Cong thuc 2013

Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT
www.luyenthicaonguyen.com
ĐC: 128/39 Ywang - BMT
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
Các dạng cơ bản:
B ≥ 0
A= B


A = B ⇔
2/ A = B ⇔   A = B
 A = −B
 A = − B

 A < −B
4/ A > B ⇔ 
a > B
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PT CHỨA CĂN THỨC:
Các dạng cơ bản:
B ≥ 0
A ≥ 0
1/ A = B ⇔ 
2/ A = B ⇔ 
2
A = B
A = B
3/ A < B ⇔ − A < B < A

 A ≥ 0

B < 0
3/
4/ A > B ⇔ 
B ≥ 0

 A > B2

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:
1/ Các hệ thức cơ bản:
sin x
cos x
1/ sin 2 x + cos 2 x = 1
2/ tanx =
3/ cot x =
cos x
sin x
1
1
1
2
2
4/ tan x =
5/ 1 + tan x =
6/ 1 + cot x =
2
cot x
cos x
sin 2 x
2/ Công thức cộng:
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos asinb
cos(a ± b) = cos a cos b m sin a sin b
A ≥ 0

A < B ⇔ B ≥ 0
 A < B2


tg(a ± b) =

tga ± tgb
1 m tgatgb

cotg(a ± b) =

1 m tgatgb
tga ± tgb

3/ Công thức nhân đôi:
a/ sin2x = 2sinxcosx
b/ cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x
2 tan a
cot 2 a − 1
c/ tan2a =
d/ cot2a =
1 − tan 2 a
2cot a
4/ Công thức hạ bậc
1 − cos 2a
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
sin 2 x =
cos 2 x =
tan2a =
1 + cos 2a
2
2
5/ Công thức nhân ba:
Sin3x = 3sinx – 4sin3x
cos3x = 4cos3x – 3cosx.
7/ Công thức biến đổi tích thành tổng:
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 YwangBMT
Trang 1

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

1
( cos(a − b) + cos(a + b) )
2
1
sin a sin b = ( cos(a − b) − cos(a + b) )
2
1
sin a cos b = ( sin( a − b) + sin( a + b) )
2
8/ Công thức biến đổi tổng thành tích:
x+ y
x− y
x+ y
x− y
sin x + sin y = 2sin
cos
sin x − sin y = 2cos
sin
2
2
2
2
x+ y
x− y
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2cos
cos
cos x − cos y = −2sin
sin
2
2
2
2
sin(α ± β )
π


tanα ± tanβ =
 α ; β ≠ + kπ , k ∈ Z ÷
cos α .cos β
2


cos a cos b =

9/ Các cung liên kết:
a. Cung đối: α và −α
cos(−α ) = cos α
ta n(−α ) = −ta n α

sin( −α ) = − sin α
cot( −α ) = − cot α

b. Cung bù: α và π − α
sin(π − α ) = sin α
cos(π − α ) = − cos α
tan(π − α ) = −ta n α
cot(π − α ) = − cot α

d. Cung sai kém nhau π : α và π + α
tan(π + α ) = tan α
cot(π + α ) = cot α
sin(π + α ) = − sin α
cos(π + α ) = − cos α

c. Cung phụ: α và

π
−α
2

π

sin  − α ÷ = cos α
2

π

cos  − α ÷ = sin α
2

π

tan  − α ÷ = cot α
2

π

cot  − α ÷ = tan α
2


e. Cung hơn kém nhau

π
π
: α và + α
2
2

π

sin  + α ÷ = cos α
2

π

cos  + α ÷ = − sin α
2

π

tan  + α ÷ = − cot α
2

π

cot  + α ÷ = − tan α
2


Trang 2

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.
1/ Phöông trình löôïng giaùc cô baûn .
u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π


(k∈Z)

cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π.

(k∈Z)

tanu = tanv ⇔ u = v + kπ

(k∈Z)

cotu = cotv ⇔ u = v + kπ

(k∈Z)

2/ Phöông trình cơ bản ñaëc bieät :

π
+ k2π ,
2
π
cosx = 0 ⇔ x =
+kπ ,
2

sinx = 0 ⇔ x = kπ ,
sinx = -1 ⇔ x = -

sinx = 1 ⇔ x =

π
+ k2π
2

cosx = 1 ⇔ x = k2π ,

cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .

3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx .
2

2

Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a + b ≠ 0
2
2
Caùch giải : chia hai vế phương trình cho a + b

4 / Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx :
a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai :
2

2

asin x +b sinx cosx + c cos x = 0 .
Caùch giải :
Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
2
• Xeùt cos x ≠ 0 chia hai veá cuûa phöông trình cho cos x roài ñaët t = tanx.
5/ PT daïng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
•

t2 −1
Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän − 2 ≤ t ≤ 2 khi ñoù sinxcosx =
2
Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t .phöông trình
coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
1− t2
Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän − 2 ≤ t ≤ 2 khi ñoù sinxcosx =
2
PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:
Trang 3

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

r r r
r
 Vectơ u có toạ độ (x;y) ⇔ u=x.i+y.j .
uuuu r r
r
 Điểm M có toạ độ (x;y) ⇔ OM=x.i+y.j .
 Nếu điểm A(xA;yA) và điểm B(xB;yB) thì :
uuu
r
o AB=(x B -x A ;y B -y A )
o

AB=

( x B -x A ) + ( y B -y A )
2

2

 Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1:
uuuu uuur
r
 x -kx y -ky 
MA=kMB ⇔ M  A B ; A B ÷.
1-k 
 1-k
 x A +x B y A +y B 
;
 Trung điểm I của AB có tọa độ I 
÷.
2 
 2
 x A +x B +x C y A +y B +y C 
;
 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ G 
÷.
3
3


2. Tích vô hướng của hai véctơ:
r
r
Cho u=(x;y) và v=(x';y') . Ta có:
 Các r
r phép toán về vectơ:
o u ± v = (x±x' ; y±y' )
r
o ku=(kx;ky)
r
o | u|= x 2 +y 2
 Tích vô hướng của hai vectơ:
rr
rr r r
o ĐN tích vô hướng: u.v= u . v .cos(u,v)
rr
o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'
rr
x.x'+y.y'
cos(u,v)=
o Góc giữa hai vectơ:
x 2 +y 2 . x'2 +y'2
 Diện tích tam giác :
uuu
r
uuu
r
1
Cho tam giác ABC với AB = ( a1; a2 ) và AC = ( b1; b2 ) . Ta có: SABC = a1b 2 -a 2 b1
2
3. Phương trình đường thẳng:
r
Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương là u=(a;b) . Khi đó:
 x=x 0 +at
 Phương trình tham số của d là: 
(1)
 y=y0 +bt
x-x 0 y-y 0
=
 PT chính tắc của d (khi ab≠0) là:
(2)
a
b
r
Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n=(A;B)
 Phương trình tổng quát của d
A(x-x0)+B(y-y0)=0
(3)
Trang 4

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

r
 Phương trình : Ax+By+C=0 với A2+B2>0 là pt đt(d) có vectơ pháp tuyến là n=(A;B)
 Chú ý:
- Phương trình các đường thẳng đặc biệt:
Trục Ox: y = 0 ; Trục Ox: y = 0
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:Đường thẳng (d) đi qua A(a;0), B(0;b)
x y
 Phương trình là: + =1
(4)
a b
Phương trình đường thẳng theo hệ số góc k
Nếu đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k thì:
 Phương trình là: y = k ( x − x0 ) + y0
(5)
Phương trình đường thẳng dạng: y = ax + b
(6)
4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng:
r
(d1): A1 x+B1 y+C1=0 có VTPT n1 =(A1;B1 ) và
r
(d2): A2 x+B2 y+C2=0 có VTPT n 2 =(A 2 ;B2 )
Gọi ϕ là góc giữa (d1) và (d2). Ta có:
ur uu
r
n1.n2
A1 A2 + B1B2
cosφ= ur uu =
r
n1 . n2
A12 + B12 . A12 + B12
5. Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đt (d) có phương trình Ax+By+C=0 là:
Ax 0 +By0 +C
d ( M 0 ,(d) ) =
A 2 +B2
6. Phương trình đường tròn:
 Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính R. Phương trình có dạng: (x-a)2
+ (y-b)2 = R2.
 Dạng 2: Phương trình có dạng: x2+y2+2ax+2by +c=0,
với điều kiện : a2+b2>d, là phương trình đường tròn có tâm I(a;b;c) và có bán kính
R= a 2 +b 2 +c 2 -d
* Giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C):
Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d); R là bán kính của đường tròn :
o IH>R : (d)∩(C)=φ
o IH=R : (d)∩(C)=H, (d) tiếp xúc với (C)
o IH<R : (d)∩(C) tại hai điểm phân biệt
7. Phương trìnhtiếp tuyến của đường tròn:
 Dạng 1:uuu đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính R và điểm M(x0;y0) thuộc
Cho
r
(C). Khi đó IM = ( x0 − a; y0 − b ) là VTPT của tiếp tuyến (d)
Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( x0 − a ) ( x − x0 ) + ( y0 − b ) ( y − y0 ) = 0 .
 Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến (d)của đường tròn đi qua điểm M(x0;y0) không thuộc
(C).
Trang 5

