1.  LOS NÚMEROS DE IDENTIFICACIÓN Y CÓDIGOS DE BARRAS:
Objetivos:
a) identificar inequívocamente a la persona o cosa
b) autocontrol del número
La transmisión libre de errores, garantiza la eficiencia de los sistemas de
información de los bancos, de los hipermercados, del correo postal, de los
tiquetes aéreos, de las tarjetas de crédito, etc. Por esta razón, se utiliza el
último dígito (Low Significant Digit: LSD) como un código detector de error. El
último dígito es un dígito de verificación que es congruente módulo n con cierta
suma ponderada de las cifras del número que se quiere verificar o controlar la
ausencia de errores. En los impresos se utilizan códigos de barras que
traducen las cifras decimales en números binarios.
En estos impresos también aparecen las letras (CK) (que simbolizan “check”
encima del último dígito del número de identificación.
Por ejemplo
 El servicio postal de E. U. utiliza números de identificación de 10 cifras
más en dígito de verificación que se obtiene del residuo de dividir el
número entre 9, es decir:
𝑛 ≡ 𝐶𝐾 (𝑚𝑜𝑑. 9)
El número es congruente con el residuo CK módulo 9. Si el número es
18384459312-CK, el check se calcula realizando la división del número por 9,
esto es:
1838459312 ÷ 9 = 204273256 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑑𝑒 8.
Este residuo es el código de detección de error de tal manera que el número de
identificación es
18384593128, 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑙𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒𝑛: 1838459312 − 8.
 Los cheques viajeros American Express utilizan números de
identificación de 9 cifras más el “check”. El dígito de control CK se
obtiene así: se efectúa la suma de sus cifras y se suma el CK, de tal
manera que la suma total sea divisible por 9.

2. Esto se expresa simbólicamente así:
𝑎𝑖 + 𝐶𝐾 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑9)
𝑖=9
𝑖=1
Así, si el número es 452835227-CK, la suma: 4+5+2+8+3+5+2+2+7 = 38,
más el dígito de control CK = 7
(38 + 7 = 45 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑. 9)).
El número de identificación completo será 452835227-7.
 Los servicios postales privados como Fed Ex y UPS y los tiquetes
aéreos utilizan una congruencia módulo 7 con números de identificación
de 10 cifras.
𝑛 ≡ 𝐶𝐾 (𝑚𝑜𝑑. 7)
Así, para el número 1148253694-CK, el CK se calcula:
1148253697 ÷ 7 = 164036242 con un residuo de 3,
de tal manera que el 𝐶𝐾 = 3.
 El código universal de productos UPC es un número de identificación de
11 cifras cuyo “check” se calcula con la siguiente expresión:
3𝑥 𝑎2𝑖−1 + 𝑎2𝑖 + 𝐶𝐾
𝑖=5
𝑖=1
𝑖=6
𝑖=1
≡ 0 (𝑚𝑜𝑑10)
Por ejemplo para el número 45283598235 –CK se calcula:
3(4+2+3+9+2+5) + (5+8+5+8+3) = 3×25+29 = 104,
Entonces, 104 + 𝐶𝐾 = 104 + 6 = 110 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑. 10), de donde 𝐶𝐾 = 6.
 ISBN
El método usado en todo el mundo para calcular el dígito de control del
Internacional Standard Book Number, ISBN, (en español, Número Estándar
Internacional de Libros o Número Internacional Normalizado del Libro
número de identificación de todos los libros que se imprimen en la
actualidad se calcula ponderando cada una de las 9 cifras por su propio
número de orden. La suma de esos productos es congruente con el
𝐶𝐾 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 11.

3. Simbólicamente:
𝑖𝑎𝑖 ≡ 𝐶𝐾 (𝑚𝑜𝑑 11)
Por ejemplo, el libro Matemática Digital tiene por ISBN el número
958-600-821-CK. El dígito de control CK se calcula así:
9×1+5×2+8×3+6×4+0×5+0×6+8×7+2×8+1×9 = 148
148÷11 = 13 y residuo 5; por lo tanto CK = 5 porque 148 ≡ 5 (𝑚𝑜𝑑. 11) y el
ISBN de este libro es escribirá:
958 − 600 − 821 − 5.
Sin embargo a partir del 2007 se utilizan 13 dígitos, siendo el último
0 ≤ 𝑥13 ≤ 9 un dígito de control, que se calcula con la fórmula:
𝑋13 ≡ − 𝑥2𝑖−1 + 3𝑥2𝑖 (𝑚𝑜𝑑10)
𝑖=6
𝑖=1
Un ejemplo para este caso sería el libro Orgullo y Prejuicio, tiene por ISBN
el número
978-84-9764-693-CK. El CK se calcularía con la anterior fórmula
𝑋13 ≡ − 𝑥2𝑖−1 + 3𝑥2𝑖 (𝑚𝑜𝑑10)
𝑖=6
𝑖=1
𝑥1= 9 𝑥2=7 𝑥3=8 𝑥4=8 𝑥5=4 𝑥6=9
𝑥7= 7 𝑥8=6 𝑥9=4 𝑥10=6 𝑥11=9 𝑥12=3
𝑿 𝟏𝟑 ≡ − 𝒙 𝟏 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟓 + 𝟑𝒙 𝟔 + 𝒙 𝟕 + 𝟑𝒙 𝟖 + 𝒙 𝟗 + 𝟑𝒙 𝟏𝟎 + (𝒙 𝟏𝟎 + 𝟑𝒙 𝟏𝟐 )
𝑿 𝟏𝟑 ≡ − 𝟗 + 𝟐𝟏 + 𝟖 + 𝟐𝟒 + 𝟒 + 𝟐𝟕 + (𝟕 + 𝟏𝟖) + 𝟒 + 𝟏𝟖 + (𝟗 + 𝟗)
𝑿 𝟏𝟑 ≡ − 𝟑𝟎 + 𝟑𝟐 + 𝟑𝟏 + 𝟐𝟓 + 𝟐𝟐 + 𝟏𝟖
𝑿 𝟏𝟑 ≡ −𝟏𝟓𝟖
−𝟏𝟓𝟖 ≡ 𝟐 (𝒎𝒐𝒅 𝟏𝟎)
Y efectivamente el ISBN de éste libro es 978-84-9764-693-2 como se logra ver
en la siguiente fotografía: