Kenii

Misión y Visión

Universidad Técnica de Manabí
Misión:
Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas, éticos y
solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo nacional, que contribuyan a
la solución de los problemas del país como universidad de docencia con investigación,
capaces de generar y aplicar nuevos conocimientos, fomentando la promoción y
difusión de los saberes y las culturas, previstos en la Constitución de la República del
Ecuador.

Visión:
Ser institución universitaria, líder y referente de la educación superior en el Ecuador,
promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la técnica y la
cultura, con reconocimiento social y proyección regional y mundial.

Facultad de Ciencias Informáticas

Misión:
Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia y calidad en
la educación, organizada en sus actividades, protagonistas del progreso regional y
nacional.

Visión:
Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias informáticas,
que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a las necesidades de la
sociedad elevando su nivel de vida.

3

I. INFORMACIÓN GENERAL

Programa
 Codificación del curso: Segundo “C”

 Título del curso: CÁLCULO DIFERENCIAL

 Horas de crédito: cuatro (4) créditos

 Horas contacto: 64 horas, II semestre

II. DESCRIPCIÓN DEL CURSO

La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de
otras ciencias, marcando su importancia para la solución de problemas dentro de
un nivel científico. Estas son las razones por la que la carrera incorpora el Cálculo
Diferencial a la malla curricular. El propósito de la asignatura en sus cuatro
capítulos, es conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos al estudiante, en
el análisis de las funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas
y clasificarlas de acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de
límites y su continuidad permiten describir el comportamiento de una función con
propiedades específicas, se hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular
límites por métodos algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, la
noción de la derivada en esta unidad el estudiante aprenderá a calcular la derivada
inicialmente con su definición, y luego hace énfasis con modelos matemáticos que
surgen de las Reglas Básicas de Derivación, las Aplicaciones de las derivadas, hace
énfasis en determinar los Valores Máximos y Mínimos de una función que se
requieren en la práctica en problemas de Optimización donde se pide determinar
el modo óptimo de llevar a cabo un determinado proceso. Así mismo proporciona
al estudiante información adicional y precisa para el Trazo de Curvas. La
programación de la asignatura concluye con la introducción de Diferenciales para
aplicarlas en la Integral indefinida, teniendo como apoyo el software matemático
Matlab y Derive-6, para incentivarlos en la construcción de pequeños Software.

6

POLITICAS DEL CURSO
Las políticas de curso que se aplican en la materia de Cálculo Diferencial para optimizar el
proceso de enseñanza–aprendizaje dentro del aula son los siguientes:

Compromisos Disciplinarios y Éticos

DE LAS RECOMENDACIONES PARA MEJORAR LA CONVIVENCIA, CUIDADO Y EL BUEN USO
DEL AULA DE CLASE.

 Es primordial mantener siempre el respeto como norma principal de convivencia en armonía
entre compañeros y el docente.
 Ser puntuales en todas las actividades programadas.
 Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.
 Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra.
 Evitar interrupciones innecesarias.
 Cuidar y preservar el inmobiliario del aula.
 Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso
 No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.
 Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.
 Comprometernos responsablemente a cumplir con estas recomendaciones tanto estudiantes
como docente.

ASISTENCIA, PUNTUALIDAD Y RESPONSABILIDAD
 La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.
 El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el
retraso de 10 minutos.
 El docente asistirá igualmente con toda puntualidad a las actividades establecidas y los
estudiantes esperarán 10 minutos después de la hora de inicio, en caso de que el docente no se
hubiera comunicado con el líder del curso en este lapso los estudiantes se retirarán y el
docente tiene la obligación de recuperar estas horas.
 El estudiante deberá justificar al docente su inasistencia o atraso, independiente de la
justificación reglamentaria.
 El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá
el docente.
 En caso de emergencia el estudiante solicitará al docente el respecto permiso para el uso del
celular.
 El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no
habrá oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la
universidad.
 Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. No se
aceptarán una segunda oportunidad para la entrega de trabajo.
 Serán por equipo conformado por 4 estudiantes, aplicando el sistema cooperativo en la
investigación.
 La defensa estará a cargo del grupo.
 Se presentará impreso en papel, carpeta plástica de acuerdo al modelo presentado en el curso
y un archivo lógico-caratula con las precauciones necesarias.
 El estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.
 El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante, si se descubre
la copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.
 El estudiante aplicará en su proceso enseñanza-aprendizaje como evidencia y mejoramiento
continuo un portafolio de acuerdo al modelo presentado en el curso.

7

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
SYLLABUS
ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL
1.- DATOS GENERALES
Unidad Académica: Facultad de Ciencias Informáticas
Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos
Ciclo Académico: Septiembre 2012 – Febrero 2013.
Nivel o Semestre: 2do. Semestre
Área de Curricular: Matemáticas
Tipo de Asignatura: Obligatoria de Facultad
Código: OF-280
Requisito para: Cálculo Integral-OF-380
Pre-requisito: Matemáticas Básicas II-OF-180
Co-requisito: Ninguno
No de Créditos: 4
No de Horas: 64
Docente Responsable: Ing. José Antonio Cevallos Salazar, Mg.Sc.
Correo Electrónico: jcevallos@utm.edu.ec, jcs_280@hotmail.com.

2. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA.
El Cálculo Diferencial marca su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel
científico; su propósito es conceptualizar lineamiento teóricos, metodológicos y prácticos en el
estudiante, en el análisis de las funciones, gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de
acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su continuidad permiten
describir el comportamiento de una función con propiedades específicas, calcular límites por
métodos algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, y luego con modelos
matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de Derivación, la Aplicación de las derivadas en
determinar los Valores Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en
problemas de Optimización para un determinado proceso. Así mismo proporciona al estudiante
información adicional y precisa para aplicarla en otras ciencias, teniendo como apoyo el software
matemático Matlab.
3. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA
Desarrollar en los estudiantes el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a
través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde
la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos
en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la Ciencias
Informáticas.

8

4. OBJETIVOS EDUCACIONALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS INFORMÁTICOS

1. Aplicar las ciencias básicas y las matemáticas en la solución de problemas del entorno
2. Aportar a la toma de decisiones que ayudan a desarrollar organizaciones proactivas que
contribuyen al buen vivir
3. Construir soluciones informáticas de calidad que mejoren la eficiencia y eficacia de una
organización haciendo uso correcto de la tecnología.
4. Demostrar compromiso de aprendizaje continuo y trabajo en equipo multidisciplinario con
ética profesional
5. Estar en capacidad para realizar estudios de posgrado con exigencia internacional en áreas
afines.
6. Ser emprendedor, innovador en los últimos avances tecnológicos en el desempeño de su
profesión

1 2 3 4 5 6

x

5. RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
RESULTADOS DEL METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE PONDERACIÓN
EVALUACIÓN APRENDIZAJE

Determinar el dominio, APLICACIÓN Ejercicios Aplicación de 4 Determinará el dominio con la NIVEL ALTO:
aplicación de 4 técnicas, el
rango y gráficas de escritos, orales, técnicas para rango con 4 técnicas y graficará 86-100
funciones en los reales talleres y en los dominio las funciones con 4 técnicas en
a través de ejercicios, Software ejercicios escritos, orales,
aplicando las técnicas Matemático: Aplicación de 4 talleres y en el software
Matemático: Derive-6 y Matlab.
respectivas para cada Derie-6 y Matlab. técnicas para
caso. rango
Aplicación de 4
técnicas para Determinará el dominio, con la
NIVELMEDIO
graficar las aplicación. de 2 técnicas, el
rango con 2 técnicas y graficará
funciones. 71-85
las funciones con 2 técnicas en
ejercicios escritos, orales,
talleres y en un software
Matemático: Matlab

Determinará el dominio, con la
aplicación. de 1 técnica,
NIVEL BÁSICO
el rango con 1 técnicas y
graficará las funciones con 1 70
técnicas en ejercicios escritos,
orales, talleres y en un software
Matemático: Matlab

APRENDIZAJE

Demostrar la existencia APLICACIÓN 10 ejercicios Participación Demostrará la existencia de NIVEL ALTO:
límites y continuidad de
de límites y escritos, orales y activa, e interés funciones en los reales por

9

continuidad de en talleres, en el aprendizaje. medio gráfico a través de 10 86-100
ejercicios escritos, orales y en
funciones en los reales individual y en talleres participativos
por medio gráfico a equipo. Aplicación de los aplicando los tres criterios de
través de ejercicios tres criterios de continuidad de funciones.
participativos continuidad de
Participación activa, e interés
aplicando los criterios función. en el aprendizaje.
de continuidad de Conclusión final si Conclusión final si no es
funciones y las no es continúa la continúa la función.
conclusiones finales si función
no fuera continua.
Demostrará la existencia de
NIVELMEDIO
funciones en los resales por 71-85
medio gráfico a través de 7
talleres participativos
aplicando los tres criterios de
continuidad de funciones.

Conclusión final si no es
continúa la función.

Demostrará la existencia de
NIVEL BÁSICO
funciones en los resales por
medio gráfico a través de 5 70
talleres participativos
aplicando los tres criterios de
continuidad de funciones.

Conclusión final si no es
continúa la función.

APRENDIZAJE

Determinar al procesar APLICACIÓN Determinará al procesar los NIVEL ALTO:
límites de funciones en los
los límites de funciones 86-100
10 ejercicios Aplicación de los reales con la aplicación de los
en los reales a través de teoremas de límites,
ejercicios mediante escritos, orales, teoremas de
teoremas, reglas talleres y en los límites. Con la aplicación de la regla
básicas establecidas y Software básica de límites infinitos,
Matemáticos: Aplicación de las con la aplicación de la regla
asíntotas reglas básicas de básica de límites al infinito y
Derive-6 y Matlab. aplicación de límites en las
límites infinitos.
asíntotas verticales y
Aplicación de las horizontales, en 10 ejercicios
escritos, orales, talleres y en
reglas básicas de el software Matemático:
límites al infinito. Derive-6 y Matlab

Aplicación de
límites en las Determinará al procesar los
NIVELMEDIO
asíntotas límites de funciones en los 71-85
verticales y reales con la aplicación de los
asíntotas teoremas de límites,
horizontales. Con la aplicación de la regla
básica de límites infinitos,
con la aplicación de la regla
básica de límites al infinito
en 7 ejercicios escritos,
orales, talleres y en el
software Matemático: Matlab.