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

r
* Gọi n=(A;B) là VTPT của (d) qua M. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng:
A ( x – x0 ) + B ( y – y0 ) = 0 ⇔ Ax + By − Ax0 − By0 = 0
* Do (d) tiếp xúc (C) nên : d ( I ; ( d ) ) = R . Giải phương trình tìm A, B
* Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)
 Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến (d)cho biết hệ số góc a.
* Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = ax + b ⇔ ax − y + b = 0
* Do (d) tiếp xúc (C) nên : d ( I ; ( d ) ) = R . Giải phương trình tìm A, B
* Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)

PHẦN 3: GIẢI TÍCH 11& 12
A. ĐẠO HÀM:
1/ Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
/
/
1/ ( C ) = 0
2/ ( x ) = 1
/
2 /
n /
n −1
( u n ) = nu n−1.u /
3/ ( x ) = 2 x
4/ ( x ) = nx
/
/
u/
1
1
1
 ÷ =− 2
5/  ÷ = − 2
u
u
x
 x
/
u/
/
1
u =
x =
6/
2 u
2 x

( )

( )

2/ Các qui tắc tính đạo hàm:
/
/
1/ QT1: ( a.u ) = a.u /
2/ QT2: ( u ± v ) = u / ± v /
/

/
/
 u  u .v − u.v
3/ QT3: ( u.v ) = u .v + u.v
4/ QT4:  ÷ =
v2
v
/
/
/
5/ QT5: ( Đạo hàm của hàm số hợp): y x = yu .u x
a/ Các hệ quả:
/
/
v/
Cv /
1
C
+ HQ1:  ÷ = − 2
+ HQ2:  ÷ = − 2
v
v
v
v
b/ Nhận xét:
/

/

/

/

ad − bc
 ax + b 
•
÷=
2
 cx + d  ( cx + d )

/

 ax 2 + bx + c  adx 2 + ae.2 x + be − cd
•
÷=
2
dx + e 
( dx + e )


/
/
2
/
/
/
/
 ax 2 + bx + c  ( ab − ba ) x + ( ac − ca ) .2 x + ( bc − cb )
• / 2
÷=
2
a x + b/ x + c / 

( a / x2 + b / x + c / )
/

3/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
Trang 6

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

1/ ( sinx )/ = cosx
2/ ( cosx )/ = -sinx
1
/
3/ ( tan x ) =
cos 2 x
1
/
4/ ( cot x ) = − 2
sin x
2
/
5/ ( sin x ) = sin2x
6/ ( cos2 x )/ = -sin2x

1/ ( sinu )/ = u/.cosu
2/ ( cosu )/ = - u/.sinu
u/
/
3/ ( tan u ) =
cos 2 u
u/
/
4/ ( cot u ) = − 2
sin u
2
/
5/ ( sin u ) = u/ sin2u
6/ ( cos2 u )/ = - u/ sin2u

4/ Đạo hàm của các hàm số mũ:

(e )

x /

= ex

(e )

u /

(a )

x /

= u / .eu

= a x .ln a

(a )

u /

= u / .a u .ln a

5/ Đạo hàm của các hàm số logarit:
1
( ln x ) =
x
/

1
x.ln a
u/
/
( log a u ) =
u.ln a

u/
( ln u ) =
u

( log a x )

/

/

=

C. MỘT SỐ CÔNG THỨC VỀ LOGARIT, LŨY THỪA, MŨ
I /Coâg thöùluythöø .
n
c
a
Cho a, blaø thöï döông vaø laø thöï tuø y.
soá c
x,y soá c y ù
1/ax .ay = a x + y , ngöôï laï a x + y = ax .ay
c i
ax
ax
x− y
x− y
2 / y = a , ngöôï laï a = y
c i
a
a
x y
y x
x. y
3 / (a ) = (a ) = a , ngöôï laï a x. y = (ax )y = (ay )x
c i
4 / (a.b)x = a x .b x , ngöôï laï a x .b x = (a.b)x
c i
x

x

x
ax  a 
 a a
5 /  ÷ = x , ngöôï laï x =  ÷
c i
b  b
 b b
II/ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
m
n

a = a ngöôï laï a = a
c i
n

m

n

m

m
n

Trang 7

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

III/ Tính chất của căn bậc n
1/

a . n b = n a.b ngöôï laï n a.b = n a . n b
c i

n

2/

n

a na
a na
=
ngöôï laï n = n
c i
n
b
b
b
b

3/

( a)
n

m

= n a m ngöôï laï
c i

4/

n
n

am =

( a)
n

m

a n = a , neá n leû
u
.

