Số phức-4-Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước-Các bài toán chứng minh số phức-pages 37-45

1. 4 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC,
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỐ PHỨC
4.1 LÝ THUYẾT
4.1.1 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Khi số phức được ràng buộc bởi điều kiện cho trước, ta tìm số phức như sau:
+) Viết số phức dưới dạng đại số: z = a + bi (a; b ∈ R).
+) Từ điều kiện ràng buộc, thiết lập phương trình ẩn z rồi chuyển về phương trình 2 ẩn
a, b.
+) Giải hệ phương trình ẩn a, b tìm được a, b, từ đó tìm được z.
Chú ý:
+) Với phương trình chỉ chứa biến z (không chứa ¯z, |z|,...) ta có thể dùng các kĩ thuật truyền
thống để giải phương trình.
+) Chú ý dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 trong giải phương trình bậc 2 ẩn
số phức.
Ví dụ
Câu 1. Tìm số phức z thỏa mãn: (3 − 2i)¯z − 4(1 − i) = (2 + i)z.
A. z = 3 + i. B. z = 1 − 3i. C. z = 3 − i. D. z = −3 − i.
Lời giải. Chọn đáp án C
Ta viết z = a + bi (a; b ∈ R)
(3 − 2i)¯z − 4(1 − i) = (2 + i)z
⇔ (3 − 2i)(a − bi) − 4(1 − i) = (2 + i)(a + bi)
⇔ (3a − 2b − 4) + (−2a − 3b + 4)i = (2a − b) + i(a + 2b)
⇒
3a − 2b − 4 = 2a − b
−2a − 3b + 4 = a + 2b
⇔
a = 3
b = −1
⇒ z = 3 − i
Câu 2. Giải phương trình z2
− z + 1 = 0 trên tập số phức.
A. z =
√
3
2
±
1
2
i. B. z =
√
3 ± i. C. 1 ± i
√
3. D.
1
2
±
√
3
2
i.
Lời giải. Chọn đáp án D
Xét ∆ = −3 = 3i2
⇒ phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt:
z1 =
1 + i
√
3
2
z2 =
1 − i
√
3
2
Câu 3. Cho 2 số phức z1 = 1 + 2i; z2 = 5 + 4i. Tìm số phức z sao cho điểm biểu diễn của z
là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm biểu diễn của z1 và z2.
A. z = 3 + 3i. B. z = 1 + 4i. C. z = 4 + 2i. D. z = −4 − 2i.
Lời giải. Chọn đáp án A
z1 có điểm biểu diễn là A(1; 2).
z2 có điểm biểu diễn là B(5; 4).
z = a + bi có điểm biểu diễn là C(a; b).
37
lovestem
.edu.vn

2. C là trung điểm của AB
⇒
2a = 1 + 5
2b = 2 + 4
⇔
a = 3
b = 3
⇒ z = 3 + 3i.
4.1.2 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỐ PHỨC
Lời giải các bài toán về chứng minh thường dựa trên các tính chất về module và liên hợp của
số phức. Chú ý rằng nếu các số phức z1, z2 có các điểm biểu diễn tương ứng là A, B thì:
OA = |z1|; OB = |z2|; AB = |z1 − z2|. Từ đó suy ra:
• |z1| + |z2| ≥ |z1 − z2|
• ||z1| − |z2|| ≥ |z1| − |z2|
• |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
Ví dụ
Câu 4. Giả sử z1, z2 là các số phức khác không thỏa mãn z2
1 − z1z2 + z2
2 = 0. Gọi A, B là các
điểm biểu diễn tương ứng của z1, z2. Chứng minh rằng tam giác OAB đều:
Lời giải. Ta có z3
1 + z3
2 = (z1 + z2)(z2
1 − z1z2 + z2
2) = 0
Suy ra z3
1 = −z3
2 ⇒ |z1|3
= |z2|3
⇒ |z1| = |z2| ⇒ OA = OB.
