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Klaus Rohe, 85625 Glonn, Email: klaus-rohe@t-online.de 19.08.2023
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Spiegelungen an einer Geraden in der Ebene
Zusammenfassung
Es wird eine explizite Formel hergeleitet, wie man die Koordinaten des Bildpunktes erhält, wenn man
einen Punkt an der Geraden 𝒚 = 𝒎 ∗ 𝒙 + 𝒃 spiegelt. Im zweiten Teil werden diese Gleichungen
verwendet, um eine explizite Formel für die Gerade zu erhalten, die man erhält, wenn man die
Gerade 𝒚 = 𝒏 ∗ 𝒙 + 𝒄 an der Geraden 𝒚 = 𝒎 ∗ 𝒙 + 𝒃 spiegelt. Die Sonderfälle, dass die zu
spiegelnden Geraden parallel zur x- bzw. y-Achse liegen, werden ebenfalls berücksichtigt. Der
Sonderfall der zur y-Achse parallelen Geraden wird auf die Tangenten der Parabel 𝒚 = 𝒂 ∗ 𝒙𝟐
angewendet und es wird gezeigt, dass diese sich alle im Brennpunkt schneiden. Die bei den
Berechnungen auftretenden etwas komplexen algebraischen Ausdrücke werden mit Hilfe der Python-
Bibliothek SymPy vereinfacht. Der Anhang enthält Grafiken zu den behandelten Themen, die mit der
Python-Bibliothek Matplotlib erstellt wurden.
Abstract
An explicit formula is derived for obtaining the coordinates of the image point when a point is
mirrored on the line 𝒚 = 𝒎 ∗ 𝒙 + 𝒃. In the second part, these equations are used to obtain an explicit
formula for the line obtained by mirroring the line 𝒚 = 𝒏 ∗ 𝒙 + 𝒄 on the line 𝒚 = 𝒎 ∗ 𝒙 + 𝒃. The
special cases where the lines to be mirrored are parallel to the x or y axis are also considered. The
special case of straight lines parallel to the y-axis is applied to the tangents of the parabola 𝒚 = 𝒂 ∗ 𝒙𝟐
and it is shown that they all intersect at the focal point. The somewhat complex algebraic expressions
involved in the calculations are simplified using the Python library SymPy. The appendix contains
graphics on the topics covered, created using the Python library Matplotlib.

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Punktspiegelung an einer Geraden
Abbildung 1
Der Punkt 𝑷 (𝒑, 𝒒) soll an der Geraden 𝒈 gespiegelt werden. Der Bildpunkt 𝑷′ (𝒓, 𝒔) liegt dann auf
der Geraden 𝒈′
durch 𝑷, die senkrecht zu 𝒈 ist. Nach der Punkt-Steigungs-Formel hat sie die
Gleichung:
𝒈′
: 𝒚 − 𝒒 = −
𝟏
𝒎
∗ (𝒙 − 𝒑).
Wegen der Zweipunkteform gilt für außerdem:
𝒈′
: 𝒚 − 𝒒 =
𝒔 − 𝒒
𝒓 − 𝒑
∗ (𝒙 − 𝒑) ⇒
(𝟏) −
𝟏
𝒎
=
𝒔 − 𝒒
𝒓 − 𝒑
.
Da der Punkt 𝑴 auch auf der Geraden 𝒈 liegt, gilt:
𝒒 + 𝒔
𝟐
= 𝒎 ∗
𝒑 + 𝒓
𝟐
+ 𝒃 ⇒
(𝟐) 𝒒 + 𝒔 = 𝒎 ∗ (𝒑 + 𝒓) + 𝟐 ∗ 𝒃.
Wir haben nun zwei Gleichungen um 𝒓 und 𝒔 zu finden.
(𝟏) ⇒ 𝒑 − 𝒓 + 𝒎 ∗ (𝒒 − 𝒔) = 𝟎
(𝟐) ⇒ 𝒒 + 𝒔 − 𝒎 ∗ (𝒑 + 𝒓) − 𝟐 ∗ 𝒃 = 𝟎