5/

n

a n = a , neá n chaü .
u
n

IV/ Công thức Lôgarit .
1/loga x = y ⇔ x = a y

loga1=0

a0 =1

2 / loga1 = 0 , logaa = 1.
3 / aloga x = x , logaa x = x , cuøg cô soá
n
.
4/logab x = x.log a b
6 / logab =

logcb
logc a

1
5 / logax b = log a b
x
1
7 / logab =
log b a

x
= loga x − loga y
y
10 / log10x = log x = lg x , loâarit thaä phaâ .
g
p
n
8 / loga x. y = loga x + loga y 9 / loga

11 / loge x = ln x , loâarit töï nhieâ .
g
n

E. LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ , HÀM SỐ LOGARIT
Lũy thừa thừa với số mũ nguyên
a...a
Định nghĩa: an = a.thuaso , a ∈ R, n ∈
n
N*.

log a ( x1.x2 ) = log a x1 + log a x2 ,
( x1,x2 > 0 )

Trang 8

{

a >0,
⇔ b>0 a ≠1
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

Khi a ≠ 0 ta có
1
1
a0 = 1 , a-n = n , a-1 =
a
a
Tính chất: với a,b ≠ 0 , m,n ∈Z ta có:
a m .a n = a m+ n ; a n .b n = (ab) n
am
= a m−n ;
n
a

n

an  a 
= ÷
bn  b 

(a n ) m = a mn
Căn bậc n:
m
n

•

a = n am ;

( )
n

a

•

n

•

n

m

m n

a = m .n a ;

= n am ;
n

a na
=
;
n
b
b
a n nchan

n
a = n
 a n le

a . b = a.b ;
n

n

Tínhchất :
+ a > 1: m > n ⇒ am > an
+ 0 < a < 1 : m > n ⇒ am < an
+ 0 < a < b * ax < bx khi x > 0 ;
* ax > bx khi x < 0
HÀM SỐ LOGARIT:
1. Đ/n : y = logax ( 0 <a ≠1) TXĐ: R*+ ;
TGT: R
logax = y ⇔ ay = x
Nếu : a > 1 HS: đồng biến trên
R*+ ;
Nếu: 0 < a < 1 HS nghịch biến trên
R*+
2. Công thức về logarit : 0 < a ≠ 1
• loga1 = 0;
logaa = 1;
• log a a x = x ;
a loga x = x ( x > 0)
log a (b1.b2 ) = log a b1 + log a b2

x1
= log a x1 − log a x2 ,
x2
(x1,x2 > 0 )
log a x n = n log a x (x > 0)
log a x
log b x =
(x,b > 0 )
log a b
log a b.log b x = log a x
1
1
log a b =
log aα x = .log a x
log b a
α
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Các công thức và quy tắc logarit cần nhớ:
a > 0,a ≠1
1/ { ∀x∈R
a x = b ⇔ log a b = x
log a

log a b có nghĩa

2/ { ∀m ,n∈R

a ,b > 0,a ≠1

log a b n = n log a b
1
log a b
m
n
log a m b n = log a b
m
1
log a = − log a b
b
log a m b =

log a c = log a b.log b c
log a c =

log b c
log b a

log a b.log b a = 1
1
log a b =
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 Ywanglog b a
BMT
Trang 9

log
a 0 ⇔  0<a ,b<1 a = 1 ;
Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT logwww.luyenthicaonguyen.com log a 1 = 0
a b >= 1 ;  a ,b >1 a
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44
x

a <1<b
log a b < 0 ⇔  0<b<1<a
 0<

a,
3 / { c>b0>0,≠1

4/

{

a ,b > 0
a ,b ≠1

{

a ,b ,c >0
b ,c ≠1

a loga b = b
a logb c = c logb a
F. TÍCH PHÂN
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của những hàm số thường gặp
thường gặp
1
∫ dx = x + C
d ( ax + b ) = ( ax + b ) + C
∫
a
adx = ax + C
α +1
∫
1 ( ax + b )
α
xα +1
∫ ( ax + b ) dx = a α + 1 + C ( α ≠ 1)
xα dx =
+ C ( α ≠ 1)
∫
α +1
dx
1
= ln ax + b + C ( x ≠ 0 )
dx
∫ ax + b a
∫ x = ln x + C ( x ≠ 0)
dx
1 1
=−
dx
1
∫ ( ax + b ) 2 a ax + b + C
= − + C ( x ≠ 0)
2
∫x
x
12
3
2 3
xdx =
x + C ( x ≥ 0)
∫ ax + bdx = a 3 ( ax + b ) + C
∫
3
13
4
3
3
xdx = 3 x 4 + C
∫ 3 ax + bdx = a 4 3 ( ax + b ) + C
∫
4
1
1
1
dx = 2 x + C ( x > 0 )
∫ ax + b dx = a 2 x + C ( x > 0 )
∫ x
1
x
x
eax +b dx = e ax +b + C
∫ e dx = e + C
∫
a
x
a
x
1
∫ a dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)
cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C
∫
a
1
∫ cos xdx = sin x + C
sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C
∫
a
sin xdx = − cos x + C