Lại có (z1 − z2)2
= (z2
1 − z1z2 + z2
2) − z1z2 = −z1z2 nên |z1 − z2|2
= |z1||z2|
⇒ AB2
= OA.OB = OA2
Suy ra AB = OA = OB ⇒ OAB đều
Câu 5. Cho 3 số phức z1, z2, z3 đều có module bằng 1. Chứng minh rằng |z1 + z2 + z3| =
|z1z2 + z2z3 + z3z1|.
Lời giải. Vì |z1z2z3| = 1 nên |z1z2 + z2z3 + z3z1| =
z1z2 + z2z3 + z3z1
z1z2z3
=
1
z1
+
1
z2
+
1
z3
= |z1 + z3 + z3| = |z1 + z2 + z3| = |z1 + z2 + z3| (đpcm)
Câu 6. Cho số phức z = 0 thỏa mãn z3
+
8
z3
≤ 9. Chứng minh rằng z +
2
z
≤ 3.
Lời giải. Đặt α = z +
2
z
(α ≥ 0)
z +
2
z
3
= z3
+
8
z3
+ 6 z +
2
z
Suy ra α3
= z +
2
z
3
≤ z3
+
8
z3
+ 6 z +
2
z
≤ 9 + 6α
⇒ (α − 3)(α2
+ 3α + 3) ≤ 0 ⇔ α ≤ 3 (đpcm)
4.2 BÀI TẬP
4.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Giải phương trình z2
+ 2z + 5 = 0 trên trường số phức.
A. z = −1 ± 2i. B. z = 2 ± i. C. z = −2 ± 4i. D. 4 ± 2i.
Câu 2. Tìm số phức để: z − ¯z = z2
.
A. z = 0 hoặc z = i. B. z = 0 hoặc z = 1.
C. z = 0 hoặc z = 1 ± i. D. z = 1 hoặc z = −i.
Câu 3. Tìm số phức z biết ¯z + 3z = (3 − 2i)2
(1 + i).
A. z =
17 − 14i
8
. B. z =
17 + 14i
4
. C. z =
17 + 7i
4
. D. z =
17
4
+ 7i
2
.
38
lovestem
.edu.vn

3. Câu 4. Số nghiệm của phương trình z2
+ ¯z = 0 là:
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 5. Phần thực của số phức z thỏa mãn phương trình z2
+ 4z + 6 = 0 là:
A. 2. B. −2. C.
√
2. D.
√
2 − 2.
Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình x3
− 8 = 0 là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 2 + i
√
3.
Câu 7. Nghiệm của phương trình z + 3 + i = 4 + 2i là:
A. z = 7 + 3i. B. z = 1 + i. C. z = 1 + 3i. D. z = 7 + i.
Câu 8. Nghiệm của phương trình z2
+ z + 1 = 0 là:
A. z =
1
2
±
√
3
2
i. B. z =
1
2
±
√
3
2
. C. z = −
1
2
±
√
3
2
i. D. z = −
1
2
−
√
3
2
i.
Câu 9. Phương trình z2
− 2z + 17 = 0 có bao nhiêu nghiệm phức?
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 10. Nghiệm của phương trình 2iz + 3 = 1 + i là:
A. z = 1
2
+ i. B. z = 1 − i. C. z = −1 + i. D. z = −1 − z.
Câu 11. Gọi z1, z2 là nghiệm phức của phương trình z2
+ 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu
thức A = |z1|2
+ |z2|2
.
A. 10. B. 15. C. 20. D. 25.
Câu 12. Số phức z = 1 +
√
3i là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
A. z2
+ 2z + 4 = 0. B. z2
− 2z − 4 = 0. C. z2
+ 2z − 4 = 0. D. z2
− 2z + 4 = 0.
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. (sin α + i cos α)n
= sin nα + i cos nα. B. (cos α + i sin α)n
= cos nα + i sin nα.
C. (sin α + i cos α)n
= n sin α + i.n cos α. D. (cos α + i sin α)n
= n cos nα + i.n sin α.
