07 nociones de algebra lineal

1) Determinar si (R2, ∗, R, •) es un espacio vectorial con las
operaciones suma y producto escalar - vector definidos por :
a) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d) ∀ (a, b) , (c, d) ∈ R2
k • (a, b) = (k ⋅ a, k ⋅ b)
∀ k ∈ R ∧ ∀ (a, b) ∈ R2
b) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d) ∀ (a, b) , (c, d) ∈ R2
k • (a, b) = (a, a)
∀ k ∈ R ∧ ∀ (a, b) ∈ R2
c) (a, b) ∗ (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) ∀ (a, b) , (c, d) ∈ R2
k • (a, b) = (k ⋅ a, k ⋅ b) ∀ k ∈ R ∧ ∀ (a, b) ∈ R2

2) Dados los siguientes subconjuntos de R2 y R3
a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / y = 2 }
c) { (x, y) / y + x = 3 } d) { (x, y) / x = y / 2 }
e) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3)}
f) { (x, y, z) / z = 0 } g) { (x, y, z) / y = 1 }
h) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } i) { (x, y, z) / x + y = 1 }
Representar gráficamente los conjuntos dados y establecer cuáles de ellos son
subespacios de R2 o de R3 según corresponda, justificando la respuesta.

3) a) En R3 verificar que el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de
los vectores u = ( 2, −1, 1 ) v = ( −2, 1, −1 ) w = ( 1, 1, 0 )
siendo los escalares : a = 2 ; b= 3 y c = 1 .
b) Expresar los vectores u = ( 0, 4 ) v = ( −2, 4 )
como combinación lineal de los versores i = ( 1,0 ) j = ( 0,1 )

4) Determinar analíticamente si los siguientes conjuntos de vectores
constituyen una base de R2, justificando la respuesta.

a) A = { (1, 2) ; (-2, 1) } b) B = { (1, 2) ; (2, 4) }
c) C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } d) D = { (0, 0) ; (2, 1) }

5) Dados los vectores u = ( 1 2 ; 2) v = ( 3, 1 ) de R2 :
a) Verificar que el conjunto A = { u ; v } es una base de R2
b) Hallar en la base A = { u ; v } las coordenadas del vector w = ( −4, 6)

6) Sean los conjuntos de vectores
a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / x = y / 2 }
c) { (x, y, z) / z = 0 } d) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
i) Determinar por lo menos dos bases distintas en cada sub espacio
ii) Determinar la dimensión de cada sub espacio

7) Una concesionaria de automóviles tiene sus reportes mensuales de venta de autos expresados en
forma de matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos estándar y de lujo,
mientras que las columnas indican el número de unidades de color rojo bermellón, azul metalizado, gris
plomo y verde acuario. La casa central vendió en el mes de julio del modelo estándar 10 unidades de
color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 9 verde acuario y en el modelo de lujo 6
unidades color rojo bermellón, 7 azul metalizado, 5 gris plomo y 12 verde acuario. La venta del mes de
agosto fue en el modelo estándar ninguna unidad de color rojo bermellón, 20 azul metalizado, 10 gris
plomo y 5 verde acuario y en el modelo de lujo 10 unidades color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7
gris plomo y 12 verde acuario. De acuerdo a la información dada :
a) Exprese la matriz de venta de la casa central para los meses de julio y agosto.
b) ¿ De qué clase es cada matriz ?
c) ¿ Cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses ?
d) ¿ Cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses ?
e) Esta concesionaria de automóviles tiene una sucursal, que vendió en los meses de julio y agosto, el
doble de lo vendido en la casa central. Exprese la matriz de venta para los meses de julio y agosto.
f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante
los meses de julio y agosto ? ¿ Cuántos autos se hubieran vendido en la sucursal si la
venta en dicho local hubiese sido el triple que en la casa central ?

8) Escribir :

a) Una matriz F ∈ C3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ; fij = i si i ≠ j
b) Una matriz G ∈ C3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ;
gij = i - j si i ≤ j

 1 − 2 3  3 0 2
9) Sean las matrices A y B ∈ R 2x3 A=  B = 
4 5 6
  
 − 7 1 8

Calcular : i) A + B ii) 3 A iii) 2A - 3B

10) Dadas las matrices : 1 2 − 1 3 1 3 − 3 8
 1 − 4 3
   
 1 5 2 − 6 0 1 0 0 4 − 1 − 6 0  
  A=  C =  D = − 2 1 2 
B =  0 1 −9 4  3 1 / 2 7 2  0 0 − 5 0  
       − 1 1 0
 
− 1 5 − 1 3 
  3 − 1 8 0  9 − 7 3 9
   
a) Escribir las matrices -A y –D
b) Calcular, si es posible, B x A ; D x A y D x B.

11) Calcular los rangos de las siguientes matrices :

1 1 − 3 − 1
 − 2 4 2 − 2  
  2 1 −2 1 
A = − 1 − 1 1 0  B = 
  1 1 1 3
− 2 1 2 − 1 
   
1
 2 −3 1  

12) Calcular los siguientes determinantes
1 1 −2 4
2 4 3
3 −1 0 1 1 3
D( A ) = A = D( B ) = B = − 1 3 1 D( C ) = C =
1 1 2 −1 1 0
4 1 2
3 4 2 −1

Espacio Vectorial
1 a
Para que (V, *, K, •) sea espacio vectorial se debe verificar que:
1 b
Si x∈V e y∈V y α es un escalar del cuerpo K 1 c

1) ∀x ∈ V , ∀y ∈ V x*y∈V Ley de cierre para * composición interna en V

2) ∀x, ∀y, ∀z : x, y, z ∈ V ⇒ (x * y) * z = x * (y * z) Asociativa para *

3) ∃0 ∈ V / ∀x : x ∈ V ⇒ x * 0 = 0 * x = x Existe Elemento Neutro para *

4) ∀x ∈ V, ∃x´ ∈ V / x * x´ = x´ * x = 0 Existe Elemento Inverso para *

5) ∀x, ∀y : x, y ∈ V ⇒ x * y = y * x Conmutativa para *

Hasta aquí se verificaron condiciones en V respecto de *,
que hacen de (V, *) un grupo abeliano

Ahora en las restantes condiciones analizaremos el comportamiento de las
operaciones * y • entre elementos de V y de K

6) ∀x ∈ V, ∀α ∈ V α•x∈V Ley de cierre
1 a

7) ∀x ∈ V , ∀α, ∀β ∈ K : α • (β • x) = (α • β) • x Asociativa 1 b

1 c
8) ∀x, ∀y ∈ V, ∀α ∈ K : α • (x * y) = α • x * α • y

• es distributiva con respecto a *

9) ∀x ∈ V, ∀α, ∀β ∈ K : (α * β) • x = α • x * β • x

• es distributiva con respecto a *

10) ∀x ∈ V : ⇒ x • 1 = 1 • x = x El elemento neutro de • es el 1 de K

1 a) Determinar si (R2, ∗, R, •) es un espacio vectorial con las
a) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d) ∀ (a, b) , (c, d) ∈ R2
k • (a, b) = (k · a, k · b)
∀ k ∈ R , ∀ (a, b) ∈ R2

1) ∀ (a, b) , (c, d) ∈ R2 (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d) ∈ R2 L.C.I.