∫

Trang 10

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

1
∫ cos2 x dx = tan x + C
1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C
dx
1
x−a
=
ln
∫ ( x 2 − a 2 ) 2a x + a + C

1
1
dx = tan ( ax + b ) + C
∫ cos2 ( ax + b )
a
1
1
dx = − cot ( ax + b ) + C
∫ sin 2 ( ax + b )
a
dx
1
x−a
=
ln
∫ ( x − a) ( x − b) a − b x − b + C

G . ỨNG DUNG TÍCH PHÂN
I//Diện tích hình phẳng
Công thức 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
(C ) : y = f ( x)
b

là
S = ∫ f ( x) dx
(Ox) : y = 0
a
 x = a; x = b

Công thức 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
(C ) : y = f ( x)
b

S = ∫ f ( x) − g ( x) .dx
(C ') : y = g ( x) là
a
 x = a; x = b

Công thức3 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
(C ) : x = f ( y )
b

S = ∫ f ( y ) − g ( y ) .dy
(C ') : x = g ( y ) là
a
 y = a; y = b

II. Thể tích hình tròn xoay
(C ) : y = f ( x)

Công thức 1: Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong giới hạn bởi : Ox : y = 0
 x = a; x = b

quay quanh trục Ox là
b

V = π ∫ [ f ( x) ] .dx
2

a

Công thức 2: Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong giới hạn bởi

(C ) : y = f ( x)
 /
: (C ) : y = g ( x)
 x = a; x = b


quay quanh trục Ox là
b

b

V = π ∫ [ f ( x) ] .dx − π ∫ [ g ( x) ] .dx
a

2

2

a

Trang 11

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

H. SỐ PHỨC
1.Hai số phức bằng nhau:
a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d
Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z = a – bi
2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| =
3.Các phép toán với số phức
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
z1 ± z2 = z1 ± z2
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ;
 z1  z1
 ÷=
 z2  z2

z1.z2

z z
= 1 . 2 ; z. z = |z|2
4.Dạng lượng giác của số phức
*Cho z = a + bi thì môđun r và argument ϕ được tính bởi công thức sau:
a
b
r = a 2 + b2
; cosϕ =
; sinϕ =
r
r
* Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cosϕ + i.sinϕ)
5.Công thức MOAVRƠ
Cho hai số phức z1 = r1(cosϕ1 + i.sinϕ1) và
z2 = r2(cosϕ2 + i.sinϕ2)
khi đó: * z1.z2 = r1.r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i.sin(ϕ1 + ϕ2)]
* = [cos(– ϕ) + i.sin(– ϕ)]
* = [cos(ϕ1 – ϕ2) + i.sin(ϕ1 – ϕ2)]
Công thức MOAVRƠ:
Cho z = r(cosϕ + i.sinϕ) thì zn = rn(cosnϕ + i.sinnϕ)
Căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau:
zk = (cos ϕ + i.sin ϕ ) với k = 0,1,….n – 1
PHẦN 4: HÌNH HỌC 11& 12
ÔN TẬP
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông :
Cho ∆ABC vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago : BC 2 = AB 2 + AC 2
b) BA 2 =BH.BC; CA 2 =CH.CB
c) AB. AC = BC. AH=2SABC

A
b

c
M

H
C
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeänB
thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 Ywanga
BMT
Trang 12

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

1
1
1
=
+
2
2
AH AB AC2
e) BC = 2AM
b
c
b
c
f) sinB= , cosB= , tanB= , cotB=
a
a
c
b
g) b = a. sinB = a.cosC,
c = a. sinC = a.cosB,
b
b
=
a=
,
b = c. tanB = c.cot C
sin B cos C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin:
b 2 +c2 -a 2
2
2
2
a =b +c -2bc.cosA ⇒ cosA=
2bc
a
b
c
=
=
=2R
* Định lý hàm số Sin:
sinA sinB sinC
2 ( b 2 +c 2 ) -a 2
* Độ dài đường trung tuyến: m a =
4
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
a.b.c
S = a.h a = a.bsinC =
= p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)
2
2
4R
a+b+c
với p=
2
1
Đặc biệt : * ∆ABC vuông ở A : S= AB.AC ,
2
2
a 3
a 3
* ∆ABC đều cạnh a: diện tích S=
; đường cao: h=
4
2
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d)

d/ Diên tích hình thoi : S =

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2

1
[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]
2
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn : S = π .R 2
d/ Diện tích hình thang : S =

