantes desarrollarán. También describe las actividades, recursos, evidencias de evaluación y bibliografía que utilizará el maestro para guiar a los estudiantes en el aprendizaje sobre la unidad básica de vida que es la cél
Este documento proporciona información sobre qué es un blog. Explica que un blog es un sitio web actualizado periódicamente que recopila artículos en orden cronológico inverso. Describe diferentes tipos de blogs como personales, informativos o educativos. También cubre herramientas comunes de blogs como etiquetas y canales RSS. El documento concluye explicando los pasos para crear un blog en WordPress.
Este documento presenta un curso de perfeccionamiento en léxico en lengua inglesa para biblioteconomía y documentación. El curso cubrirá vocabulario relacionado con bases de datos bibliográficas, la biblioteca, y redacción de correos electrónicos. Se utilizarán las herramientas de la página web del curso y el diccionario de Tony para apoyar el aprendizaje.
Web-Relooking der Kosmetikmarke Claire FisherMOONDA
Die internationale Digitalmarketing-Agentur MOONDA ist mit der Optimierung des Internetauftritts von www.claire-fisher.de beauftragt worden. Die apothekenexklusive Kosmetikmarke mit Wirkstoffen aus der Natur unterstützt so ihre Webseite mit einer intuitiv bedienbaren, benutzerfreundlichen Produktnavigation. Der Launch der neuen Webseite ist soeben erfolgt.
Este documento discute los principios y mejores prácticas de las pruebas de software. Explica que las pruebas buscan descubrir errores ejecutando programas, y que los mejores casos de prueba tienen alta probabilidad de encontrar errores no detectados antes. También recomienda planificar las pruebas con anticipación, comenzar con pruebas pequeñas y progresar hacia pruebas más grandes, y que las pruebas sean conducidas por un equipo independiente.
Presentación del proyecto Itinere1337, de recuperación y puesta en valor de los caminos de peregrinación al Real Monasterio de Santa María de Guadalupe
El documento describe el sensor de golpeteo (KS), el cual detecta la detonación en la cámara de combustión y envía una señal a la computadora para ajustar el tiempo de encendido. Explica la ubicación, síntomas de falla, códigos de diagnóstico, inspección, prueba del sensor con un probador y en el vehículo.
El documento presenta el calendario de inicio de curso para el curso 2010-2011, incluyendo las fechas y horarios de la presentación, el comienzo de las clases para cada nivel educativo, y los horarios del transporte escolar para los alumnos de ESO.
El estándar internacional ISO/IEC 29110 Software Engineering — Lifecycle profiles for Very Small Entities (VSEs) es un conjunto de normas y reportes técnicos que se ha desarrollado para entidades muy pequeñas (VSE – Very Small Entities). Una VSE se define como una entidad (empresas, organizaciones, departamentos o proyectos) que tiene menos de 25 personas. Actualmente, en la industria del software la mayoría de las PyMEs pertenecen a la categoría VSE. La industria del software mundial reconoce el valor de las aportaciones de productos y servicios de las PyMEs. Las pequeñas empresas también pueden desarrollar y mantener el software que se utiliza en sistemas más grandes y complejos, por lo tanto, el reconocimiento de éstas como proveedores de software de alta calidad a nivel nacional e internacional es necesario.
En este curso se explica al participante la justificación y los pasos que condujeron al desarrollo del conjunto de estándares de la norma ISO/IEC 29110, reportes técnicos y algunos de los paquetes de implementación del estándar internacional enfocado a las PyMEs; una introducción a la serie de documentos que la conforman y, cómo aplicar los conocimientos adquiridos en un proyecto de desarrollo de software.
Los componentes web permiten agregar funciones dinámicas a las páginas web como efectos de desplazamiento de texto, botones interactivos, formularios de búsqueda y galerías de fotos. Existen muchos tipos de componentes web que requieren extensiones de servidor como FrontPage o SharePoint para funciones avanzadas como búsquedas de texto completo o inclusión dinámica de páginas.
El documento habla sobre la importancia de buscar literatura científica médica. Explica que la búsqueda de evidencia científica es fundamental para la medicina basada en evidencia y la autoformación continua. También discute que la práctica clínica presenta incertidumbre debido a variaciones entre médicos, y que la medicina basada en evidencia utiliza la mejor evidencia científica disponible para reducir esta incertidumbre y mejorar los resultados para los pacientes.
Der Samsung YP-S2 ist ein kleiner, handlicher und tragbarer MP3-Player in einem futuristisch anmutenden weissen Design mit großen Bedientasten und 2GB Speicherkapazität.
