Documento realizado para la materia de Control Moderno y sus Aplicaciones de la Licenciatura en Ingeniería en Mecatrónica de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla en el periodo de Primavera 2015, con el cual se buscaba comprender el proceso de modelado de sistemas dinámicos utilizando la representación en variables de estado, comparar los resultados obtenidos el uso funciones de transferencia y representación en variables de estado, así como modelos no lineales y modelos lineales y finlmente representar dichos sistemas en un software computacional (Matlab) para su manipulación y análisis de comportamiento.

1. 23-2-2015
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD
AUTÓNOMA DE PUEBLA
Facultad de Ciencias de la Electrónica
Control Moderno y Sus Aplicaciones
Reporte Práctica 1 Modelado y
Simulación de Sistemas Dinámicos
Profesor: J. Fermi Guerrero
Castellanos
Alumnas:
Acoltzi Romano Maritza
Carballo Valderrábano Karla
Primavera 2015

2. INTRODUCCIÓN
Un modelo matemático nos permite comprender y predecir el comportamiento de un
sistema, así como responder ciertas preguntas por medio del análisis y simulación
computacional. Dicho modelo puede ser descrito por medio de funciones de
transferencia o representación en espacio de estados; estas descripciones tienen
características propias que provocan que los resultados obtenidos sean más sencillos
de obtener y/o manejar, que se puedan monitorear las diferentes variables existentes
en el sistema, etcétera.
Con la finalidad de comprender lo anteriormente expuesto, esta práctica se divide en
dos apartados; el primer apartado consiste en simular un sistema electromecánico,
del que se obtienen funciones de transferencia y su representación en variables de
estado; ésta última se emplea para su simulación en MATLAB la cual permite analizar
las gráficas de los resultados y verificar el comportamiento del sistema
electromecánico tras una entrada de tren de pulsos, obteniendo diferentes parámetros
como son posiciones, velocidades y aceleraciones. El segundo apartado consiste en
un sistema de un péndulo invertido, del que a partir de un modelo matemático
establecido, se obtiene la representación en variables de estado del sistema cuando
se encuentra el ángulo del péndulo en libre posición (no lineal) y cuando se busca que
el sistema esté en equilibrio, es decir, que este en posición vertical (lineal).
Finalmente, para ambos apartados se simulan los diferentes sistemas en el
complemento de realidad virtual de MATLAB.
OBJETIVOS
 Comprender de una manera conceptual y práctica el proceso de modelado de
sistemas dinámicos utilizando la representación en variables de estado.
 Comparar los resultados obtenidos al modelar sistemas dinámicos utilizando
funciones de transferencia y representación en variables de estado, así como
modelos no lineales y modelos lineales.
 Representar dichos sistemas en un software computacional (Matlab) para su
manipulación y análisis de comportamiento.
 Obtener modelos de realidad virtual que ayuden a relacionar la función de
trasferencia o las variables de estado con un modelo físico, el cual pueda ser
interpretado en movimientos tras una excitación del sistema.
MARCO TEÓRICO
Modelo Matemático
Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de
ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión. Un modelo
matemático no es único para un sistema determinado, pues un sistema puede
representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos
matemáticos, dependiendo de cada perspectiva. La dinámica de muchos sistemas, ya
sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describe en
términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a

3. partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de
Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas electrónicos.
[1]
Sistema Lineal
Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio
establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones
de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para
el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la
vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones
complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples. [1]
Sistema No lineal
Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para
un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada
una a la vez y sumando los resultados. [1]
Función de Transferencia
La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación
diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la
transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de
Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las
condiciones iniciales son cero. [1]
Variable de estado
Una variable de estado de un sistema dinámico es una señal del sistema, es decir,
una magnitud medible del mismo: Temperatura, posición, velocidad, capacidad,
tensión. Éstas podrán ser:
 Entradas: Son las causantes de la evolución del sistema
 Salidas: Son las que interesa medir y analizar para controlar al sistema.
 Internas: El resto de las infinitas señales; puede haber tantas como queramos,
ya sean reales o virtuales, puesto que podemos inventar combinaciones de las
existentes con sumas, productos... aunque carezcan de sentido tecnológico o
interpretación física. [2]
Péndulo Invertido
Un péndulo invertido montado en un carro es un sistema que principalmente se basa
en el modelo del control de posición de un propulsor primario espacial para
despegues. El péndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier
momento y en cualquier dirección a menos que se le aplique una fuerza de control
conveniente. [1]
DESARROLLO