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
Hai đường thẳng vuông góc:
A. Dạng toán cơ bản:
1) Tính góc giữa hai đường thẳng:
Trang 13

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

PP1: Áp dụng định nghĩa:
a'//a 
 ⇒ ( a,b ) = ( a';b')
b'//b 
PP2: Sử dụng tích vô hướng:
rr
a.b
rr
cos ( a;b ) = cos a;b = r r
a.b

( )

a

a'

b'

b

2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
PP1:
PP2:

rr
a ⊥ b ⇔ a.b=0
a//b 
⇒a ⊥c
b ⊥ c

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
PP1:
d
d ⊥ a ,d ⊥ b 

a , b ⊂ mp ( P )  ⇒ d ⊥ mp ( P )
b
a , b caét nhau 

a
P
PP2:

a

b

(P)

a//b 
 ⇒ a ⊥ mp(P)
b ⊥ (P) 

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :
a ⊥ (P) 
⇒a ⊥ b
b ⊂ (P) 
PP2: Sử dụng định lý ba
đường vuông góc

a

PP1

P

3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Định nghĩa: Góc giữa
đường thẳng d và mặt
phẳng(P) là góc giữa đường
thẳng d và hình chiếu d’ của
nó trên (P)

b

a'

a

P

a'

PP: d’ là hình chiếu của d trên
(P) ⇒ (d;(P))=(d;d’)
Trang 14

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng
cho trước.
Hai mặt phẳng vuông góc
1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
( P ) ∩ (Q) = ∆ 

PP1: a ⊂ ( P ), a ⊥ ∆  ⇒ (( P );(Q)) = (a; b)
b
b ⊂ (Q), b ⊥ ∆ 
a

Q
P
PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu
Q
P
S'
S ' = S .cosϕ ⇔ cosϕ =
S
2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
a

PP1: (P)⊥(Q)⇔((P);(Q))=90
a ⊂ ( P) 
PP2:
 ⇒ ( P ) ⊥ (Q)
a ⊥ (Q) 

0

b

P
a
Q

d

3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :
(P) ⊥ (R) 

⇒
PP: (Q) ⊥ (R)Δ  (R) ⊥
(P) ∩ (Q)=Δ 


P

a

Q

R

4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Có duy nhất một mặt phẳng
chứa a và vuông góc với (P).
Khoảng cách
1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng ∆ :
Hạ MH vuông góc với ∆ tại H ⇒ d(M;∆)=MH
2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):
Hạ MH vuông góc với (P) tại H ⇒ d(M;(P))=MH
3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Lấy M bất kì thuộc (P) ⇒ d((P);(Q))=d(M;(Q))
3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
a
M
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 YwangP
BMT
Trang 15

b

N

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

 Nếu a⊥b thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ MN⊥b tại N.
Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b
 Nếu a không vuông góc với b thì:
- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a
- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J
- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại I.
Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d(a;b)=MN
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
PHẦN 1:THỂ TÍCH
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
TRỤ:
1
V= Bh
V= B.h
3
ì B:dieä tích ñaù
ï
n
y
B:dieä tích ñaù
n
y
với ï
í
với 
ï h: chieà cao
u
u
ï
î
 h: chieà cao
a) Thể tích khối hộp chữ 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
nhật:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần
V = a.b.c
lượt thuộc SA, SB, SC ta có:
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập
VSABC
SA SB SC
=
phương:
VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
V = a3
với a là độ dài cạnh
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =

a 2 +b 2 +c2 ,

a 3
2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc
có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
B. KHỐI TRÒN XOAY:
1. Hình trụ , khối trụ và mặt trụ tròn xoay:
- Trục OO’
- Đường sinh MM’=l
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

Trang 16

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

- Bán kính R=OM, đường cao
h=OO’=MM’
- Diện tích xung quanh: Sxq=2πRl
- Diện tích toàn phần: Stp=2πRl+2πR2
- Thể tích khối trụ: V=πR2l
- Mặt trụ tròn xoay sinh ra khi quay
đường thẳng l song song đt ∆ cố định và
cách ∆ một đoạn R không đổi.
2. Hình nón, khối nón, mặt nón tròn xoay:
- Trục SO
- Đường sinh SM=l
- Góc ở đỉnh là 2α
Bán kính đáy R=OM, chiều
cao h=SO
l2=R2+h2
Diện tích xung quanh:
Sxq=πRl
Thể tích khối nón:
1
V = π R 2h
3
Mặt nón tròn xoay sinh ra
khi quay đường thẳng l cắt ∆
cố định và hợp với ∆ góc α
không đổi, góc ở đỉnh là 2α.
3. Hình cầu, mặt cầu và khối cầu:
- Tâm O, bán kính R=OM
- Diện tích mặt cầu: S=4πR2
4 2
- Thể tich khối cầu: V = π R
3

O

M

h
R
R

O'

M'

S

l
h

M

RO

M
R
O

R

4. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
Tâm O của mặt cầu nếu có là điểm cách đều tất cả các đỉnh của nên thuộc tất cả các mặt
phẳng trung trực của các cạnh.
Với tứ diện thì luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp, tâm E là giao điểm của trục tam giác
đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên.
Với hình chóp thì điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp là khi đáy hình chóp là đa giác
nội tiếp, lúc đó tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng
của một cạnh bên.
PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:
Trang 17

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

r r r ur
r
 Vectơ u có toạ độ (x;y;z) ⇔ u=x.i+y.j+z.k .
uuuu r r ur
r
 Điểm M có toạ độ (x;y;z) ⇔ OM=x.i+y.j+z.k .
 Nếu điểm A(xA;yA;zA) và điểm B(xB;yB;zB) thì :
uuu
r
o AB=(x B -x A ;y B -y A ;z B -z A )
o

AB=

( x B -x A ) + ( y B -y A ) + ( z B -z A )
2

2

2

 Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1:
uuuu uuur
r
 x -kx y -ky z -kz 
MA=kMB ⇔ M  A B ; A B ; A B ÷.
1-k
1-k 
 1-k
 x A +x B y A +y B z A +z B 
;
;
 Trung điểm I của AB có tọa độ I 
÷.
2
2 
 2
 x A +x B +x C y A +y B +y C z A +z B +z C 
;
;
 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ G 
÷.
3
3
3


 Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ
 x +x +x +x y +y +y +y z +z +z +z 
G  A B C D ; A B C D ; A B C D ÷.
4
4
4


2. Tích vô hướng và tích có hướng:
r
r
Cho u=(x;y;z) và v=(x';y';z') . Ta có:
 Các r
r phép toán về vectơ:
o u ± v = (x±x' ; y±y' ; z±z')
r
o ku=(kx;ky;kz)
r
o | u|= x 2 +y 2 +z 2
 Tích vô hướng của hai vectơ:
r r
rr
rr
= u . v .cos(u,v)
o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'+z.z'
rr
x.x'+y.y'+z.z'
cos(u,v)=
o Góc giữa hai vectơ:
x 2 +y 2 +z 2 . x'2 +y'2 +z'2
 Tích có hướng của hai vectơ:
r r  y z z x x y 
u , v  = 
;
;
÷
 
 y' z' z' x' x' y' 
rr
r
r
Vectơ  u,v  vuông góc với của hai vectơ u và v
 
 Một r tính chất:
r số r r
o u ⊥ v ⇔ u.v = 0
rr
r
r
r
 u,v  = 0
o u và v cùng phương ⇔  
r r ur
r r ur
 u,v  .w = 0
o u , v , w đồng phẳng ⇔  

(

)

Trang 18

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

uuu uuur
r
SABCD =  AB,AD 
 Diện tích hình bình hành:


uuu uuu
r r
1
SABC =  AB,AC 
 Diện tích tam giác :

2 
uuu uuur uuur
r
VABCD.A'B'C'D' =  AB,AD  .AA'
 Thể tích hình hộp:


uuu uuu uuur
r r
1
VABCD =  AB,AC  .AD
 Thể tích tứ diện :

6 
3. Phương trình mặt cầu:
 Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R. Phương trình có dạng:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2.
 Dạng 2: Phương trình có dạng: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0,
với điều kiện : a2+b2+c2>d, là phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và có bán kính
R= a 2 +b 2 +c 2 -d
* Giao điểm của mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S):
Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α); R là bán kính mặt cầu:
o IH>R : (α)∩(S)=φ
o IH=R : (α)∩(S)=H
o IH<R : (α)∩(S)=(C)
Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn (C):
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (α):
uu uu
r r
u dα=n
 Tâm H của đường tròn (C): H=d∩(α)
 Bán kính r của (C): r= R 2 -IH 2
4. Phương trình mặt phẳng:
r
n=(A;B;C) có phương
 Mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến
trình: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
 Phương trình : Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0 là phương trình mặt phẳng có vectơ
r
pháp tuyến là n=(A;B;C)
 Chú ý:
- Phương trình các mặt phẳng đặc biệt:
mp(Oxy):z=0 ; mp(Oyz):x=0 ; mp(Oxz):y=0
r uuu uuu
r r
 AB,AC 
- Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng có vectơ pháp tuyến n= 

