Die Theorie der mathematischen Billards behandelt die Gesetze der elastischen Reflexion und die Eigenschaften von Billardwegen in geometrischen Formen wie dem Kreis und der Ellipse. Der Autor, J.G. Sinaj, erläutert die mathematischen Aspekte dieser Phänomene und deren Anwendungen, einschließlich der Hypothese zur Beleuchtung nicht konvexer Flächen. Neben diesen theoretischen Grundlagen wird auch eine praktische Problemstellung zur Wassermessung mit Behältern behandelt.

1. Die Theorie der mathematischen
Billards und die mathematische
Theorie des Billards

2. Die Gesetze des
Billards
Das Gesetz der elastischen Reflexion
Der Winkel des Fallens ist dem Winkel der Reflexion gleich
Das Gesetz
des
elastischen
6 Stoßes
6
90°
Bei dem nicht zentralen Stoß sind die Bahnen der Kugeln immer senkrecht

3. Die Beispiele der
Billards
Die Theorie der mathematischen Billards (TMB) ist eine der jüngsten Richtungen der
Mathematik (1970). Ihr Autor ist J. G. Sinaj – heutzutage Professor der Prinstonski
Universität, der Enkel des Gründers der Russischen Schule der Differentialgeometrie
W. F. Kagan

4. Das Billard im Kreis
α
m
α = 2π
n
Kriteriale Gleichung
Am meisten studiert ist das Billard im Kreis

5. Das Billard in der
Ellipse
F1 M + MF2 = const
Über viele interessante Eigenschaften verfügt das Billard in der Ellipse

6. Die erste
Billardeigenschaft der
Ellipse
n
M
m F2
F1
∠mMF1 = ∠nMF2
Wenn die Bahn der Kugel durch einen Fokus geht, verläuft sie auch durch
den zweiten Fokus der Ellipse

7. Die scheinbare
Sonne
Der elliptische Spiegel
Die Sonne
Die scheinbare Sonne
Der Beobachter auf der Erde
Wenn sich die Sonne im Fokus des elliptischen Spiegels befindet, so wird der
Beobachter von der Erde zwei Sonnen sehen: eine reale und eine scheinbare

8. Die Effekte der ersten
Billardeigenschaft der Ellipse
М
B
А

9. Die zweite
Billardeigenschaft der
Ellipse
ε
Wenn die Bahn der Kugel durch den Fokus den geht, so werden die
nachfolgenden Glieder der Bahn asymptotisch nach der großen Achse
der Ellipse streben

10. Die dritte
Billardeigenschaft der
Ellipse
Kaustik
Die Bahnen der Kugeln in der Ellipse betreffen entweder die konfokale
Ellipse, oder den konfokalen Hyperbel

11. Die Konstante der
Kaustik
a
x b
z
y c
d
a + b + y + z = c + d + z + x = const

12. Die Aufgabe über die
Beleuchtung des nicht
konvexen Gebietes
Die Aufgabe über die Beleuchtung des nicht konvexen Gebietes ist
TMB eng verbunden

13. Die Hypothese : jedes nicht
konvexe Polygon kann man
von einer willkürlichen
Quelle beleuchten
Der genaue Beweis dieser Hypothese ist noch nicht geschaffen

14. « Das Telefon »
Rohr
Rohr
Hörermuschel
Grübchen
Rohr
Gebiet
Um das Gebiet zu beleuchten, das aus 2N Telefone bestehet, wird 2N
Lämpchen nicht genug

15. Das Gesetz der gleitenden
Anziehung
Das Gebiet
der
Anziehung
Das Gesetz der elastischen Reflexion wird mit dem Gesetz der
gleitenden Anziehung ersetzt. Jedes Glied der Bahn der Kugel soll das
Gebiet der Anziehung betreffen

16. Kriteriale Gleichung
eines Dreieckes
d + R = ( R1 − R2 )
2 2 2
2
S
R1 − R2
R2
d
Wenn im Billard des Kreises das Gebiet der Anziehung auch ein Kreis
ist und existiert eine dreigliedrige geschlossene Bahn, so wird jede
andere Bahn auch dreigliedrig und geschlossen sein

17. Kriteriale Gleichung
eines Viereckes
1 1 1
+ = 2
( r1 + d ) ( r1 − d ) r2
2 2
( ) ( )
d 4 − 2 r12 + r22 d 2 + r12 r12 − 2r22 = 0
Die Zentren der Gebiete der Anziehung der dreigliedrigen und
viergliedrigen Bahnen stimmen überein

18. Das Kriterium der
Konzentrizität
2
R1 R
r =
2
2 2
R1 − R2
d = const
R1 = r1

19. Das « goldene »
Kriterium der
Konzentrizität
√Ф
Ф
Ф² Ф 1
1
Ф²
1
√Ф
d = r2
Wenn das Zentrum des Billards dem viergliedrigen Kreis der Anziehung
gehört, dann werden die Beziehungen der Radien „golden“

20. Die Aufgabe über zwei
7
Behälter
0 11
Mit Hilfe der TMB werden die Aufgaben für das Umgießen anschaulich
gelöst. Hier nehmen die Behälter 7 und 11 – Liter teil. Man muss zwei Liter
abmessen. Das Wasser kann man aus dem großen Fass schöpfen. Das
Wasser kann man auch in dieses Fass ausgießen.

21. Die geometrische Theorie
des Visiers
Der Kreis des
Visiers
R = 2r
r
А
R
Der Punkt des
Visiers
Der Punkt A ist ein verbreiteter Fehler. Mit der seltenen Ausnahme kann sie kein
Punkt des Visiers sein.

22. « Fremd » - « Eigen »
Die Punkte des Visiers

23. Das Double
« Fremd » - « Eigen »
Abprallers
Der Punkt des
Die scheinbare Kugel (Spiegelbild von Bord) und der Kreis des Visiers sind mit
punktierter Linie dargestellt.

24. Abrikol
« Fremd » -
« Eigen »

25. Karambol
« Fremd » -
« Eigen »

26. Die Meisterschaft im Billard
in Nigeria