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Auflösen des Gleichungssystems mit SymPy und JupyterLab ergibt:
Abbildung 2
Die Ausdrücke für 𝒓 und 𝒔 kann man noch umformen, sodass sich folgendes ergibt:
𝒓 =
𝟏
𝟏 + 𝒎𝟐
∗ [𝒑 ∗ (𝟏 − 𝒎𝟐) + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝒒 − 𝒃)]
𝒔 =
𝟏
𝟏 + 𝒎𝟐
∗ [𝒒 ∗ (𝒎𝟐
− 𝟏) + 𝟐 ∗ (𝒃 + 𝒎 ∗ 𝒑)].
Diese Gleichungen kann man auch in Vektor-/Matrixform schreiben:
(
𝒓
𝒔
) =
𝟏
𝟏+𝒎𝟐 ∗ [(𝟏 − 𝒎𝟐
𝟐 ∗ 𝒎
𝟐 ∗ 𝒎 𝒎𝟐
− 𝟏
) ∗ (
𝒑
𝒒) + (
−𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒃
𝟐 ∗ 𝒃
)] ⇒
(
𝒓
𝒔
) =
𝟏
𝟏+𝒎𝟐 ∗ [(𝟏 − 𝒎𝟐
𝟐 ∗ 𝒎
𝟐 ∗ 𝒎 𝒎𝟐
− 𝟏
) ∗ (
𝒑
𝒒) + 𝟐 ∗ 𝒃 ∗ (
−𝒎
𝟏
)].
Ein Punkt 𝑷 mit den Koordinaten (𝒙𝑷, 𝒚𝒑) wird an der Geraden 𝒚 = 𝒎 ∗ 𝒙 + 𝒃
gespiegelt, die Koordinaten des Bildpunktes 𝑷𝑹 (𝒙𝑹, 𝒚𝑹) ergeben sich dann als
(𝑰) 𝒙𝑹 =
𝟏
𝟏 + 𝒎𝟐
∗ [𝒙𝑷 ∗ (𝟏 − 𝒎𝟐) + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝒚𝒑 − 𝒃)]
(𝑰𝑰) 𝒚𝑹 =
𝟏
𝟏 + 𝒎𝟐
∗ [𝒚𝒑 ∗ (𝒎𝟐
− 𝟏) + 𝟐 ∗ (𝒃 + 𝒎 ∗ 𝒙𝑷)]

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oder
(𝑰𝑰𝑰) (
𝒙𝑹
𝒚𝑹
) =
𝟏
𝟏+𝒎𝟐 ∗ [(𝟏 − 𝒎𝟐
𝟐 ∗ 𝒎
𝟐 ∗ 𝒎 𝒎𝟐
− 𝟏
) ∗ (
𝒙𝑷
𝒚𝒑
) + 𝟐 ∗ 𝒃 ∗ (
−𝒎
𝟏
)].
Spiegelung einer Geraden an einer Geraden
Abbildung 3
Die im vorherigen Abschnitt hergeleiteten Formeln beinhalten schon die Möglichkeiten, die Gleichung
einer Geraden zu berechnen, die an einer anderen gespiegelt/reflektiert wird. Betrachtet man dazu
Abbildung 2, in der die Gerade 𝒈𝟏 an der Geraden 𝒈 gespiegelt wird, Ergebnis soll die Gleichung der
Geraden 𝒈𝒓: 𝒚 = 𝒎𝒓 ∗ 𝒙 + 𝒃𝒓 sein. Wir müssen also 𝒎𝒓 und 𝒃𝒓 berechnen. Zuerst wird der
Schnittpunkt 𝑺: (𝐱𝐬, 𝐲𝐬) der 𝒈𝟏 mit 𝒈 berechnet, durch den auch 𝒈𝒓 verläuft:
𝑺: (𝐱𝐬 =
𝒃 − 𝒄
𝒏 − 𝒎
, 𝒚𝒔 =
𝒃 ∗ 𝒏 − 𝒎 ∗ 𝒄
𝒏 − 𝒎
)
Wir benötigen noch einen zweiten Punkt um die Gleichung von 𝒈𝒓 zu berechnen. Diesen erhalten wir,
in dem wird den Schnittpunkt von 𝒈𝟏 mit der y-Achse (𝟎, 𝒄) an 𝒈 spiegeln. Es ergibt sich der Punkt
𝑷𝒓mit den Koordinaten (𝐱𝐫, 𝐲𝐫), die man durch Einsetzen von 𝒙𝑷 = 𝟎 und 𝒚𝑷 = 𝒄 in die Gleichungen
(𝑰) und (𝑰𝑰) des vorherigen Kapitels erhält:
𝐱𝐫 =
𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝒄 − 𝒃)
𝟏 + 𝒎𝟐