2) ∀(a, b), (c, d), (e, f) ∈ R2 : [(a, b) ∗ (c, d)] ∗ (e, f) = (a, b) ∗ [(c, d) ∗ (e, f)]

[(a, b) ∗ (c, d)] ∗ (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f)

(a, b) ∗ [(c, d) ∗ (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f) Asociativa

3) ∃ (e1, e2) ∈ R2 / ∀(a, b) : (a, b) ∈ R2 ⇒ (a, b) ∗ (e1, e2) = (a + e1, b + e2) = (a, b)
Existe Elemento Neutro para ∗
4) ∀ (a, b) : (a, b) ∈ R2, ∃(a´,b´) ∈ R2 / (a ∗ a´, b ∗ b´) = (e1, e2)
Existe Elemento Inverso para ∗

5) ∀ (a, b); (c, d) : (a, b); (c, d) ∈ R2 ⇒ (a, b) ∗ (c, d) = (c, d) ∗ (a, b)
Conmutativa para ∗

1 b 1 c

6) ∀(a, b) ∈ R2, ∀α ∈ R α • (a, b) = (α · a, α · b) ∈ R2
Ley de cierre para • con un escalar

7) ∀ a, b) ∈ R2 , ∀α, ∀β ∈ R : α • [β • (a, b)] = α · [ (β · a, β · b)] =
(α · β · a, α · β · b) = (α · β) · (a, b)
Asociativa para • con R2 y R
8) ∀(a, b), ∀(c, d) ∈ R2, ∀α ∈ R : α • [(a, b) ∗ (c, d)] = α · [(a + c, b + d)] =
[α · (a + c), α · (b + d)] = (α · a + α · c, α · b + α · d) =
= (α · a, α · b) + (α · c, α · d) = [α · (a, b)] + [α · (c, d)]

• Es distributivo con respecto de en R2 ∗

9) ∀ (a, b) ∈ R2, ∀α, ∀β ∈ R : (α ∗ β) • (a, b) = [(α + β) · a, (α + β) · b] =
[(α · a + β · a), (α · b + β · b)] = [(α · a, α · b) + (β · a, β · b)] =
[α • (a, b)] ∗ [β • (a, b)]
• Es distributivo con respecto de * en K

10) ∃ 1 ∈ R2 / ∀ (a, b) : (a, b) ∈ R2 ⇒ 1 • (a, b) = (1 · a, 1 · b) = (a, b)
Existe Elemento Neutro para •

Se verifican todas las condiciones Es Espacio Vectorial

1 b) Determinar si (R2, ∗, R, •) es un espacio vectorial con las
operaciones ∗ y • definidas por :
(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d) ∀ (a, b) , (c, d) ∈ R
k • (a, b) = (a, a)
∀ k ∈ R ∧ ∀ (a, b) ∈ R2
La operación ∗ definida en R2 es la misma que la del ejercicio anterior, por
tanto las primeras cinco condiciones se verifican, estudiaremos las restantes

6) ∀(a, b) ∈ R2, ∀α ∈ R α • (a, b) = (α • a, α • b) = (a, a) ∈ R2
Ley de cierre para • con un escalar
7) ∀ (a, b) ∈ R2 , ∀α, ∀β ∈ R : α • [β • (a, b)] = α • [(β • a, β • b)] = α • (a, a) = (a, a)
(α • β) • (a, b) = [(α • β) • a, (α • β) • b] = (a, a)
Asociativa para • con R2 y R

8) ∀(a, b), ∀(c, d) ∈ R2, ∀α ∈ R : α • [(a, b) ∗ (c, d)] = α • [(a + c, b + d)] =
[α • (a + c), α • (b + d)] = (a + c, a + c)
=[α • (a, b) ∗ α • (c, d)] = (a, a) + (c, c) = (a + c, a + c)
• Es distributivo con respecto de * en R2
9) ∀ (a, b) ∈ R2, ∀α, ∀β ∈ R : (α ∗ β) • (a, b) = [(α + β) • a, (α + β) • b] = (a, a)
(α * β) • (a, b) = [α • (a, b)] + [β • (a, b)] = (a,a) + (a,a) = (a + a, a + a )
Pero (a, a) ≠ (a + a, a + a) No se verifica esta condición
• NO Es distributivo con respecto de * en R
NO Es Espacio Vectorial 1 c

1 c) Determinar si (R2, ∗, R, •) es un espacio vectorial con las
(a, b) ∗ (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) ∀ (a, b) , (c, d) ∈ R2
k • (a, b) = (k · a, k · b) ∀ k ∈ R ∧ ∀ (a, b) ∈ R2

1) ∀ (a, b) , (c, d) ∈ R2
a +c b +d
(a , b ) * (c , d ) = ( , ) ∈ R2 L.C.I.
2 2

2) ∀(a, b), (c, d), (e, f) ∈ R2 : [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a, b) * [(c, d) * (e, f)]
a +c b +d
[(a , b ) * (c , d )] * (e , f ) = ( , ) * (e , f ) =
2 2
a +c b +d
+e +f
( 2 , 2 ) = ( a + c + 2e , b + d + 2f )
2 2 4 4
c + e d +f
(a , b ) * [(c , d ) * (e , f ] = (a , b ) * ( , )=
2 2
c +e d +f
a+ b+
( 2 , 2 ) = ( 2a + c + e , 2b + d + f )
pero 2 2 4 4
a + c + 2e b + d + 2f 2a + c + e 2b + d + f
( , ) ≠ ( , )
4 4 4 4
* NO Es Asociativa en R2
NO Es Espacio Vectorial

2 a 2 b - c

Subespacios
2 d 2 e 2 f

2 g - h 2 i

Dado un espacio vectorial (V, *, K, •)

y el conjunto no vacío S ⊂ V S es un sub conjunto del conjunto V

Si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K
y con las mismas leyes de composición interna que en V

(S, *, K, •) es un subespacio de (V, *, K, •) ó S es subespacio de V

Escribimos de otra manera : Si (S, *, K, •) es un
subespacio de (V, *, K, •)
Si 1) S ≠∅
2) x ∈ S ∧ y ∈ S ⇒ x + y ∈ S (S, *) es un sub grupo
de (V, *)
3) α ∈ R ∧ x ∈ S ⇒ α x ∈ S

entonces el elemento neutro pertenece a S

2 a) Si A = { (x, y) ∈ R2 / x = y } Representamos gráficamente
Para analizar si A es subespacio, verificamos
x y=x y que se cumplan las tres condiciones suficientes
para que un conjunto sea subespacio.
2 2=2 2
Pero previamente verificamos que el vector
4 4=4 4 nulo pertenezca al conjunto A

Efectivamente (0,0) ∈ A 1) A ≠ ∅

2) Si u = ( a , b ) con u ∈ A ⇔ a = b
v = ( c,d ) con v ∈ A ⇔ c = d
u +v = ( a, b ) + ( c,d ) = ( a + c, b + d )
pero a + c = b + d ⇒ u +v ∈ A cerrada para la suma

3) Si α ∈R ∧ u = ( a,b) ∈A
α ⋅ u = α ⋅ ( a , b ) = ( αa , α b )

pero α a = αb ⇒ α ⋅u ∈A cerrada para el producto
por un escalar
A es sub espacio de R2

2 b - c 2 d 2 e 2 f 2 g - h 2 i

2 b) B = { (x, y) / y = 2 } Representamos gráficamente

x y=2 y Antes de analizar si es subespacio verificamos
si el vector nulo pertenece al conjunto B
2 2 2
Pero (0,0) ∉ B B NO es sub espacio de R2
4 2 2
-6 2 2 2 c) C = { (x, y) / y + x = 3 }

x y = -x + 3 y
2 -2+3 1

6 -6+3 -3

Pero (0,0) ∉ C C NO es sub espacio de R2
2 d 2 e 2 f 2 g - h 2 i

para representar gráficamente, haciendo
2 d) D= { (x, y) / x = y / 2 } pasajes de términos, busco la forma y = f(x)

y y = 2x
x = Ahora puedo confeccionar tabla de
2 valores y representar gráficamente
x y = 2x y El nulo (0,0) ∈ D porque 0 = 2 ⋅ 0
2 2⋅2 4 1) D ≠ ∅
4 4⋅2 8 2) Si u = (a , b )
con u ∈ A ⇔ b = 2a
v = (c , d ) con v ∈ D ⇔ d = 2c
u + v = (a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d )
(a + c , b + d ) = (a + c ,2a + 2c ) = (a + c ,2 ⋅ (a + c ))
luego b + d = 2(a + c ) ⇒ u + v ∈ D cerrada para la suma
3) Si α ∈ R ∧ u = (a , b ) ∈ D

u ∈ D ⇔ b = 2a ⇒ u = (a ,2a )
¿ podés hacer la interpretación
pero α ⋅ u = α ⋅ (a ,2a ) = (αa , α 2a ) = (αa , αb )
geométrica del producto ?
αb = α 2a
cerrada para el producto por un escalar
D es sub espacio de R2
2 e 2 f 2 g - h 2 i