uuu uuu
r
r
và ta gọi AB, AC là cặp vectơ chỉ phương của mp(ABC).
- Pt mặt phẳng theo đoạn chắn: Mp đi qua M(a;0;0),N(0;b;0) và P(0;0;c) có phương trình
x y z
là: + + =1
a b c
I

H

Trang 19

R
r

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

- Mp chứa hai đường thẳng cắt nhau: Nếu (P) =mp(d,d’) thì (P) có vectơ pháp tuyến là
r uu uur
r
n= ud , ud ' 



5. Phương trình đường thẳng:
r
Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương là u=(a;b;c) . Khi đó:
 x=x 0 +at

 Phương trình tham số của d là:  y=y0 +bt
z=z +ct
0

x-x 0 y-y 0 z-z 0
=
=
 Phương trình chính tắc của d (khi abc≠0) là:
a
b
c
6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Nếu (α) có phương trình Ax+by+Cz+D=0 và (α’) có phương trình
A’x+B’y+C’z+D’=0 thì:
• (α) và (α’) cắt nhau khi và chỉ khi A:B:C≠A’:B’:C’
A B C D
• (α) và (α’) song song khi và chỉ khi = = ≠
A' B' C' D'
A B C D
• (α) và (α’) trùng nhau khi và chỉ khi = = =
A' B' C' D'
• (α) và (α’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi AA’+BB’+CC’=0
7. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
r
Nếu đường thẳng d đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương u và đường thẳng d đi qua điểm
u
r
M '0 , có vectơ chỉ phương u' thì:
ru
r
r uuuuuur r
 u,u' =  u,M 0 M '  =0
• d và d’ trùng nhau ⇔ 
0 
 
ru r
r
  u,u' =0


• d//d’ ⇔  r uuuuuur
r
 u,M M '  ≠ 0

0
0 

r u uuuuuur
r
  u,u' .M M ' =0

 0 0
• d và d’ cắt nhau ⇔  r u
r
r
 u,u' ≠ 0



r u uuuuuur
r
'
• d và d’ chéo nhau ⇔  u,u' .M 0M 0 ≠ 0


8. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Nếu mp(α):Ax+By+Cz+D=0 và đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0z0), có vectơ chỉ
r
phương u=(a;b;c) .Khi đó:
• d cắt (α) ⇔ Aa+Bb+Cc≠0
Aa+Bb+Cc=0
• d//(α) ⇔ 
Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D ≠ 0
Trang 20

ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

Aa+Bb+Cc=0
d ⊂(α) ⇔ 
Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D = 0
9. Khoảng cách:
 Khoảng cách gữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:
•

AB=

( x B -x A ) + ( yB -y A ) + ( z B -z A )
2

2

2

 Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng (α) có phương trình Ax+by+Cz+D=0
Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D
là: d ( M 0 ,(α) ) =
A 2 +B2 +C2
r
 Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng ∆ đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u là:
uuuuuu r
r
 M 0 M1 ,u 


d(M1 ,Δ)=
r
u
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’, trong đó ∆ đi qua điểm M0, có
r
u
r
vectơ chỉ phương u và đường thẳng ∆’ đi qua điểm M '0 , có vectơ chỉ phương u' là:
r u uuuuuur
r
'
 u,u' .M 0 M 0


d(∆,Δ')=
ru
r
 u,u'


10. Góc:
ru
r
u.u'
a.a'+b.b'+c.c'
r
 Góc giữa hai đường thẳng: cosφ= r u = 2 2 2
u . u'
a +b +c . a'2 +b'2 +c'2
ru
r
n.n'
A.A'+B.B'+C.C'
r
 Góc giữa hai mặt phẳng: cosφ= r u =
n . n'
A 2 +B2 +C 2 . A'2 +B'2 +C'2
rr
n.u
A.a+B.b+C.c
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sinφ= r r =
n.u
A 2 +B2 +C 2 . a 2 +b 2 +c 2

Trang 21

Cong thuc 2013

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Cong thuc 2013

Ähnlich wie Cong thuc 2013 (20)

Mehr von trongphuckhtn

Mehr von trongphuckhtn (16)

Cong thuc 2013