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- 1. COUNT STUDY PROJECT
- 2. COUNT STUDY PROJECT If we do not want to believe that ideas are innate or Godgiven, but the result of subjective thinkers' conceptual activity, we have to devise a model of how elementary mathematical ideas could be constructed – and such a model will be plausible only if the raw material it uses is itself not mathematical. (Glasersfeld, 64)
- 3. COUNT STUDY PROJECT “mathematics deals with ideas. Not pencil marks or chalk marks, not physical tirangles or physical sets, but ideas (which may be represented or suggested by physical objects” (Hersh, in Glasersfeld, 64) Ideen gründen auf Erfahrung/Erleben → Wie entstehen Ideen aus Erfahrung ?
- 4. COUNT STUDY PROJECT prä numerisch
- 5. Zahlkonzept COUNT STUDY PROJECT prä numerisch
- 6. Zahlkonzept COUNT STUDY PROJECT Ausgangssituation early arithmetic (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS prä numerisch
- 7. Zahlkonzept COUNT STUDY PROJECT Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung distributing oneone correspondence turntaking tagging alignment prä numerisch
- 8. Zahlkonzept COUNT STUDY PROJECT Operationale Linking Verknüpfung metaphors Conceptual Symbolizing Blending Reflektierende Abtraktion Operationen (abstrahierende) psychologische und mathematische Ideen prä numerisch
- 9. Anschauung Zahlkonzept COUNT Verfahren STUDY PROJECT Produktivität Systematitzität Kompositionalität Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst” prä numerisch
- 10. Anschauung Zahlkonzept COUNT Verfahren STUDY PROJECT Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing oneone Abtraktion correspondence early arithmetic turntaking (relation/subit.) Vielheit subitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä numerisch
- 11. COUNT STUDY PROJECT Diese (erste) Übersicht ist einerseits chronologisch motiviert, was ● aber der Diskussion bedarf ● Stichwort “Horizontale Decalage” ● was entsteht nacheinander / oder auch zeitgleich? nicht erschöpfend ●
- 12. COUNT STUDY PROJECT Leitfragen ● ● Wie wird Zahl kognitiv benutzt (über die ganze Spanne der verschiedenen Stadien)? ● Welche Vorgänge legen Umgang mit und Erlernen von Zahlen nahe? ● Spielwelten / “echte” Welten ● Was wird gezählt ? (konkrete Objekte; Akte; Repräsentationen) ● Verbindung “early numerosity” und “ voll entwickelter Zahlbegriff” ● diese scheint nicht kontinuierlich zu sein ● Was ist “Verstehen” ? ● Kulturbedingte Unterschiede ?
- 13. COUNT STUDY PROJECT Ansatz ● ● Primat der Ordinalität ● (wie Brainerd, Dedekind) ● Kardinaliät folgt erst aus Ordinalität ● SchemaBegriff als Grundkonstrukt der Handlung und Repräsentation
- 14. early arithmetic Ausgangssituation (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS GLASERSFELD, STEFFE prä Einheit numerisch
- 15. “The first task, then, is the distinction of individually discrete “things” in our experiential field. To normal adult humans, who are experienced managers of a more or less familiar environment, it may seem absurd to suggest that the segmentation of their experiential world into discrete things should not be an ontological given.” (Glasersfeld p.64) early arithmetic Ausgangssituation (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS GLASERSFELD, STEFFE prä Einheit numerisch
- 16. “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily objects of various kinds. Out of the multitude of our sense experiences we take, mentally and arbitrarily, certain repeatedly occurring complexes of sense impressions (partly in conjunction with sense impressions which are interpreted as signs for sense experiences of others), and we correlate to them a concept – the concept of the bodily object. Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions referred to; but it is a free creation of the early arithmetic human (or animal) mind.” (relation/subit.) (A. Einstein in Glasersfeld, p64) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Objektidentität Einheit SNWS PIAGET, GLASERSFELD prä numerisch
- 17. “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring who are experienced managers of a more complexes of sense impressions (partly in or less familiar environment, it may seem conjunction with sense impressions which absurd to suggest that the segmentation are interpreted as signs for sense experiences of their experiential world into discrete of others), and we correlate to them a things should not bean ontological given.” concept – the concept of the bodily object. Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions “Husserl referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” proposed that the mental operation that unites different sense impressions into the concept of a “thing” is similar to the operation that unites abstract units into the concept of a number.” (Glasersfeld, p.65) early arithmetic (relation/subit.) Vielheit Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS GLASERSFELD, STEFFE prä numerisch