Determinará al procesar los
límites de funciones en los
reales con la aplicación de la NIVEL BÁSICO
regla básica de límites
infinitos, con la aplicación de 70
la regla básica de límites al
infinito en 5 ejercicios
manuales y en el software
Matemático: Derive-6


10

APRENDIZAJE

Determinar la derivada APLICACIÓN Aplicación de los Determinará la derivada de los NIVEL ALTO:
diferentes tipos de funciones en
de los diferentes tipos teoremas de los reales aplicando 86-100
Ejercicios escritos,
de funciones en los orales, talleres y en el derivación. acertadamente los teoremas de
reales a través de Software Matemáticos: derivación, con la aplicación de
ejercicios mediante los Matlab y Derive-6. Aplicación de la la regla de la derivación
implícita, con la aplicación de la
teoremas y reglas de regla de regla de la cadena abierta, con
derivación derivación la aplicación de la regla de la
acertadamente. implícita. derivación de la derivada de
orden superior en ejercicios
Aplicación de la escritos, orales, talleres y en el
software matemáticos: Derive-
regla de la 6y Matlab.
cadena abierta.
Aplicación de la Determinará la derivada de los
regla de diferentes tipos de funciones en
NIVELMEDIO
derivación orden los reales aplicando
acertadamente los teoremas de
superior. derivación, con la aplicación de 71-85
la regla de la derivación
implícita, con la aplicación de
la regla de la derivación de la
derivada de orden superior en
ejercicios escritos, orales,
talleres y en el software
matemático: Matlab.

Determinará la derivada de los
diferentes tipos de funciones en
los reales aplicando
acertadamente los teoremas de NIVEL BÁSICO
derivación, en ejercicios
escritos, orales, talleres y en el 70
software matemático: Matlab.

APRENDIZAJE

Determinar los ANÁLISIS Ejercicios Aplicación del primer Determinará los máximos y NIVEL ALTO:
criterio para puntos mínimos, de funciones en los
máximos y mínimos, de escritos, orales, críticos. reales, con la aplicación del 86-100
funciones en los reales talleres y en el primer criterio para puntos
Aplicación del segundo críticos, con la aplicación del
en el estudio de software
criterio para segundo criterio para
gráficas y problemas de matemático: concavidades y punto concavidades y punto de
optimización a través Matlab. de inflexión. inflexión, con la aplicación del
de los criterios primer y segundo criterio para
Aplicación del primer y el estudio de graficas, y con la
respectivos. segundo criterio para el aplicación del segundo criterio
estudio de graficas. para problemas de
optimización en ejercicios
Aplicación del segundo
criterio para problemas
software matemático: Matlab
de optimización.

NIVELMEDIO
Determinará los máximos y
mínimos, de funciones en los 71-85
reales, con la aplicación del
primer criterio para puntos
críticos, Aplicación del segundo
criterio para problemas de
optimización. En ejercicios
software matemático: Matlab

Determinará los máximos y
mínimos, de funciones en los NIVEL BÁSICO
reales, con la aplicación del
primer criterio para puntos 70
críticos, con la aplicación del
segundo criterio para
concavidades y punto de
inflexión, Aplicación del primer
y segundo criterio para el
estudio de graficas, en
ejercicios escritos, orales y
talleres.

11

5.1 RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA CARRERA ESPECÍFICOS A LOS QUE
APUNTA LA MATERIA (ABET).

a. Capacidad de realizar análisis, síntesis y aplicación de las matemáticas y ciencias
básicas en la solución de problemas de ingeniería en sistemas informáticos.
b. Capacidad de planificar, diseñar, conducir e interpretar resultados de experimentos
orientados a la informática.
c. La capacidad de diseñar sistemas, procesos, modelos y componentes informáticos que
cumplan los estándares nacionales o internacionales, tomando en cuenta las
limitaciones económicas, ambientales, sociales, políticas, de salud y seguridad del
entorno, y cumpliendo satisfactoriamente con las especificaciones y restricciones
existentes o indicadas por los interesados o por los criterios de sostenibilidad.
d. Capacidad para funcionar como parte de un equipo de profesionales de distintas áreas
del conocimiento, demostrando una efectiva cooperación, comunicación, con
habilidades para resolver conflictos y contribuyendo proactivamente en la propuesta
de líneas estratégicas desde el punto de vista informático, para la solución de
problemas.
e. Capacidad para identificar, formular, evaluar y resolver técnicamente problemas de
ingeniería planteados de acuerdo a las necesidades del medio.
f. Capacidad para comprender, reconocer y aplicar valores y códigos de ética profesional,
que le permitan desenvolverse sin perjudicar a sus clientes y contribuyendo al
desarrollo de la sociedad.
g. Habilidad para presentar efectivamente, ideas, proyectos, informes de investigaciones,
documentos de trabajo de manera escrita, oral y digital, utilizando las herramientas de
las nuevas tecnologías de la información.
h. Habilidad y capacidad para comprender el impacto de las soluciones informáticas a la
realidad local, nacional e internacional en un contexto económico global, ambiental y
social.
i. Habilidad y aptitud para ser un profesional con el compromiso del aprendizaje
continuo, con capacidad para reconocer las oportunidades para mejorar en su campo
profesional.
j. Habilidad para identificar temas y problemas de actualidad con respecto al entorno
local, regional y global, con el fin de relacionarlos con propuestas de soluciones
creativas y eficientes.
k. Capacidad y destreza para utilizar técnicas, habilidades y herramientas en el
desarrollo de software y hardware para implementar soluciones a problemas de su
profesión.

Contribución de la materia a los resultados de aprendizaje de la carrera:
A: Alta M: Medio B: Baja

a b c d e f g h i j k

A M B

12

6. PROGRAMACIÓN DE LA ASIGNATURA

1. Resultados del Aprendizaje No 1: Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas
respectivas para cada caso.

FECHAS Nº DE TEMAS ESTRATEGIAS RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
METODOLÓGICAS
HORAS

Sept. 25 TOTAL UNIDAD I Dinámica de 1. Bibliografías- ANÁLISIS
MATEMÁTICO. JUAN
16 integración y Interactivas, 2. 2.
Oct.23 ANÁLISIS DE FUNCIONES MANUEL SILVA,
socialización, Pizarra de tiza ADRIANA LAZO. 2006.
2 LIMUSA NORIEGA.
PREFACIO. documentación, líquida,
presentación de los
ANÁLISIS DE FUNCIONES. 3. Laboratorio de
temas de clase y
Computación, LAZO PAG. 124-128-
PRODUCTO CARTESIANO. objetivos, lectura de 142
motivación y video 4. Proyector,
 Definición: Representación gráfica.
del tema, técnica
5. Marcadores6.
RELACIONES: lluvia de ideas, para
Software de,
interactuar entre los
 Definición, Dominio y Recorrido de una Matlab
receptores.
Relación.

FUNCIONES:
Observación del CALCULO CON
2  Definición, Notación
diagrama de GEOMETRIA
ANALITICA. TOMO I
 Dominio y recorrido. secuencia del tema
LARSON-HOSTETLER-
con ejemplos EDWARDS.EDISION
 Variable dependiente e independiente.
específicos para
OCTAVA EDICIÓN. MC
2  Representación gráfica. Criterio de Línea interactuar con la GRAWW HILL 2006
Vertical. problemática de
interrogantes del
 Situaciones objetivas donde se involucra LARSON PAG. 4, 25-37-
problema, método
el concepto de función. 46.
inductivo-deductivo,
 Función en los Reales: inyectiva,
sobreyectiva y biyectiva Representación
LAZO PAG. 857-874,
gráfica. Criterio de Línea horizontal. Definir los puntos
891-919.
2 importantes del
 Proyecto de Investigación.
conocimiento LAZO PAG. 920-973
TIPOS DE FUNCIONES: interactuando a los
LAZO PAG. 994-999-
estudiantes para que
 Función Constante 1015
expresen sus
 Función de potencia: Identidad, conocimientos del
2 cuadrática, cúbica, hipérbola, equilátera tema tratado,
y función raíz. aplicando la Técnica
Activa de la Memoria
 Funciones Polinomiales
Técnica
 Funciones Racionales

 Funciones Seccionadas
Talleres intra-clase,
2  Funciones Algebraicas. para luego

 Funciones Trigonométricas. reforzarlas con
tareas extractase y
 Funciones Exponenciales. aplicar la CALCULO. TOMO 1,
información en PRIMERA EDICIÓN,
 Funciones Inversas
ROBERT SMITH-

13

 Funciones Logarítmicas: definición y software para el área ROLAND MINTON, MC
GRAW-HILL.
propiedades. con el flujo de
INTERAMERICANA.
información. 2000. MC GRAW HILL.
 Funciones trigonométricas inversas.

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES:
SMITH PAG. 13-14

 Técnica de grafica rápida de funciones. SMITH PAG. 23-33-41-
51
COMBINACIÓN DE FUNCIONES:
SMITH PAG. 454

 Algebra de funciones: Definición de
2 suma, resta, producto y cociente de
funciones.

 Composición de funciones: definición de
función compuesta
2

2. Resultados del Aprendizaje No 2: Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico, aplicando los criterios de
continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continúa.

3. Resultados del Aprendizaje No 3: Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas
establecidas y asíntotas.

FECHAS Nº DE TEMAS ESTRATEGIAS RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
METODOLÓGICAS
HORAS

Oct. 25 TOTAL12 UNIDAD II Dinámica de 1.Bibliografías- LAZO PÁG. 1029

Nov. 15 integración y Interactivas LAZO PÁG. 1069
2 APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
socialización,
2. Pizarra de SMITH PÁG. 68
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. documentación,
tiza líquida. LARSON PÁG. 46
 Concepto de límite. Propiedades
temas de clase y 3. Laboratorio
de límites.
objetivos, lectura de LAZO PÁG. 1090

 Limites Indeterminados de motivación y Computación.
video del tema,
LÍMITES UNILATERALES 4.Proyector
técnica lluvia de LAZO PÁG. 1041
 Limite Lateral derecho ideas, para 5.Marcadores
2
interactuar entre
 Limite Lateral izquierdo. 6.Software de
los receptores.
derive-6,
 Limite Bilateral.
Matlab
LÍMITES INFINITOS
Observación del LAZO PÁG 1090
 Definiciones diagrama de LARSON PÁG. 48
secuencia del tema
 Teoremas.
con ejemplos
LÍMITES AL INFINITO específicos para
SMITH PÁG. 95
interactuar con la
 Definiciones. Teoremas.
problemática de
 Limites infinitos y al infinito. interrogantes del
2
problema, método
ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS.
inductivo- LAZO PÁG 1102
 Asíntota Horizontal: Definición. deductivo,
SMITH PÁG. 97
 Asíntota Vertical: Definición.
2
 Asíntota Oblicua: Definición. Definir los puntos
importantes del
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS.
conocimiento

14

 Límite Trigonométrico interactuando a los
fundamental. estudiantes para LAZO PÁG. 1082
que expresen sus
 Teoremas. LARSON PÁG. 48
conocimientos del
2
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO. tema tratado,
aplicando la
 Definiciones.
Técnica Activa de la
 Criterios de Continuidad. Memoria Técnica LAZ0 PÁG. 1109

 Discontinuidad Removible y Tareas intra-clase,
Esencial. para luego
reforzarlas con
2 tareas extractase y
aplicar la
información en
software para el
área con el flujo de
información.

4. Resultado del aprendizaje No 4: Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y
reglas de derivación acertadamente.

FECHAS NO DE TEMAS ESTRATEGIAS RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
METODOLÓGICAS
HORAS

Nov. 27 TOTAL12 UNIDAD III Dinámica de 1.Bibliografías-
integración y Interactivas
Dic. 13 2 CALCULO DIFERENCIAL PENDIENTE DE LA RECTA socialización, LAZO PÁG. 1125
TANGENTE documentación, 2. Pizarra de
tiza líquida. SMITH PÁG. 126
DEFINICIONES.
temas de clase y LARSON PÁG. 106
3. Laboratorio
DERIVADAS. objetivos, lectura
de
de motivación y
Computación.
 Definición de la derivada en un video del tema,
punto. técnica lluvia de SMITH PÁG. 135
4.Proyector
ideas, para SMITH PÁG. 139
 Interpretación geométrica de la interactuar entre 5.Marcadores
derivada. los receptores. LARSON PÁG. 112
6.Software de
 La derivada de una función. derive-6,
Matlab
 Gráfica de la derivada de una Observación del LAZO PÁG. 1137
función. diagrama de
secuencia del tema SMITH PÁG. 145
 Diferenciabilidad y Continuidad.
con ejemplos
LARSON PÁG. 118
específicos para
2 interactuar con la
CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE problemática de
TIPO ALGEBRAICA. interrogantes del LAZO PÁG 1155
problema, método
 Derivada de la función Constante. inductivo- SMTH 176
 Derivada de la función Idéntica. deductivo,
LARSON PÁG. 141
 Derivada de la potencia.

 Derivada de una constante por la Definir los puntos
LAZO PÁG. 1139
función. importantes del
2 conocimiento SMITH PÁG. 145
 Derivada de la suma o resta de las interactuando a los
funciones. estudiantes para LAZO PÁG. 1149
que expresen sus
 Derivada del producto de conocimientos del SMITH PÁG. 162
funciones. tema tratado,
LARSON PÁG. 135
aplicando la
 Derivada del cociente de dos
Técnica Activa de la LAZO PÁG. 1163
funciones.
Memoria Técnica
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA. SMITH PÁG. 182

 Regla de la Cadena. LARSON PÁG. 152
Tareas intra-clase,
 Regla de potencias combinadas con para luego SMITH PÁG. 170
la Regla de la Cadena. reforzarlas con
2 tareas extractase y LARSON PÁG. 360
DERIVADA DE LA FUNCION POTENCIA PARA aplicar la
EXPONENTES RACIONALES. información en

15

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. software para el SMITH PÁG. 459
DERIVADA IMPLICITA. información. LARSON 432

Método de diferenciación Implícita.

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARITMICAS
LAZO PÁG. 1163
Derivada de:
SMITH PÁG. 149
 Funciones exponenciales.

 Derivada de funciones
2 exponenciales de base e.

 Derivada de las funciones
logarítmicas.

 Derivada de la función logaritmo
natural.

 Diferenciación logarítmica.

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS.

2 DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.

 Notaciones comunes para
derivadas de orden superior.

5. Resultado del Aprendizaje No 5: Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a
través de los criterios respectivos.

FECHAS NO DE TEMAS ESTRATEGIAS RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
METODOLÓGICAS
HORAS

Dic. 18 TOTAL24 UNIDAD IV Dinámica de 1.Bibliografías- LAZO PÁG. 1173

En. 28 integración y Interactivas LAZO PÁG. 1178
2 APLICACIÓN DE LA DERIVADA.
socialización,
2. Pizarra de SMITH PÁG. 216
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA documentación,
tiza líquida. LARSON 176
2 NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO. presentación de los
temas de clase y 3. Laboratorio
VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS.
objetivos, lectura de de
 Máximos y Mínimos Absolutos motivación y video Computación.
de una función. del tema, técnica
4.Proyector
lluvia de ideas, para
 Máximos y Mínimos Locales de
interactuar entre los 5.Marcadores
una función.
2 receptores.
6.Software de
 Teorema del Valor Extremo.
derive-6,
 Puntos Críticos: Definición. Matlab
2 Observación del
FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. diagrama de LAZO PÁG. 1179
DERIVADA. secuencia del tema SMITH PÁG. 225
con ejemplos
 Función creciente y función LARSON 176
2
específicos para
Decreciente: Definición.
interactuar con la
 Funciones monótonas. problemática de
2 interrogantes del
 Prueba de la primera derivada
problema, método
para extremos Locales.
inductivo-deductivo,
CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN.
LAZO PÁG. 1184
 Concavidades hacia arriba y SMITH PÁG. 232
Definir los puntos
concavidades hacia abajo:
importantes del
Definición.
conocimiento
interactuando a los

16

2  Prueba de concavidades. estudiantes para que
expresen sus
 Punto de inflexión: Definición.
conocimientos del
 Prueba de la 2da. Derivada para tema tratado,
LAZO PÁG. 1191
extremo locales. aplicando la Técnica
SMITH PÁG. 249
Activa de la Memoria
2 Técnica LARSON 236

TRAZOS DE CURVAS.
Tareas intra-clase,
 Información requerida para el para luego
trazado de la curva: Dominio, reforzarlas con LAZO PÁG. 1209

coordenadas al origen, punto de tareas extractase y SMITH PÁG. 475

2 corte con los ejes, simetría y aplicar la LARSON PÁG. 280
asíntotas información en
software para el
 Información de 1ra. Y 2da.
Derivada
información.
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN.

PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS.
2
INTRODUCCION DE CONOCIMIENTOS

2  Diferenciales. Definición.
2
 Integral Indefinida. Definición.

SUSTENTACION DE PROYECTOS DE INVESTIGACION

7. COMPROMISOS DISCIPLINARIOS Y ÉTICOS
 Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.
 Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra..
 Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso
 No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.
 Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.
 La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.
 El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el
retraso de 10 minutos.
 El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá
el docente.
 El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no
habrá oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la
universidad.
 Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. El
estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.
 El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante. Si se descubre
la copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.

17

8. PARÁMETROS PARA LA EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES.

DESCRIPCIÓN MEDIO CICLO FIN DE CICLO TOTALES

Exámenes 15% 15% 30%

Actividades Pruebas Escritas 5% 5% 10%
varias
Participaciones en Pizarra 5% 5% 10%

Tareas 5% 5% 10%

Investigación Portafolio 5% 5% 10%

Informe escrito (avance-físico) 15% 15%

Defensa Oral-informe final(lógico y 15% 15%
físico) (Comunicación matemática
efectiva )

TOTAL 50% 50% 100%

9. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
 LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.
 STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson
Editores. México.
 THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial
Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.
 GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.
 LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de
la Universidad Central. Ecuador.

 PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes, ZUÑIGA
Leopoldo, GÓMEZ José Luís, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo
Diferencial para ingeniería.

 PÉREZ LÓPEZ César. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.
 www.matemáticas.com

18

10. REVISIÓN Y APROBACIÓN

DOCENTE RESPONSABLE DIRECTOR(A) DE PRESIDENTE(A) DE COMISIÓN
CARRERA ACADÉMICA
Ing. José Cevallos Salazar Mg.Sc.

Firma: Firma: Firma:

_______________________ _______________________ _______________________

Fecha: 2 de Abril del 2012 Fecha: Fecha:

19

CARTA DE PRESENTACIÓN

Este portafolio presenta mi trayectoria en el curso de: CÁLCULO
DIFERENCIAL, este curso tuvo como objetivos desarrollar las destrezas
de el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a
través de la solución de problemas que permitan percibir e interpretar
su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitando en el
futuro la asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las
matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la
ciencias informáticas. Durante este semestre pude conocer sobre

Las técnicas presentadas por el docente me ayudaron a mejorar como
futuro profesional de la Informática.

Las áreas más dificultosas en curso fueron

21

Kenia Andreina Alava García

Portoviejo-Calle 3 de Mayo y Santana

Tel: 085483348- 2933238

Kenya_2207@live.com

Universidad Técnica de Manabí

Facultad de Ciencias Informáticas

2do Semestre “A”

Mi nombre es Kenia Andreina Álava García, soy estudiante de la
asignatura de CALCULO DIFERENCIAL, actualmente curso el segundo
semestre en la facultad de Ciencias Informáticas de la universidad
Técnica de Manabí. Soy una persona responsable, organizada y me
gusta trabajar en equipo.

Mis principales áreas de interés son sin duda el funcionamiento y
desarrollo de las tecnologías informática, el aprende cada día.

Mis metas son convertirme en profesional como ingeniera en Sistemas
Informáticos, llegar a ejercer mi carrera de calidad para así poder tener
un buen estatus económicos, lograr ayudar al avance tecnológico
desarrollando nuevas tecnologías.

Unos de mis principales sueños es no depender de nadie y que tenga
los conocimientos suficientes para valerme por si misma, cumplir con
todos mis deberes y obligaciones siempre teniendo en cuenta mis
principios y valor.

Tengo demasiados sueños que se que con esfuerzos y valentía llegare a
cumplir cada uno de ellos.

Ser cada día mejor.

23

INTRODUCCIÓN
En el siguiente resumen se da a conocer información sobre la clase#1 de cálculo diferencial en
la cual se ha iniciado con una breve explicación sobre el capítulo respectivo.

En la primera clase se tomaron en cuenta varios factores acerca de las funciones como:

1. Dominio.
2. Co-dominio.
3. Imagen.

RESUMEN

Se comenzó con la presentación del profesor, con la forma de trabajar de él, nos mostró un
video titulado “Oración a mismo”, uno de cada miembros de estudiante dio su reflexión acerca
del video, se eligió el asiste, nos presentó el portafolio del docente del semestre anterior y el
portafolio del docente actual, también vimos el portafolio estudiantil.

En la primera clase del “Capitulo #1” se dio la explicación correspondiente sobre el tema
relacionado a “Funciones” correspondiente al capítulo antes mencionado, tomando como
principio de la clase el siguiente tema:

“Relaciones, Funciones - Variables, Producto Cartesiano”

Las relaciones de funciones se basa en una relación entre dos conjuntos en el cual el conjunto A
será el Dominio y el conjunto B el Co-dominio. La relación entre el dominio y el Co-dominio se
denomina imagen, recorrido o rango.

Datos interesantes discutidos:

Después comenzamos con la presentación del tema, nos explicó que:

 La función relaciona los elementos de 2 conjuntos, que siempre será relación pero una
relación nunca será función.
 La relación es comparar los elementos.
 Dominio es el conjunto de elementos que tienen imágenes
 Condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable
La imagen (I) o rango (Ra), recorrido (R), es un conjunto de llegada que se conecta con
el dominio respectivo. Imagen (I) Recorrido (R) Rango (Ra)
A B

-4 1
-3
-2 0
-1
Dominio 4 Condominio
0
1 25
2
3 16
4
9

25

A B

2 -1

5 5

7 Imagen 14

Dominio Co-dominio

Una imagen es la agrupación entre el dominio y el Co-dominio que da como resultado un par.
La relación entre el dominio y el Co-dominio produce un conjunto de pares.

A B= {(2,14) ;(1,7)…}

En una función podemos encontrar dos tipos de variables: Dependientes e Independientes, y a
esto se agregan las constantes. Las variables independientes son aquellas que no dependen de
ningún otro valor, en cambio las dependientes dependen de la otra variable. Las constantes son
valores que no cambian durante la función por lo tanto no se alteran ni cambian sus valores.

Variable dependiente Y = X² + 2X – 1 constante

Variable independiente

Las funciones son representadas por el símbolo “f(x)”, en el que la f no es indispensable, ya que
puede ser reemplazado por cualquier otra letra (esto denota que se habla de una función
matemática).

Dependiendo de lo dicho anteriormente referente a las funciones podemos encontrar dos tipos
de funciones:

 Funciones Explicitas.
 Funciones Implícitas.
Las funciones Explicitas se refieren a una función definida en su totalidad.

Y = X² + 2X – 1
Las funciones Implícitas son contrarias a las explicitas, por lo consiguiente no se encuentran
definidas.

Y + 5 = 2X + 3 – X

26

 Variable dependiente, no depende de otra variable mediante el proceso matemático,
ejemplo: f(x)=x,y o f(x)es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se
subministra a x.

 Variables Independiente, depende de otra variable, ejemplo: x ya que la y es la que
depende de los valores de x.

 Función implícita, no está definida con ninguna de las variables, ejemplo:
y2+x-1=x2-6

 Función explicita, está definida con las variables, ejemplo:
Y=x2-2x+1

 Función creciente, al medida que aumenta el dominio aumento la imagen

 Función decreciente, a medida que aumenta su dominio disminuye su imagen

 Función constante, a medida que aumenta su dominio igual será su imagen

 Par, de estar formado por un dominio y un condominio

 Plano cartesiano, está formando por dos rectas, una horizontal y otra vertical que se
corta en un punto.

También nos vimos como poder reconocer una función mediante
el criterio de recta vertical, en un plano cartesiano, esto se realiza
pasando una recta perpendicular paralela a la ordenada (y) si
corta un punto es función, si corta 2 o más no es función.

Producto cartesiano._ El producto cartesiano nos permite
representar de manera gráfica cualquier función, siempre y
cuando sea de forma explícita y se realice la comprobación
correspondiente aplicando el “Criterio de la recta”.

Función No función

El criterio de la recta._ El criterio de la recta nos indica, al trazar una recta vertical se
forma una paralela a la ordenada porque corta un punto de la gráfica y su dominio A se conecta
una y solamente una vez con su imagen B.

27

Realizamos ejercicios donde podemos verificar si hay funciones en las relaciones

y=2x+1

Esta es una función por que la y tiene un resultado.

y2=4-x2

Si resolvemos este ejercicio nos quedaría así:

y2=2-x2

y=

Esta no es una función porque y tiene como dos resultado con signo diferentes.

Otros detalles que analizamos fueron:

Resultado

f(x)

Ordenar

Galare, es la tabla de resumen de datos ejemplo:

x y
-4 25
-3 16
-2 9
-1 4
0 1

¿Qué cosas fueron difíciles?
La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la metodología del
profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.

¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil reconocer en el plano cartesiano cuales eran funciones gracias al método que el
profesor nos enseñó y como se forman las imágenes saber reconocer una imagen.

¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder diferenciar en el plano cartesiano cuales de las figuras son
funciones y cuales no son.

28

DIARIO METACOGNITIVO

RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”A”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 2
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes 2-jueves 4 de Octubre del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Tema discutido: Unidad I:
Funciones:

 Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función
 Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
 Gráfica, criterio de recta horizontal

Tipos de Funciones:

 Función Constante
 Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola y
función raíz

Objetivos de desempeño:

 Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función
 Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

Competencia general:

 Definir de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de funciones.

Datos interesantes discutidos hoy:

Comenzamos con el video de reflexión con el nombre “Lluvia de Ideas”, este se tratada
de decir en pocas palabras como había uno amanecido con sus alegrías y sus
preocupaciones. Abrimos el programa de MATLAB, para verificar el manejo de dicho
programa, realizando algunos ejercicios como:
>>figure (4)
y=(x-1)/(x)

29

y= (x-1)/x
>>ezplot(4)

30

FUNCION INYECTIVA

31

FUNCION SOBREYECTIVA

32

Las cosas que fueron un poco difícil era definir los modelos matemáticos y diferencial.sobre las
funciones dadas

Se me hizo fácil reconocer las función inyectiva,. sobreyectiva y biyectiva

En esta clase aprendí a poder diferenciar los tipos de funciones y le criterio de las recta vertical
empleada en la funciones dadas

33

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE
CIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0
MICROCURRICULAR No 3

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

CONTENIDOS:

TIPOS DE FUNCIONES:

 Función polinomio,
 Función racional,
 Funciones seccionadas,
 Función algebraica.
 Funciones trigonométricas.
 Función exponencial
 Función inversa,
 Función logarítmica: definición y propiedades,
 Funciones trigonométricas inversa,
 Transformación de funciones: técnica de graficacion rápida de funciones
 Problemas

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
 Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

COMPETENCIA GENERAL:

 Trazar graficas de diferentes tipos de funciones

Datos interesantes discutidos hoy:

 En el día de hoy en los temas discutidos empezamos con el video de reflexión
sobre AQUÍ ESTOY YO el cual nos mostró que dios esta con todos para
ayudarnos en todo los problemas, el cual aprendemos hacer todas las clases de
funciones.

34

FUNCIÓN POLINOMIO

TIPOS DE FUNCIONES

35

Funciones Seccionadas

36

Las cosas que se me hicieron muy difícil fueron las funciones trigonometrías

En los temas que vimos el día de hoy fueron la trasformación de funciones con la técnica rápida
de graficacion

En la reflexión aprendí que dios nunca nos abandona ni en nuestros peores momento aunque
parezca algo imposible siempre le va estar para ayudarnos

40

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA


CONTENIDOS:

COMBINACIÓN DE FUNCIONES:

 Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones,
Silva Laso, 994
 Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999

APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

 Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68, Larson,
46
 Límites indeterminados, Silva Laso, 1090

LIMITES UNILATERALES

 Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041
 Límite lateral izquierdo
 Límite bilateral

ASÍNTOTAS:

 Asíntotas verticales, definición, gráficas, Silva Laso, 1102, Smith, 97
 Asíntotas horizontales, definición, gráficas.
 Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:

 Definir operaciones con funciones.
 Definir y calcular límites.


 Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones aplicando criterios

41

Algebra De Funciones

42

Concepto de limites

43

CONTINUIDAD

Criterios de continuidad

Para que una función sea continua en un punto debe cumplir los siguientes criterios:

 El limite en ese punto debe existir
 La funcion evaluada en ese punto debe existir
 El resultado de los dos criterios anteriores deben ser iguales

Discontinuidad removible y esencial

45

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

FECHA: Martes 1-jueves 15 de Noviembre del 2012.

Contenido

LIMITE INFINITO:

 Definición, teoremas, Silva Laso, 1090, Larson, 48

LIMTE AL INFINITO:

 Definición, teoremas.
 Limite infinito y al infinito, Smith, 95

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

DERIVADA:

 Definición de la derivada en un punto, Smith, 135
 Interpretación geométrica de la derivada.
 La derivada de una función
 Gráfica de la derivada de una función, Smith, 139
 Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

 Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.
 Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
 Definir todos los modelos matemáticos sobre derivadas aprendidos en clases.


 Definición y cálculo de límites aplicando criterios, aplicación de modelos matemáticos
de las derivadas.

48

La derivada de una función
En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una curva
dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvo como
resultado dos límites:

50

Gráfica de la derivada

Aquí está la gráfica de una función continua
y diferenciable f (x).

51

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0
(h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante
(en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la
figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente con ese mismo eje, en el
triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

53

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja
se acerca a la línea azul por lo que:
tg ah tiende a tg a, es decir,
a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto,
pues es el núcleo por
el que después entenderás otros
conceptos,
si no es así, dímelo

54

Kenii

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