Câu 14. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. (cos α − i sin α)(cos φ + i sin φ) = cos(α + φ) + i sin(α + φ) .
B. (sin α − i cos α)(cos φ − i sin φ) = cos(α − φ) + i sin(α − φ).
C. (cos α + i sin α)(cos φ − i sin φ) = cos(α − φ) + i sin(α − φ).
D. (cos α + i sin α)(sin φ + i cos φ) = cos(α + φ) + i sin(α + φ).
Câu 15. Cho z1, z2 ∈ C và các đẳng thức:
|z1|.|z2| = |z1z2|;
|z1|
|z2|
=
z1
z2
, z2 = 0; |z1 + z2| = |z1| + |z2|; |z1 − z2| = |z1| − |z2|.
Trong các đẳng thức trên, số đẳng thức đúng là bao nhiêu?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 16. Cho 2 số phức z1, z2, mệnh đề đúng là:
A. |z1| + z2| ≥ |z1 − z2|. B. |z1| + |z2| ≤ |z1 + z2|.
C. |z1| − |z2| ≥ |z1 − z2|. D. |z1| − |z2| ≥ |z1 − z2|.
Câu 17. Giả sử M(a, b) biểu diễn từ số phức z, như vậy số phức (z)−1
được biểu diễn bởi điểm
nào sau đây?
A. (a, −b). B.
a
√
a2 + b2
,
−b
√
a2 + b2
.
C. (−a, b). D.
a
a2 + b2
,
b
a2 + b2
.
Câu 18. Số nghịch đảo của số phức z là:
A. z. B.
z
|z|
. C.
z
|z|2
. D.
z
|z|
.
39
lovestem
.edu.vn

4. Câu 19. Số phức liên hợp của z là:
A.
1
z
. B.
1
z
. C. (z). D.
|z|2
z
.
Câu 20. Modul của số phức z là:
A. (zz). B. (zz)−1
. C. zz. D.
1
z
.
Câu 21. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn phương trình z2
= ¯z?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
4.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 22. Phần thực của số phức z thỏa mãn (1 + i)2
(2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i)z là:
A. −6. B. −1. C. −3. D. 2.
Câu 23. Cho hai số phức z1 = 1 + i; z2 = 2 + i lần lượt có điểm biểu diễn là A, B. Tìm số
phức z có điểm biểu diễn C sao cho
−→
AB = 2
−→
AC.
A. z = 3 + 2i. B. z = 3 − 2i. C. z =
3
2
− i. D. z =
3
2
+ i.
Câu 24. Phương trình z2
+ az + b = 0, (a; b ∈ R) có một nghiệm phức là 1 − i. Giá trị của a,b
là:
A. a = 2; b = −5. B. a = −2; b = 2. C. a = −2; b = −5. D. a = 2; b = −2.
Câu 25. Số phức z thỏa mãn (3 − 2i)¯z − 4(1 − i) = (2 + i)z có mô đun là:
A.
√
3. B.
√
5. C. 2
√
2. D.
√
3
4
.
Câu 26. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn phương trình z2
− 2i¯z = −2?
A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 27. Môđun của số phức z thỏa mãn phương trình z2
− 2z + 26 = 0 là:
A.
√
26. B. 6. C. 5. D. 26.
Câu 28. Môđun của z thỏa mãn phương trình 2z + ¯z + 4i = 9 là:
A. 2. B. 5. C. 1. D. 4.
Câu 29. Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình 2z2
+ 4z + 3 = 0. Tính giá trị của biểu thức
A = |z1| + |z2| + |z1z2|.
A. 3 +
√
6. B.
√
6. C. 4 +
√
6. D. 6.
Câu 30. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + i
√
2 và 1 − i
√
2 là nghiệm?
A. z2
+ 2z + 3 = 0. B. z2
− 2z − 3 = 0. C. z2
− 2z + 3 = 0. D. z2
+ 2z + 3 = 0.
Câu 31. Kí hiệu A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 1 + 2i, −4 + 4i, 3i. Tìm
số phức z có điểm biểu diễn là trọng tâm của tam giác ABC?