- 18. “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring who are experienced managers of a more Husserl complexes of sense impressions (partly in or less familiar environment, it may seem proposed that the mental operation that conjunction with sense impressions which absurd to suggest that the segmentation unites different sense impressions into the are interpreted as signs for sense experiences of their experiential world into discrete concept of a “thing” is similar to the operation of others), and we correlate to them a things should not bean ontological given.” that unites abstract units into the concept of a concept – the concept of the bodily object. number Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions Brouwer (1949) proposed that the referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” perceiving subject’s selfdirected attention “performs identifications of different sensations and of different complexes of sensations, and in this way, in a dawning atmosphere of forethought, creates iterative complexes of sensations” (in Glasersfeld, p. 65) early arithmetic (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Objektpermanenz Einheit SNWS PIAGET, GLASERSFELD prä numerisch
- 19. “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily Brouwer (1949) proposed that the “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude perceiving subject’s selfdirected individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally attention “performs identifications experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring of different sensations and of different who are experienced managers of a more Husserl complexes of sense impressions (partly in complexes of sensations, and in this way, or less familiar environment, it may seemproposed that the mental operation that conjunction with sense impressions which in a dawning atmosphere of forethought, absurd to suggest that the segmentation unites different sense impressions into the creates are interpreted as signs for sense experiences of their experiential world into discrete concept of a “thing” is similar to the operation iterative complexes of sensations” of others), and we correlate to them a things should not bean ontological given.” that unites abstract units into the concept of a concept – the concept of the bodily object. number Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” early arithmetic (relation/subit.) Vielheit subitzing subitzing Objektidentität Objektpermanenz ULLER, WYNN, MARAMSSE, STARKEY, prä Einheit SNWS ANSARI, GEARY, STRAUSS/CURTIS numerisch
- 20. “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily Brouwer (1949) proposed that the “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude perceiving subject’s selfdirected individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally attention “performs identifications experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring of different sensations and of different who are experienced managers of a more Husserl complexes of sensations, and in this way, complexes of sense impressions (partly in or less familiar environment, it may seemproposed that the mental operation that conjunction with sense impressions which in a dawning atmosphere of forethought, absurd to suggest that the segmentation unites different sense impressions into the creates are interpreted as signs for sense experiences of their experiential world into discrete concept of a “thing” is similar to the operation iterative complexes of sensations” of others), and we correlate to them a things should not bean ontological given.” that unites abstract units into the concept of a concept – the concept of the bodily object. number Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” early arithmetic early arithmetic (relation/subit.) (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz ULLER, WYNN, MARAMSSE, STARKEY, prä Einheit SNWS ANSARI, GEARY, STRAUSS/CURTIS numerisch
- 21. “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily Brouwer (1949) proposed that the “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude perceiving subject’s selfdirected individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally attention “performs identifications experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring of different sensations and of different who are experienced managers of a more Husserl complexes of sensations, and in this way, complexes of sense impressions (partly in or less familiar environment, it may seemproposed that the mental operation that conjunction with sense impressions which in a dawning atmosphere of forethought, absurd to suggest that the segmentation unites different sense impressions into the creates are interpreted as signs for sense experiences of their experiential world into discrete concept of a “thing” is similar to the operation iterative complexes of sensations” of others), and we correlate to them a things should not bean ontological given.” that unites abstract units into the concept of a concept – the concept of the bodily object. number Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” early arithmetic (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS STEFFE/GLASERSFELD, MARMASSE prä SNWS numerisch
