Aplicació derivades : Gràfica de funcions, problemes d'optimització i càlcul de límits amb l'Hôpital

1. APLICACIONS DE LA DERIVADA
Per Mònica Orpí i Mañé

2. APLICACIONSDE LA DERIVADA
GRÀFICA DE FUNCIONS
PROBLEMES D’OPTAMITZACIÓ
REGLA DE L’HÔPITAL

3. LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ESTALVIAR :
MINIMITZANT EL MATERIAL
Problema per utilitzar el mínim
alumini :
Quines dimensions ha de tenir un cassó
en forma de cilindre d’un litre de capacitat
perquè la superfície total d’alumini sigui
mínima ?

4. Comhofemperquèenscàpigaelmàximdecosessifemunacapsaambunaplanxaquadradadecartróde10dmdecostat?Comhemdetallarlespuntesperaconseguirelmàximvolum?
LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER MAXIMITZAR EL RENDIMENT :

5. LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ARREGLAR PETITS PROBLEMES DOMÈSTICS :
Situaciófamiliar:
Acasateníemunmirallrectangularquefeia2mper1mise'nshaescantonat.
Volemrecuperarlaformarectangulardelmirallretallant-lodetalmaneraqueelmirallqueenresulti,siguielmésgranpossible

6. TAMBÉSÓNÚTILSPERREPRESENTARLESFUNCIONS
En la representació de funcions és molt útil conèixer què passa en cada interval :
* És creixent o decreixent en aquell interval
* Podem localitzar el valor màxim i mínim en aquest interval?
* La funció és còncava o convexa ?
Les derivades donen resposta a totes aquestes preguntes !!!

7. APLICACIONS DE LA DERIVADA :
oAproximacions del valor d’una funció fent
푓푥≈푓푎+푓′푎·(푥−푎)
Exemple : f(x)=푥i volíem conèixer 144145=144+ 12144(145−144)
oResolució d’algunes indeterminacions : Regla de L’Hôpital
oRepresentació de les gràfiques de funcions
oProblemes d’optimització

8. LA REGLA DE L’HÔPITAL
Ésunareglaqueserveixperresoldreindeterminacionsdeltipus00 푖 ∞ ∞
És basa amb el teorema següent :
Si on f i g són
derivables en un entorn d’a i existeix el límit :
Aleshores coincidirà amb
El mateix enunciat serveix quan els límits de f(x) i g(x) van a l’∞
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/lhospital.1/index.html

9. 1r Exemple
Últim Exemple
→
→

10. REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS
Passos a seguir per a poder representar una funció f(x) :
Domini de f(x)
Punts de tall amb els eixos
Càlcul de les asímptotes ( AV, AH i AO)
Intervals de creixement i decreixement. Màxims i mínims
Curvatura (concavitat i convexitat) i punts d’inflexió
Altres aspectes interessants :
Simetries (parell o senar )

11. SIMETRIES :
Simetria parell f(-x)=f(x)Simetria senar f(-x)= -f(x)

12. INTERVALS DE CREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recordaqueladerivadad’unafuncióy=f(x)enunpuntxindicalapendentdelarectatangentenaquestpunt.
Sienselspunts푥0,푥1푖푥2lesrectestenentangentsdependentpositiva,lafuncióéscreixentenaquestpunts
Sif(x)ésderivabletenimque
f’(x)>0 ⇒f(x) és creixent

13. INTERVALS DE DECREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recordaqueladerivadad’unafuncióy=f(x)enunpuntxindicalapendentdelarectatangentenaquestpunt.
Sienselspunts푥0,푥1푖푥2lesrectestenentangentsdependentnegativa,lafuncióésdecreixentenaquestpunts
Si f(x) és derivable tenim que
f’(x)<0 ⇒f(x) és decreixent

14. PUNTS SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA QUE TENEN PENDENT HORITZONTAL. COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL, LA PENDENT ÉS 0 I PER AQUESTARAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.
x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0
Hi ha tres casos :
El punt 푐1s’anomena mínim relatiu
f’(푐1)=0
El punt 푐2s’anomena punt d’inflexió de tangent horitzontal
f’(푐2)=0
El punt 푐3s’anomena màxim relatiu
f’(푐3)=0

15. Màxim relatiu Mínim relatiu

16. PUNTS D’INFLEXIÓ
Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés

17. EXEMPLE: ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGULARS DE
Conclusió:
La funció és decreixent en −∞,−1푖0,1
La funció és creixent en (-1,0) i (0,∞)
Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)
Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)
Calculemprimerelspuntsons’anul·laladerivadailocalitzemelspuntssingulars
•Estudiemelsignequetindràladerivadaenelsintervalsquedeterminenelspuntssingulars

18. ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ :
Comhemvist,laprimeraderivadaf’ensdónainformaciósobrelafuncióf(x).Siderivemf’obtenimladerivadadef’, quedenotaremperf’’(x).Aquestaensdonaràinformaciódef’(x)
Aixícomf’>0ensinformaqueféscreixent,f’’>0ensinformaquef’éscreixent.Aixòensindicaquelacorbadef(x) estàpersobredelessevestangent(jaquelespendentspassenasernegativesaserpositivesipertantf’creix).Enaquestcasdiremqueféscòncava
En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i direm que f(x) és convexa
of’’>0 en un interval ⇒f és còncava ∪
of’’<0 en un interval ⇒f és convexa ∩

19. EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR MÀXIM I MÍNIMS :
Tambépodemdetectarqueunpuntsingularésunmàximounmínimambeltestdela2aderivada
Sif’(a)=0if’’(a)>0⇔fpresentaunmínimenx=a
Sif’(a)=0if’’(a)<0⇔fpresentaunmàximenx=a

20. EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR PUNTS D’INFLEXIÓ:
x=aésunpuntd’inflexiódef(x)sienaquellpuntonlacorbacanviadecurvatura
f(x)presentaunPIenx=asif’’(a)=0.
Siamés,tenimquef’(a)=0if’’(a)=0aleshoresdiemqueenx=afpresentaunpuntd’inflexiódetangenthoritzontal

21. EXEMPLE:ENLAFIGURAESMOSTRAELGRÀFICDELAFUNCIÓF(X). COMPLETALATAULASEGÜENTAMBELSSIGNESDEF,F’IF’’ENELSPUNTSDELGRÀFICA,B,C,DIE:

22. Solució:
A=(a,f(a))B=(b,f(b)),C=(c,f(c)),D=(d,f(d))iE=(e,f(e))
f(a)=0,f’(a)=0perquèpresentaunmínim(tangenthoritzontal)if’’(a)>0perquèescòncava
f(b)>0,f’(b)>0jaquelarectatangenttindràpendentpositiujaqueféscreixentif’’(b)<0jaqueésconvexa
f(c)>0,f’(c)=0jaquepresentaunmàximif’’(c)<0jaqueésconvexa
f(d)>0,f’(d)<0jaquefdecreixif’’(d)<0perquèésconvexa
f(e)<0,f’(e)>0jaquefcreix,f’’(e)>0jaqueféscòncava

23. ALGUNS EXEMPLES DE GRÀFIQUES :
1) Domini ℝ- 0
2) Punts de tall amb els eixos
 Eix OX ⇒ y=0
푥+1
푥2 =0 ⇒ x+1=0 ⇒x=-1
Punt (-1,0)
 Eix OY ⇒ x=0 ( No talla l’eix ja que x=0
no pertany al domini de f(x)
3) Asímptotes
AV en x=0 lim
푥→0±
푥+1
푥2 =
1
0+ = +∞ AV x=0
AH lim
푥→±∞
푥+1
푥2 =
∞
∞
⇒ lim
푥→±∞
푥+1
푥2 = 0± AH y=0
No té AO
4. Intervals de creixement i decreixement – Màxims i mínims
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)
f és creixent de (-2, 0) i presenta un mínim en (-2, -1/4)
5. Curvatura (Intervals de concavitat i convexitat-Punts d’inflexió
En (-3, f(-3)) presenta un PI

24. LA GRÀFICA DE F(X)= 푥+1 푥2
Talla l’eix OX en (-1,0)
Té AV en x=0 i AH en y=0
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)
f és creixent de (-2, 0)
Presenta un mínim en (-2, -1/4)
Té en (-3, -2/9) Punt d’inflexió
És convexa de (-∞,−3)i còncava (-3, 0) i de
(0, +∞)

25. •Intervals de creixement i decreixement :
f’(x)= 3푥2푥2−1−푥3(2푥) 푥2−12= 3푥4−3푥2−2푥4 푥2−12= 푥4−3푥2 푥2−12
f’(x)= 푥4−3푥2 푥2−12=0⇒푥4−3푥2=0⇒푥2푥2−3=0
⇒푥=0푖푥=±3fem el test de la 2a derivada pe avaluar si són màxims, mínims o punts d’inflexió
푓′′푥= 2푥3+6푥 푥2−13i si avaluem en els punts singulars f’’(0)=0⇒ (0, 0) és Punt d’inflexió de tangent horitzontal
푓′′(3)>0 ⇒(3,푓3é풔풖풏풎í풏풊풎
f′′(−3)<0 ⇒(−3,푓−3é풔풖풏풎à풙풊풎

27. La gràfica de f(x)= 푥3 푥2−1

31. Unproblemaesdiuqueesdemàximsomínimso,engeneral,d’extrems,semprequeesvulguiresoldreunasituacióenlaqualunadeterminadamagnitudMdepènd’unaaltramagnitudx,demaneraqueM=f(x),is’hagidetrobarunmàximounmínimdeM.
Enelcasd’unproblemademàxims,estractaràdetrobarunmàximdef(x)i,pertant,s’hauràdebuscarx0talquef’(x0)=0i,amés,f’’(x0)<0.
Encanvi,enelcasd’unproblemademínims,estractaràdetrobarunmínimdef(x)i,pertant, s'hauràdebuscarx0talquef’(x0)=0i,ames,f’’(x0)>0.

32. QUINES DIMENSIONS HA DE TENIR UN CASSÓ EN FORMA DE
CILINDRE D’UN LITRE DE CAPACITAT PERQUÈ LA SUPERFÍCIE
TOTAL SIGUI MÍNIMA. CALCULEU LA SUPERFÍCIE MÍNIMA
Em d’expressar la funció que volem minimitzar. En aquest cas, el
que volem minimitzar és la superfície de cassó :
S(r,h)=ퟐ흅풓풉 + 흅풓ퟐ
La funció S depèn de dues variables, la variable h i r
Hem de trobar la manera d’expressar aquesta funció de manera que
només depengui d’una variable, o de la r o de la h

33. Substituint l’expressió (1) en la funció
S(r,h)=ퟐ흅풓풉+흅풓ퟐtenim que
⇒
Com que volem un mínim, hem de imposar que la derivada és 0

34. El cassó que té una capacitat de volum fixat i la superfície del qual és mínima, és aquell que l’alçada és igual al radi. Qualsevol altra opció és més costosa en material !!

35. Ambunapecadecartolinade10dmdecostatesvolconstruirunacaixaretallantencadavèrtexdelquadratpecesquadradesdecostatx.Quinvalors’hadedonaraxperquèelvolumdelacaixasiguielmàxim?

36. HemdemaximitzarlafuncióVolumelacaixa.
Comquelacaixaésunprismarectangular,podemtrobarelvolummultiplicantamplària,perllargàriaiperaltura:
V(x) = (10–2x)ퟐ・x = 4풙ퟑ–40풙ퟐ+ 100x
Així,doncs,elvolumdelacaixadependràdelvalordex.
S’hadetrobarunmàximd’aquestafuncióenl’interval(0,5),jaqueeltallenelsextremsnopotsuperarels5dm.Elvolumdelacaixa,tanten0comen5ésiguala0:V(0)=V(5)=0.Vegemsipodemtrobarelmàximenl’interiord’aquestinterval.Peraixò,tractaremdetrobarunpunt,x=a,quecompleixilescondicionsd’unmàxim
V’(a) = 0 i V’’(a) < 0

37. V(x) = (10–2x)ퟐ・x = 4풙ퟑ–40풙ퟐ+ 100x
LafuncióderivadadeV(x)és:V’(x)=12푥2–80x+100=4(3푥2–20x+25)
ComvolemtrobarxtalqueV’(x)=0,hemderesoldrel’equacióde2ngrau4(3푥2–20x+25)=0
LaderivadadeV(x)s’anul·laenx=5ix=5/3Elprimervalornoestrobadintredel’interval(0,5)pertant,noméspodemconsiderarx=5/3comapossiblesolucióquemaximitzaelvolum
Persabersienaquestpunttenimunmàximounmínimdelafuncióhemdecalcularlasegonaderivadaiavaluar-laenx=5/3
V’’(x)=24x–80iV’’(5/3)=24・5/3–80<0
Pertant,perx=5/3obtenimunmàximdelafunció.
Conclusió:
Aixídoncs,perobtenirelmàximvolumenlacaixa,hemderetallarpetitsquadrats,aproximadament,de1,66dm,ielvolummàximques’obtindràambaquestvalorseràde:
V(5/3)=(ퟏퟎ−ퟐ ퟓ ퟑ )ퟐ· ퟓ ퟑ =(20/3)^2・5/3=2000/2774,07dm3.
Qualsevolaltraopciótindràunvoluminferioraaquest

38. EN UN DISC METÀL·LIC RETALLEM UN SECTOR DE MANERA QUE AMB LA PART RESTANT CONSTRUÏM UN CON DE VOLUM MÀXIM. DETERMINEU L’ANGLE DEL SECTOR QUE RETALLEM.

42. TROBAR EL RECTANGLE INSCRIT EN LA SEMICIRCUMFERÈNCIA D’ÀREA MÀXIMA
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/applications.1/index.html

43. →
→
→

44. http://www.matifutbol.com/ca/triangle.cat.html

45. Bale

46. Bale-Özil???

47. Bale-Özil???

52. UN NOU PROBLEMA QUE TÉ PER SOLUCIÓ EL PUNT DE FERMAT :
“DONATS TRES POBLES, ON S’HA DE CONSTRUIR UN HOSPITAL DE MANERA QUE EL
CAMÍ TOTAL QUE HAURIA DE RECÓRRER LES AMBULÀNCIES SIGUI MÍNIM”.
EL MÈTODE DE CONSTRUCCIÓ DEL PUNT DE FERMAT D’UN TRIANGLE
ACUTANGLE AMB REGLA I COMPÀS: SOBRE CADA COSTAT DEL TRIANGLE ORIGINAL
CONSTRUÏM TRIANGLES EQUILÀTERS I UNIM EL VÈRTEX EXTERIOR DE CADASCUN
D’AQUESTS TRIANGLES AMB EL VÈRTEX OPOSAT D’AQUELL. ELS TRES SEGMENTS ES
TALLARAN EN EL PUNT DE FERMAT. VEGI’S L’ESQUEMA SEGÜENT: ( OBSERVEU QUE NO COINCIDEIX AMB EL
BARICENTRE DEL TRIANGLE )
Baricentre d’un triangle
El baricentre d’un triangle és el punt d’intersecció
de les seves medianes.