A. z = −3 + 9i. B. z = −1 + 3i. C. z = 3 − 9i. D. z = 1 − 3i.
Câu 32. Số phức z thỏa mãn phương trình (1 + i)z + 2¯z = 3 + 2i là:
A.
1
2
−
3
2
i. B.
1
2
+
3
2
i. C. −
1
2
−
3
2
i. D. −
1
2
+
1
2
i.
Câu 33. Tìm nghiệm của phương trình z2
+ 3(1 + i)z + 5i = 0.
A. z1 = −1 − 2i, z2 = −2 − i. B. z1 = −1 + 2i, z2 = −2 + i.
C. z1 = 1 + 2i, z2 = 2 + i. D. z1 = 1 − 2i, z2 = 2 − i.
Câu 34. Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi:
A. z = z. B. z = −
1
z
. C. z = −z. D. z =
1
z
.
Câu 35. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R). Nhận xét nào sau đây luôn đúng?
A. |z|
√
2 ≤ |a| + |b|. B. |z|
√
2 ≥ |a| + |b|. C. |z| ≤
√
2(a + b). D. |z| ≥
√
2(|a| + |b|).
40
lovestem
.edu.vn

5. Câu 36. Giả sử M(a, b) là điểm biểu diễn số phức z, khi đó điểm
a
a2 + b2
;
b
a2 + b2
biểu diễn
số phức nào?
A. z−1
. B. z. C. z−1
. D. z−1
.
Câu 37. Cho các mệnh đề sau:
(1) Số phức z có phần ảo là
1
2
(z − z).
(2) Số phức z có phần thực là
1
2
(z + z).
(3) ∀z1; z2 ∈ C, ta có: |z1 + z2| = |z1| + |z2|.
(4) z = (z) khi và chỉ khi z là số thực.
(5) ∀z1; z2 ∈ C, ta có: z1 + z2 ≤ z1 + z2.
Trong các mệnh đề trên, số các mệnh đề sai là:
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 38. Gọi A và B lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 = 2 cos
π
6
+ i sin
π
6
và
z2 = −2
√
3 + 2i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba điểm A, O, B thẳng hàng.
B. Ox là tia phân giác AOB.
C. A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
D. Oy là tia phân giác AOB.
Câu 39. Cho các mệnh đề sau:
(1) Nếu phương trình az2
+bz +c = 0(a, b, c ∈ R) có nghiệm phức z /∈ R thì z cũng là nghiệm
của phương trình.
(2) ∀z1; z2 ∈ C, ta có:
z1
z2
=
|z1|
|z2|
.
(3) Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì x − iy là căn bậc hai của số phức a − bi.
(4) ∀z1; z2 ∈ C, ta có: z1 − z2 ≤ z1 − z2.
(5) ∀z1; z2 ∈ C, ta có: |z1.z2| ≤ |z1|.|z2|.
Trong các mệnh đề trên, các mệnh đề sai là:
A. 3. B. 1; 3; 5. C. 2; 4; 5. D. 1; 4; 2.
Câu 40. Cho A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức 1 + i, (1 + i)2
, −3 − i. Nhận xét đúng về
tam giác ABC là:
A. Tam giác cân . B. Tam giác vuông không cân .
C. Tam giác vuông cân. D. Tam giác đều.
Câu 41. Cho z = cos ϕ + i sin ϕ, khi đó với mọi số nguyên n ≥ 1 thì zn
+
1
zn
bằng:
A. 2i sin nϕ . B. 2 cos nϕ. C. 2 sin nϕ. D. i sin nϕ − i cos nϕ.
41
lovestem
.edu.vn

6. 4.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu 42. Cho số phức z thỏa mãn
z
1 − 2i
+ ¯z = 2. Tìm phần thực của số phức w = z2
− z.
