1. CLASES DE MATRICES
Tipo de
Definición Ejemplo
matriz
Aquella matriz que tiene una sola
FILA
fila, siendo su orden 1×n
Aquella matriz que tiene una sola
COLUMNA columna, siendo su orden m×1
Aquella matriz que tiene distinto
RECTANGULAR
número de filas que de columnas,
siendo su orden m×n ,
Dada una matriz A, se llama
traspuesta de A a la matriz que se
obtiene cambiando
TRASPUESTA
ordenadamente las filas por las
columnas.
Se representa por At ó AT
La matriz opuesta de una dada es
la que resulta de sustituir cada
OPUESTA
elemento por su opuesto. La
opuesta de A es -A.
Si todos sus elementos son cero.
NULA También se denomina matriz cero
y se denota por
Aquella matriz que tiene igual
CUADRADA número de filas que de columnas,
m = n, diciéndose que la matriz es Diagonal
de orden n.

2. Diagonal principal : son los
elementos a11 , a22 , ..., ann
Diagonal secundaria : son los principal
elementos aij con i+j = n+1 Diagonal
Traza de una matriz cuadrada : es
la suma de los elementos de la
diagonal principal, notada por
secundaria
Es una matriz cuadrada que es
SIMÉTRICA igual a su traspuesta.
A = At , a ij = a ji
Es una matriz cuadrada que es
igual a la opuesta de su
ANTI SIMÉTRICA traspuesta.
A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0
Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto
los de la diagonal principal, es
decir:
DIAGONAL
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto
ESCALAR
los de la diagonal principal que
son iguales
También se denomina matriz
IDENTIDAD
unidad.

3. Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto
los de la diagonal principal que
son iguales a 1. Es decir:
Sea la Matriz I= (aij)mxn
I es matriz identidad ssi:
Matriz triangular Superior
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
T. superior
TRIANGULAR Matriz triangular Inferior
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
T. inferior
Una matriz A es idempotente si:
IDEMPOTENTE
Nota: La identidad no es la única
idempotente
Una matriz ortogonal es
necesariamente cuadrada e
invertible: A-1 = AT
La inversa de una matriz
ortogonal es una matriz
ORTOGONAL ortogonal.
El producto de dos matrices
ortogonales es una matriz
ortogonal.
El determinante de una matriz
ortogonal vale +1 ó -1.
Una matriz es normal si conmuta
con su traspuesta. Las matrices
NORMAL simétricas, anti simétricas u
ortogonales son necesariamente
normales.
Es una matriz cuadrada ( tiene
INVOLUTIVA igual número de filas que de A2 = I
columnas) tal que su cuadrado es

4. igual a la matriz unidad, es decir:
A es involutiva si A x A = I
Decimos que una matriz cuadrada A es nilpotente de orden 3,
A es Nilpotente de orden r si y
sólo si se verifica que ,(r
NILPOTENTE
es el menor entero positivo )
OPERACIONES CON MATRICES
Suma de matrices
Si las matrices A= (a ij ) y B= (b ij ) tienen el mismo orden, la matriz suma es:
A+B= (a ij +b ij ).
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la
misma posición y la matriz resultante tiene el mismo orden de las matrices iníciales, o sea
A y B.
Ejemplo:
Propiedades de la suma de matrices:
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:

5. A+0=A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa:
A+B=B+A
Producto de un escalar por
una matriz
Dada una matriz B= (b ij ) y un número real k R, se define la multiplicación de un
número real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento
está multiplicado por k.
k · B=(k b ij )
Ejemplo:
Propiedades
a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b
a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a
(a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b
1 · A = A A Mmxn
Producto de matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el
número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m xp

6. El elemento c ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de
la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Ejemplo:
Primer método de multiplicación de matrices:
Segundo método de multiplicación de matrices:
A*B =
3 1 2
3 0 3
7 3 6
Propiedades de la multiplicación de matrices:
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro:
A·I=A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
No es Conmutativa:
A·B≠B·A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C