2 e) E = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1,
4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3) }
Este conjunto tiene vectores de tres Trazamos un par de ejes
componentes, que se representan ortogonales x-y en el plano (como si
gráficamente en el espacio. fuera en el piso de una habitación
y a este par de ejes le incorporamos el eje z,
perpendicular al plano determinado por x-y en el
origen de coordenadas (0,0)
Al punto (1,0,0) le corresponde x = 1; y = 0 y z = 0
Al punto (0,1,0) le corresponde x = 0 ; y = 1; y z = 0
Al punto (0,0,1) le corresponde x = 0 ; y = 0; y z = 1
Al punto (1,2,3) le corresponde x = 1; y = 2 y z = 3
Al punto (1,3,-1) le corresponde x = 1; y = 3 y z = -1
Al punto (-2,1,4) le corresponde x = -2; y = 1 y z = 4
Al punto (-3,-2,5) le corresponde x = -3; y = -2 y z = 5
Al punto (1,-1,1) le corresponde x = 1; y = -1 y z=1
Al punto (2,-2,-3) le corresponde x = 2; y = -2 y z = -3
El vector nulo (0,0,0) ∉ E
E NO es sub espacio de R2
2 f 2 g - h 2 i

Este conjunto tiene vectores de tres
2 f) F = { (x, y, z) / z = 0 } componentes, que se representan
gráficamente en el espacio.
Pertenecen al conjunto
vectores como: (2, 1, 0); (-1, 2, 0); (6, -1, 0)
también el vector nulo (0,0,0) ∈ F
al ser siempre la última componente 0 (z = 0)
Todos los vectores del conjunto F están en el plano x, y
cualquier punto del plano x, y ∈ F

1) F ≠ ∅ se verifica

2) u = ( a , b ,0 ) v = ( c , d ,0 )

u + v = ( a , b ,0 ) + ( c , d ,0 )
u + v = ( a + c , b + d ,0 + 0 ) = ( a + c , b + d ,0 ) ∈ F

3) u = ( a , b ,0 )
α ⋅ u = α ⋅ ( a , b , 0 ) = ( α ⋅ a , α ⋅ b , α ⋅ 0 ) = ( αa , α b , 0 )
si α = 2 (puede tomar
2 ⋅ u = 2 ⋅ ( a , b ,0 ) = ( 2 ⋅ a ,2 ⋅ b ,2 ⋅ 0 ) = ( 2a ,2b ,0 ) ∈ F
cualquier otro valor)
F ES sub espacio de R2
2 g - h 2 i

2 g) { (x, y, z) / y = 1 } Este conjunto tiene vectores de tres
componentes, que se representan
vectores como: (2, 1, 0); (-1, 1, 0); (6, 1, 0)
y cualquier otro vector que verifique y= 1
(no importa cuál sea x ó z)
pero el vector nulo (0,0,0) ∉ F
F NO es sub espacio de R3

2 h) { (x, y, z) / x + y = 1 }

representamos la
recta x + y = 1
Cualquier par de valores de x e y
que verifiquen esa ecuación, con
cualquier valor de z pertenece al Pero (0,0,0) ∉ H
conjunto de vectores

por ejemplo H NO es sub espacio
de R3
(1,0,6); (-1,2,3); etc

2 i

2 i) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Este conjunto tiene vectores de tres
componentes, que se representan
vectores como: (0, 0, 4); (0, 0, 6); (0, 0, -2)
también el vector nulo (0,0,0) ∈ I
al ser siempre las dos primeras componentes 0

Todos los vectores del conjunto I están contenidos
en el eje z

1) I ≠ ∅ se verifica

2) u = ( 0,0, a ) v = (0,0, b )

u + v = ( 0,0, a ) + ( 0,0, b )
u + v = ( 0 + 0,0 + 0, a + b ) = ( 0,0, a + b ) ∈ I
3) u = ( 0,0, a )
α ⋅ u = α ⋅ ( 0,0, a ) = ( α ⋅ 0, α ⋅ 0, α ⋅ a ) = ( 0,0, αa )

I ES sub espacio de R2

Combinación Lineal
Una combinación lineal del conjunto de vectores A = {v 1 v2 v3 . . . vn }

Es cualquier vector v = α1 ⋅ v1 + α2 ⋅ v2 + α3 ⋅ v3 . . . αn ⋅ vn con todos los αi ∈ K

Por ejemplo: dado el conjunto de vectores A = {v1 v2 v3 } donde
v1= (3,-1); v2 = (-4,6); v3 = (1, 2) Si α1 = 3 α2 = -2 α3 = -1
El vector v = α1⋅v1 + α2⋅v2 + α3⋅v3 = 3 ⋅ (3,-1) + (-2) ⋅ (-4,6) + (-1) ⋅ (1,2) =

v = (9,-3) + (8,-12) + (-1,-2) = (9 + 8 - 1; - 3 – 12 - 2) = (16; - 17) es combinación
lineal de A
Si hay alguna combinación lineal no trivial de los vectores del conjunto A, cuyo
resultado es el vector nulo, decimos que A es linealmente dependiente
Para saber si el conjunto A de nuestro ejemplo es L.D. Debemos plantear :
(0, 0) = α1 ⋅ (3,-1) + α2 ⋅ (-4,6) + α3 ⋅ (1,2) = (3α1, -1α1) + (-4α2, α26) + (α31,2) =

= (3α1 -4α2 + α3; -α1 + 6α2 + 2α3)  3α1 − 4α2 + α3 = 0


− α1 + 6α2 + 2α3 = 0


Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

 3α1 − 4α2 + α3 = 0 (1)
 Lo resolvemos
Al sistema de ecuaciones  por sustitución
− α1 + 6α2 + 2α3 = 0 (2)


De (1) α3 = 4α2 − 3α1 (3) Reemplazo α3 en (2) y tengo

− α1 + 6α2 + 2( 4α2 − 3α1 ) = 0 − α1 + 6α2 + 8α2 − 6α1 = 0 − 7 α1 + 14α2 = 0

7 α1 α1
Ponemos α2 en función de α1 α2 = α2 =
14 2
α
Ponemos α3 en función de α1, reemplazando α2 = 1 en (3)
2
α
α3 = 4 1 − 3α1 = 2α1 − 3α1 α 3 = − α1
2
Así es posible afirmar que para cualquier α1 ≠ 0 ; α2 y α3 son también distintos de 0
Si α1 = 1 ; α2 = 1/2 y α3 = -1 v = α1⋅v1 + α2⋅v2 + α3⋅v3 =
Con estos escalares es posible 1 con α1 ≠ 0
v = 1 ⋅ ( 3, −1) + ( −4,6 ) + ( −1) ⋅ ( 1,2) =
establecer una combinación lineal 2 α2 ≠ 0 y
v = ( 3, −1 ) + ( −2,3) + ( −1, −2 ) = ( 3 − 2 − 1, −1 + 3 − 2 ) = ( 0,0 ) α3 ≠ 0

El vector nulo es combinación lineal de los vectores del conjunto A

Luego, los vectores de A son Linealmente Dependientes

3 a) Para verificar si el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de

u = ( 2, −1, 1 ) v = ( −2, 1, −1 ) w = ( 1, 1, 0 )

Vamos a averiguar si es posible componer (-1, 2, -1) a partir de la
suma de los vectores u ; v; w
a ⋅ u + b ⋅ v + c ⋅ w = ( −1,2, −1 ) Previamente multiplicados por escalares

2 ⋅ ( 2, −1, 1 ) + 3 ⋅ ( −2, 1, −1 ) + 1 ⋅ ( 1, 1, 0 ) = ( −1,2, −1 ) a=2 b = 3 y c =1

( 4, −2, 2 ) + ( −6, 3, −3) + ( 1, 1, 0 ) = ( 4 − 6 + 1; −2 + 3 + 1; 2 − 3 + 0 ) = ( −1,2,−1 )