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𝐲𝐫 =
𝒄 ∗ (𝒎𝟐
− 𝟏) + 𝟐 ∗ 𝒃 ∗ 𝒎
𝟏 + 𝒎𝟐
.
Die Gleichung für 𝒈𝒓 erhalten wir aus (𝐱𝐬, 𝐲𝐬) und (𝐱𝐫, 𝐲𝐫) aus der Zweipunkteform:
𝒚 =
𝐲𝐬 − 𝐲𝐫
𝐱𝐬 − 𝐱𝐫
∗ (𝒙 − 𝐱𝐫) + 𝐲𝐫.
Einsetzen der Ausdrücke von 𝐱𝐬, 𝐲𝐬, 𝐱𝐫 und 𝐲𝐫 ergibt:
𝒈𝒓: 𝒚 =
𝒃 ∗ 𝒏 − 𝒎 ∗ 𝒄
𝒏 − 𝒎
−
𝒄 ∗ (𝒎𝟐
− 𝟏) + 𝟐 ∗ 𝒃 ∗ 𝒎
𝟏 + 𝒎𝟐
𝒃 − 𝒄
𝒏 − 𝒎
−
𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝒄 − 𝒃)
𝟏 + 𝒎𝟐
∗ [𝒙 −
𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝒄 − 𝒃)
𝟏 + 𝒎𝟐
]
+
𝒄 ∗ (𝒎𝟐
− 𝟏) + 𝟐 ∗ 𝒃 ∗ 𝒎
𝟏 + 𝒎𝟐
Wir benutzen wieder SymPy und JupyterLab um diesen Ausdruck zu vereinfachen. Das Ergebnis ist in
den Abbildungen 4 und 5 zu sehen.
Abbildung 4

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Abbildung 5
Die Gleichung welche SymPy für 𝒈𝒓 berechnet ist:
𝒈𝒓: 𝒚 = −
(𝒎𝟐
∗ 𝒏 + 𝟐 ∗ 𝒎 − 𝒏) ∗ 𝒙 − 𝒄 − 𝒄 ∗ 𝒎𝟐
+ 𝟐 ∗ 𝒃 + 𝟐 ∗ 𝒃 ∗ 𝒎 ∗ 𝒏
𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 ∗ 𝒏 − 𝟏
.
Diese Gleichung kann man umschreiben:
(𝑰𝑽) 𝒈𝒓: 𝒚 =
𝒏 − 𝒎𝟐
∗ 𝒏 − 𝟐 ∗ 𝒎
𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 ∗ 𝒏 − 𝟏
∗ 𝒙 +
𝒄 ∗ (𝒎𝟐
+ 𝟏) − 𝟐 ∗ 𝒃 ∗ (𝒎 ∗ 𝒏 + 𝟏)
𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 ∗ 𝒏 − 𝟏
.
Schreibt man 𝒈𝒓: 𝒚 = 𝒎𝒓 ∗ 𝒙 + 𝒃𝒓 dann ist:
𝒎𝒓 =
𝒏 − 𝒎𝟐
∗ 𝒏 − 𝟐 ∗ 𝒎
𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 ∗ 𝒏 − 𝟏
und 𝒃𝒓 =
𝒄 ∗ (𝒎𝟐
+ 𝟏) − 𝟐 ∗ 𝒃 ∗ (𝒎 ∗ 𝒏 + 𝟏)
𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 ∗ 𝒏 − 𝟏
.
Reflektion einer Geraden, die parallel zur x-Achse ist.
Die Gerade 𝒈𝟏 hat die Gleichung 𝒚 = 𝟎 ∗ 𝒙 + 𝒄, also 𝒏 = 𝟎. Die Gleichung (𝑰𝑽) wird dann zu:
𝒚 = 𝟐 ∗
𝒎
𝟏 − 𝒎𝟐
∗ 𝒙 +
𝟐 ∗ 𝒃
𝟏 − 𝒎𝟐
.
Reflektion einer Geraden, die parallel zur x-Achse ist.
In diesem Fall ist 𝒏 = ∞. Die Gerade 𝒈𝟏 hat dann die Gleichung 𝒙 = 𝒅. Der Schnittpunkt dieser
Geraden mit der Geraden 𝒈: 𝒚 = 𝒎 ∗ 𝒙 + 𝒃 ist:
𝑺: (𝐱𝐬 = 𝒅, 𝒚𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒅 + 𝒃).
Wir spiegeln den Punk (𝒅, 𝟎) an der Geraden 𝒈 und erhalten mit den (𝑰) und (𝑰𝑰) des vorherigen
Kapitels:
𝒙𝒓 =
𝟏
𝟏 + 𝒎𝟐
∗ [𝒅 ∗ (𝟏 − 𝒎𝟐) − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒃]