4. 1. SISTEMA ELECTROMECÁNICO
Modelado del sistema Electromecánico
Se consideró el sistema electromecánico mostrado en la Figura 1, tomando a 𝑁1 = 1
y 𝑁2 = 2.
Figura 1 Sistema Electromecánico
Primeramente se modeló dicho sistema, dividiéndolo en subsistemas, de los cuales
se obtuvo una ecuación que los describiera, para después relacionarlos entre sí, tales
ecuaciones fueron:
Motor: 𝑉𝑎 = 𝑅 𝑎 𝐼 + 𝐿𝐼̇ + 𝐾 𝑚 𝜃 𝑚
̇
Masa M: 𝐽 𝑚 𝜃 𝑚
̈ = −𝐵 𝑚 𝜃 𝑚
̇ + 𝐾 𝑚 𝐼 − 𝑇 𝑚
Engranes:
𝑁 𝑚
𝑁𝑙
=
1
2
=
𝑇 𝑚
𝑇𝑙
=
𝜃𝑙
𝜃 𝑚
Masa L: 𝐽𝑙 𝜃𝑙
̈ = 𝑇𝑙 − 𝐵𝑙 𝜃𝑙
̇ − 𝑘(𝜃𝑙 − 𝜃𝑓 )
Masa F: 𝐽𝑓 𝜃𝑓
̈ = 𝑘(𝜃𝑙 − 𝜃𝑓)
Funciones de Transferencia
Posteriormente aplicamos la transformada de Laplace a las ecuaciones anteriores:
𝑉𝑎 = 𝑅 𝑎 𝐼 + 𝐿𝑠𝐼 + 𝐾 𝑚 𝑠𝜃 𝑚
Masa M: 𝐽 𝑚 𝑠2
𝜃 𝑚 = −𝐵 𝑚 𝑠𝜃 𝑚 + 𝐾 𝑚 𝐼 − 𝑇 𝑚
Masa L: 𝐽𝑙 𝑠2
𝜃𝑙 = 𝑇𝑙 − 𝐵𝑙 𝑠𝜃𝑙 − 𝑘(𝜃𝑙 − 𝜃𝑓 )
Masa F: 𝐽𝑓 𝑠2
𝜃𝑓 = 𝑘(𝜃𝑙 − 𝜃𝑓)
De las expresiones anteriores se obtuvieron las siguientes relaciones:
𝐼 =
𝑉𝑎 − 𝐾 𝑚 𝑠𝜃 𝑚
𝑅 𝑎 + 𝐿𝑠
𝑇 𝑚 =
1
2
𝑇𝑙
𝜃 𝑚 = 2𝜃𝑙

