Das Dokument behandelt geordnete Paare und Abbildungen in der Mathematik, wobei jede Abbildung das Konzept hat, dass jedes Element einer Urbildmenge genau einen Partner in der Wertemenge hat. Es werden verschiedene Arten von Abbildungen beschrieben, einschließlich injektiver, surjektiver und bijektiver Abbildungen, sowie Beispiele zur Veranschaulichung. Zusätzlich werden die Konzepte von Urbild und Bild in Bezug auf mathematische Funktionen erläutert.

1. Geordnete Paare
Abbildungen

2. Geordnete Paare
• Ein geordnetes Paar ist eine Gruppe zweier
Elemente für die gilt:
• Wenn x!=y dann (x,y) != (y,x)

3. Zahlenmengen
N: Menge der natürlichen Zahlen >= 0 (DIN 5473)
N:= {0,1,2,3,....}
Z: Menge der ganzen Zahlen
Z:= {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Q: Menge der rationalen Zahlen
Q:= {p/q | p e Z, q e N{0}}
R: Menge der reellen Zahlen. Nicht notwendig abbrechende Dezimalbrüche
2Z:={...,-4,-2,2,4,6,8,10,12,...}

4. Abbildungen
• Jedes Element einer Urbildmenge (Links) hat
einen Partner in einer Wertemenge (Rechts)
• Nicht jedes Element in der Wertemenge
(Rechts) muss umgekehrt einen Partner in der
Urbildmenge (Links) haben

5. Abbildungen
Wann besteht eine Abbildung?
Jedes Element eines Urbildes hat einen Partner in der Wertemenge
Injektion (nur einen oder keinen)
Die Elemente der Wertemenge haben verschiedene Partner im Urbild. Nicht alle müssen einen haben.
x != y => f(x) != f(y)
Nicht injektiv: Wenn es mindestens ein Element in der Wertemenge gibt das mehr als einen Partner im Urbild hat
Assoziation: (In->Individuell jedes Element)
Surjektion (alle haben einen oder mehr)
Jedes Element im Wertebereich hat mindestens einen Partner im Urbild. Es kann auch mehr als einen haben.
Nicht surjektiv: Wenn mindestens ein Element im Wertebereich keinen Partner im Urbild hat
Assoziation: (Sur->Über Alle)
Bijektion
Eine Abbildung ist sowohl surjektiv als auch injektiv

6. Urbild und Bild
Urbild
M
Wertemenge
N

7. (x , y)

8. f(x)=x+1

9. f(x)=y

10. (x , f(x))

11. x y = (x+1) = f(x)

12. Beispiel
Urbild(k) f(k)=2k Bild(2k)
-4 ---------------> -8 nicht in N
-3 ---------------> -6 nicht in N
-2 ---------------> -4 nicht in N
-1 ---------------> -2 nicht in N
0 ---------------> 0 N
1 ---------------> 2 N
2 ---------------> 4 N
3 ---------------> 6 N
4 ---------------> 8 N
Dies ist keine Abbildung da nicht alle Elemente des Urbildes einen Partner in N haben.
Z->N, f(k) = 2k

13. Beispiel
Urbild(k) f(k)=2k Bild(2k) In Z aber nicht im Bild
-4 ---------------> -8 -9
-3 ---------------> -6 -7
-2 ---------------> -4 -5
-1 ---------------> -2 -3
0 ---------------> 0 1
1 ---------------> 2 3
2 ---------------> 4 5
3 ---------------> 6 7
4 ---------------> 8 9
Die Abbildung ist injektiv da jedes Element im Urbild genau einen Partner im Bild hat.
Sie ist nicht surjektiv da nicht alle Elemente in Z im Bild liegen. Alle ungeraden Zahlen liegen nicht im Bild.
Z->Z, f(k) = 2k

14. Beispiel
Urbild(k) f(k)=2k Bild(2k)
-4 ---------------> -8
-3 ---------------> -6
-2 ---------------> -4
-1 ---------------> -2
0 ---------------> 0
1 ---------------> 2
2 ---------------> 4
3 ---------------> 6
4 ---------------> 8
Die Abbildung ist injektiv da jedes Element im Urbild genau einen Partner im Bild hat.
Sie ist surjektiv da alle Elemente in 2Z im Bild liegen.
Z->2Z, f(k) = 2k

15. Beispiel
Urbild(k) f(k)=1/2k Bild(1/2k)
-4 ---------------> -2
-3 ---------------> -1,5 Nicht in Z
-2 ---------------> -1
-1 ---------------> -0,5 Nicht in Z
0 ---------------> 0
1 ---------------> 0,5 Nicht in Z
2 ---------------> 1
3 ---------------> 1,5 Nicht in Z
4 ---------------> 2
Dies ist keine Abbildung da nicht alle Elemente im Urbild ein Element im Bild haben. Alle ungeraden Zahlen haben keinen Partner im Bild.
Z->Z, f(k) = 1/2k

16. Beispiel
Urbild(k) f(k)=1/2k Bild(1/2k)
-4 ---------------> -2
-2 ---------------> -1
0 ---------------> 0
2 ---------------> 1
4 ---------------> 2
Die Abbildung ist injektiv da jedes Element im Urbild genau einen Partner im Bild hat.
Sie ist auch surjektiv da alle Elemente in Z im Bild liegen.
2Z->Z, f(k) = 1/2k