( −1,2, −1 ) Es combinación lineal de u v w

3 b) Para expresar u = ( 0, 4 ) v = ( −2, 4 ) como combinación lineal de i = ( 1,0 ) j = ( 0,1 )

escribimos u = α1 i + α 2 j ( 0,4 ) = α1( 1,0 ) + α2( 0,1 ) = ( α1 ,0 ) + ( 0, α2 )

= (α1 + 0,0 + α2 ) = (α1 , α2 ) α1 = 0 α2 = 4 u = 0 ⋅i + 4 ⋅ j

v = α1i + α2 j ( −2, 4 ) = α1( 1,0 ) + α2( 0,1 ) = ( α1 ,0 ) + ( 0, α2 )
= ( α 1 + 0, 0 + α 2 ) = ( α 1 , α 2 ) α1 = −2 α2 = 4 v = −2 ⋅ i + 4 ⋅ j

5 a

Sistema de Generadores 5 b

Si un conjunto de vectores A, de un espacio vectorial (V, *, K, •)
4 a
es tal que cualquier vector del espacio vectorial puede expresarse como
combinación lineal de los vectores del conjunto A 4 b

Se dice que A es un Sistema de Generadores de V 4 c

4 d
En la práctica, dado un conjunto de vectores A = { v 1 v2 v3 . . . vn }
Se busca escribir cualquier vector de V, como combinación lineal de los vectores de A

Base
Un conjunto de vectores A es Base de un Espacio Vectorial si:
Los vectores de A son linealmente independientes
A es un sistema de Generadores de V

Recuerde que los vectores son linealmente independientes, si al establecer
una combinación lineal, la única forma de obtener el vector nulo, es que todos
los escalares de la combinación lineal sean nulos

4 a) Para saber si A = { (1, 2) ; (-2, 1) } es base de R 2,
Averiguamos si (1, 2) y (-2, 1) son linealmente dependientes, haciendo

α1 (1, 2) + α2 (-2, 1) = (0, 0) (α1, 2 α1) + (-2 α2, α2) = (0, 0)
α1 − 2α2 = 0

(α1 -2 α2 , 2 α1 + α2) = (0, 0) entonces: 
2α1 + α2 = 0

Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal
es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que α1 = α2 =0.
Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es
L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.
1 −2
∆= = ( 1 + 4) = 5 A es linealmente independiente
2 1

Investigamos la existencia de escalares reales α1 y α2 , que permitan escribir
cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto A
Entonces proponemos un vector cualquiera (x, y) ∈ R2 y escribimos :

( x , y ) = α1( 1,2 ) + α2( −2,1 ) ( x , y ) = ( α1 ,2α1 ) + ( −2α2 , α2 )

( x , y ) = ( α1 − 2α2 ,2α1 + α2 )

4 b 4 c 4 d

( x , y ) = ( α1 − 2α2 ,2α1 + α2 ) Si dos vectores son iguales,
sus componentes son iguales
α1 − 2α2 = x

 Resolvemos el sistema, aplicando el método de los
2α1 + α2 = y
 determinantes donde α1 y α2 son las incógnitas

1 −2 x −2
∆= = ( 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ ( −2)) = ( 1 + 4 ) = 5 ∆ α1 = = ( x ⋅ 1 − ( −2 ) ⋅ y ) = x + 2y
2 1 y 1

1 x
Con los valores ∆α 2 = = ( 1 ⋅ y − 2 ⋅ x ) = − 2x + y
hallados de 2 y

planteamos ∆=5 ∆ α1 = x + 2y ∆ α 3 = −2x + y

∆ α1 x + 2y ∆ α2 − 2x + y Vemos que para cada
α1 = = α2 = = vector (x, y), existirán
∆ 5 ∆ 5
valores de α1 y α2
A es un Sistema de Generadores de R2
x + 2y 3 + 2⋅1 − 2x + y − 2⋅3 + 1
Por ejemplo si v = ( 3, 1 ) α1 = = =1 α2 = = = −1
5 5 5 5
luego α1 ⋅ ( 1,2) + α2 ⋅ ( −2,1 ) = 1 ⋅ ( 1,2) + ( −1 ) ⋅ ( −2,1 ) = ( 1,2 ) + ( 2, −1 ) = ( 3, 1 )

A es una Base de R2

4 b 4 c 4 d

4 b) Para saber si B = { (1, 2) ; (2, 4) } es base de R2,

Averiguamos si (1, 2) y (2, 4) son linealmente dependientes, haciendo

α1 (1, 2) + α2 (2, 4) = (0, 0) (α1, 2 α1) + (2 α2, 4 α2) = (0, 0)

 α1 + 2α2 = 0

(α1 + 2 α2 , 2 α1 + 4 α2) = (0, 0) entonces: 
2α1 + 4α2 = 0


Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal
es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que α1 = α2 =0.
Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es
L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.

1 2
∆= = ( 4 − 4) = 0 B es linealmente dependiente
2 4

B NO es Base

4 c 4 d

4 c) Para saber si C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } es base de R 2,

verificamos si (1, 3) ; (1/2, -4) y (17/5, 8) son linealmente dependientes,

α1 (1, 3) + α2 (1/2, -4) + α3 (17/5, 8) = (0, 0)
Tenemos así un sistema
1 17 homogéneo de dos ecuaciones
( α1 , 3α1 ) + ( α2 , − 4α2 ) + ( α , 8α3 ) = ( 0, 0 )
2 5 3 con tres incógnitas

1 17  1 17
( α1 + α2 + α , 3α1 − 4α2 + 8α3 ) = ( 0, 0 ) α 1 + α 2 + α =0 (1)
2 5 3  2 5 3
4α2 − 8α3  3α1 − 4α2 + 8α3 = 0

(2)
De (2) α1 = Reemplazando en (1)
3
4 8 1 17 11 11 6
α 2 − α 3 + α2 + α =0 α + α =0 α2 = − α3
3 3 2 5 3 6 2 15 3 15 α1 ≠ 0
4( −6) − 8 ⋅ 15
De manera que: si α3 = 15 ; α2 = - 6 α1 = = −48 α2 ≠ 0
3
1 17 α3 ≠ 0
( −48 )( 1,3) + ( −6 )( , −4 ) + 15( ,8 ) = ( −48, −144 ) + ( −3,24 ) + ( 51,120 ) =
2 5
( −48 − 3 + 51, −144 + 24 + 120 ) = ( 0,0 ) Los vectores de C son L.D.

C NO es una Base de R2

4 d

4 d) Para saber si D = { (0, 0) ; (2, 1) } es una Base de R 2

Planteamos la siguiente expresión para averiguar si
los vectores de A son linealmente dependientes

a ⋅ (0,0) + b ⋅ (2,1) = (0,0) entonces

(a ⋅ 0, a ⋅ 0) + (b ⋅ 2, b ⋅ 1) = (0,0) (0,0) + (2b, b ) = (0,0)

para a ≠0 b =0 Los vectores del conjunto A son
linealmente dependientes

cualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo,
es linealmente dependiente

A NO es una Base de R2

5 a 6 a

Coordenadas de un vector
Si A = { v 1 ;v 2 } es una base de R 2
Cada vector de R2 puede expresarse
como una combinación lineal de A

ya que los vectores de A son linealmente Precisamente por ser A una
independientes y sistema de generadores base de R2

Entonces: si v ∈ R2 existen y son únicos los escalares a y b ∈ R

Tal que: v = a · v 1 + b · v2 Donde a y b se llaman
coordenadas del vector v
respecto de la base A

DIMENSION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL

Es el cardinal (número de vectores) de cualquiera de sus bases
Por ejemplo B = { (x,y) / x = y } B es subespacio de R2

Son bases de B { (1, 1) } ; { (2, 2) }

La Dimensión de B es 1
(nº de vectores en cada base de B)