- 22. Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing oneone Abtraktion correspondence early arithmetic turntaking (relation/subit.) Vielheit subitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä numerisch
- 23. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung distributing oneone correspondence turntaking tagging alignment
- 24. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata sensomotorSchemata (zB. Kelly Mix) werden in direkter Interaktion mit der Umwelt gebildet können nicht eigenständig von dieser ablaufen Erhaltung sind das Grundmaterial für Abstraktionen distributing oneone distributing correspondence turntaking turntaking tagging tagging alignment alignment MIX „The construction of number concepts“
- 25. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata "From action to abstraction" ● Was ist die Erfahrungsgrundlage mathematischer Konzepte? ● nicht Dinge ● sondern Handlungen Erhaltung ● Warum? oneone ● Dinge entsprechen mathematischen Definitionen correspondence nicht. ● Punkt und Linie haben keine Ausdehnung ● Eine Linie wird aufs Papier gezeichnet. Was ist die Linie? ● der Strich auf dem Papier ? ● das Ziehen der Hand ? GLASERSFELD
- 26. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata "From action to abstraction" ● "I propose to think of "point" as the very center of the area in the focus of attention."(66) ● "What you have to focus on, of course, is not the Erhaltung wire, nor the space it leaves, but the movements, beause in movement we feel direction but no lateral oneone extension."(66) correspondence ● "To my mind, both these approaches are more adequate than merely saying that a point has no extension. They come closer to describing what one can do to arrive at the concept that has no sensory instantionation."(67) ● "The line, then, is a reflective abstraction from a GLASERSFELD uniform movement we make."(67)
- 27. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung distributing oneone correspondence turntaking tagging alignment GLASERSFELD
- 28. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung distributing oneone oneone correspondence correspondence turntaking tagging Objekte gegenüberstellen alignment z.B. SNWS Objekte mit der SNWS SNWS verbinden
- 29. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung verschiedster Art Masse, Volumen, Anzahl Ausgangspunkt für Multiplikation ? Operationale Operationale Verknüpfung Verknüpfung Erhaltung Erhaltung distributing oneone correspondence Park/Nunes untersuchen die Frage, ob Multiplikation auf der turntaking Grundlage ● wiederholter Addition tagging oder ● operationaler Verknüpfung entsteht alignment PIAGET PARK / NUNES
- 30. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata a second dimension ? a plane requires movements in two directions Operationale Operationale Verknüpfung Verknüpfung what's the experiential basis for the concept “plane” Erhaltung Erhaltung distributing oneone correspondence turntaking tagging alignment
- 31. Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing oneone Abtraktion correspondence early arithmetic turntaking (relation/subit.) Vielheit subitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä numerisch
- 32. Operationen (abstrahierende) psychologische und mathematische Ideen Operationale Linking Verknüpfung metaphors Conceptual Symbolizing Blending Reflektierende Reflektierende Abtraktion Abtraktion In short, I submit that the three elementary concepts of arithmetic – unit, set, and number – are abstractions, not from physical objects or other sensory material, but from mental operations that thinking subjects must carry out themselves. DUBINSKY, ARBIB, PIAGET
- 33. Operationale Linking Verknüpfung metaphors Removal from the sensorymotor level Conceptual Symbolizing requires Blending what Piaget has called "reflective abstraction," that is, Reflektierende Reflektierende Abtraktion in our terms, the focusing of attention not Abtraktion on sensorymotor signals but on the results or products of prior attentional operations. Something that has been constructed by means of an attentional pattern is now reprocessed and used as raw material for a new sequence of focused and unfocused pulses. DUBINSKY, ARBIB, PIAGET
- 34. Operationale Linking Verknüpfung metaphors In the case of the unitary items, this creates Removal from the sensorymotor level an abstract, or arithmetic unit, that, Conceptual Symbolizing requires in our view, represents Piaget's Blending what Piaget has called "reflective abstraction," "element stripped of its qualities" that is, (cf. the above quotation from Piaget, 1970). Reflektierende Reflektierende Abtraktion in our terms, the focusing of attention not The reprocessing of a unitary item does two things: Abtraktion on sensorymotor signals but on the results or It separates the attentional pattern products of prior attentional operations. (that created the unity) Something that has been constructed by means from whatever sensorymotor material it of an attentional pattern is now reprocessed contained and focuses an attentional pulse on it. and used as raw material In doing so, it creates a for a new sequence of focused and new unit that is again bounded by unfocused pulses. unfocused pulses. DUBINSKY, ARBIB, PIAGET