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 43. Tổng bình phương các nghiệm phức của phương trình z4
+ 3z2
+ 2 = 0 bằng:
A. 6. B. −8. C. −6. D. 8.
Câu 44. Tìm số nghiệm phức của phương trình (z + 2¯z)3
= 8i.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 45. Tìm tham số m để phương trình z2
+ (2 − m)z + 2 = 0 có 1 nghiệm là z = 1 − i.
A. m = 6. B. m = 4. C. m = 2. D. m = −2.
Câu 46. Cho ¯z +
2i
z
= 2. Tìm số phức w = |z|
√
2.
A. 2. B. 4. C.
√
2. D. 2
√
2.
Câu 47. Phương trình z2
+ az + b = 0 với a, b ∈ R có nghiệm phức là 1 + 2i. Tính giá trị của
ab.
A. 10. B. −10. C. 12. D. −12.
Câu 48. Kí hiệu z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4
− z2
− 12 = 0. Tính
A = |z1| + |z2| + |z3| + |z4| + z1 + z2 + z3 + z4.
A. 4 + 2
√
3. B. 4 − 2
√
3. C. −4 + 2
√
3. D. −4 − 2
√
3.
Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn (3 + i)¯z + (2i + 1)z − 3 + 4i = 0. Tìm phần ảo của số phức
w = ¯z2
+ z.
A. −15. B. 10. C. 15. D. −10.
Câu 50. Cho phương trình z + |z| = 8 + 4i. Tìm w = iz + ¯z.
A. −1 − i. B. 1 + i. C. −1 + i. D. 1 − i.
Câu 51. Cho phương trình (1 + i)z + (2 − i)¯z = 11 + i. Tìm số phức w = (11 + 2i)z + 4¯z.
A. 47 − i. B. 43 + 13i. C. 47 + i. D. 43 − 13i.
Câu 52. Cho
(z − 1)(2 − i)
z + 2i
=
3 + i
2
. Số phức w có môđun bằng số phức z là:
A. w = 1 − i. B. w = 2i. C. w = 1 + 3i. D. w =
√
2 +
√
2i.
Câu 53. Tìm môđun của số phức w = 1 + z + z2
biết
5(¯z + i)
z + 1
= 2 − i.
A. 5. B.
√
5. C.
√
10. D.
√
13.
Câu 54. Giả sử z1, z2 là các nghiệm của phương trình z2
− 2z + 10 = 0. Gọi M, N, P lần lượt
là các điểm biểu diễn của z1, z2 và số phức k = x + iy trên mặt phẳng phức. Điều kiện của k
để ∆MNP đều là:
A. k = 1 +
√
27 hoặc k = 1 −
√
27. B. k = i +
√
27 hoặc k =
√
27 − i.
C. k = 1 +
√
27i hoặc k = 1 −
√
27i. D. Đáp án khác.
Câu 55. Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z = 0 và z =
1 + i
√
2
z. Khi
đó, ∆MNO là tam giác gì?
A. Tam giác cân. B. Tam giác vuông không cân.
C. Tam giác vuông cân. D. Đáp án khác.
Câu 56. Phương trình z2
− 2z + b = 0 có hai nghiệm phức được biểu diễn bởi hai điểm A và
B. Khi đó, tam giác OAB đều khi giá trị của b là?
A. 3. B. 4. C. 2. D. Đáp án khác.
Câu 57. Cho số phức z = −
1
2
+
√
3
2
i, khi đó mệnh đề sai là:
A. z2
+ z + 1 = 0. B. z2
=
1
z
. C. z2
= z. D. z3
= 1.
42
lovestem
.edu.vn

7. Câu 58. Cho A và B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z2
+6z+18 = 0.
Khi đó tam giác OAB là tam giác gì?
A. Tam giác vuông không cân. B. Tam giác vuông cân.
C. Tam giác đều. D. Tam giác tù.
Câu 59. Sử dụng công thức Moivre và công thức khai triển nhị thức (cos t + i sin t)5
, ta có
cos 5t = a cos5
t + b cos3
t + c cos t. Khi đó a + 2b + c bằng:
A. 19. B. −19. C. 18. D. −18.
Câu 60. Cho phương trình z3
+ (2 − 2i)z2
+ (5 − 4i)z − 10i = 0, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình có một nghiệm thuần ảo và hai nghiệm phức.
B. Phương trình có một nghiệm dương và hai nghiệm phức.
C. Phương trình có một nghiệm thực âm và hai nghiệm phức.
D. Phương trình có hai nghiệm dương và một nghiệm phức.
Câu 61. Cho A và B là hai điểm phân biệt biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình
az2
+ bz + c = 0(a = 0). Khi đó hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc O nếu và chỉ nếu:
A. abc = 0. B. b = 0, ac > 0. C. b = 0, ac < 0. D. b = 0, c = 0.
4.2.4 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 62. Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn z2
− 4z + 5 = 0.
Khi đó biểu thức P = (z1 − 1)2017
+ (z2 − 1)2017
có giá trị bằng:
A. 0. B. 21008
. C. 21009
. D. 2.
Câu 63. Môđun của số phức z = 1 + (1 − i) + (1 − i)2
+ ... + (1 − i)19
bằng?
A. 20. B. 210
+ 1. C. 1. D. 210
− 1.
Câu 64. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1, z2 tương ứng là nghiệm của
phương trình z2
+ 2z + 4 = 0. Tính số đo góc MON.
A. 120◦
. B. 90◦
. C. 60◦
. D. 150◦
.
Câu 65. Cho số phức z thỏa mãn (3 − 4i)z −
4
|z|
= 8. Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách
từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập hợp nào sau đây?
A.
1
4
;
5
4
. B.
9
4
; +∞ . C.
1
5
;
5
2
. D.
1
2
;
9
2
.
Câu 66. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2
+2z +2 = 0. Số phức w có môđun
bằng giá trị của biểu thức z2016
1 + z2016
2 là:
A. 4 + 2i
√
21009 + 1. B. 2 + 2i
√
22016 − 1. C. 2 + 2i
√
22016 + 1. D. 4 + 2i
√
22016 + 1.
Câu 67. Tìm môđun của z biết



z − 1
z − i
= 1
z − 3i
z + i
= 1
.
A.
√
2. B. 1. C.
√
3. D. 2.
Câu 68. Cho z = (1+i)+(1+i)2
+...+(1+i)2017
. Tìm số phức w = |z −i+1|+(z −21009
)2
?
A. w = 21009
+ 2i. B. w = −21009
− 2i. C. w = 21009
− 2i. D. w = −21009
+ 2i.
Câu 69. Tổng bình phương các nghiệm phức của phương trình 4z2
+ 4|z| − 3 = 0 là:
A. 2. B. −
3
2
. C. 1. D. −1.
Câu 70. Cho
z + 1
z + 2
= i. Tìm môđun số phức w = 1 + (2 + 2z) + (2 + 2z)2
+ ... + (2 + 2z)20
?
A. 210
+ 1. B. 210
− 1. C. 211
+ 1. D. 29
+ 1.
43
lovestem
.edu.vn

8. Câu 71. Cho số phức z thỏa mãn (
2z + i
z + 1
)2
= (i + 1)2
. Số phức có cùng mô đun với số phức
t =
√
2|z|(3 + i) + 1 + 2i là:
A. w = 10 + i. B. w = 5 + 4i. C. w =
√
2 +
√
23i. D. w = 1 + 24i.
Câu 72. Phương trình nào trong các phương trình sau chứa nghiệm của hệ
|z − (2 + i)| =
√
10
z¯z = 25
A. z2
+ (3 + 6i)z − 8 + 6i = 0. B. z2
− (3 + 2i)z + 8 − 6i = 0.
C. z2
− 8z + 15 = 0. D. z2
+ 2z + 15 = 0.
Câu 73. Cho hai số phức z1, z2 đều có modul bằng 1. Khi đó, nhận xét đúng về số phức
z =
z1 + z2
1 + z1z2
là?