El documento describe las ayudas disponibles bajo el Programa de Desarrollo Rural Villuercas Ibores Jara 2007-2013 para proyectos empresariales y de mejora de la calidad de vida rural. Se detallan las medidas y submedidas disponibles, los requisitos para ser beneficiario, los tipos de proyectos y gastos subvencionables, como obras civiles, maquinaria y equipamiento.
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1. MADER, W.
Math. Annalen 174, 265--268 (1967)
Homomorphieeigenschaften und mittlere Kantendichte von Graphen
W. MADER
Als Abschw~ichung der Hadwigervermutung hat K. WAGNER in [4] die
Existenz einer zahlentheoretischen Funktion c(n) mit der Eigenschaft nach-
gewiesen: Jeder Graph G mit der chromatischen Zahl z(G) > c(n) ist homo-
morph (bezeichnet dutch: ~ ) dem vollstandigen Graphen mit n Ecken, dem
S(n). G. A. DIRAC1 und H. A. JUNG (in [3]) haben gleichzeitig und unabh~ingig
voneinander sogar bewiesen, dab eine Funktion ~o(n) existiert, ffir welche gilt:
Jeder Graph G mit z(G)> rp(n) enthiilt eine Unterteilung des S(n) (kurz:
U(S(n))) als Teilgraph. In der vorliegenden Arbeit soll gezeigt werden, dab eine
Funktion f(n) mit der Eigenschaft existiert : Jeder endliche Graph G, der min-
destens f(n). e(G) Kanten enth~ilt, hat einen U(S(n)) als Teilgraph 2.
(Die bier betrachteten Graphen G haben keine mehrfachen Kanten und
keine Schlingen; ihre Eckenmenge sei nicht leer; e(G) bezeichne die Anzahl
der Ecken, k(G) die Anzahl der Kanten von G.)
Zun~ichst zeigen wir
Satz f. G sei ein endlicher Graph mit k(G) >=2 n- 3. e(G). Dann gilt: G ),- S(n).
(n beliebige natfirliche Zahl.)
Der Beweis wird durch folgenden Induktionsschritt geliefert :
Lemma t. Voraussetzung: Jeder endliche Graph, der mindestens n/2quot; e(G)
Kanten hat, ist homomorph dem S(h(n)).
Behauptung: Gist ein endlicher Graph mit k( G) > n . e(G)--} G >- S(h(n) + 1).
(n natfirliche Zahl.)
Es sei also ein endlicher Graph G mit k(G)> n'e(G) gegeben. Unter den
homomorphen Bildern H von G, welche die Bedingung k(H)>__n, e(H) er-
fiillen, w~ihlen wit einen (bezfiglich der Teilordnung >-) minimalen Graphen G'
aus. N(a) bezeichne die Menge der mit a dutch Kanten in G' verbundenen
Ecken. Dann gilt fiir jede Ecke a aus G':
(A) IN(a)l > n, d. h. jede Ecke yon G' hat einen Grad ~ n + 1.
(B) Jede Ecke von G'(N(a))3 hat (in diesem Graphen) einen Grad > n.
Zu (A): Da k(G')> n'e(G') ist, folgt e(G')> 1, also ist G quot; = G ' - a nicht
leer. W~ire IN(a)[ -< n, dann wiirde gelten : k(Gquot;) = k(G ) - n > n(e(G')- 1)
= ne(Gquot;). Also ware G' nicht minimal.
i Es ist mir unbekannt,ob die betreffendeArbeit schon erschienenist.
2 Ich m6chte auch erwahnen,dab ich der Arbeit [1] von G. A. DmACviel verdanke.
3 Fiir eine Teilmenge T der Eckenmengeeines Graphen G sei G(T) der yon T aufgespannte
Untergraph yon G.
18quot;
2. 266 W. MADER:
Zu (B) : ~ bezeichne den Grad in G'(N(a)). Nehmen wir an, es sei ffir eine
Ecke b ~ N(a) der Grad v(b) < n. Dann gilt ffir den Graphen Gquot;, der sich aus G'
durch Zusammenzug der Kante {a,b} ergibt:
k(Gquot;) = k(G') - N (a) + (N (a) - 1 - ~(b)) >-_k(G') - n > ne(Gquot;) .
Dies widerspricht der Bestimmung yon G'.
Fiir den Graphen L=G'(N(a)) gilt somit nach (B): k(L)>(1/2)e(L).n.