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𝒚𝒓 =
𝟐 ∗ (𝒃 + 𝒎 ∗ 𝒅)
𝟏 + 𝒎𝟐
Die Gleichung für 𝒈𝒓 erhalten wir aus (𝐱𝐬, 𝐲𝐬) und (𝐱𝐫, 𝐲𝐫) aus der Zweipunkteform:
𝒚 =
𝐲𝐬 − 𝐲𝐫
𝐱𝐬 − 𝐱𝐫
∗ (𝒙 − 𝐱𝐫) + 𝐲𝐫.
Einsetzen der Ausdrücke von 𝐱𝐬, 𝐲𝐬, 𝐱𝐫 und 𝐲𝐫 ergibt:
𝒚 =
𝒎 ∗ 𝒅 + 𝒃 −
𝟐 ∗ (𝒃 + 𝒎 ∗ 𝒅)
𝟏 + 𝒎𝟐
𝐝 −
𝟏
𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ [𝒅 ∗ (𝟏 − 𝒎𝟐) − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒃]𝐫
∗ {𝒙 −
𝟏
𝟏 + 𝒎𝟐
∗ [𝒅 ∗ (𝟏 − 𝒎𝟐) − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒃]}
+
𝟐 ∗ (𝒃 + 𝒎 ∗ 𝒅)
𝟏 + 𝒎𝟐
Wieder verwenden SymPy und JupyterLab, um diesen Ausdruck zu vereinfachen. Das Ergebnis ist in
den Abbildungen 6 zu sehen.
Abbildung 6
Die Gleichung welche SymPy für 𝒈𝒓 berechnet ist:
𝒈𝒓: 𝒚 =
𝟐 ∗ 𝒃 ∗ 𝒎 + 𝒅 ∗ 𝒎𝟐
+ 𝒅 + 𝒙 ∗ (𝒎𝟐
− 𝟏)
𝟐 ∗ 𝒎
Etwas umgeformt ergibt sich:

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(𝑽) 𝒈𝒓: 𝒚 =
𝒎𝟐
− 𝟏
𝟐 ∗ 𝒎
∗ 𝒙 +
𝟐 ∗ 𝒃 ∗ 𝒎 + 𝒅 ∗ (𝒎𝟐
+ 𝟏)
𝟐 ∗ 𝒎
.
Eine Anwendung auf die Parabel 𝒚(𝒙) = 𝒂 ∗ 𝒙𝟐
Die Tangente an die Parabel 𝒚(𝒙) = 𝒂 ∗ 𝒙𝟐
im Punkt (𝒅, 𝒂 ∗ 𝒅𝟐)hat die Gleichung:
𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅 ∗ 𝒙 − 𝒂 ∗ 𝒅𝟐
, also 𝒎 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅 und 𝒃 = −𝒂 ∗ 𝒅𝟐
.
Setzt man die Ausdrücke für 𝒎 und 𝒃 in Gleichung (𝑽) ein, so erhalt man für die im Punkt (𝒅, 𝒂 ∗ 𝒅𝟐)
and der Tangente reflektierte Geraden die folgende Gleichung:
𝒚 =
(𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅)𝟐
− 𝟏
𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅
∗ 𝒙 +
−𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅𝟐
∗ 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅 + 𝒅 ∗ [(𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅)𝟐
+ 𝟏]
𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅
⇒
𝒚 =
𝟒 ∗ 𝒂𝟐
∗ 𝒅𝟐
− 𝟏
𝟒 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅
∗ 𝒙 +
−𝟒 ∗ 𝒂𝟐
∗ 𝒅𝟐
+ (𝟒 ∗ 𝒂𝟐
∗ 𝒅𝟐
+ 𝟏)
𝟒 ∗ 𝒂
⇒
𝒚 =
𝟒 ∗ 𝒂𝟐
∗ 𝒅𝟐
− 𝟏
𝟒 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅
∗ 𝒙 +
𝟏
𝟒 ∗ 𝒂
.
Diese Geraden schneiden die y-Achse (𝒙 = 𝟎) alle im Punkt (𝟎,
𝟏
𝟒∗𝒂
), welches der Brennpunkt (Fokus)
der Parabel 𝒚(𝒙) = 𝒂 ∗ 𝒙𝟐
ist, also folgt:
𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑧𝑢𝑟 𝒚 − 𝐴𝑐ℎ𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑒𝑛 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑡 𝑑𝑒𝑟 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔 𝒙 = 𝒅
𝑠𝑐ℎ𝑛𝑒𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑐ℎ 𝑖𝑚 𝐵𝑟𝑒𝑛𝑛𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 (𝟎,
𝟏
𝟒 ∗ 𝒂
) . 𝐷𝑖𝑒𝑠 𝑏𝑒𝑑𝑒𝑢𝑡𝑒𝑡, 𝑑𝑎𝑠𝑠 𝑎𝑐ℎ𝑠𝑒𝑛𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑒
𝑆𝑡𝑟𝑎ℎ𝑙𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑖 𝑑𝑒𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑛 𝐵𝑟𝑒𝑛𝑛𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑘𝑡𝑖𝑒𝑟𝑡 𝑤𝑒𝑟𝑑𝑒𝑛.

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Anhang: Mit Matplotlib produzierte Grafiken zu den behandelten
Themen

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