カークマンの女学生問題と有限幾何

カークマンの女学生問題
と有限幾何の分割
Kirkman s problems and Parallelisms
@yam6da

Kirkmanの女学生問題

問題

組合せ
デザイン
Design

有限幾何

平行

Finite Geometry

Parallelism

Kirkmanの女学生問題

問題

カークマンの女学生問題
15人の女学生がいる。この女学生たち
は、毎日3人ずつ5組の班に分かれて登校す
る。1週間のうちに、どの学生も他の14人
とちょうど1回ずつ一緒に登校できるよう
に、一週間の班の振分けを考えよ。

1
2
3
4
5
6
7

日目

日目

日目

日目

日目

日目

日目

15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは？

カークマンの問題の条件
(Kirkman s school girl problem)

• 15人の女学生
• 5組 7日＝35個の3人組に分ける
• どの2人も1回しか同じ組にならない
• どの人も7回出現する
• 毎日全員が登校する


• 35個の3人組に分ける
• どの2人も1回しか同じ組にならない
• 毎日全員が登校する

組合せデザイン
Combinatorial Design

カークマンの女学生問題の答えは

ブロックデザイン
(Balanced Incomplete Block Design, BIBD)

の一種

ブロックデザイン(BIBD)
(Balanced Incomplete Block Design)

点と呼ばれる有限集合Xと、ブロックと呼ばれる
Xの部分集合族Bの組(V,B)で、次の性質を満たすもの。

1-均衡性

どの1点も、

2-均衡性

どの

正則性

それを含むブロックの数は同じ

2点も、

それらを同時に含むブロックの数は同じ

ブロックの要素数は一定

ブロックデザインとは

0 1 3
1 2 4

7個の点を

2 3 5

0から６までの

3 4 6

7つのブロックに分けます。

0 4 5
1 5 6
0 2 6


0 1 3
1

1 2 4
2 3 5
2

3 4 6

5
0

0 4 5
4

1 5 6
0 2 6

3

6


1-均衡性

どの1点も、

3

どの点もつの
ブロックの上にある

1

2

5
0

4

3

6


2-均衡性

2

どの2点も、
それらを同時に含むブロック数は同じ

1

どの点もつの
ブロックの上にある

1

2

5
0

4

3

6



1-均衡性

どの1点も、

2-均衡性

どの

正則性


2点も、




v

Xの要素数

1-均衡性

どの1点も、

2-均衡性

どの

正則性


2点も、




v

Xの要素数

1-均衡性

どの1点も、

2-均衡性

どの

正則性


2点も、



k
ブロックサイズ


v

Xの要素数

1-均衡性

どの1点も、

λ


会合数

2-均衡性

正則性

2点も、

どの



k
ブロックサイズ

強さ


2-(v,k,λ)デザイン
全体集合
の要素数

各ブロック
の要素数

2点を
含むブロックの数

1

2

5
0

2-(7,3,1)デザイン

4

3

6


• 5班 7日=35個の3人組に振分け
• どの2人も1回だけ同じ組になる
• 毎日全員が現れる


正則性



正則性
2-均衡性



正則性
2-均衡性
1-均衡性



正則性
2-均衡性
1-均衡性
分解可能性



正則性
2-均衡性
1-均衡性
分解可能性

作りたいのは、分割可能 - 2-(15,3,1)デザイン

35個のブロックを7つに分割・各分割に全員入る

分割可能デザイン
(Resolvable Balanced Incomplete Block Design)

ブロックの分割があって、
各分割に全ての点が1つずつ入っている
ようなデザインを分割可能であるといいます。
特に、分割可能なk=3, λ=1のデザインは、
カークマンの三つ組系として
Kirkman Triple System

深く研究されています。

t-デザイン
(t-design)


1-均衡性

どの1点も、

t -均衡性

どの

正則性


t 点も、



• 強さt は大きい方がよい(対称性が高い)
• 会合数λは小さい方がよい
強さが4以上で会合数が1のものはとても珍しい

デザイン理論の興味

• あるパラメタのデザインが存在するか
• 存在すれば(同型を除いて)いくつあるか
• 系統的にデザインを得るアルゴリズム
• デザインと等価な概念
• デザインの応用

一般カークマン問題
v人の女学生がいる。この女学生たち
は、毎日3人ずつの班に分かれて登校す
る。(v-1)/2日間のうちに、どの学生
も他の全員とちょうど1回ずつ一緒に登校で
きるように、(v-1)/2日分の班の振分けを考
えよ。

一般カークマン問題
v人が3人ずつの班に分けられるので
vは3の倍数
日程 (v-1)/2 が整数でないといけないので
vは2で割って1余る数

v

3 (mod 6) が必要条件

(これが十分条件であることが1971年に示され、一般カークマン問題は解決された。)

一般カークマン問題の解決は1971年！
(1850年の問題が120年かかった！)

• もともとのカークマンの問題(15人ver.)
の解は同型を除いて7種類であることが
知られています。(Cole 1922)

• そのうち2つは、3次元有限射影幾何の
平行類を使って得ることができます。

• ちなみに、21人以上のカークマン問題
の解の個数やその分類は未解決です。
(2010年頃の本より)

有限幾何
有限個の点の集合 P 、有限個の直線の集合 L、
それらの結合関係を記述した
(反射律と対称律を満たす)二項関係 I
P Lの組(P,L,I)を
有限幾何という。
対称性は見にくくなるが、
デザインと同様に直線を点の部分集合と捉えて、