5) Dados los vectores u = ( 1 2 ; 2) v = ( 3, 1 ) de R2 :
5 a) Verificar que el conjunto A = { u ; v } es una base de R2
verificamos si (1/2 , 2) y (3, 1) son linealmente dependientes,
Tenemos así un sistema
α1 (1/2, 2) + α2 (3, 1) = (0, 0) Base
homogéneo de dos ecuaciones
con dos incógnitas
α1 Coordenadas
( , 2α1 ) + ( 3α2 , α2 ) = ( 0, 0 )
2 1
 α1 + 3α2 = 0 (1)
α 2
( 1 + 3α2 , 2α1 + α2 ) = ( 0, 0 )  2α1 + α2 = 0
(2)
2 
1 1
De (2) α2 = −2α1 Reemplazando en (1) α + 3( −2α1 ) = 0 α − 6α1 = 0
2 1 2 1
11 α1 = 0 α 2 = −2 ⋅ 0 α2 = 0
− α =0 Reemplazando en (2)
2 1
Los vectores son Linealmente Independientes
Investigamos la existencia de escalares reales α1 y α2 , que permitan escribir
cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto V
y escribimos : α1 (1/2, 2) + α2 (3, 1) = (x, y)
1 1
( x,y ) =( α1 ,2α1 ) + ( 3α2 , α2 ) = ( α1 + 3α2 ,2α1 + α2 )
2 2
5 b

1 Si dos vectores son iguales,
( x,y ) =( α + 3α2 ,2α1 + α2 )
2 1 sus componentes son iguales
1
 α1 + 3α2 = x Resolvemos el sistema, aplicando el método de los
2 Base
 2α1 + α2 = y
 determinantes donde α1 y α2 son las incógnitas
Coordenadas
1
3 1 1 11 x 3
∆=
2
= ( ⋅ 1 − 2 ⋅ 3) = ( − 6) = − ∆ α1 = = ( x ⋅ 1 − 3 ⋅ y ) = x + 3y
2 1 2 2 2 y 1
1
x 1 1
Con los valores ∆ α1 =
2
= ( ⋅ y − 2 ⋅ x ) = − 2x + y Podemos ver que para
hallados de 2 y 2 2 cada vector (x, y),
11 1 existirán valores de α1
planteamos ∆=− ∆ α1 = x + 3y ∆ α 2 = −2x + y
2 2 y α2

x + 3y
∆ α1 ( −2)( x + 3y ) 2x 3y V es un Sistema
α1 = == =− −
∆ 11 11 11 11 de Generadores
−
2 de R2
1 − 4x + y
∆α − 2x + y 4 1
α2 = 2 = 2 = 2 = x− y
∆ 11 11 11 2 V es una Base de R2
− −
2 2

5 b

5 b) Para hallar las coordenadas del vector w = ( −4, 6)
En la base A = { u; v } donde u = ( ½ ; 2 ) ; v = ( 3, 1 )

Planteamos la siguiente expresión: w = a ⋅ u + b ⋅v que resulta Coordenadas

( −4,6) = a ⋅ ( 1 2 ,2) + b ⋅ (3,1) ( −4,6) = (a 2 ,2a ) + (3b , b ) = (a 2 + 3b ,2a + b )

A partir de esta expresión por la igualdad de los pares ordenados,
planteamos un sistema de dos ecuuaciones con dos incógnitas
a + 3b = −4
( −4,6) = (a 2 + 3b,2a + b ) 
2
(1)
Si b = -2
 2a + b = 6 (2)
 a = −8 − 6( −2) = −8 + 12
De (1)
a =4
a
= −4 − 3b a = 2 ⋅ ( −4 − 3b ) a = −8 − 6b
2
Reemplazo a en (2) 2( −8 − 6b ) + b = 6 − 16 − 12b + b = 6

− 16 − 11b = 6 − 11b = 6 + 16 − 11b = 22 b = −2

6) a) dimensión de { (x, y) / x = y }

Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una
recta (ver ejercicio 2a) donde

( x, y ) ∈ S ⇒ ( x, y ) = ( y, y )

Si y = 1 ( 1, 1 ) ∈ S

Con { (1, 1) } puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido en la recta x = y
con multiplicar el vector por un escalar
estableciendo una combinación lineal

v = ( x , y ) = α ⋅ ( 1,1 )

{ (1,1) } es una base de { (x, y) / x = y }
{ (2,2) } también es base de { (x, y) / x = y } Cantidad de vectores de
Dim (1) cualquier base del subespacio

Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra
base que vos propongas) se puede genera cualquier vector que
esté contenido en la recta y = x
6 b 6 c 6 d

6) b) dimensión de { (x, y) / x = y / 2 }

recta (ver ejercicio 2d) donde:
( x, y ) ∈ S ⇒ ( x, y ) = ( x, 2x )

Si x = 1 ( 1, 2 ) ∈ S
Con { (1, 2) } puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido en la recta x = y /2
con multiplicar el vector por un escalar


v = ( x , y ) = α ⋅ ( 1,2)

{ (1, 2) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
{ (3, 6) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
Cantidad de vectores de
Dim (1) cualquier base del subespacio
base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que
esté contenido en la recta y = 2 x
6 c 6 d

6) c) La dimensión de { (x, y, z) / z = 0 }
recta (ver ejercicio 2f)
( x, y, z ) ∈ S ⇒ ( x, y, z ) = ( x, y, 0 )

Si x = 1 ∧ y=4 ( 1, 4, 0 ) ∈ S
Con { (1, 4, 0) } NO puedo generar cualquier
otro vector que esté contenido en el plano x,y
Necesito otro vector, por ejemplo
Si x = 6 ∧ y = 3 ( 6, 3, 0 ) ∈ S
Con { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } puedo generar cualquier
otro vector que esté contenido en el plano x,y

v = ( x , y ,0 ) = α ⋅ ( 1, 4,0 ) + β( 6,3,0 )
{ (1, 4, 0); (6, 3, 0) } es una base de { (x, y, z) / z = 0 } cualquier base del
subespacio
{ (3, 6, 0); (-1, 2, 0) } también es es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
Dim (2)
esté contenido en el plano (x, y, 0)
6 d

6) d) La dimensión de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }

recta (ver ejercicio 2i)

( x, y, z ) ∈ S ⇒ ( x, y, z ) = ( 0, 0, z )

Si z = 1 ( 0, 0, 1 ) ∈ S
Con { (0, 0, 1) } puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido sobre el eje z


v = ( 0,0, z ) = α ⋅ ( 0,0,1 )

{ (0, 0, 1) } es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }

{ (0, 0, 3) } también es es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }

Dim (1)
cualquier base del subespacio

esté contenido en la recta (0, 0, z)

MATRICES
informalmente una matriz es un conjunto de elementos ordenados
en filas y columnas

 a11 a12 ..... a1 j .... a1n −1 a1n 
  Esta matriz tiene m
 a a22 .... a2 j .... a2n −1 a2n  filas y n columnas
 21 
 ....
 .... .... .... .... .... .... 

El número de filas no
  tiene por qué ser igual
A =  ai 1 ai 2 .... aij .... ain −1 ain  al número de columnas,
  pero si esto sucede, la
 .... .... .... .... .... .... ....  matriz es cuadrada
 
 am −11 am −12 .... am −1 j .... am −1n −1 am −1n 
  operaciones con matrices ver
 am 1 am 2 .... amj .... amn −1 amn  en los ejercicios resueltos
 

Una matriz conformada con los mismos elementos que los de la
matriz A, pero dispuestos de manera diferente, es una matriz
distinta de A

7 a) De la consigna extraemos los siguientes datos en forma ordenada

Mes: Julio Mes: Agosto
R A G V R A G V
estándar 10 5 7 9 0 20 10 5
de lujo 6 7 5 12 10 5 7 12

De manera que es posible componer dos matrices, una para cada mes

10 5 7 9   0 20 10 5  La clase de una matriz está
J =  A=  dada por la cantidad de filas
 6 7 2 12
  10 5 7 12
  y de columnas

7 b) J es de clase 2 por 3, y se escribe J(2x3) A es de la misma clase, A(2x3)

7 c) Para saber cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se
vendieron en los dos meses sumamos el correspondiente al mes de Julio y el
correspondiente al mes de Agosto esto es 10 + 0 = 10

7 d e 7 f g

7 d) Para saber cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en
los dos meses
Sumamos las matrices que representan cada uno de los meses

10 5 7 9   0 20 10 5  10 + 0 5 + 20 7 + 10 9 + 5 
J +A =  + = =
 6 7 2 12 10 5 7 12 6 + 10 7 + 5 2 + 7 12 + 12
     
se efectúa sumando ordenadamente los elementos de cada fila y columna entre sí

10 25 17 14 
J +A =  
16 12 9 24
 
7 e) Si la sucursal vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la
casa central. al resultado de la suma de ambos meses, lo multiplicamos por 2 (duplicamos)

10 25 17 14  2 ⋅ 10 2 ⋅ 25 2 ⋅ 17 2 ⋅ 14 
2 ⋅( J + A) = 2 ⋅  =  =
16 12 9 24
  2 ⋅ 16 2 ⋅ 12 2 ⋅ 9 2 ⋅ 24 
 
que se resuelve multiplicando por 2 cada elemento de la matriz (J + A )

20 50 34 28
2 ⋅( J + A) =  
32 24 18 48
 

7 f g

7 f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los
dos locales durante los meses de julio y agosto ?