- 35. Operationale Linking Verknüpfung metaphors Conceptual Symbolizing Symbolizing Blending Reflektierende Abtraktion The fact is that number words have become symbols for us, and as such they symbolize the counting procedure that leads up to them, without our having to carry out that procedure or even having to think of it. GLASERSFELD
- 36. However, once patterns of mental operations have been abstracted, they become mathematical concepts through association with symbols that can “point” Operationale Linking to them without invoking their Verknüpfung metaphors actual execution. Conceptual Symbolizing Symbolizing Blending Reflektierende Abtraktion GLASERSFELD
- 37. Operationale Linking Linking Verknüpfung metaphors metaphors Conceptual Symbolizing Blending Reflektierende Abtraktion LAKOFF/NUNEZ
- 38. Operationale Linking Verknüpfung metaphors Conceptual Symbolizing Conceptual Blending Blending Reflektierende Abtraktion GOUGEN, FOUCAUNIER, GAERDENFOERS, SMAILL
- 39. Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing oneone Abtraktion correspondence early arithmetic turntaking (relation/subit.) Vielheit subitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä numerisch
- 40. Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität Systematitzität Kompositionalität Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 41. Anschauung O. WIENER Zahlkonzept Verfahren Verfahren Produktivität Systematitzität Ich habe etwas verstanden, Kompositionalität wenn ich weiß wie es sich verhält, und wie ich damit umgehen kann. O.WIENER: kognitive Repräsentation (der Zahl) besteht aus einer Sammlung von Verfahren, mit dieser umzugehen, und einer Parametrisierung (zB einer Lautfolge) Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 42. Anschauung GLASERSFELD Zahlkonzept Verfahren Verfahren Produktivität Systematitzität “mental operations abstracted from experience” (62) Kompositionalität Zählen mit Stellenwertsystem intensionaler Zahlbegriff Wortfolge wird nun systematisch generiert statt endlicher, auswendig gelernter Folge (SNWS) Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 43. Anschauung FODOR/PYLYSHYN Zahlkonzept Verfahren Produktivität Produktivität Systematitzität Produktivität: Systematitzität Es können unbeschränkt Repräsentationen generiert Kompositionalität Kompositionalität werden → Zählen ist nicht mehr auf eine endliche Menge von einzelnen “ZahlIndividuen” beschränkt. Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 44. Anschauung FODOR/PYLYSHYN Zahlkonzept Verfahren Produktivität Produktivität Systematizität: Systematitzität Repräsentationen sind nicht atomar Systematitzität “representations need an articulated internal structure” (Fodor/Pylyshyn 1988, 24) Kompositionalität Kompositionalität bei Zahlen ist dies der Vorgang des Zählens, und viele weitere Eigenschaften / Strukturen, die sich daraus ergeben “3 kommt vor 4” “4 kommt nach 3” “30 kommt vor 40” “40 kommt nach 30” Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 45. Anschauung FODOR/PYLYSHYN Zahlkonzept Verfahren Produktivität Produktivität Kompositionalität: Systematitzität Systematitzität zwei Zahlen zusammengenommen ergeben wieder eine Zahl Kompositionalität setzt Systematizität voraus Kompositionalität wenn man es weitertreibt, so kann man etwa Z verstehen als N(positiv) und N(negativ) → es lassen sich unterschiedlichste Konstrukte mit dem Zählen anfertigen (operationale Verknüpfung? “Fläche” Glasersfelds ?) Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 46. Anschauung Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität aber wie ist eine Zahl im Denken vorhanden? Systematitzität Glasersfeld (1981): “symbolisiert” (siehe Abstraktion) ? Kompositionalität → als Zeichen für einen Prozess, der im Moment nicht ausgeführt wird, aber bei Bedarf ausgeführt werden kann → es muss Zugriff auf in einem bestimmten Kontext relevante Verfahren ermöglichen Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 47. Anschauung Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität Systematitzität Vorstellen usw. Kompositionalität Wilhelm Wundt bemerkte in der „Logik“, Band 1: “Wer sich von den Eigenschaften des Dreiecks im Allgemeinen Rechenschaft geben will, denkt sich ein bestimmtes Dreieck." Es war dies ein Argument im philosophischen Streit darum, ob alles Denken bildhafter Natur ist – also sich als Bilder verstandener Vorstellungen bedient. Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 48. Anschauung Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität Systematitzität Kompositionalität Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 49. Anschauung Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität Systematitzität Kompositionalität Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”
- 50. Anschauung Zahlkonzept Verfahren Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing oneone Abtraktion correspondence early arithmetic turntaking (relation/subit.) Vielheit subitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä numerisch