(p, l)

I

p

l

とすると、直線を点の集合と見なせる。

有限アフィン幾何
位数2のアフィン平面
(0,1)

(1,1)
y=1

x=y+1
x=0

x=y
x=1

y=0

(0,0)

(1,0)

有限アフィン幾何
位数3のアフィン平面
(0,2)

(1,2)

(2,2)

(0,1)

(1,1)

(2,1)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

y=2

y=1

y=0
x=0

x=1

x=2

y=2x

y=x+2
(0,2)

(1,2)

y=2

(2,2)
y=x

y=2x+2
(0,1)

(1,1)

(2,1)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

y=1

y=0
y=x+1
y=2x+1
x=0

x=1

x=2

有限アフィン幾何は自明な平行概念を持つ幾何

有限アフィン平面
アフィン平面の各点に、人を置いてみます

9人を3人ずつ班分けして、
4日分の振分けを決める
小さいカークマン問題(9人ver.)の解になっている。

1日目
2日目
3日目
4日目

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 4 7

2 5 8

3 6 9

1 6 8

2 4 9

3 5 7

1 5 9

2 6 7

3 4 8

アフィン平面は分解可能デザインの代表的な例
(上の例は分割可能 - 2-(9,3,1)デザイン)

有限射影幾何
線の公理
VeblenYoungの公理
(簡易版)

非退化性

2点を通る直線は1本
同一平面上にある2本の直線は
ちょうど1点で交わる
直線上には少なくとも3点がある

公理ではないが、各直線上にある点の数は一定で、
q+1点とする。このqを射影幾何の位数という。
次元 n, 位数 q の射影幾何を PG(n,q)とかく。

有限射影幾何
2-均衡性
線の公理
(簡易版)

非退化性



有限射影幾何
2-均衡性
線の公理
(簡易版)

非退化性

1-均衡性


0 1 3
1 2 4

1

2 3 5
3 4 6

2
0

0 4 5
1 5 6
0 2 6

5

4

3

PG(2,2)
= 2-(7,3,1)デザイン
= fano平面

6

PG(3,2)
2-(15,3,1)デザイン

PG(3,2)の15個の点と35本の直線
0 1 C

0 2 9

0 3 4

0 5 A

0 6 8

0 7 D

0 B E

1 2 D

1 3 A

1 4 5

1 6 B

1 7 9

1 8 E

2 3 E

2 4 B

2 5 6

2 7 C

2 8 A

3 5 B

3 6 7

3 8 D

3 9 B

4 6 D

4 7 8

4 9 E

4 A C

5 7 E

5 8 9

5 B D

6 9 A

6 C E

7 A B

8 B C

9 C D

A D E

平面をブロックとすると、(15,7,3)デザイン
すべての平面はPG(2,2)=(7,3,1)デザインと同型

有限射影幾何での

平行
Parallelism

よく知られているように、
有限射影平面では平行線はないが、
3次元有限射影空間PG(3,q)の直線には

平行(Parallelism)
という概念がある

有限射影幾何での

平行
はどのように定義できるだろう

有限射影幾何での平行
アフィン幾何で定義される平行概念は、
普通は超平面に対して
「交わらない」という関係だけで
自然に定義される同値関係
射影幾何では超平面が必ず交わるので
そのままでは定義できない

平行線の公理
任意の直線gに対して、直線g上にない点をPとする。
このとき、Pを通りgと平行な直線が唯一存在する。

平行線の公理
任意の直線gに対して、直線g上にない点をPとする。
このとき、Pを通りgと平行な直線が唯一存在する。

平行線の公理を満たすような同値関係(分割)を
射影空間上の直線集合に入れる

この直線の上にない
この点を通る平行な直線は
これだけ

点を直線で分割
互いに交わらない直線の集合が射影空間の
全ての点を覆っているとき、この直線の集合を
spreadという。これを使って平行類を定義する。

点が
どれか1つの直線
全ての

の上にある

直線をspreadで分割
互いに同じ直線を含まないspreadの集合が
全ての直線を分割しているとき、このspreadの集合を
射影空間上の平行(parallelism, packing)という。

直線が
どれか1つのspread
全ての

の上にある

spread
全ての点が
どれか1つの直線
の上にある直線の集合

parallelism
全ての直線が
どれか1つのspreadの
上にあるspreadの集合

=

spread存在の条件
射影空間の直線は2次元ベクトル空間
spreadは2次元ベクトル空間の直和で
全空間を埋め尽くしている
全空間は偶数次元でなくてはならない
射影空間としての次元は奇数であることが
spread存在のための必要条件
(実は十分でもある)

spreadの中でも、特にキレイなもので
regular spreadと呼ばれるものがある。
任意のregular spreadに対して、
3次元射影空間上のParallelism
が構成できることが証明されている。
(ただしq＞2) (Beutelspacher 1974)
強さ3のデザイン!

spreadの中でも、特にキレイなもので
regular spreadと呼ばれるものがある。
任意のregular spreadに対して、
3次元射影空間上のParallelism
が構成できることが証明されている。
(ただしq＞2) (Beutelspacher 1974)
おまけで紹介予定だった
Baer subspaceから
簡単に作れる

強さ3のデザイン!

有限射影平面では平行概念はないが、
3次元有限射影空間PG(3,q)には
平行(Parallelism)が存在する！
(Beutelspacher 1974)

PG(3,2)のParallelismはカークマン問題(15人)の解

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