Sumamos a lo vendido en casa central lo vendido en la sucursal
10 25 17 14  20 50 34 28
J +A =   2 ⋅( J + A) =  
16 12 9 24
  32 24 18 48
 
10 25 17 14  20 50 34 28 
T = J + A + 2( J + A ) =  + =
16 12 9 24  32 24 18 48
   

10 + 20 25 + 50 17 + 34 14 + 28  30 75 51 42
T =  = 
16 + 32 12 + 24 9 + 18 24 + 48  48 36 27 72
   

7 g) si la venta en la sucursal hubiese sido el triple que en la casa central

10 25 17 14  3 ⋅ 10 3 ⋅ 25 3 ⋅ 17 3 ⋅ 14 
3( J + A ) = 3 ⋅  =  =
16 12 9 24 
  3 ⋅ 16 3 ⋅ 12 3 ⋅ 9 3 ⋅ 24 
 

30 75 51 42
3( J + A ) =  
 48 36 27 72
 

8) a) Escribir una matriz F ∈ C3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ;
fij = i si i ≠ j

Si la matriz F es de clase 3 x 3 F(3x3) tiene tres filas y tres columnas
f11 f12 f13  Donde los subíndices de cada
Podemos escribir la matriz F   elemento, significan el orden de
de la siguiente manera: F = f21 f22 f32 
  filas y columnas que le
f31 f32 f33  corresponde, según su ubicación
fij Es el elemento ubicado en la fila i columna j
Si fij = 0 cuando i = j
f32 Es el elemento ubicado en la fila 3 columna 2
f11 = 0 ; f22 = 0; f33 = 0
y cuando i ≠ j fij = i entonces :

f12 = 1 ; f13 = 1; f21 = 2 ; f23 = 2 ; f31 = 3 ; f32 = 3 entonces

0 1 1 
 
F = 2 0 2 
 
 3 3 0

8 b

8 b) La matriz G ∈ C3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ;
gij = i - j si i ≤ j

La matriz G es de clase 3 x 2 G(3x2) tiene tres filas y dos columnas
 g11 g12 
  Donde los subíndices de cada
Podemos escribir la matriz G elemento, significan el orden de
G =  g21 g22  =
de la siguiente manera:   filas y columnas que le
 g31 g32 
  corresponde, según su ubicación
gij Es el elemento ubicado en la fila i columna j

En g11 i = j luego g11 = 1 – 1 = 0 En g22 i = j luego g22 = 2 – 2 = 0
En g12 i < j luego g12 = 1 – 2 = -1 En g31 i > j luego g31 = 2⋅3 + 1 = 7

En g21 i > j luego g21 = 2⋅2 + 1 = 5 En g32 i > j luego g32 = 2⋅3 + 2 = 8

 0 − 1
entonces :  
G = 5 0 
 
7 8 
 

9 i) A + B

 1 − 2 3  3 0 2  1 + 3 − 2 + 0 3 + 2
A +B =  + =  
 4 5 6  − 7 1 8
     4 − 7 5 + 1 6 + 8
 

 4 −2 5
A +B =  
 − 3 6 14 
 

 1 − 2 3  3 ⋅ 1 3 ⋅ ( − 2 ) 3 ⋅ 3 3 −6 9
9 ii) 3 A 3⋅A = 3⋅  =  =  
 4 5 6 3 ⋅ 4
   3⋅5 3 ⋅ 6
 12 15 18
 

1 −2 3  3 0 2 2 −4 6  9 0 6
9 iii) 2A - 3B = 2 ⋅  −3⋅  = − =
4 5 6
 − 7 1 8 8
  10 12 − 21
  3 24


2−9 −4+0 6−6  − 7 −4 0 
2A − 3B =  = 
8 + 21 10 − 3 12 − 24
  29 7 − 12


10 a) Para escribir la opuesta de una matriz, cambiamos los signos
de la matriz cuya opuesta buscamos
1 2 −1 3 − 1 −2 1 − 3
   
0 1 0 0  0 −1 0 0
Si A=  −A =  
3 1 / 2 7 2  − 3 − 1 / 2 − 7 − 2
  − 3
3 − 1 8 0  1 −8 0  
 

 1 − 4 3  − 1 4 − 3
   
D = − 2 1 2  − D =  2 − 1 − 2
   
 − 1 1 0
   1 −1 0 

10 b) B x A Evaluamos la clase de cada una de las que tendrá igual cantidad de
matrices que vamos a multiplicar filas que la primera matriz

B(3x4) x A(4x3) Para que el producto de matrices sea e igual cantidad de
posible, las columnas de la primera matriz columnas que la segunda
deben coincidir con las filas de la segunda matriz
matriz
el resultado será una matriz M( 3 x
3)

Trazamos dos rectas
1 2 −1 3 perpendiculares entre sí
0 1 0 0
BxA
3 1/ 2 7 2 En el cuadrante inferior izquierdo
3 −1 8 0 colocamos la matriz B
En el cuadrante superior derecho
1 5 2 −6 -11 14 -35 7 colocamos la matriz A
Y efectuamos la sumatoria del
0 1 −9 4 -15 -15/2 -31 -18 producto de los elementos de
−1 5 −1 3 5 1/2 18 -5 cada fila de la primera matriz
Por los elementos de cada columna
de la segunda matriz
1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3 + (-6) ⋅ 3 = -11
1 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 + 2 ⋅ ½ + (-6) ⋅ (-1) = 14
(-1) ⋅ 1 + 5 ⋅ 0 + (-1) ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = 5
1 ⋅ (-1) + 5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 7 + (-6) ⋅ 8 = -35
(-1) ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 + (-1) ⋅ ½ + 3 ⋅ (-1) = 1/2
1 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + (-6) ⋅ 0 = 7
(-1) ⋅ (-1) + 5 ⋅ 0 + (-1) ⋅ 7 + 3 ⋅ 8 = 18
0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + (-9) ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 = -15
0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + (-9) ⋅ ½ + 4 ⋅ (-1) = -15/2 (-1) ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 + (-1) ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 = - 5
0 ⋅ (-1) + 1 ⋅ 0 + (-9) ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 = -31
0 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0 + (-9) ⋅ 2 + 4 ⋅ 0 = -18

 − 11 14 − 35 7 
El resultado obtenido será:  
15
BxA =  − 15 − 2 − 31 − 18
 
 5 1 18 −5
 2 

1 2 −1 3
   1 − 4 3
0 1 0 0  
A=  D = − 2 1 2 
3 1 / 2 7 2  
   − 1 1 0
 
3 − 1 8
 0


DxA Evaluamos la clase de cada una de las En este caso esto no
matrices que vamos a multiplicar es así :

D(3x3) x A(4x4) Para que el producto de matrices sea
posible, las columnas de la primera matriz Las columnas de D son 3
deben coincidir con las filas de la segunda y las filas de A son 4
matriz