Nach Voraussetzung folgt also L~-S(h(n)) und somit ersichtlich G~-G'
~-S(h(n)+ 1). Damit ist Lemma 1 bewiesen.
Ein endlicher Graph G mit mindestens e(G) Kanten ist homomorph dem
S(3~. Durch Induktion ergibt sich also Satz 1.
Auf ~ihnliche Weise ergibt sich nun
Satz 2. Jeder endliche Graph G mit k(G)> 2(quot;21)-1. ( n - 1 ) . e(G) enthdlt
einen U(S(n)) als Teilgraph.
zeigen zun~ichst
Voraussetz . sseim ( )u ,m,e oe o O liche a ,
mit der Eigenschaft: Jeder endliche Graph G mit mindestens 1/2. f(n, m)quot; e(G)
Kanten enth?ilt einen U(G(n, m)) als Teilgraph.
Behauptung: Jeder endliche Graph G rnit k(G) > f(n, m)quot; e(G) emhiilt einen
~(G(n, m + 1)).
G sei also ein endlicher Graph, der die Bedingung k(G)~ f(n, m)'e(G)
erftillt. Man kann G offensichtlich als zusammenh~ingend voraussetzen. FOr
eine nicht leere Eckenmenge T ~ E(G)4 bezeichne G/T denjenigen Graphen,
der die Ecken a ~ E(G) - T und die Ecke T hat, wobei zwei Ecken aus E(G) - T
in G/T genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn sie in G durch eine
Kante verbunden sind, und T genau mit allen denjenigen a e E ( G ) - T in
G/T verbunden ist, mit welchen wenigstens ein t e T in G durch eine Kante
verbunden ist.
Z sei die Menge aller T~_E(G), T . 0 , fiJr welche gilt: G(T) zusammen-
h~ingend und G/T erfiille die Bedingung k(G/T)~ f(n, m)e(G/T). (Alle ein-
elementigen Teilmengen von E(G) gehfren z.B. zu Z.) T' sei ein maximales
(beziiglich ~) Element von Z. N(T') bezeichne die Menge aller mit T' in
G/T' durch Kanten verbundenen Ecken.
Da G zusammenh~ingend und T' maximal in Z ist, sieht man genauso wie
beim Beweis yon Lemma t, dab jede Ecke des Graphen (G/T')(N(T')) den
Grad >=f(n, m) hat. Da (G/T')(N(T'))= G(N(T')) nach Definition von G/T'
gilt, enth~ilt also G(N(T')) nach Voraussetzung einen U(G(n, m)). Je zwei
beliebige Ecken a und b aus N(T') kann man aber durch einen Weg verbinden,
der ganz in G(T'u {a, b}) vedauft. Also ergibt sich die Behauptung von Lemma 2.
Da ein Graph G mit k(G)> ( n - 1)e(G) einen G(n, n - 1) enth~ilt, folgt
= 2
leicht durch Induktion Satz 2.
4 E(G) bezeichne die Eckenrnenge des Graphen G.
3. Homomorphieeigenschaften yon Graphen 267
Nach Satz 1 existiert also eine (minimale) zahlentheoretische Funktion
9(n) (bzw. z(n)), fiir welche gilt: Jeder endliche 5 Graph, der in jeder Ecke einen
Grad > 9(n) hat (bzw. z(n)-fach zusammenh~ingend ist), ist homomorph dem
S(n). Offensichtlich gilt : z(n) < 9(n).
Ffir 9 gilt, wie leicht zu sehen ist, 9(n + 1)> o(n). (Analog fiir z und die
entsprechenden (minimalen) Funktionen fiir die Unterteilung.) Da ja 0(5) > 5
ist, folgt also g(n) > n ~ r n > 5.
Aus der Existenz der Funktion 9(n) folgt auch die Existenz der (in der
Einleitung erw~ihnten) Funktion c(n), und es gilt die Absch~itzung :
(1) c(n) <=a(n) far n>=5.
G sei ein 9(n)-chromatischer Graph. Nach [2] ist G >-S(9(n)) oder G >-G',
wobei jede Ecke des endlichen Graphen G' den Grad >9(n) hat. Da o(n)> n
fiir n > 5 ist, folgt also in jedem Fall G~S(n), also c(n)< a(n). (Da joder k-
chromatische Graph einen k-chromatischen kritischen (also endlichen) Teil-
graph enthalt, welcher ja in jeder Ecke einen Grad > k - 1 hat, folgt eine
~ihnliche Abschatzung fiir die ,,Unterteilungsfunktionenquot;.)
