1. MATRICES
1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser
números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m
filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo
m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras
minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe
la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también
representa a toda la matriz: A = (aij)
……….. Fila
Por comodidad se escribirá A = = ………..
………..
: : : :
………..
ORDEN DE UNA MATRIZ
Columna
Indica el número de filas y el número de columnas que tiene.
mxn
número de filas
numero de columnas
Amxn A Є Mmxn
Ejemplos:
4 3 1
D=
0 2 5

2. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: aij
A= (aij)mxn a ij
posición columna
posición fila
Ejemplo:
………..
-2 3 1 = ………..
A= 0 2 1 ………..
0 4 -3 : : : :
………..
a11= -2
a23=1
DIAGONAL DE UNA MATRIZ
En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados
desde a1x1 hasta anxn.
Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina
inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn.
j
………..
= ………..
………..
: : : :
………..
j
Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3

3. Ejercicios:
Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:
A=
A=
CLASES DE MATRICES
Tipo de matriz Definición Ejemplo
Aquella matriz que tiene una sola fila,
FILA
siendo su orden 1×n
Aquella matriz que tiene una sola
COLUMNA columna, siendo su orden m×1
Aquella matriz que tiene distinto
RECTANGULAR
número de filas que de columnas,
siendo su orden m×n ,
Dada una matriz A, se llama
traspuesta de A a la matriz que se
obtiene cambiando ordenadamente
TRASPUESTA
las filas por las columnas.
Se representa por At ó AT

4. La matriz opuesta de una dada es la
que resulta de sustituir cada
OPUESTA
elemento por su opuesto. La opuesta
de A es -A.
Si todos sus elementos son cero.
NULA También se denomina matriz cero y
se denota por
Aquella matriz que tiene igual
número de filas que de columnas, m =
n, diciéndose que la matriz es Diagonal principal
de orden n.
Diagonal principal : son los
elementos a11 , a22 , ..., ann
Diagonal secundaria
CUADRADA Diagonal secundaria : son los
elementos aij con i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la
suma de los elementos de la diagonal
principal, notada por
Es una matriz cuadrada que es igual a
SIMÉTRICA su traspuesta.
A = At , a ij = a ji
Es una matriz cuadrada que es igual a
la opuesta de su traspuesta.
ANTI SIMÉTRICA
A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0

5. Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto los
de la diagonal principal, es decir:
DIAGONAL
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto los
ESCALAR
de la diagonal principal que son
iguales
También se denomina matriz unidad.
Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto los
de la diagonal principal que son
IDENTIDAD iguales a 1. Es decir:
Sea la Matriz I= (aij)mxn
I es matriz identidad ssi:
Matriz triangular Superior
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
T. superior
TRIANGULAR Matriz triangular Inferior
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
T. inferior
Una matriz A es idempotente si:
IDEMPOTENTE
Nota: La identidad no es la única
idempotente

6. Una matriz ortogonal es
necesariamente cuadrada e
invertible: A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es
ORTOGONAL una matriz ortogonal.
El producto de dos matrices
ortogonales es una matriz ortogonal.
El determinante de una matriz
ortogonal vale +1 ó -1.
Una matriz es normal si conmuta con
su traspuesta. Las matrices
NORMAL simétricas, anti simétricas u
ortogonales son necesariamente
normales.
Es una matriz cuadrada ( tiene igual
número de filas que de columnas) tal
que su cuadrado es igual a la matriz
INVOLUTIVA A2 = I
unidad, es decir:
A es involutiva si A x A = I
Decimos que una matriz cuadrada A A es nilpotente de
es Nilpotente de orden r si y sólo si orden 3,
se verifica que , ( r es el
NILPOTENTE
menor entero positivo )