5. 𝜃𝑙 = 𝜃𝑓
𝐽𝑓 𝑠2
+ 𝑘
𝑘
Al utilizar estas relaciones se buscó llegar a una sola ecuación que quedara en
términos de 𝜃𝑓 y 𝑉𝑎, para obtener la siguiente función de transferencia:
𝐻( 𝑠) =
𝜃𝑓
𝑉𝑎
=
2𝑘𝐾 𝑚
𝑎1 𝐿𝑠5 + ( 𝑎1 𝑅 𝑎 + 𝑎2 𝐿) 𝑠4 + (𝑎2 𝑅 𝑎 + 𝑎5 𝐽𝑓 + 𝑎3 𝐿)𝑠3 + ( 𝑎3 𝑅 𝑎 + 𝑎4 𝐿) 𝑠2 + (𝑎4 𝑅 𝑎 + 𝑎5)𝑠
Donde:
𝑎1 = −𝐽𝑓 𝐽𝑙 + 4𝐽𝑓 𝐽 𝑚
𝑎2 = −𝐽𝑓 𝐵𝑙 + 4𝐽𝑓 𝐵 𝑚
𝑎3 = −𝐽𝑓 𝑘 − 𝐽𝑙 𝑘 + 4𝐽 𝑚
𝑎4 = −𝐵𝑙 𝑘 + 4𝐵 𝑚
𝑎5 = 4𝐾 𝑚
2
Utilizando de nuevo las relaciones mencionadas anteriormente se obtuvieron las
siguientes funciones de transferencia:
𝐻( 𝑠) =
𝜃𝑙
𝑉𝑎
=
2𝐾 𝑚(𝐽𝑓 𝑠2
+ 𝑘)
𝑎1 𝐿𝑠5 + ( 𝑎1 𝑅 𝑎 + 𝑎2 𝐿) 𝑠4 + (𝑎2 𝑅 𝑎 + 𝑎5 𝐽𝑓 + 𝑎3 𝐿)𝑠3 + ( 𝑎3 𝑅 𝑎 + 𝑎4 𝐿) 𝑠2 + (𝑎4 𝑅 𝑎 + 𝑎5)𝑠
𝐻( 𝑠)
𝜃 𝑚
𝑉𝑎
=
4𝐾 𝑚(𝐽𝑓 𝑠2
+ 𝑘)
𝑎1 𝐿𝑠5 + ( 𝑎1 𝑅 𝑎 + 𝑎2 𝐿) 𝑠4 + (𝑎2 𝑅 𝑎 + 𝑎5 𝐽𝑓 + 𝑎3 𝐿)𝑠3 + ( 𝑎3 𝑅 𝑎 + 𝑎4 𝐿) 𝑠2 + (𝑎4 𝑅 𝑎 + 𝑎5)𝑠
Variables de Estado
Partiendo de las ecuaciones diferenciales obtenidas durante el modelado del
sistema, se obtuvieron las siguientes expresiones:
𝜃𝑙
̈ =
−4𝐵 𝑚 − 𝐵𝑙
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
𝜃𝑙
̇ +
2𝐾 𝑚
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
𝐼 −
𝑘
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
(𝜃𝑙 − 𝜃𝑓)
𝜃𝑓
̈ =
𝑘
𝐽𝑓
(𝜃𝑙 − 𝜃𝑓)

6. 𝐼̇ =
1
𝐿
𝑉𝑎 −
𝑅 𝑎
𝐿
𝐼 −
2𝐾 𝑚
𝐿
𝜃𝐿
̇
Y tomando como variables de estado a las posiciones y velocidades de los cuerpos l
y f y a la corriente del motor se tiene:
𝑋1 = 𝜃𝑙, 𝑋2 = 𝜃𝑙
̇ , 𝑋3 = 𝜃𝑓, 𝑋4 = 𝜃𝑓
̇ , 𝑋5 = 𝐼
𝑋1
̇ = 𝑋2
𝑋2
̇ =
−4𝐵 𝑚 − 𝐵𝑙
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
𝑋2 +
2𝐾 𝑚
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
𝑋5 −
𝑘
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
( 𝑋1 − 𝑋3)
𝑋3
̇ = 𝑋4
𝜃𝑓
̈ =
𝑘
𝐽𝑓
( 𝑋1 − 𝑋3)
𝑋5
̇ =
1
𝐿
𝑉𝑎 −
𝑅 𝑎
𝐿
𝑋5 −
2𝐾 𝑚
𝐿
𝑋4
El cual puede ser representado como:
(
𝑋1
̇
𝑋2
̇
𝑋3
̇
𝑋4
̇
𝑋5
̇ )
=
(
0 1 0 0 0
−
𝑘
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
−4𝐵 𝑚 − 𝐵𝑙
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
𝑘
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
0
2𝐾 𝑚
4𝐽 𝑚 − 𝐽𝑙
0 0 0 1 0
𝑘
𝐽𝑓
0 −
𝑘
𝐽𝑓
0 0
0 0 0 −
2𝐾 𝑚
𝐿
−
𝑅 𝑎
𝐿 )
(
𝑋1
𝑋2
𝑋3
𝑋4
𝑋5)
+
(
0
0
0
0
1 𝐿⁄ )
𝑉𝑎
Y si se considera que solo sensores de posición angular están disponibles, se tiene:
𝑦 = (1 0 1 0 0)
(
𝑋1
𝑋2
𝑋3
𝑋4
𝑋5)
Simulación utilizando MATLAB/simulink
Para la simulación utilizando el software de Matlab, primeramente se realizó un archivo
con la extensión .m con los valores de cada una de las variables presentadas en la
tabla 1 como se muestra en la siguiente figura:

7. Figura 2 Programa en Matlab con variables
Posteriormente, se realizó en Simulink el diagrama a bloques correspondiente al
espacio de estados generado anteriormente como se muestra en la siguiente figura:
Figura 3 Programa en Simulink para el sistema
Animación en realidad virtual
Se realizó con la extensión de MATLAB V-REALM Builder, un sistema que pudiera
simular a las masas l y f del sistema con la barra que los une, cada uno de los cuales
fueron elaborados en distintos Transforms.

8. Figura 4 Sistema equivalente realizado en V-REALM Builder
Finalmente, se agregó al programa de simulink el sistema realizado en V-REALM
Builder como se muestra en la figura :
Figura 5 Programa en Simulink para el sistema con la extensión de virtual reality
agregada

9. 2. SISTEMA PÉNDULO INVERTIDO
Modelado del sistema Electromecánico
Se consideró el sistema péndulo invertido mostrado en la Figura 6.
Figura 6 Sistema Péndulo Invertido
Las ecuaciones de movimiento del sistema vienen dadas por las siguientes
ecuaciones no lineales:
[
𝐼 + 𝑚𝑙2
𝑚𝑙 cos 𝜃
𝑚𝑙 cos 𝜃 𝑀 + 𝑚
] [ 𝜃̈
𝑥̈
] + [
𝛽𝜃̇ − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃
𝑏𝑥̇ − ( 𝑚𝑙 sin 𝜃) 𝜃̇2
] = [
0
𝑢
]
Variables de Estado: Sistema No Lineal
Se expresa al sistema en variables de estado, utilizando las siguientes variables de
estado:
𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑥̈, 𝑥3 = 𝜃, 𝑥4 = 𝜃̈
[
𝐼 + 𝑚𝑙2
𝑚𝑙 cos 𝑥3
𝑚𝑙 cos 𝑥3 𝑀 + 𝑚
] [
𝑥4̇
𝑥2̇
] + [
𝛽𝑥4 − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝑥3
𝑏𝑥2 − ( 𝑚𝑙 sin 𝑥3) 𝑥4
2] = [
0
𝑢
]
Desarrollando las ecuaciones se tiene lo siguiente:
( 𝐼 + 𝑚𝑙2) 𝑥4̇ + ( 𝑚𝑙 cos 𝑥3) 𝑥2̇ + 𝛽𝑥4 − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝑥3 = 0
( 𝑚𝑙 cos 𝑥3) 𝑥4̇ + ( 𝑀 + 𝑚) 𝑥2̇ + 𝑏𝑥2 − ( 𝑚𝑙 sin 𝑥3) 𝑥4
2
= 𝑢
Sustituyendo los parámetros del sistema péndulo invertido de la Tabla 2 del apartado
parámetros en las ecuaciones se tienen las siguientes ecuaciones:
0.00677𝑥4̇ + (0.025cos 𝑥3) 𝑥2̇ + 0.1𝑥4 − 0.245 sin 𝑥3 = 0 (2.1)
(0.025cos 𝑥3) 𝑥4̇ + 1.1𝑥2̇ + 0.1𝑥2 − (0.025sin 𝑥3) 𝑥4
2
= 𝑢 (2.2)
De la ecuación 2.1 se despeja 𝑥4̇ teniendo como resultado:

10. 𝑥4̇ =
0.245 sin 𝑥3−0.1𝑥4−(0.025 cos 𝑥3) 𝑥2̇
0.00677
(2.3)
De la ecuación 2.3 se sustituye en la ecuación 2.2 y se despeja 𝑥2̇ dando como
resultado la siguiente ecuación.
𝑥2̇ =
𝑢−0.9047 cos 𝑥3 sin 𝑥3+0.3692 cos 𝑥3 𝑥4−0.1𝑥2+(0.025 sin 𝑥3)𝑥4
1.1−0.0923 cos2 𝑥3
(2.4)
A partir de la ecuación 2.4 se sustituye en la ecuación 2.3, dando como resultado
𝑥4̇ = 36.189 sin 𝑥3 − 14.771𝑥4 −
cos 𝑥3
1.1−0.0923 cos2 𝑥3
[3.6927𝑢 − 3.3408cos 𝑥3 sin 𝑥3 +
(1.3633cos 𝑥3) 𝑥4 − 0.3692𝑥2 + (0.0923sin 𝑥3) 𝑥4
2
]
(2.5)
Simulación con Simulink del sistema no lineal
Para la simulación de este sistema se realizó en Simulink un diagrama a bloques
correspondiente al espacio de estados se simulan las ecuaciones 2.4 y 2.5 como se
muestra en la Figura 7.
Figura 7 Diagrama a bloques del sistema péndulo invertido no lineal
Para mejor organización se realizaron 3 susbsistemas, el primero llamado
Denominador está formado por el denominador de ambas ecuaciones como se
muestra en la siguiente figura.

11. Figura 8 Denominador del sistema
El segundo susbsistema genera como salida los coeficientes del numerador de la
ecuación que conforma a 𝑥2̇
Figura 9 Coeficientes x_2 ̇
El tercer subsistema tiene como 2 salidas, la primera son los coeficientes de la
ecuación 2.5 que aparecen en forma de fracción y la segunda los coeficientes que no
aparecen de esta forma.

12. Figura 10 Coeficientes x_4 ̇
Sistema linealizado
Si se considera que el sistema se encuentra cerca del punto de equilibrio en la posición
vertical hacia arriba, es decir, 𝜃 ≈ 0, entonces es posible hacer la aproximación 𝜃 ≈
sin 𝜃 y cos 𝜃 ≈ 1. Haciendo estas aproximaciones el sistema se puede expresar en la
forma 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢, es decir, de las ecuaciones 2.4 y 2.5 se aplica sin 𝜃 ≈ 0 y
cos 𝜃 ≈ 1, dando como resultado el siguiente:
𝑥2̇ = 0.9923𝑢 − 0.0992𝑥2 + 0.3663𝑥4 (2.6)
𝑥4̇ = −3.6644𝑢 + 0.3663𝑥2 − 16.1238𝑥4 (2.7)
Que puede ser expresado como sigue:
(
𝑋1
̇
𝑋2
̇
𝑋3
̇
𝑋4
̇
)
= (
0
0
0
0
1
−0.0992
0
0.3663
0
0
0
0
0
0.3663
1
−16.1238
)(
𝑋1
𝑋2
𝑋3
𝑋4
) + (
0
0.9923
0
−3.664
) 𝑢
Simulación con Simulink del sistema linealizado
En Simulink por medio de diagrama a bloques se simula el espacio de estados
obtenido anteriormente como se muestra en la Figura 11.

13. Figura 11Diagrama a bloques del sistema péndulo invertido lineal
Animación en realidad virtual
Para la simulación en realidad virtual se realizó con la extensión de MATLAB V-
REALM Builder, un sistema que pudiera simular el péndulo invertido, conformado por
una base movible y una cuerda que será el péndulo; para esto se realizó un solo
Transform cuyos “Children” son ambos cuerpos. También se aplica a la cuerda su
centro de gravedad en -1 para que gire sobre un punto de la plataforma.
Figura 12 Sistema equivalente realizado en V-REALM Builder

14. Finalmente, se agregó al programa de simulink el sistema realizado en V-REALM
Builder como se muestra en la figura :
Ilustración 10 Diagrama a bloques del sistema no lineal con Virtual Reality
Ilustración 12 Diagrama a bloques sistema lineal con Virtual Reality
PARÁMETROS
Los parámetros para el sistema electromecánico se encuentran en la Tabla 1.