A. |z| = 1.
B. z là số phức thuần ảo.
C. z là số phức có phần thực và phần ảo dương.
D. z là số thực.
Lời giải. Chọn đáp án D
Ta có:
|z1| = 1 ⇒ z1z1 = 1 ⇒ z1 =
1
z1
.
|z2| = 1 ⇒ z2z2 = 1 ⇒ z2 =
1
z2
.
Mặt khác:
z =
z1 + z2
1 + z1z2
=
z1 + z2
1 + z1z2
=
1
z1
+
1
z2
1 +
1
z1
.
1
z2
=
z1 + z2
1 + z1z2
= z
⇒ z là số thực.
Câu 74. Cho S = C1
2009 − C3
2009 + C5
2009 − ... − C2007
2009 + C2009
2009 , giá trị của S bằng?
A. 21004
i. B. 22008
. C. 21004
. D. 22008
i.
Câu 75. Cho hai số phức z1; z2. Nhận xét đúng về số phức z = z1z2 + z1z2 là:
A. z là số phức có phần thực âm.
B. z là số thực.
C. z là số phức thuần ảo.
D. z là số phức có phần thực và phần ảo dương.
Câu 76. Các điểm biểu diễn các căn bậc ba của một số phức tạo thành tam giác gì?
A. Tam giác tù. B. Tam giác vuông. C. Tam giác cân. D. Tam giác đều.
Câu 77. Cho số phức z = (2 + i
√
5)7
+ (2 − i
√
5)7
. Nhận xét đúng về z là:
A. z là số phức có phần thực âm. B. z là số phức thuần ảo.
C. |z| = 1. D. z là số thực.
Câu 78. Cho z1, z2 là hai số phức khác 0 thỏa mãn z2
1 − z1z2 + z2
2 = 0. Gọi A, B là các điểm
biểu diễn tương ứng của z1, z2. Tam giác OAB là tam giác gì?
A. Tam giác đều. B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông cân. D. Tam giác tù.
Câu 79. Cho các điểm A, B, C và A , B , C tương ứng biểu diễn các số phức z1, z2, z3 và
z1, z2, z3 (trong đó A, B, C và A , B , C đều không thẳng hàng). Khi đó, hai tam giác ABC và
A B C có cùng trọng tâm nếu và chỉ nếu:
A.
1
z1
+
1
z2
+
1
z3
=
1
z1
+
1
z2
+
1
z3
. B. z1z2z3 = z1z2z3.
C. z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3. D.
z1
z1
=
z2
z2
=
z3
z3
.
44
lovestem
.edu.vn

9. Câu 80. Cho ba điểm M1, M2, M3 tương ứng với các số phức z1, z2, z3. Nếu M1, M2, M3 thẳng
hàng thì số phức z =
z2 − z1
z3 − z2
là số như thế nào?
A. z là số phức có phần thực và phần ảo dương.
B. z là số thực.
C. z là số phức có phần thực âm.
D. z là số phức thuần ảo.
Lời giải. Chọn đáp án B
Ta có:
Hiệu z2 − z1 và z3 − z2 tương ứng với các véc tơ
−−−−→
M1M2 và
−−−−→
M2M3. Do M1, M2, M3 thẳng hàng,
nên ta có:
TH1: Các số phức z2 − z1 và z3 − z2 có cùng acgumen ϕ.
Khi đó:
z2 − z1 = τ1(cos ϕ + i sin ϕ).
z3 − z2 = τ2(cos ϕ + i sin ϕ).
⇒
z2 − z1
z3 − z2
=
τ1
τ2
∈ R.
TH2: Số phức z2 − z1 acgumen ϕ và số phức z3 − z2 có acgumen là ϕ + π.
Khi đó:
z2 − z1 = τ1(cos ϕ + i sin ϕ).
z3 − z2 = τ2(cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π)).
= −τ2(cos ϕ + i sin ϕ).
⇒
z2 − z1
z3 − z2
= −
τ1
τ2
∈ R.
Vậy
z2 − z1
z3 − z2
là số thực.
45
lovestem
.edu.vn