No es posible realizar D x A

DxB Evaluamos la clase de cada una de las
matrices que vamos a multiplicar

D(3x3) x B(3x4) Para que el producto de matrices sea
el resultado será una
posible, las columnas de la primera matriz
matriz
deben coincidir con las filas de la segunda
matriz ( 3 x
M 4)
1 5 2 −6 1 ⋅ 1 + (-4) ⋅ 0 + 3 ⋅ (-1) = - 2
DxB 0 1 −9 4 1 ⋅ 5 + (-4) ⋅ 1 + 3 ⋅ 5 = 16

−1 5 −1 3 1 ⋅ 2 + (-4) ⋅ (-9) + 3 ⋅ (-1) = 35
1 ⋅ (-6) + (-4) ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 = -13

1 −4 3 -2 16 35 -13 (-2) ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ (-1) = -4
(-2) ⋅ 5 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 = 1
−2 1 2 -4 1 -15 22
(-2) ⋅ 2 + 1 ⋅ (-9) + 2 ⋅ (-1) = -15
−1 1 0 -1 -4 -11 10
(-2) ⋅ (-6) + 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 22
(-1) ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ (-1) = -1
 − 2 16 35 − 13 (-1) ⋅ 5 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 5 = -4
 
DxB =  − 4 1 − 15 22  (-1) ⋅ 2 + 1 ⋅ (-9) + 0 ⋅ (-1) = -11
  (-1) ⋅ (-6) + 1 ⋅ 4 + 0 ⋅ 3 = 10
 − 1 − 4 − 11 10 

Rango de una Matriz
El Rango de una matriz es su rango fila ó su rango columna
(que siempre coinciden)

Rango fila ó rango columna de una matriz es el máximo número de vectores filas ó
vectores columnas linealmente independientes de la matriz
Para conocer el rango de una matriz, podemos analizar cada fila (o columna)
como vectores y determinar si son o no linealmente independientes

Otra manera de hacerlo es efectuando una serie de operaciones elementales sobre
la matriz, y al cabo de un número determinado de operaciones elementales,
habremos encontrado el rango de la matriz, ya que habremos obtenido otra matriz
del mismo rango

Operaciones elementales sobre una matriz:
1. Permutación de dos filas entre sí, o de dos columnas entre sí

2. Adición de una fila a otra ó de una columna a otra.

3. Multiplicación de una fila ó de una columna por un
escalar no nulo.

Método de Gauss Jordan para
determinar el rango de una matriz
Este método es una manera “mecánica” de operar en forma ordenada pasos
repetitivos de operaciones elementales; y al cabo de un número finito de
pasos, se obtiene el máximo número posible de vectores canónicos
linealmente independientes, que es precisamente el rango de la matriz
Sea A una matriz no nula de la que se indicaron solo algunos elementos

 a b c .......  Elegimos cualquier elemento distinto de 0 al que llamaremos pivote
 
 d e f .......  En nuestro caso el pivote será a11 = a
  Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la
  columna del pivote y los restantes elementos de la fila que quedan
 ... ... ... .......  se dividen por el pivote
Luego a cada elemento se le resta
1 b c .......  1 b c ..........  el producto de la
   a a 
0 contradiagonal que forman el
e f .......  =  e − bd f − cd a ....... 
  0 a  pivote con el elemento que
    transformamos
0 ... ... .......   
 .... .... .... ......  dividido por el pivote

Luego se reitera el procedimiento eligiendo pivotes que no
estén en la misma fila ni en la misma columna que los pivotes
ya elegidos en pasos anteriores

Por ejemplo: Hallar el rango de la matriz

1 2 3 Tomamos como pivote el elemento de la
  1º fila y 1ºcolumna
A = 4 5 6 Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la
 
  columna del pivote y los restantes elementos de la fila se
7 8 9
dividen por el pivote (1) y quedan como están
1 2 3 Luego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal
  que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido
0 −3 −6 
  por el pivote
 4 ⋅2
0 − 6 − 12 

Se transforma en 5 − = −3 Luego se repite el
1 procedimiento, ahora
4 ⋅3
Se transforma en 6 − = −6 tomo –3 como pivote
1 0 − 1 1
  7 ⋅2
0 1 2 Se transforma en 8 − = −6
  1 al dividir –6 por el
  7 ⋅3
Se transforma en 9 − = −12 pivote (-3) se hace 2
0 0 0 1
− 6⋅2
Se transforma en 3 − = −1
−3
( −6 ) ⋅ ( −6 )
Se transforma en − 12 − =0
−3

La matriz hallada No se puede seguir transformando por Gauss-
Jordan porque el próximo pivote debe ser de la
1 0 − 1 3º columna 3º fila y este elemento es 0
 
0 1 2
  Pero 0 no puede ser pivote
 
0 0 0

En este caso, el rango de la matriz A es 2 porque son dos las filas linealmente
independientes de la matriz
porque los elementos de la terceras fila después de todas las transformaciones
posibles, son todos nulos (0); significa que esa fila es combinación lineal de las otras dos

Gauss-Jordan no es el único método para efectuar operaciones elementales en una
matriz, pero lo adoptamos porque es el método que nos provee:

Un algoritmo eficiente (en un número determinado de pasos entrega la solución)

Aunque para ello debes estar muy entrenado en el cálculo de operaciones con
fracciones . . .

 − 2 4 2 − 2 Tomamos el
  pivote –2 de
11 a) Para calcular el rango de A = − 1 − 1 1 0 
  la 1º fila 1º
− 2 1 2 − 1  columna
1 −2 −1 1  
 
0 −3 0 1 Dividimos la fila por el pivote y hacemos 0 los elementos
  restantes de la columna del pivote
0 −3 0 1
  Y completamos los restantes elementos de la 2º fila

Tomamos el pivote –3 de −1⋅4 −1⋅2 ( −1 ) ⋅ ( −2 )
−1− = −3 1− =0 0− =1
la 2º fila 2º columna −2 −2 −2
Dividimos la fila por el pivote trabajamos ahora con los elementos de la 3º fila
y hacemos 0 los elementos de
−2⋅ 4 − 2⋅2 ( −2 ) ⋅ ( −2 )
la columna del pivote 1− = −3 2− =0 −1− =1
−2 −2 −2
−1 1
1 0 3 −2⋅0
  completamos los restantes −1− = −1
0 1 0 −1  elementos de la 1º fila −3
 3
y completamos los restantes − 2⋅1 1
0 1− = 3
 0 0 0 
 elementos de la 3º fila −3

− 3⋅ 0 − 3⋅1
0− =0 1− =0
−3 −3
11 b

El próximo pivote debe estar en la 3º fila, en las columnas 3º ó 4º

Pero ambos elementos son 0 y el
1 0 −1 1 
 3 pivote debe ser distinto de 0
0 1 0 −1 
 3 En consecuencia las operaciones elementales se
0 0 0 0  terminaron en esta matriz
 
La matriz de tres filas quedó con una fila de elementos nulos
Existen otros
El Rango de la matriz será la cantidad de filas con al menos métodos para
un elemento distinto de 0 realizar
operaciones
NOTA. El pivote que se elige puede ser cualquier elemento, elementales en una
con tal que no sea de una fila y/o columna repetida. No tiene matriz
porqué seguir un orden, y si estás trabajando sin calculadora
te conviene que los pivotes sean los 1

pero nosotros explicamos Gauss-Jordan porque es un
método algorítmico, y como tal puede programarse.

11 b

11 b) Calculamos el rango de B tomamos el pivote 1 de la 1º fila
1º columna
1 1 − 3 − 1 Dividimos la fila poryel pivote 0 los elementos
hacemos
  restantes de la columna del pivote
2 1 −2 1 
B = 
1 1 1 3 y completamos los restantes elementos de la 2º fila
 
1
 2 −3 1   2⋅1 2 ⋅ ( −3) 2 ⋅ ( −1 )
1− = −1 −2− =4 1− =3
1 1 1
1 1 −3 − 1 completamos los restantes elementos de la 3º fila
 
0 −1 4 3 1 ⋅1 1 ⋅ ( −3) 1 ⋅ ( −1 )
1− =0 1− =4 3− =4
  1 1 1
0 0 4 4
  los restantes elementos de la 4º fila son
0 1 0 2 1⋅1 1 ⋅ ( −3) 1 ⋅ ( −1 )
  2− =1 −3− =0 1− =2
1 1 1

Tomamos como pivote el 1 de la 4º fila 2º columna

1 1 −3 − 1 1 0 −3 − 3
   
0 −1 4 3 0 0 5
   4 
   4 4
0 0 4 4 0 0 

0   
 1 0 2 
0
 1 0 2
 y completamos los
restantes elementos
Dividimos la fila poryel pivote 0 los elementos
hacemos de la 1º fila
restantes de la columna del pivote 1⋅0 1⋅2
−3− = −3 −1− = −3
−1⋅0 1 1
y completamos los restantes 4− =4
elementos de la 2º fila 1 y completamos los restantes
−1⋅2 elementos de la 3º fila
3− =5
1 0 0 −3  1 0⋅0 0⋅2
 4 4− =4 4− =4
0 5  Tomamos como pivote el 4 1 1
0 1
 4 en la 2º fila 3º columna
 0 −1
0 0  Dividimos la fila poryel pivote 0 los elementos
hacemos

0  restantes de la columna del pivote
 1 0 2

completamos

( −3) ⋅ 5 3 4⋅5 0⋅5
−3− = 4− = −1 2− =2
4 4 4 4

En la matriz resultante
1 0 0 −3  1 0 0 0
 4  
 5  0
0 0 1 0 1 0
4   
  0
0 0 0 −1  0 0 1
 
  0
0 1 0 2   1 0 0

 

El único elemento que puede ser pivote También puede transformarse
está en la 3º fila 4º columna en canónica si:
a la tercera fila le multiplicamos por -1
a la primera fila le sumamos la tercera fila multiplicada por -3/4
a la segunda fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 5/4
a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 2  
1 0 0 0
 
Y la matriz queda con cuatro filas linealmente 0 0 1 0
independientes, por tanto 0 0 0 1
 
 
El Rango de la matriz B es 4 0 1 0 0

Determinantes
Determinante es una función
que se escribe det A ó A
f: Kn x n → K
Determinante es una función definida en el conjunto de las matrices cuadradas que tiene
imagen en conjunto de números reales (si los elementos de la matriz son complejos, la
imagen puede ser un complejo).

Dada una matriz A de clase n x n, se llama MENOR del elemento aij al determinante
de la matriz de orden n-1 que se obtiene de A, suprimiendo la fila i y la columna j

 a11 a12 ... a1 j ... a1n  a11 a12 ... a1n
 
a a22 ... a2 j ... a2n  a21 a22 ... a2n
 21  Mij =
 ... ... ... ... ... ...  ... ... ... ...
 
A=  an 1 an 2 ... ann
 ai 1 ai 2 ... aij ... ain 
 
 ... ... ... ... ... ... 
 
a an 2 ... anj ... ann 
 n1 

Una definición de determinante por recurrencia requiere:

i) Definir el determinante de orden 1

A = ( a11 ) ⇒ A= a11

ii) Definir el determinante de orden k+1 suponiendo conocido el determinante de orden k
a11 a12 ..... a1k a1, k + 1 entonces:
a21 a22 ..... a2k a2,k + 1
k +1
A = ∑ ( −1 ) i +( k + 1 ) ⋅ ai ,k + 1 ⋅ Mi ,k + 1
A = ..... ..... ..... ..... ..... i =1

ak 1 ak 2 ..... akk ak , k + 1

ak + 1,1 ak + 1,2 ..... ak + 1, k ak + 1,k + 1 Por ejemplo:

1 4 a11 a12 2

A =
2
= ∑ ( −1 ) i +2
⋅ ai 2 ⋅ Mi 2 = A = = ∑ ( −1 ) i + 2 ⋅ ai 2 ⋅ Mi 2 =
3 −2 i =1 a21 a22 i =1

( −1 ) 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + ( −1 ) 4 ⋅ ( −2 ) ⋅ 1 = = ( −1 ) 3 ⋅ a12 ⋅ a21 + ( −1 ) 4 ⋅ a22 ⋅ a11 = a11a22 − a21a12
= 1 ⋅ ( −2 ) − 3 ⋅ 4 = 10

En determinantes de 3X3 a11 a12 a13
3
A = a21 a22 a23 = ∑ ( −1 ) i + 3 ⋅ ai 3 ⋅ Mi 3 =
i =1
a31 a32 a33

a21 a22 a11 a12 a11 a12
a11 a12 a13 -
4 5 6
= ( −1 ) a13 + ( −1 ) a23 + ( −1 ) a33 = a21 a22 a23
a31 a32 a31 a32 a21 a22
a31 a32 a33
= a13( a21a32 − a31a22 ) − a23( a11a32 − a31a12 ) + a33( a11a22 − a21a12 ) =
a11 a12 a13
= a13a21a32 − a13a31a22 − a23a11a32 + a23a31a12 + a33a11a22 − a33a21a12 ) = a21 a22 a23 +
= a13a21a32 + a23a31a12 + a33a11a22 − a13a31a22 − a23a11a32 − a33a21a12 ) =
ordenando resulta
lo que verifica la
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
regla de Sarrus
Una vez escrito el determinante que queremos calcular,
transcribimos las dos primeras filas como se indica

Luego se suman (y restan) el producto de las diagonales ( y de
las contradiagonales) según corresponda

Las reglas antes vistas sirven solamente para determinantes
de 2 x 2 y de 3 x 3

Si el determinante es de orden 4 (o mayor), ya no contamos con reglas
para calcularlo, pero podemos hacerlo mediante el método del
desarrollo por los elementos de una línea

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 4 donde tendremos
i +4
A= = ∑ ( −1 ) ⋅ ai 4 ⋅ Mi 4 que calcular 4
a31 a32 a33 a34 i =1 determinantes de
orden 3
a41 a42 a43 a44

Si el determinante fuera de orden superior, siempre es posible
reducir a uno de orden “inferior en 1” y así sucesivamente, hasta
encontrar el de 3 x 3 y aplicar la regla de Sarrus

12 a) El determinante
3 −1 Se resuelve restándole al
D (A) = A = producto de la diagonal
1 1 el producto de la contradiagonal

D( A ) = A = 3 ⋅ 1 − 1 ⋅ ( − 1 ) = 3 + 1 = 4

2 4 3 Para resolver B de orden 3 se aplica la regla de Sarrus

D( B ) = B = − 1 3 1 Transcribo las dos primeras filas al final del determinante

4 1 2 Efectuamos la suma de los productos de las diagonales
A esto le restamos los productos de las contradiagonales
2 4 3

−1 3 1

B = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + ( −1 ) ⋅ 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − ( −1 ) ⋅ 4 ⋅ 2 =

= 12 − 3 + 16 − 36 − 2 + 8 = −5

1 1 −2 4 No se puede resolver
El determinante
con ninguna regla
0 1 1 0
C = particular por ser de
2 −1 1 0 orden 4
Vamos a desarrollarlo Aplicamos el desarrollo por los
3 4 2 −1
por los elementos de elementos de una línea
la segunda fila

1 1 −2 4
1 −2 4 1 −2 4
0 1 1 0
C = = ( −1 ) 2 + 1 ⋅ 0 ⋅ − 1 1 0 + ( −1 ) 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 1 0 +
2 −1 1 0
4 2 −1 3 2 −1
3 4 2 −1
1 1 4 1 1 −2

+ ( −1 ) 2 + 3 ⋅ 1 ⋅ 2 −1 0 + ( −1 ) 2 + 4 ⋅ 0 ⋅ 2 −1 1

3 4 −1 3 4 2

C = 0 + 1 ⋅ 1 ⋅ ( −1 ) + ( −1 ) ⋅ 1 ⋅ 47 + 0 = −48

Todo esto hecho con entusiasmo puede
par ecer se a . . .

Un juego
de niños

Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr.
Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es
primitiva e infantil . . . y sin embargo es lo mas preciado
que tenemos.
El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la
ciencia logra abrir.
Albert Einstein

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