15. Tabla 1. Parámetros para el sistema electromecánico
Los parámetros para el sistema péndulo invertido se encuentran en la Tabla 2.
Tabla 2. Parámetros para el sistema péndulo invertido
RESULTADOS
Para la primera parte de la práctica, se obtuvo como resultado de la simulación en
Simulink la gráfica mostrada en la siguiente figura, donde podemos observar que al
aplicar un tren de pulsos las posiciones angulares de las masas l y f varían de acuerdo
al potencial aplicado al motor. Al tener un voltaje positivo, las posiciones angulares
aumentan, mientras que al cambiar la polaridad del mismo, las posiciones disminuyen.
Un dato sobresaliente es que dicho valor es siempre negativo.
Figura 13 Gráfica de posición angular l y f del sistema electromecánico

16. En la siguiente figura se observan las gráficas de las velocidades angulares de los
cuerpos l y f del sistema, donde observamos que al tener un voltaje positivo, las
velocidades angulares aumentan, mientras que al cambiar la polaridad del mismo,
disminuyen, variando de valores positivos a negativos.
Figura 14 Gráfica de velocidad angular m y l del sistema electromecánico
Los resultados obtenidos usando virtual reality mostraron que ambas masas giran a
diferentes velocidades, pudiendo apreciar esto debido a que se usaron cubos para
representarlas.
Para la segunda parte de la práctica se graficaron los valores de la posición lineal de
la plataforma y la posición angular de la cuerda, asimismo sus velocidades. En el
sistema no lineal se ve como la posición lineal aumenta con respecto al tiempo y de
acuerdo a su velocidad llega un momento en el que se mantiene constante. Con
respecto a la posición angular gira sobre un punto de la base de la plataforma en la
cual quedando en posición vertical en sentido contrario al deseado.

17. Figura 15 Gráfica de posición. velocidad lineal y angular del sistema no lineal
De la simulación del sistema lineal observamos que al aplicar el mismo tren de pulsos
la posición lineal aumenta conforme se aplica la fuerza de entrada. Por otro lado la
posición angular de la cuerda varía entre valores pequeños.
Figura 16 Gráfica de posición lineal y angular del sistema lineal
Los resultados utilizando Virtual Reality del sistema no lineal nos muestra que la
cuerda gira sobre un punto de la base de la plataforma en la cual quedando en
posición vertical en sentido contrario al deseado.

18. Figura 17 Simulación con Virtual Reality del sistema no lineal
Los resultados utilizando Virtual Reality del sistema lineal nos muestra que la cuerda
gira en torno al eje Z, variando poco de la posición vertical y la plataforma se desliza
sobre el eje x.
Figura 18 Figura 17 Simulación con Virtual Reality del sistema lineal
CONCLUSIONES
Del primer apartado de la práctica concluimos que la representación en espacio de
estados nos ofrece como ventajas ante las funciones de transferencia que no nos
restringe el ver el comportamiento de varias variables de un sistema, se maneja un
solo sistema de ecuaciones de primer grado, con lo que se vuelve más fácil de
analizarlo. Además de esto nos dimos cuenta que a pesar de que un modelo
matemático no nos resulte completamente estable, esto no significa que el sistema no
se pueda analizar con el Software utilizado en esta práctica, pues al analizar los polos
de las funciones de transferencia del sistema mediante el método de Nyquist,
observamos que el sistema era inestable para las funciones de las posiciones de las
cargas l y m, como se muestran en las siguientes imágenes.

19. Figura 19 Criterio de Nyquist aplicado a las funciones de transferencia (teta m/Va, teta l/Va, teta f/Va)
Lo anterior no significa que el sistema sea inestable, sino que esto depende de la
variación del voltaje de entrada. Nos percatamos que es importante tomar en cuenta
la fricción existente entre los engranes para el modelado matemático de este sistema.
Del segundo bloque de la práctica, aprendimos que es primordial tomar en cuenta
nuestro marco teórico antes de realizar una práctica, pues en este caso al analizar los
resultados obtenidos del sistema no lineal, sin embargo, como se menciona en el
marco teórico, al no tener una fuerza de entrada controlada la cuerda puede moverse
en cualquier dirección y en cualquier momento. Aunado a esto el linealizar un sistema
provoca que el control del mismo sea más sencillo y eficaz, en este caso en particular
para que la cuerda se mantenga lo más próxima a la vertical.
BIBLIOGRAFÍA
[1] K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna, Pearson Educación, Tercera edición,
1998, pp. 58, 59,60, 85.
[2] "Sistemas de Control", Febrero 2015. [Online] Available:
http://www.tecnologiatecnica.com.ar/sistemadecontrol/index%20sistemasdecontrol_a
rchivos/Page268.htm