F/Jr nattirliche Zahlen n > 1 sei eine Funktion d(n) definiert durch:
d(n) = Inf{tl t reelle Zahl und jeder Graph G mit k(G) > t. e(G)
ist homomorph dem S(n)}.
Nach Satz 1 ist d(n) endlich ftir alle n; es ist d(2) = 0 und fiir n > 2 ersichtlich
d(n) > O.
Ffir n > 3 gilt auch noch :
(2) G endlich mit k( G) > d(n) . e( G)--* G ~ S(n) .
Betrachten wir einen Graphen G mit k(G)> d(n).e(G). Falls k(G)> d(n)
e(G) folgt nach Definition von d(n) die Behauptung. Wir k6nnen also an-
nehmen, dab gilt: k(G) = d(n) . e(G).
G1, G2 seien zwei eckenfremde Graphen isomorph zu G ; av sei eine beliebige
Ecke aus Gv (v= 1, 2). G' entstehe aus G1 und G2 durch Identifizieren der
Ecken al und a 2.
Dann gilt : k(G')= 2k(G) und e(G')= 2 e ( G ) - 1 ; also
k(G') 2k(G) k(G)
- - = > - - = d(n).
e(G') 2 e(G) - 1 e(G)
Daraus folgt somit G'~-S(n), also auch G ~ S(n).
Die Funktion g(n) l~iBt sich durch d(n) nach oben und unten abschiitzen :
(3) d(n) + 1 <=g(n) < {2quot; d(n)} far n_~ 3 6
Da fiir einen Graphen G, der in jeder Ecke den Grad __> d(n) hat, k(G)
2-
> e(G). d(n) gilt, folgt g(n) ~ {2 d(n)}.
5 Ein unendlicher Graph, der in jeder Ecke den Grad ~ m hat (m beliebig), braucht nicht
einmal dem S(3) homomorph zu sein, da es ja B~iume mit dieser Eigenschaft gibt.
Fiir eine reell¢ Zahl a bezeichne {a} die kleinste ganze Zahl ;> a.
4. 268 W. MADER: Homomorphieeigenschaften yon Graphen
Betrachten wir andererseits einen endlichen Graphen G, welcher der Un-
gleichung k(G)-> (#(n)-1) e(G) gentigt. Es existiert ein zu G homomorpher
Graph G', der nach Aussage (A) aus dem Beweis von Lemma 1 in jeder Ecke
den Grad ~g(n) hat; also d(n)<#(n)-1.
Erstaunlicherweise gilt auch fiir die Funktion d(n):
(4) d(n + 1) =>d(n) + 1 7
Nach Definition von d(n) existiert zu jedem vorgegebenen e > 0 ein endlicher
Graph G mit k(G)>__(d(n)-e)e(G), welcher nicht homomorph dem S(n) ist.
G1..... G,~ seien paarweise eckenfremde Graphen isomorph zu G. Eine be-
liebige Ecke a ¢ U E(GO verbinde man mit jeder Ecke aus jedem der Graphen
V=I
G~; tier so entstehende Graph sei G(m). G(m)~S(n+ 1) und es ist k(G(m))
= mk(G) + me(G) und e(G(m)) = me(G) + 1. Also ergibt sich
k(G(m)) ink(G) me(G)
e(G(m)) me(G)+ 1 me(G)+ 1 quot;
Fiir m ~ oo konvergiert der 1. Summand gegen e(G) = d(n)- e und der
k(G) >
2. Summand gegen 1. Daraus ergibt sich die Behauptung.
Somit folgt nach Satz 1 und (4):
n - 2 < d ( n ) < 2 quot;-3 .
Literatur
1. D1RAC, G. A.: Homomorphism theorems for graphs. Math. Ann. t53, 69--80 (1964).
2. - - On the structure of 5- and 6-chromatic abstract graphs. J. Reine Angew. Math. 214/2t5,
43--52 (1964).
3. JUN~, H. A. : Anwendung einer Methode von K. Wagner bei Fiirbungsproblemen fiir Graphen.
Math. Ann. t61, 325--326 (1965).
4. WAONER, K.: Beweis einer Abschw~ichung der Hadwiger-Vermutung. Math. Ann. t53,
139--t41 (t964).
W. MADER
Mathematisches Institut der Universitiit
5 K61n, Weyertal 86
(Eingegangen am 2. Juni 1966)
7 Der ,,Durchschnittsgradquot; wiichst also mindestens um 2.